Các bài toán chứng minh về biểu thức đại số

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
BÀI TOÁN CHỨNG MINH BIỂU THỨC
ĐẠI SỐ
BÀI TẬP
1. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng: 
x + 2
x − 1
=
(x + 2)(x + 1)
x2 − 1
 (với x ≠ ± 1)
Xem lời giải tại:
2. Cho 
a
x
=
b
y
=
c
z
(x, y, z ≠ 0).
Chứng minh rằng: 
x2 + y2 + z2
(ax + by + cz)2
=
1
a2 + b2 + c2
.
Xem lời giải tại:
3. Cho các số x, y, z đôi một khác nhau thỏa mãn x + y + z = 0.
Chứng minh rằng: 
9(x2 + y2 + x2)
(x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2
= 3.
Xem lời giải tại:
4. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y
a. 
(x + a)2 − x2
2x + a
b. 
x2 − y2
(x + y)(ax − ay)
c. 
2ax − 2x − 3y + 3ay
4ax + 6x + 9y + 6ay
Xem lời giải tại:
5. Chứng minh đẳng thức sau:
a. 
x2 + y2 − 1 − 2xy
x2 − y2 + 1 − 2x
=
x − y + 1
x + y − 1
b. 
x4 + 4
x x2 + 2 + 2x2 + (x + 1)2 + 1
=
x2 − 2x + 2
x + 1
Xem lời giải tại:
6. Cho a, b, c là các số dương 
Chứng minh phân thức 
a3 + b3 + c3 − 3abc
a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca
 luôn dương 
Xem lời giải tại:
7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì 
Phân số P =
6 + 8n + 15n2
13 + 21n + 30n2
 là phân số tối giản.
Xem lời giải tại:
8. Chứng minh rằng nếu (a2 − bc)(b − abc) = (b2 − ac)(a − abc) và các số 
a, b, c, a − b khác 0 thì 
1
a
+
1
b
+
1
c
= a + b + c.
( )
 Xem lời giải tại:
9. Chứng minh rằng nếu: 
1
x
+
1
y
+
1
z
=
1
x + y + z
 thì:
1
x1205
+
1
y1205
+
1
z1205
=
1
x1205 + y1205 + z1205
.
Xem lời giải tại:
10. Chứng minh rằng nếu xy + yz + zx = 1 thì:
x
1 − x2
+
y
1 − y2
+
z
1 − z2
=
4xyz
(1 − x2)(1 − y2)(1 − z2)
Xem lời giải tại:
11. Chứng minh rằng : 
1
n(n + 1)
=
1
n
−
1
n + 1
.
Áp dụng tính chất trên, chứng minh rằng giá trị biểu thức A dưới đây nhỏ hơn 1
với mọi số nguyên dương n :
A =
1
1.2
+
1
2.3
+
1
3.4
+ . . . +
1
n(n + 1)
Xem lời giải tại:
12. Cho x, y, z ≠ − 1. Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc
vào giá trị của biến:
A =
xy + 2x + 1
xy + x + y + 1
+
yz + 2y + 1
yz + y + z + 1
+
zx + 2z + 1
zx + z + x + 1
.
 Xem lời giải tại:
13. Cho biểu thức  −
−2x + 10
x
+
5x + 50
x2 + 5x
+
x2
5x + 25
:
3x + 15
7
.
a.  Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định.
b.  Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ
thuộc vào giá trị của biến x.
Xem lời giải tại:
14. Cho a, b, c, d là các số nguyên đôi một khác nhau thỏa mãn:
a
a + b
+
b
b + c
+
c
c + d
+
d
d + a
= 2
Chứng minh rằng abcd là một số chính phương.
Xem lời giải tại:
15. Cho (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 và a, b, c khác 0.
Chứng minh rằng : 
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
=
3
abc
.
Xem lời giải tại:
16. Chứng minh các đẳng thức sau :
a. 
1, 5a − 4
0, 5a2 − a + 2
−
2a − 14
0, 5a3 + 4
+
1
a + 2
.
a + 2
4
= 1
( )
( )
b. 
b2 − 49
b2 − 14b + 49
4
:
b + 7
b − 7
4
= 1
Xem lời giải tại:
17. Chứng minh các đẳng thức sau:
a. 
x
ax − 2a2
−
2
x2 + x − 2ax − 2a
. 1 +
3x + x2
3 + x
=
1
a
b. 
x − y
2y − x
−
x2 + y2 + y − 2
x2 − xy − 2y2
:
4x4 + 4x2y + y2 − 4
x2 + y + xy + x
:
1
2x2 + y + 2
=
x + 1
2y − x
c. 
