Đề giao lưu Olympic cấp huyện môn Toán lớp 8 - Năm học 2018-2019 (Có hướng dẫn chấm)

UBND HUYỆN KINH MÔN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ GIAO LƯU OLYMPIC CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2018 - 2019
MÔN TOÁN 8
Thời gian làm bài 150 phút
(Đề gồm 5 câu, 01 trang)
Câu 1. (2,0 điểm) 
 a) Rút gọn biểu thức: với .
b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
b) Chứng minh rằng tổng bình phương của bốn số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương.
Câu 3. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: 
b) Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc và a, b, c đôi một khác nhau. Hãy tính giá trị của biểu thức: B = 
Câu 4. (3,0 điểm) 
 Cho hình thang vuông ABCD (, ), AB = a (a>0). Gọi O là trung điểm của AB. Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho E nằm giữa A và D. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OE cắt cạnh BC tại F.
Chứng minh . Hãy tính tích AE.BF theo a. 
b) Gọi M là hình chiếu của O trên EF, H là hình chiếu của M trên AB. 
Chứng minh rằng AE = EM và BE đi qua trung điểm của MH.
Tìm vị trí của điểm E trên cạnh AD để diện tích tứ giác ABFE nhỏ nhất.
Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn 
 Chứng minh rằng 
-----------------------Hết ----------------------
(Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay)
Họ và tên học sinh:........................................................Số báo danh:..........................
 Chữ ký của giám thị 1:.....................................Chữ ký của giám thị 2:..............................
UBND HUYỆN KINH MÔN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ GIAO LƯU OLYMPIC CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2018 - 2019
MÔN TOÁN 8
(Hướng dẫn gồm 4 trang)
Câu 1
(2.0 đ)
a
Vậy với 
0.25
0.25
0.25
0.25
b
A = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
 = (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) + 15
0,25
Đặt x2 + 8x + 11 = t , 
ta có A = (t – 4)(t + 4) +15
 = t2 – 1 
 = (t – 1)(t + 1)
0,25
A = (x2 + 8x + 10) (x2 + 8x + 12)
0,25
= (x2 + 8x + 10) (x + 2)(x +6)
0,25
Câu 2
(2,0 đ)
a
Ta có: ĐKXĐ: x0, y 0
0,25
0,25
Vì x,y nguyên nên x – 2 ; y – 2 nguyên do đó ta có:
x – 2
1
5
-1
-5
y – 2
5
1
-5
-1
x
3
7
1
-3
y
7
3
-3
1
Thử lại
Chọn
Chọn
Chọn
Chọn
0,25
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là 
(x,y){(3;7); (7,3); (1;-3); (-3;1)}
0,25
b
Gọi bốn số nguyên liên tiếp là a-2, a-1, a, a+1.
Tổng bình phương của bốn số đó là:
0,25
Do đó M chia cho 4 dư 2
0,25
Ta có số chính phương chỉ có thể chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1.
Chứng minh: + Xét n = 2k 
 + Xét n=2k+1 
 Do đó n2 chia cho 4 dư 1.
0,25
Vì M chia cho 4 dư 2, mà số chính phương chỉ có thể chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1 nên M không thể là số chính phương.
0,25
Câu 3 (2,0đ)
a
0.25
0.25
 (1)
Vì
0.25
(1) 
Vậy x = 2018
0.25
b
a3 + b3 + c3 = 3abc
 a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
 (a + b)3 + c3 – 3ab(a +b) -3abc = 0
 (a + b +c) - 3ab(a +b + c) = 0
 (a + b +c)( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca ) =0
0.25
 (a + b + c)(2 a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca) =0
 (a + b + c) (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0
Mà a, b,c đôi một khác nhau nên a + b + c = 0
0.25
 a + b = -c (a + b)2 = c2 a2 + b2 - c2 = -2ab
Tương tự như trên ta có: b2 + c2 – a2 = -2bc và
 c2 + a2 – b2 = - 2ca
0.25
Thay vào biểu thức B ta được:
B = 
0.25
Câu 4 (3,0đ)
A
B
O
H
D
I
E
F
C
M
K
Vẽ hình
0,25đ
a
 Chứng minh: ( cùng phụ với góc BOF)
Chứng minh (g.g)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b
Ta có: 
Mà 
0,25đ
 Chứng minh: (c.g.c)
0,25đ
Chứng minh: (đpcm)
0,25đ
Gọi I là giao điểm của BM và AD.Gọi K là giao điểm MH và BE
Ta có OE là trung trực của AM
ÞOE ^ AM
Mặc khác OA = OM = OB Þ∆AMB vuông tại M
ÞOE // BM (vì cùng vuông góc AM) hay OE // BI
0,25đ
+) Xét ∆ABI có OE đi qua trung điểm của AB, song song với BI suy ra OE đi qua trung điểm của AI Þ IE = AE
+) MH // AI theo hệ quả định lý Ta-lét ta có:
Mà IE = AE Þ MK = HK ÞBE đi qua trung điểm của MH (đpcm) 
0,25đ
c
Tứ giác ABFE là hình thang vuông
Ta thấy AE, BF > 0, nên theo BĐT Cô-si ta có 
0,25đ
0.25đ
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy diện tích tứ giác ABFE nhỏ nhất là khi E thuộc cạnh AD và cách điểm A một đoạn bằng .
0.25đ
Cấu 5 (1đ)
 Theo bài ra ta có: 
Do 
Tương tự: ;
0,25
0,25
Áp dụng bất đẳng thức Cô si , dấu “ = ” xảy ra khi a = b
Ta có 
0,25
Vậy . Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 
0,25
 Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng vẫn được điểm tối đa.