Các bài tập môn Toán Lớp 5

u a = 3 thì ta có: x 2 + 1003 ≥ 7000. Suy ra vế phải : ≥ 7000 hay d ≥ 7. (*). Nhưng ta cũng thấy khi đó d x 2 + 3 = 13 (vì d < 10 nên không có d x 2 + 3 = 23) từ đó ta có d = 5 (**). Từ (*) và (**) ta thấy không thể có d thoả mãn bài toán.
 	Ví dụ 3. Có một số gồm hai chữ số mà hai lần chữ số hàng chục thì bằng 5 lần chữ số hàng đơn vị. Tìm số đó.
 Giải : Gọi số phải tìm là (a ≠ 0 ; a, b < 10).
Theo bài ra ta có : a x 2 = b x 5.
- Vì a x 2 là số chẵn nên b x 5 cũng phải là số chẵn ; mà 5 là số lẻ nên b phải là số chẵn.
- Vì giá trị lớn nhất của a là 9 nên a x 2 có giá trị lớn nhất là 9 x 2 = 18 ; do đó giá trị lớn nhất của b x 5 cũng chỉ là 18. Vì thế giá trị lớn nhất của b cũng chỉ là 3 (vì nếu b = 4 thì 4 x 5 = 20 > 18), mà b là số chẵn nên b = 2 và a x 2 = 2 x 5. 
Suy ra : a = 5. Số cần tìm là 52.
 Ví dụ 4. Tìm biết :
 x 3 + b = 
Giải : Theo bài ra ta có :
 x 2 + + b = (một số nhân một tổng). x 2 + b = - (tìm một số hạng của tổng).
 x 2 + b = (1)
- Vì a lấy giá trị lớn nhất là 9 thì x 2 = 9999 x 2 = 19998, số 19998 + b đạt giá trị lớn nhất cũng không bằng 30 000. Do đó b < 3.
- Vì x 2 là số chẵn ; cũng là số chẵn nên suy ra b phải là số chẵn. Vì b ≠ 0 nên b = 2.
Thay b = 2 vào (1) ta có : x 2 + 2 = 20000.
 x 2 = 20000 – 2 = 19998.
 = 19998 : 2 = 9999. Do đó a = 9.
Thử : 9999 x 3 + 2 = 29999 (đúng với đầu bài).
Vậy số cần tìm là : = 92.
 	 Ví dụ 5. Tìm số có ba chữ số, biết rằng số đó cộng với tổng các chữ số của nó thì bằng 555.
 Giải : Gọi số cần tìm là (a ≠ 0 ; a, b, c < 10).
Theo bài ra ta có : + a + b + c = 555.
Suy ra : + + c x 2 = 555.
- Vì 555 là số lẻ, c x 2 là số chẵn nên a + b phải là số lẻ.
 - Vì c + a + b + c < 9 x 4 = 36 nên nếu phép cộng có nhớ sang hàng chục thì nhớ nhiều nhất là 3 ; do đó phép cộng này không nhớ sang hàng trăm. 
Vậy a = 5. Khi đó để a + b là số lẻ thì b = 4 hoặc b = 2 hay = 54 hoặc = 52.
Nếu = 54 thì 505 + 44 + c x 2 = 555.
549 + c x 2 = 555 ; c = (555 – 549) : 2 = 3.
Vậy số cần tìm là : = 543.
Nếu = 52 thì 505 + 22 + c x 2 = 555.
527 + c x 2 = 555 ; c = (555 – 527) : 2 = 14.
Loại vì c > 10 là trái với điều kiện bài toán.
3. Phương pháp thử - chọn
 	Ví dụ 1. Tìm tất cả các số có ba chữ số khác nhau sao cho : a + b + c = a x b x c
 Giải : Giả sử a < b < c. Suy ra : a + b + c < c + c + c. Hay : a x b x c < c x 3
nên : a x b < 3 (cùng giảm đi c lần).
Vì vậy a x b = 1 hoặc a x b = 2.
Nếu a x b = 1 thì a = b = 1 (loại vì a, b, c khác nhau).