1
2x − y
+
3y
y2 − 4x2
−
2
2x + y
:
4x2 + y2
4x2 − y2
+ 1 = −
1
4x
Xem lời giải tại:
18. Chứng minh rằng khi các biểu thức sau xác định thì nó không phụ thuộc vào
biến :
a.  A =
2ab
a2 − b2
+
a − b
2a + 2b
.
2a
a + b
+
b
b − a
b.  B =
y
x − y
−
x3 − xy2
x2 + y2
.
x
(x − y)2
−
y
x2 − y2
Xem lời giải tại:
19. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
a.  A =
y
3 − y
+
y2 + 3y
2y + 3
.
y + 3
y2 − 3y
−
y
y2 − 9
b.  B =
x
x2 − 36
−
x − 6
x2 + 6x
:
2x − 6
x2 + 6x
+
x
6 − x
Xem lời giải tại:
20. Chứng minh các đẳng thức sau :
a. 
2
x − 3
+
2x
x2 − 4x + 3
−
x
1 − x
=
x + 2
x − 3
 với x ≠ 1; x ≠ 3
b. 
x + 2
x2 + 2x + 1
+
x − 2
1 − x2
x
x3 + x2 − x − 1
= 2 với(x ≠ 0; x ≠ ± 1)
Xem lời giải tại:
21. Chứng minh các đẳng thức:
a.  x −
4xy
x + y
+ y :
x
x + y
−
y
y − x
−
2xy
x2 − y2
= x − y
b. 
2x + 2y − z
3
2
+
2y + 2z − x
3
2
+
2z + 2x − y
3
2
= x2 + y2 + z2
Xem lời giải tại:
22. Chứng minh biểu thức A =
3
2
−
x
x2 + x + 1
 luôn dương với mọi giá trị của x
Xem lời giải tại:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
23. Cho 
a
b + c
+
b
c + a
+
c
a + b
= 1. Chứng minh rằng: 
a2
b + c
+
b2
c + a
+
c2
a + b
= 0
Xem lời giải tại:
24. Cho a, b, c và x, y, z là các số khác 0, thỏa mãn điều kiện:
a + b + c = 0; x + y + z = 0;
x
a
+
y
b
+
z
c
= 0
Chứng minh rằng a2x + b2y + c2z = 0
Xem lời giải tại:
25. Cho abc = 2008. Chứng minh:
2008a
ab + 2008a + 2008
+
b
bc + b + 2008
+
c
ac + c + 1
= 1
Xem lời giải tại:
26. Cho 
1
a
+
1
b
+
1
c
=
1
a + b + c
. Chứng minh: 
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
=
1
a3 + b3 + c3
Xem lời giải tại:
27. Cho dãy số a1; a2; a3. . .  sao cho: 
a2 =
a1 − 1
a1 + 1
; a3 =
a2 − 1
a2 + 1
; . . . ; an =
an−1 − 1
an−1 + 1
a.  Chứng minh rằng: a1 = a5
b.  Xác định năm số đầu của dãy, biết a101 = 3
Xem lời giải tại:
28. Cho 
a
b − c
+
b
c − a
+
c
a − b
= 0. Chứng minh rằng: 
a
(b − c)2
+
b
(c − a)2
+
c
(a − b)2
= 0
Xem lời giải tại:
29. Cho a; b; c ≠ 0 và 
(ax + by + cz)2
a2 + b2 + c2
= x2 + y2 + z2
Chứng minh rằng: 
x
a
=
y
b
=
z
c
Xem lời giải tại:
30. Chứng minh rằng với n ∈ N∗ , n < 100 thì: 
n
(n + 1)!
+
n
(n + 2)!
+
n
(n + 3)!
+ . . . +
n
100!
<
1
n !
Xem lời giải tại:
31. Cho a, b, c ≠ 0 thỏa mãn 
1
a
+
1
b
+
1
c
=
1
a + b + c
Chứng minh rằng 
1
a2015
+
1
b2015
+
1
c2015
=
1
a2015 + b2015 + c2015
Xem lời giải tại:
32. Cho 
a
c
=
a − b
b − c
(a ≠ 0; c ≠ 0; a − b ≠ 0; b − c ≠ 0). 
Chứng minh rằng: 
1
a
+
1
a − b
=
1
b − c
−
1
c
Xem lời giải tại: