Các dạng Toán casio thường gặp

CÁC DẠNG TOÁN CASIO THƯỜNG GẶP
(Tập 1)
------
 DẠNG 1: LẬP BIẾN VÒNG
1. Cách lập quy trình giải :
Chọn biến chạy A : Cho A chạy lần lượt từ A = 0 (hoặc A = 1) đến giá trị cuối cùng.
Chọn biến lưu kết quả B: Biến B nhận lần lượt 1 giá trị từ biểu thức có chứa biến A.
Biểu thức B ghi lại quy luật các số có trong đề bài.
2. Ví dụ: Tính giá trị biểu thức: M = 1+ 52 + 53 + 54 +…+ 510.
Giải
-1 SHIFT STO A; 0 SHIF STO B
A= A+1: B= B+ 5A
Ấn phím = = và ấn tiếp ∆ = cho đến khi A = 10.
Kết quả : M = B = 12207031.
Bài ví dụ trên biến A chạy từ 0 đến 10 ghi số mũ. Biến B ghi biểu thức có quy luật 5n được cộng liên tiếp 10 số hạng.
Các bài tập thường gặp:
Bài 1: A = 
Giải
0 SHIF STO A; 1 SHIF STO B
A=A+1: B = . 
Ấn phím = = ấn tiếp ∆ = cho đến khi A = 50. 
Kết quả A = 97,95734337.
Bài 2: B = 
Giải
0 SHIF STO A; 0 SHIF STO B
A = A+1: B = B+
Ấn phím = = và ấn tiếp ∆ = cho đến khi A = 29 ( Đến A = 14 kết quả không đổi)
Kết quả: B = 5.436563656693.
Bài 3: C = 
Giải
0 SHIF STO A; 0 SHIF STO B; 1 SHIF STO C;
A = A + 1: B = B + : C = C.
Ấn phím = = = ấn tiếp ∆ ∆ ấn = cho đến khi A = 20.
Kết quả 17667,9757457.
Bài 4: D = 
Giải
0 SHIF STO A; 0 SHIF STO B
A = A + 1 : B = B + 
Ấn phím = = ấn tiếp ∆ ấn = cho đến khi A = 15
Kết quả: 2,69435728816.
Bài 5: E = 
Giải
21 SHIF STO A; 0 SHIF STO B
A = A - 1: B = 
Ấn phím = = ấn tiếp ∆ ấn = cho đến khi A = 2
Kết quả: 1,5449847008.
Bài 6: F = 
Giải 
0 SHIF STO A; 0 SHIF STO B; 1 SHIF STO C
A = A +1 : B = B + : C = C . B
Ấn phím = = = ấn tiếp ∆ ∆ấn = cho đến khi A = 10
Kết quả: 1871,43527305.
DẠNG 2: TOÁN TÌM SỐ THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Bài 1: Tìm 5 cặp số tự nhiên nhỏ nhất có tổng là bội của 2009 và thương của chúng là 5
Giải 
Gọi hai số cần tìm là a và b. Theo đề bài ta có : 
 6b = 2009.M. Do (6;2009) = 1 nên M 6 M .
Ta có các khả năng sau:
6b = 2009.6 b = 2009; a = 10045
6b = 2009.12 b = 4018; a = 20090
6b = 2009.18 b = 6027; a = 30135
6b = 2009.24 b = 8036; a = 40180
6b = 2009.30 b = 10045; a = 50225
Bài 2: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia cho 6 dư 5, chia cho 5 dư 4, chia cho 4 dư 3, chia cho 3 dư 2, chia cho 2 dư 1.
Giải
Gọi x là số cần tìm. Theo bài toán ta có:
Do x nhỏ nhất nên x+1 = 720 x = 719
Bài 3: Cho a = 17!. Tìm ước lớn nhất của a, biết số đó là lập phương của một số tự nhiên.
Giải
Trong số 17! Ta có: 
Số mũ lớn nhất của số nguyên tố 2 là: 
Số mũ lớn nhất của số nguyên tố 3 là: 
Số mũ lớn nhất của số nguyên tố 5 là: = 3
Số mũ lớn nhất của số nguyên tố 7 là: = 2
Số mũ lớn nhất của số nguyên tố 11 là: 1
Số mũ lớn nhất của số nguyên tố 13 là: 1
Số mũ lớn nhất của số nguyên tố 17 là : 1
Do đó: ước lớn nhất của 17! Thỏa đề bài là : (25)3.(32)3.53 = (25.32.5)3 = (1440)3 = 2985984000.
Bài 4: Tìm tất cả các cặp số có dạng chia hết cho 24.
Giải
Tìm số dư của phép chia 12356789 cho 24. Dư là 5.
Viết tiếp . Để chia hết cho 24 thì phải chia hết cho 24.
Đặt A = . Khi đó < A < 
Do A24. Nên ta thử phép nhân với 24 các số từ 210 đến 247 thỏa mãn dạng 
Quy trình thử:
209 SHIF STO A; A = A +1: 24 x A. Bấm = = ấn ∆ = cho đến A = 248.
Kết quả: 5040; 5448; 5544; 5640;
Bài 5: Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x;y) có ba chữ số thỏa mãn hai điều kiện sau:
Hai chữ số của m cũng là hai chữ số của n ở vị trí tương ứng; chữ số còn lại của m nhỏ hơn chữ số của n đúng 1 đơn vị.
Cả hai đều là số chính phương.
Giải
Giả sử m = . Theo bài toán ta có n = hoặc n = hoặc n = .
Mặt khác, m và n là hai số chính phương nên m = x2 và n = y2 	
 n – m = y2 – x2 = (y – x)(y+x).
Mà y – x và y + x cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Nếu y – x và y + x cùng chẵn thì n – m 4.
Ta xét từng trường hợp cụ thể sau:
m = , n = . Ta có n – m = 100 (y – x)(y+x) =100. 
Do y – x và y + x cùng chẵn hoặc cùng lẻ .
suy ra hoặc 
suy ra hoặc 
Vậy : ( thỏa mãn) Hoặc ( không thỏa mãn)
m = , n = . Ta có n – m = 10 (y – x)(y+x) =10
suy ra hoặc (loại). Do y – x và y + x cùng chẵn hoặc cùng lẻ
m = , n = . Ta có n – m = 11 (y – x)(y+x) =1.
suy ra suy ra . Vậy : ( không thỏa mãn)
Kết quả: Hai số cần tìm là: 676 và 576.
Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên không vượt quá 10 chữ số mà khi ta đưa chữ số cuối cùng lên vị trí đầu tiên thì số đó tăng gấp 5 lần.
Giải
Giả sử số cần tìm có dạng A = ( có k+1 chữ số),
đặt B = ( có k+1chữ số ) và C = ( có k chữ số ), với k 9
Theo bài toán ta có: B = 5A hay = 5. 
e.10k + = 5(. 10 +e)
e.10k + C = 5.(10C + e) (10k – 5).e = 49.C = 7.7.C
suy ra 10k – 5 7
Thử trên máy 1 SHIF STO X; X = X + 1 : (10X – 5 ) 7 lấy kết quả chia hết cho 7 là 99995
Do đó: 99995.e = 49C 14285. e = 7C mà (14285;7) = 1 e = 7 và C = 14285.
Vậy số cần tìm là 142857.
Bài 7: Gọi k là số chữ số của 20132013; p là số các số không vượt quá 7028 và nguyên tố cùng nhau với 7028; q là số các ước của 234328; s là tổng các ước của 1025; r số mũ cao nhất của 7 trong tích 23 số tự nhiên liên tiếp. Hãy tính 3p + 5q - 6s – 10k +4r.
Giải
Số chữ số của 20132013 là : k = = 6650 + 1 = 6651
Số các số nguyên tố cùng nhau với 7028 (và 7028) là : p = 
Số các ước của 23428 là : q = = 
Tổng các ước của 1025 là : s = = 
Số mũ cao nhất của 7 trong 23 ! là : r = = 3.
Từ đó, tính giá trị biểu thức 3p + 5q -6s – 10k + 4r.
Chú ý : nếu m = ( trong đó p là số nguyên tố) thì :
a. 
b. 
c. 
Bài 8 : Tìm số a sao cho chia hết cho 2010
Giải 
Lấy 1384223 chia cho 2010 dư là 1343
Ghi thêm = 1343.106 + a .105 + 22180 = 1343022180 + a.105
1343022180 : 2010 dư là 480.
Để chia hết cho 2010 thì phải chia hết cho 2010. Với 1 a 9
Thử trên máy ta có a = 9.
( Bài này không nên giải bằng phương pháp giới hạn cận. Vì khoảng cách giữa hai cận quá lớn) .
Bài 9 :
Tìm tất cả các số có 10 chữ số có tận cùng bằng 4 và là lũy thừa bậc năm của một số tự nhiên.
Tìm tất cả các số có 10 chữ số đầu tiên bằng 9 và là lũy thừa bậc năm của một số tự nhiên.
Tìm số có ba chữ số là lũy thừa bậc ba của tổng các chữ số của nó.
Tìm số có bốn chữ số là lũy thừa bậc bốn của tổng các chữ số của nó.
Giải 
Số cần tìm có dạng A = và A = x5 x5 = 
Ta có : < A < 63 < x < 98.
Vì A có tận cùng là 4 và lũy thừa của x lẻ x cũng có tận cùng là 4.
Do đó x kết quả 645 = …..; …..;…..
Tương tự
Số cần tìm có dạng . Theo bài toán ta có = (a + b + c)3
Do 100 < < 999 nên 100 < (a + b + c)3 < 999 4 < a + b + c < 9.
Thử trên máy các số từ 5 đến 9, ta được kết quả 83 = 512 ( thỏa yêu cầu vì 5+2+1=8).
tương tự , ( kết quả 74 = 2401).
Bài 10: 
Số chính phương P có dạng P = . Tìm các số a, b, c biết a3 + b3 + c3 = 349 (*)
Số chính phương Q có dạng Q = . Tìm các số c, d sao cho tổng các chữ số của P chia hết cho 5. 
Giải 
Giả sử trong ba số a,b,c số a lớn nhất 3a3 > 349 a 5 ( 1) .
Từ (*) ta có a3 < 349 a < 7 (2) . Đối chiếu (1) và (2) a = 5 hoặc a = 6
Nếu a = 5 b lớn nhất là 4 và c lớn nhất là 4 không thỏa mãn (*)
Do đó a = 6.
Bằng cách lập luận tương tự ta suy ra b = 5 và c = 2.
Vì a, b, c có vai trò như nhau nên ta có các khả năng sau:
1. 	 2. 	 3. 	4. 	5. 	6. 
Bằng cách thử trên máy , ta được a = 6; b = 2; c =5.
theo bài toán ta có 38 + c + d = (35 + 3 + c + d) 5 c + d + 3 5
Do 0 < c < 9 và 0 < d < 9 3 < c + d + 3 < 21 c + d + 3 
Ta có các khả năng sau :
1. c + d = 2	2. c + d = 7	3. c + d = 12	4. c + d = 20
Hơn nữa , Q là số chính phương nên d chỉ có thể là suy ra c .
Thử trên máy , ta có c = 9 và d = 8 thỏa điều kiện Q là số chính phương.
Bài 11: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 10 chữ số sao cho chia 5 dư 3 và chia cho 619 dư 237
Giải
Giả sử số có dạng A = chia hết cho 619. Khi đó, bằng phép chia 1000000 cho 619 ta có số cũng chia hết cho 619 315000 < < 315999 
 = 315071 hoặc = 315690.
Từ đây suy ra = 71 hoặc = 690. Suy ra số chia cho 619 dư 237 là A = 1000000308
 hoặc A = 1000000729 . Thử chia cho 5 trên máy ta có A = 1000000308 là số cần tìm.
Cách 2:
Tacó : 1000000 chia 3095 dư 315 
Khi đó, bằng phép chia 1000000 cho 3095 ta có số cũng chia hết cho 3095 315000 < < 315999 
 = 315690
Từ đây suy ra = 690. Suy ra số chia cho 3095 dư -382 có ba số tận cùng là A 690 - 382= 308
 Vậy A = 1000000308 . Thử chia cho 5 trên máy ta có A = 1000000308 là số cần tìm.
Bài 12: Tìm số tự nhiên A nhỏ nhất có 10 chữ số sao cho khi chia 13 dư 8 và chia cho 31 dư 17.
Hướng dẫn cách giải chung cho loại toán này.
Bước 1: Tìm số dư của phép chia số A cho BCNN(13;31) bằng phương pháp đồng dư.
Bước 2: Tìm số gần bằng A chia hết cho BCNN(13;31) bằng phương pháp giới hạn cận.
 Sau đó cộng thêm số dư tìm được ở trên vào.
Giả sử số có dạng B = chia hết cho 403. Khi đó, bằng phép chia 1000000 cho 403 ta có số dư là 157 cũng chia hết cho 403 157000 < < 157999 
 = 151170 hoặc = 157573 hoặc = 157976
Từ đây suy ra = 170 hoặc = 573 hoặc = 976. Suy ra số A chia cho 403 dư 203 là 
A = 1000000373; A = 1000000776 ; A = 1000001179
 Thử chia cho 13 và 31 trên máy ta có A = 1000000373 là số cần tìm.