Nếu a x b = 2 thì a = 1, b = 2.
Khi đó ta có : 1 + 2 + c = 1 x 2 x c, suy ra c = 3. 
Vậy a = 1, b = 2, c = 3. Nhưng a, b, c bình đẳng với nhau nên các số phải tìm là :
123, 132, 213, 231, 312, 321.
 Ví dụ 2. Tìm tất cả các số có ba chữ số khác nhau sao cho:
 + + = 1
 Giải : Giả sử a < b < c, suy ra < < .
Do đó ta có : + + < + + .
Hay : 1 < x 3 nên suy ra a < 3. Mà a lớn hơn 1, vậy a = 2. Với a = 2 thì + + = 1. Suy ra : + = . Suy ra b và c phải lớn hơn 2.
Hơn nữa : = + < + = x 2. Suy ra b < 4. Vậy b = 3. Khi đó ta có : + = . Suy ra : c = 6. Nhưng a, b, c bình đẳng với nhau nên các số phải tìm là : 236, 263, 326, 362, 632, 623.
 Ví dụ 3. Tìm hai phân số đều có tử số là 1 sao cho tích của hai mẫu số gấp hai lần tổng của hai mẫu số đó.
 Giải : Gọi hai mẫu số phải tìm là a, b. Theo bài ra ta có : (a + b) x 2 = a x b (1).
Giả sử a ≤ b thì a + b ≤ b + b (cùng cộng b)
a + b ≤ b x 2
Do đó : (a + b) x 2 ≤ b x 2 x 2 (cùng nhân 2).
(a + b) x 2 ≤ b x 4 (2)
Từ (1) và (2) ta có : a x b ≤ b x 4
Vì b ≠ 0 nên a ≤ 4 (cùng chia cho b).
Thay mỗi giá trị của a ≤ 4 vào (1).
- Nếu a = 1 thì (1 + b) x 2 = 1 x b. 
Suy ra 2 + b x 2 = b (loại vì 2 + 2 x b > b)
- Nếu a = 2 thì (2 + b) x 2 = 2 x b.
Suy ra 2 + b = b (loại vì 2 + b > b).
- Nếu a = 3 thì (3 + b) x 2 = 3 x b
Suy ra 6 + 2 x b = 3 x b. Vậy b = 6. 
Thử : (3 + 6) x 2 = 3 x 6 (đúng với đầu bài).
- Nếu a = 4 thì (4 + b) x 2 = 4 x b.
Suy ra : 4 + b = 2 x b. Vậy b = 4.
Thử : (4 + 4) x 2 = 4 x 4 (đúng với đầu bài).
Vậy các cặp phân số phải tìm là :
 và ; và .
 Ví dụ 4. Tìm hai phân số đều có tử số là 1 sao cho tổng của hai phân số đó cộng với tích của chúng thì bằng .
 Giải : Gọi hai phân số phải tìm là và (giả sử a ≤ b). Theo bài ra ta có :
 + + x = (*)
Hay : + + = . Ta có : < .
nên a > 2. Giả sử a = b = 5 thì ta có :
 + + x = .
Vì < = nên < . Nếu lấy những giá trị a ≥ 5 (mà a ≤ b) thì giá trị của tổng + + bị giảm dần và đều bé hơn . 
Do đó 2 < a < 5. Thay mỗi giá trị của a vào (*) ta có : 
- Nếu a = 3 thì + + x = . 
Ta được b = 8.
- Nếu a = 4 thì + + x = .
Ta tìm được b = 5. Vậy các cặp phân số phải tìm là: và ; và .
 Ví dụ 5. Cho ba chữ số khác nhau và khác 0. Từ ba chữ số này lập tất cả các số gồm ba chữ số, trong mỗi số đó phải có đủ ba chữ số khác nhau đã cho. Biết rằng tổng các số vừa lập được thì bằng 2664, hiệu của số lớn nhất và số bé nhất thì bằng 198. Tìm ba chữ số đó.
 Giải : Gọi ba chữ số phải tìm là a, b, c khác nhau và khác 0. Theo bài ra, lập được sáu số là :
, , , , , .
Tổng của sáu số này là :
 + + + + + = 2664.
Ta thấy rằng mỗi chữ a, b, c đều xuất hiện hai lần ở hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị của sáu số trên, nên ta có thể viết như sau :
 + + + + + = 2664.
( + + ) x 2 = 2664.
Hay : + + = 2664 : 2 = 1332.
 Vì a, b, c đều khác 0 và ở hàng trăm có a + b + c ≤ 13 nên ở hàng đơn vị ta có a + b + c = 12.
Giả sử a > b > c thì theo đầu bài ta có :
 - = 198.
Vì c < a nên đây là phép trừ có nhớ sang hàng chục và hàng trăm. Do đó ở hàng trăm ta có : 
(a – 1) – c = 1, suy ra a – c = 2. 
Vì a + b + c = 12 và a = c + 2 nên có thể viết :
c + 2 + b + c = 12 hay c x 2 = 10 – b. Vì c x 2 và 10 là số chẵn nên b là số chẵn khác 0.
- Với b = 2 thì c = (10 – 2) : 2 = 4 (loại vì b < c).
- Với b = 4 thì c = (10 – 4) : 2 = 3. 
Khi đó a = 12 – 4 – 3 = 5. 
Thử : 543 + 534 + 435 + 453 + 354 + 345 = 2664 (đúng với yêu cầu bài toán).
Với b = 6 thì c = (10 – 6) : 2 = 2.
Khi đó a = 12 – 6 – 2 = 4 (loại vì a < b).
Với b = 8 thì c = (10 – 8) : 2 = 1.
Khi đó a = 12 – 8 – 1 = 3 (loại vì a < b).
Vậy các chữ số phải tìm là 5, 4, 3.
4. Phương pháp sử dụng tính chất chia hết
 Ví dụ 1. Tìm số biết rằng :
 = 
 Giải : Ta có : < 100 và chia hết cho 3. 
Do đó b = 2 ; 5 ; 8.
- Với b = 2 thì 27 : 3 = 9. Suy ra = 2 x 9 = 18.
Vậy = 128.
- Với b = 5 thì 57 : 3 = 19. Suy ra = 2 x 19 = 38. Vậy = 358.
- Với b = 8 thì 87 : 3 = 29. Suy ra = 2 x 29 = 58. Vậy = 588. Vậy có ba số thoả mãn điều kiện bài toán là = 128 ; 358 ; 588.
 	 Ví dụ 2. Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 3 lần tích các chữ số của nó.
 Giải : Gọi số phải tìm là (a ≠ 0 ; a, b < 10).
Theo bài ra ta có : = a x b x 3. Nhận xét : vì a ≠ 0 nên b ≠ 0. chia hết cho a, b và 3.
Vì chia hết cho a nên b chia hết cho a, do đó a < 5 để b là số có một chữ số.
Xét các trường hợp a = 1, a = 2, a = 3, a = 4.
*) Với a = 1 thì = 1 x b x 3 = b x 3. Vì b x 3 có ttận cùng là b (b ≠ 0) nên b = 5.
Thử : 1 x 5 x 3 = 15 (đúng với yêu cầu của bài).
*) Với a = 2 thì = 2 x b x 3 = b x 6. Vì b x 6 có tận cùng là b nên b = 2 ; 4 ; 6 ; 8. Nhưng b x 6 = nên b = 4 để 4 x 6 = 24.
Thử : 2 x 4 x 3 = 24 (đúng với yêu cầu của bài).
*) Với a = 3 thì = 3 x b x 3 = b x 9. Vì b x 9 có tận cùng là b nên b = 5.
Thử : 3 x 5 x 3 = 45 > 35 (loại).
*) Với a = 4 thì = 4 x b x 3 = b x 12. Nếu = b x 12 thì chia hết cho 12. Do đó b = 8, hay số phải tìm là 48. Khi đó ta có : b x 12 = 8 x 12 = 96. Vì 96 ≠ 48 nên loại trường hợp này.
Vậy các số phải tìm là 15 và 24.
 Ví dụ 3. Thay a, b trong số bởi chữ số thích hợp để số này đồng thời chia hết cho 2; 5 và 9.
 Giải: Số đồng thời chia hết cho 2 và 5 nên b = 0. Thay b = 0 vào số ta được . Số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó chia hết cho 9. Vậy (2 + 0 + 0 + 7 + a + 0) chia hết cho 9 hay 9 + a chia hết cho 9, suy ra a = 0 hoặc a = 9. 
Vậy ta tìm được 2 số thoả mãn bài toán là 200700; 200790.
 Ví dụ 4. Một số nhân với 9 thì được kết quả là . Hãy tìm số đó.
 Giải: Một số nhân với 9 thì được kết quả là nên số chia hết cho 9. Vì số chia hết cho 9 nên (1 + 8 + 0 + 6 + 4 + 8 + 0 + 7 + ?) chia hết cho 9, hay 34 + ? chia hết cho 9, suy ra ? = 2. Thay ? = 2 vào số ta được 180 648 072. Số cần tìm là:
 180 648 072 : 9 = 20072008.
 Ví dụ 5. Điền các chữ số thích hợp (các chữ cái khác nhau được thay bởi các chữ số khác nhau)
++ = 
 Giải: Ta có vế trái: ++ = 3 x . Như vậy vế trái là một số chia hết cho 3. Vế phải có: (T + T + T + 2 + 0 + 0 + 6) = 3 x T + 6 + 2 = 3 x (T + 2) + 2 không chia hết cho 3, suy ra không chia hết cho 3. Điều này chứng tỏ không thể tìm được các chữ số thoả mãn bài toán.
5. Phương pháp sử dụng chặn trên, chặn dưới
 	Ví dụ 1. Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu số đó chia cho chữ số hàng đơn vị của nó thì được thương là 6 và dư 5.
 Giải: Gọi số phải tìm là (a ≠ 0 ; a, b < 10). Theo bài ra ta có : = b x 6 + 5. Vì số dư bé hơn số chia nên 5 < b. Nếu lấy giá trị nhỏ nhất của b là 6 (trong trường hợp này) thì giá trị nhỏ nhất của sẽ là 6 x 6 + 5 = 41. Do đó a ≥ 4.
Nếu lấy giá trị lớn nhất của b là 9 thì giá trị lớn nhất của sẽ là 9 x 6 + 5 = 59. Do đó a ≤ 5.
Vì thế 4 ≤ a ≤ 5 nghĩa là giá trị nhỏ nhất của a là 4 và lớn nhất của a là 5.
- Nếu a = 4 thì = b x 6 + 5. Ta thấy b x 6 + 5 chỉ có giá trị từ 41 đến 49 nên b chỉ có thể lấy giá trị là 6 hoặc 7. Vì b x 6 là số chẵn nên b x 6 + 5 là số lẻ. Do đó b là số lẻ. Vậy ta chọn b = 7.
Thử : 47 : 7 = 6 (dư 5) (đúng với yêu cầu bài ra).
- Nếu a = 5 thì = b x 6 + 5. Ta thấy b x 6 + 5 chỉ có giá trị từ 51 đến 59 nên b chỉ có thể lấy giá trị là 8 hoặc 9.
Vì b x 6 + 5 là số lẻ nên ta chọn b = 9.
Thử : 59 : 9 = 6 (dư 5) (đúng với yêu cầu bài ra).
Vậy số phải tìm là 47 và 59.
 Ví dụ 2. Tìm các số tự nhiên a và b sao cho :
 + = 
 Giải: Vì + = mà < 1 nên < 1 (vì ≠ 0). Do đó : b < 3. Vì + = nên = - . Nếu b = 0 thì = . Không có giá trị tự nhiên nào của a để có = .
Nếu b = 1 thì = - . Ta tìm được a = 8.
Nếu b = 2 thì = - . Ta tìm được a = 24.
Vậy ta tìm được a = 8, b = 1 và a = 24, b = 2.
 	 Ví dụ 3. Cho số có hai chữ số. Nếu lấy số đó chia cho 6 thì được thương là tích của chữ số hàng chục nhân với chính nó. Tìm số đã cho.
 Giải: Gọi số phải tìm là (a ≠ 0 ; a, b < 10). Theo bài ra ta có : = a x a x 6. 
Nhận xét : a > 1 vì nếu a = 1 thì a x a x 6 = 1 x 1 x 6 = 6 chỉ là số có một chữ số. Số lớn nhất có hai chữ số chia hết cho 6 là 96. Do đó a x a x 6 có giá trị lớn nhất là 96. Vì thế a x a có giá trị lớn nhất là 96 : 6 = 16. Vậy a có giá trị lớn nhất là 4 (vì 4 x 4 = 16) hay a ≤ 4. Vậy 1 < a ≤ 4. 
- Nếu a = 2 thì a x a x 6 = 2 x 2 x 6 = 24 = . Đúng với điều kiện bài toán vì 24 : 6 = 4 ; 4 = 2 x 2.
- Nếu a = 3 thì a x a x 6 = 3 x 3 x 6 = 54. Trái với điều kiện bài toán vì ≠ 54.
- Nếu a = 4 thì a x a x 6 = 4 x 4 x 6 = 96. Trái với điều kiện bài toán vì ≠ 96.
Vậy số phải tìm là 24.
 	 Ví dụ 4. Cho một số tự nhiên. Nếu viết thêm một số có hai chữ số (khác 0) vào bên phải số đã cho thì được số mới lớn hơn số cũ 1994 đơn vị. Hãy tìm số đã cho và số viết thêm đó.
 Giải: Gọi số đã cho là N và số viết thêm là thì số mới sẽ là . 
Theo bài ra ta có : - N = 1994.
N x 100 + - N = 1994. N x 99 + = 1994. 
*) Nếu đạt giá trị lớn nhất là 99 thì N sẽ đạt giá trị nhỏ nhất được xác định như sau : N x 99 + 99 = 1994. N x 99 = 1895. N = 1895 : 99 = 19,14. Vì N là số tự nhiên nên giá trị nhỏ nhất của N được ghi là N > 19.
*) Nếu đạt giá trị nhỏ nhất là 10 thì N sẽ đạt giá trị lớn nhất được xác định như sau : N x 99 + 10 = 1994. N x 99 = 1984. N = 1984 : 99 = 20,24. Vì N là số tự nhiên nên giá trị lớn nhất của N được ghi là N ≤ 20. Vậy 19 < N ≤ 20. Ta thử với N = 20.
 - N = - 20 = 1994 ; = 1994 + 20 = 2014.
Vậy số phải tìm là 20 và số viết thêm là 14.
 Ví dụ 5. Toán học và Tuổi trẻ, Toán Tuổi thơ đều sinh vào tháng 10. Biết rằng năm 1994 thì tuổi của Toán học và Tuổi trẻ gấp rưỡi tổng các chữ số của năm sinh. Bạn có thể suy luận để biết Toán học và tuổi trẻ ra đời vào năm nào không ?
(Những Đề toán hay của Toán Tuổi thơ 1)
 Giải: Gọi năm sinh của Toán học và Tuổi trẻ là . Tuổi của Toán học và Tuổi trẻ năm 1994 là:
1994 - = x (a + b + c + d) (*)
Vì a + b + c + d ≤ 9 + 9 + 9 + 9 = 36 nên :
 x (a + b + c + d) ≤ x 36 = 54.
Từ (*) ta thấy 1994 - ≤ 54 
nên 1940 ≤ ≤ 1994. Suy ra = 19 và 40 ≤ ≤ 94. Thay = 19 vào (*) được :
94 - = x ( 1 + 9 + c + d)
hay : 2 x (94 - ) = 3 x (10 + c + d).
hay : 188 – 2 x (c x 10 + d) = 30 + c x 3 + d x 3.
hay : c x 23 + d x 5 = 158.
Vì d x 5 ≤ 45 nên suy ra 113 ≤ c x 23 ≤ 158. 
Do đó 5 ≤ c ≤ 6.
- Nếu c = 5 thì d x 5 = 159 – 115 = 43, không tìm được số d nguyên.
- Nếu c = 6 thì d x 5 = 158 – 138 = 20 nên d = 4.
Thử lại : 1994 – 1964 = x (1 + 9 + 6 + 4).
Vậy báo Toán học và Tuổi trẻ sinh năm 1964.
6. Phương pháp sử dụng
kỹ thuật thực hiện phép tính
 Ví dụ 1. Tìm số có bốn chữ số, biết rằng nếu số đó nhân với 9 thì được một số có bốn chữ số nhưng được viết theo thứ tự ngược lại với số phải tìm.
 Giải: Gọi số phải tìm là (a ≠ 0 ; a, b, c, d < 10), số viết theo thứ tự ngược lại là . Theo bài ra ta có : 
x 9
Vì tích là số có 4 chữ số ()
nên a = 1 và d = 9. 
Khi đó ta có :
x 9
Khi nhân chữ số hàng trăm của số bị nhân (b) với 9 thì phép nhân này không nhớ sang hàng nghìn (vì nếu có nhớ sang hàng nghìn thì tích sẽ là số có 5 chữ số). Do đó b = 0 hoặc b = 1. 
Nếu b = 0 thì ta có
x 9
Khi đó 9 x 9 = 81, viết 1 nhớ 8.
c x 9 + 8 = 0 hay c x 9 có tận cùng là 2. Do đó c = 8 để 8 x 9 = 72. Thử : 1089 x 9 = 9801 (đúng với đầu bài). 
Nếu b = 1 thì ta có :
x 9
Khi đó 9 x 9 = 81, viết 1 nhớ 8.
c x 9 + 8 = 1 hay c x 9 phải có tận cùng là 3. Do đó c = 7 để 7 x 9 = 63.
Thử : 1179 x 9 = 10611, trái với bài ra vì tích có 5 chữ số.
Vậy số cần tìm là 1089.
 Ví dụ 2. Tìm một chữ số để thay vào vị trí các dấu chấm hỏi (?) để có kết quả đúng :
?? + ?6? + 6? + ?66 = 16??
(Những Đề toán hay của Toán Tuổi thơ 1)
 Giải: Vì 16?? = 1600 + ?? nên ta có :
?6? + 6? + ?66 = 1600 (cùng trừ đi ??)
 ? 6 ?
 + 6 ?
 ? 6 6
 1 6 0 0
Đặt tính rồi tính : Tổng các chữ số hàng chục của 3 số là : 6 + 6 + 6 = 18, nhưng chữ số hàng chục của tổng là 0 nên số nhớ ở hàng đơn vị sang hàng chục phải là 2.
Do đó ở hàng đơn vị có : ? + ?+ 6 = 20 nên ? + ? = 14 hay ? = 7.
Thử lại : 77 + 767 + 67 + 766 = 1677 (đúng).
 Ví dụ 3. Bạn An đã đưa ra công thức sau đây :
t + TH + THâ + thân = 4321
trong đó mỗi chữ số khác nhau là một chữ số khác nhau. Em hãy tìm xem các chữ T, H, Â, N là những chữ số nào ?
(Đề thi học sinh giỏi Quốc gia cấp Tiểu học 1991 - 1992)
 Giải: Ta có phép tính :
 T
 T H
 T H Â
 T H Â N
 4 3 2 1
- Vì phép cộng ở cột trăm chỉ có thể nhớ 1 hoặc không nhớ nên T chỉ có thể là 3 hoặc 4. 
- Sau T không thể là 4 vì lúc 
đó tổng sẽ lớn hơn 4400. Vậy T = 3. 
Vì 4321 – 3333 = 988 nên ta có :
 H
 H Â
 H Â N
 9 8 8
- Vì phép cộng ở cột chục chỉ có thể nhớ 1 hoặc không nhớ nên H chỉ có thể là 8 hoặc 9.
- Song H không thể là 9 vì lúc đó tổng sẽ lớn hơn 990. Vậy H = 8. 
- Vì 988 – 888 = 100 nên ta có :
 Â
 Â N
 1 0 0
Từ đây suy ra  = 9 và do đó N = 1. Ta được số 3891.
Thử : 3 + 38 + 389 + 3891 = 4321.
Vậy đáp số là : T = 3 ; H = 8 ; Â = 9 ; N = 1.
 Ví dụ 4. Tìm a, b, c, d biết : 
 - = 17,865
 Giải: Theo bài ra ta có : 
 ab,cd0
 a,bcd
 17,865
- Xét hàng phần nghìn :
d = 5 (vì 10 – 5 = 5)
- Xét hàng phần trăm :
c = 8 (vì 15 – 1 – 8 = 6)
- Xét hàng phần mười : 
b = 9 (vì 18 – 1 – 9 = 8)
- Xét hàng đơn vị : a = 1 (vì 9 – 1 – 1 = 7).
Vậy a = 1 ; b = 9 ; c = 8 ; d = 5.
Thử lại : 19,85 n- 1,985 = 17,865 (đúng).
 	Ví dụ 5. Cho 4 chữ số khác nhau : ta lập ra số lớn nhất và số nhỏ nhất, mỗi số đều có 4 chữ số lấy trong 4 chữ số đã cho. Biết rằng tổng hai số này là 11220, hãy tìm tổng các chữ số đã cho.
(Đề thi học sinh giỏi Quốc gia cấp Tiểu học 1992 - 1993)
 Giải: Giả sử bốn chữ số đó là a, b, c, d trong đó a 0). Số có 4 chữ số lớn nhất là . Đặt phép tính ta có :
 abcd
 dcba
 11220
- Xét hàng đơn vị : Vì không thể có d + a = 0 nên phải có : d + a = 10, viết 0 nhớ 1.
- Xét hàng chục : Vì 0 < a < b < c nên không thể có c + b nhớ 1 bằng 2, mà phải có c + b nhớ 1 bằng 12, viết 2 nhớ 1.
Suy ra : c + b = 11. Kết hợp với d + a = 10 ta có :
 a + b + c + d = 10 + 11 = 21.
Vậy tổng các chữ số đã cho là 21.
7. Phương pháp phối hợp nhiều cách giải
 	 Ví dụ 1. Tìm số có 5 chữ số . Biết rằng nếu viết thêm chữ số 2 vào tận cùng bên phải thì được số gấp 3 lần số được viết thêm chữ số 2 vào tận cùng bên trái.
 Giải: Gọi số phải tìm là (a ≠ 0 ; a, b, c, d, e < 10). Khi viết thêm chữ số 2 theo bài ra ta có :
 = . Đặt phép tính ta có :
 2abcde
 x 3
 abcde2
- Xét hàng đơn vị của tích ta có : 3 x e tận cùng là 2. Theo bảng nhân 3 ta có e = 4.
Thay vào ta có phép tính :
 2abc14
 x 3
 abcd42
- Xét hàng chục của tích ta có : 3 x d + 1 có tận cùng là 4. Suy ra 3 x d có tận cùng là 3. Vậy d = 1. Thay vào ta có :
 2abc14
 x 3
 abc142
- Tiếp tục xét các hàng trăm, nghìn ... của tích ; lập luận tương tự ta có số phải tìm là :
 = 85714.
Thử lại : 285714 x 3 = 857142 (đúng).
 	 Ví dụ 2. Tìm số gồm ba chữ số có hàng trăm là 1 và số đó bằng 17 lần tổng các chữ số của nó.
 Giải: Gọi số phải tìm là (a, b < 10).
Theo bài ra ta có :
(1 + a + b) x 17 = 
17+ a x 17 + b x 17 = (một tổng nhân một số)
a x 17+ b x 17 = - 17(tìm 1 số hạng của tổng)
a x 17 + b x 17 = 100 + a x 10 + b – 17
a x 7 + b x 16 = 83.
Vì tổng là số lẻ (83), b x 16 là số chẵn nên a x 7 phải là số lẻ, do đó a phải là số lẻ. Xét các trường hợp của a, ta có :
*) Nếu a = 1 thì b x 16 = 83 – 1 x 7 = 76.
(b = 76 : 16 đây là phép chia có dư nên loại)
*) Nếu a = 3 thì b x 16 = 83 – 3 x 7 = 62.
(b = 62 : 16 đây là phép chia có dư nên loại)
*) Nếu a = 5 thì b x 16 = 83 – 5 x 7 = 48.
b = 48 : 16 = 3.
Thử : (1 + 5 + 3) x 17 = 153. Đúng với yêu cầu.
*) Nếu a = 7 thì b x 16 = 83 – 7 x 7 = 34.
(b = 34 : 16 đây là phép chia có dư nên loại)
*) Nếu a = 9 thì b x 16 = 83 – 9 x 7 = 20.
(b = 20 : 16 đây là phép chia có dư nên loại)
Vậy số phải tìm là 153.
 	 Ví dụ 3. Khi thực hiện phép chiacho thì được thương đúng là số tự nhiên. Tìm số bị chia, số chia và thương.
 Giải: Thương của phép chia cho có thể là số có một chữ số, có thể là số có hai chữ số.
a) Trường hợp thương có hai chữ số :
Gọi thương đó là . Theo bài ra ta có :
: = hay x = . Vì = b x 111 = b x 3 x 37 nên x = b x 3 x 37.
- Nếu = 37 thì a = 3 và b = 7 ; khi đó = b x 3 = 7 x 3 = 21.
Thử : x = 37 x 21 = 777 = (đúng).
- Nếu = 37 thì = b x 3. Vì b ≠ 0 nên b = 5 để b x 3 có tận cùng là b. Khi đó = 5 x 3 = 15.
Thử : x = 15 x 37 = 555 = (đúng).
- Nếu b là số chẵn, giả sử b = n x 2 vì b < 10 nên n < 5. Khi đó x = (n x 2) x 3 x 37 = n x 3 x 74.
- Nếu = 74 thì a = 7 và b = 4 ; khi đó = n x 3. Vì ≥ 10 và n < 5 nên lấy n = 4 thì = 4 x 3 = 12.
Thử : x = 74 x 12 = 888 ≠ (vì = 444) nên không phù hợp với điều kiện bài toán.
- Nếu = 74 thì = n x 3. Vì ≥ 10 và n < 5 nên lấy n = 4 thì b = 4 x 2 = 8 ; mặt khác = n x 3 = 4 x 3 = 12 thì b = 2 nên không phù hợp với điều kiện bài toán.
b) Trường hợp thương có một chữ số :
Gọi thương là k. Theo đầu bài ta có :
: = k (2 ≤ k ≤ 9) hay :
x k = = b x 3 x 37.
- Nếu = 37 thì b = 7 ; khi đó k = b x 3 = 7 x 3 = 21 (loại). 
- Nếu b chẵn, giả sử b = m x 2 vì b < 10 nên n < 5.
Khi đó x k = b x 3 x 37 = (m x 2) x 3 x 37 = m x 3 x 74.
- Nếu = 74 thì k = m x 3. Vì k < 10 và m < 5 nên m = 1 ; 2 ; 3.
+ Với m = 1 thì k = 3. 
Khi đó x k = 74 x 3 = 222 (loại vì b = 4).
+ Với m = 2 thì k = 6.
Khi đó x k = 74 x 6 = 444.
Thử : x k = 74 x 6 = 444 = (đúng).
+ Với m = 3 thì k = 9.
Khi đó x k = 74 x 9 = 666 (loại vì b = 4).
c) Kết luận :
Số bị chia
444
555
777
Số chia
74
15
37
Thương
6
37
21
 Ví dụ 4. Tìm số có năm chữ số biết rằng :
 a > b + c + d + e
 b > c + d + e
 c > d + e
 d > e
 Giải: Số phải tìm là với các chữ số đều là số tự nhiên có 1 chữ số. 
Theo điều kiện của đầu bài :
 a > b + c + d + e (1)
 b > c + d + e (2)
 c > d + e (3)
 d > e (4)
- Từ (4) ta có e = 0. Vì nếu e