DẠNG 3 : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1 : Giải phương trình:
a. .
b. .
Giải
a. 
Đặt y = 
 (*)
Trường hợp 1: y 26204 thì (*) trở thành y – 26204 + y – 26203 = 1
Tính được: y = 26204 và x = 660627612.
Trường hợp 2: y 26203 thì (*) trở thành 26204 – y + 26203 – y =1
Tính được: y = 26203 và x = 660575205.
Trường hợp 3: 26203 < y < 26204 thì 26203 < < 26204
Hay 660575205 < x < 660575612
Vậy : x1 = 660575205; x2 = 660575612 và 660575205 < x < 660575612
( Hoặc 660575205 x 660575612 )
b. 
Đặt a = , tacó:
Bài 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 ta thành lập được n số tự nhiên khác nhau, mỗi số có năm chữ số; trong đó có p số chia hết cho 3; q số chia hết cho 5; r số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5. Giải phương trình nx2 +(p+q)x – r =0
Giải
Số có 5 chữ số bắt đầu bằng chữ số 1: có 54 khả năng xảy ra
Số có 5 chữ số bắt đầu bằng chữ số 2: có 54 khả năng xảy ra
Số có 5 chữ số bắt đầu bằng chữ số 3: có 54 khả năng xảy ra
Số có 5 chữ số bắt đầu bằng chữ số 4: có 54 khả năng xảy ra
Số có 5 chữ số bắt đầu bằng chữ số 5: có 54 khả năng xảy ra
Do đó có tất cả là 54 + 54 + 54 + 54 + 54 = 55 khả năng xảy ra. 
Vậy n = 3125
Trong 3125 số có đúng số chia hết cho 3 p = 1041
Trong 3125 số có đúng số chia hết cho 5 q = 625
Trong 3125 số có đúng số chia hết cho 15 r = 208
Cho ta phương trình 3125x2 + 1666x – 208 = 0 . 
Giải pt ta được : x1 = 0,10443924 ; x2 = - 0.637523924
Bài 3 : Tìm các cặp số nguyên (x ; y) sao cho x2 – 5x + 6 = 2y2
Giải 
Ta có : x2 – 5x + 6 =2y2 (x – 3)(x – 2) = 2y2 = 2y. y = y . 2y
Có các khả năng sau: 
1. (loại)
2. 
3. 
4. 
Bài 4: Giải phương trình:
a. 
Gợi ý: Chuyển căn ở VP sang VT rồi bình phương hai vế
(Tương tự bài 1)
Bài 5: Tìm các cặp số (x; y) thỏa mãn 
(Gợi ý: lấy phương trình 1 trừ phương trình 2 theo vế, rồi phân tích vế trái thành nhân tử ).
Bài 6: Tìm các số nguyên dương x; y thỏa mãn x2 + y2 = 2005 (*) , (với x < y)
Giải 
Ta có : 0 31 (1).
Mặt khác: do x2 + y2 = 2005 y2 < 2005 y < 44 (2) 
Từ (1) và (2) 31 < y < 45.
Từ (*) ta có x = .
Ta thử trên máy : 30 SHIF STO A; A = A + 1: B = 
Ta được (x; y) = ( 39;22) và (x;y) = (41;18).
Cách khác :
Ta có y =.
Quy trình :
A=A+1: CALC A? 1 = = = =....
Ta được: x = 18; y = 41 và x = 22, y = 39.
Bài 7: Tìm các cặp số nguyên dương (x;y) nhỏ nhất thỏa mãn phương trình
.
Giải
Từ phương trình trên ta có:
y = 
Quy trình giải:
A=A+1: CALC A? 1 = = = .......
Ta được x = 11, y = 29.
Bài 8: Tìm cặp số tự nhiên (x;y) nhỏ nhất thoả mãn: 216 +219 +2x = y2
Giải:
Ta có: y =
Quy trình: 
A=A+1: CALC A? 1 = = = .....
Ta được x = 20; y = 1820
Bài 9: Giải phương trình:
4x + = 1,23(456)
Giải
Đặt A = . Tính A
Ta có: 
Suy ra : A = .
Từ đó, giải phương trình đã cho.
Bài 10: Giải phương trình Ax + B = C
 trong đóA = , kí hiệu là phần nguyên của a
 B là chữ số thập phân 132014 của phép chia 18 cho 17.
	 C là hai chữ số tận cùng của 20082009