Bồi dưỡng năng lực tự học về phân thức đại số

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
CÁC PHÉP TÍNH
PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
1. Cho hai biểu thức : P =
4x2 + 4x + 1
(x + 3)(4 − x)
và Q = x4 − x +
x − 3
x3 + 1
.
(x3 − 2x2 + 2x − 1)(x + 1)
x9 + x7 − 3x2 − 3
+ 1 −
2(x + 6)
x2 + 1
a.  Tìm điều kiện của x để giá trị của các biểu thức P và Q cùng được xác định.
b.  Tính P. Q.
Xem lời giải tại:
2. Cho x, y, z ≠ − 1. Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào
giá trị của biến:
A =
xy + 2x + 1
xy + x + y + 1
+
yz + 2y + 1
yz + y + z + 1
+
zx + 2z + 1
zx + z + x + 1
.
Xem lời giải tại:
3. Chứng minh rằng : 
1
n(n + 1)
=
1
n
−
1
n + 1
.
Áp dụng tính chất trên, chứng minh rằng giá trị biểu thức A dưới đây nhỏ hơn 1
với mọi số nguyên dương n :
A =
1
1.2
+
1
2.3
+
1
3.4
+ . . . +
1
n(n + 1)
Xem lời giải tại:
4. Thực hiện phép tính:
( )
1
1 − x
+
1
1 + x
+
2
1 + x2
+
4
1 + x4
+
8
1 + x8
+
16
1 + x16
Xem lời giải tại:
5. Tìm các hằng số a và b sao cho phân thức 
x − 6
x2 − 2x
 viết được thành : 
a
x
−
b
x − 2
Xem lời giải tại:
6. Thực hiện phép tính:
A =
1
(x − y)(z2 + yz − x2 − xy)
−
1
(y − z)(x2 + xz − y2 + yz)
+
1
(z − x)(y2 + xy − z2 − xz)
Xem lời giải tại:
7. Chứng minh rằng nếu (a2 − bc)(b − abc) = (b2 − ac)(a − abc) và các số 
a, b, c, a − b khác 0 thì 
1
a
+
1
b
+
1
c
= a + b + c.
Xem lời giải tại:
8. Chứng minh rằng nếu: 
1
x
+
1
y
+
1
z
=
1
x + y + z
 thì:
1
x1205
+
1
y1205
+
1
z1205
=
1
x1205 + y1205 + z1205
.
Xem lời giải tại:
9. Chứng minh rằng nếu xy + yz + zx = 1 thì:
x1 − x2
+
y
1 − y2
+
z
1 − z2
=
4xyz
(1 − x2)(1 − y2)(1 − z2)
Xem lời giải tại:
10. Cho abc = 1, tính giá trị biểu thức: P =
a
ab + a + 1
+
b
bc + b + 1
+
c
ca + c + 1
.
Xem lời giải tại:
PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
11. Rút gọn các biểu thức sau:
a. 
x2 − 1
x + 10
.
x
x + 2
+
x2 − 1
x + 10
.
1 − x
x + 2
b. 
x2 + y2
x + y
.
(x − y)2
x2
−
y2
x + y
.
(x − y)2
x2
Xem lời giải tại:
12. Tìm x biết
a. 
a2 − 2ab
a2b
. x =
a2b − 4b3
3ab2
b. 
c + d
c − d
. x =
c2 + cd
2c2 − 2d2
c. 
a − b
a3 + b3
. x =
a2 − 2ab + b2
a2 − ab + b2
Xem lời giải tại:
13. Thực hiện phép tính
a. 
3 − 3x
(1 + x)2
:
6x2 − 6
x + 1
b. 
(a + b)2
ab − b2
: −
ab + b2
(a − b)2
c. 
a4 − b4
a3 − b3
:
a2 + b2
a2 − b2
d. 
x3 + 8
x2 − 2x + 1
:
x2 + 3x + 2
1 − x2
Xem lời giải tại:
14. Thực hiện các phép tính
a. 
a2 − b2
a2
.
a4
(a + b)2
b. 
3x − 3y
2x + 2y
.
8x + 8y
15x − 15y
c. 
ax2 − ay2
x2 + 2xy + y2
.
6x3 + 6y3
x2 − 2xy + y2
d. 
2x2 − 4xy + 2y2
5x − 5y
.
15x2 − 15y2
4x3 + 4y3
Xem lời giải tại:
15. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức
a. 
x2 + y2
x2 − y2
− 1 .
x − y
2y
 với x = 14 và y = − 15
b. 
x2
y
−
y2
x
.
x + y
x2 + xy + y2
+
1
x − y
 với x = 15 và y = 5
Xem lời giải tại:
[ ]
( )
( ) ( )
16. Cho A =
a4 − a2 + 2a + 2
a4 + a3 + a + 1
. Rút gọn rồi so sánh A và 0
Xem lời giải tại:
17. Cho P = x6 + 27 và Q = x4 − 3x3 + 6x2 − 9x + 9
Tìm y =
P
Q
, rồi tìm x để y =
P
Q
 đạt giá trị nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
18. Tính giá trị của biểu thức :  x2 − y2 − z2 + 2yz :
x + y − z
x + y + z
 với x = 8, 6 ; y = 2
và z = 1, 4
Xem lời giải tại:
19. Rút gọn các phân thức sau:
a. 
a2. b2
a2 − 9b2
.
a + 3b
2ab
b. 
3a2
2b2c2
:
6b2
7c6
:
9ab
14c2
c. 
216x6
343y3
:
18x8
49y4
.
7x3
4y2
Xem lời giải tại:
20. Thực hiện hợp lí phép tính sau:
a.  A =
x2 − 1
x
.
3x + 2
x + 1
−
2x + 1
x + 1
.
x2 − 1
x
( )
b.  B =
x7 + x5 + 1
x3 − 1
.
x − 1
x + 2
.
x2 + x + 1
x7 + x5 + 1
c.  C =
x − y
y − 1
:
x − y
x − 1
.
x − 1
y − 1
Xem lời giải tại:
BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC HỮU TỶ
BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC HỮU TỶ
21. Cho phân thức đại số : 
x2 − 1
x2 + 2x + 1
.
a.  Tìm các giá trị của x để phân thức xác định.
b.  Tìm các giá trị của x để phân thức trên bằng 0.
Xem lời giải tại:
22. Cho biểu thức  −
−2x + 10
x
+
5x + 50
x2 + 5x
+
x2
5x + 25
:
3x + 15
7
.
a.  Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định.
b.  Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ
thuộc vào giá trị của biến x.
Xem lời giải tại:
23. Cho biểu thức:
A =
x + 2
x2 + 2x + 1
−
x − 2
x2 − 1
:
2x2 + x
x3 + x2 − x − 1
.
a.  Rút gọn biểu thức A và tìm điều kiện của x để giá trị của A được xác định.
b.  Tính giá trị của biểu thức A tại x = − 3; x =
1
4
; x = −
1
2
.
c.  Tìm giá trị của x để giá trị của A bằng 3.
d.  Tìm giá của x để giá trị của A bằng 
2
3
.
Xem lời giải tại:
24. Cho a, b, c ≠ 0 thỏa mãn a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức:
( )
( )
A =
a2
a2 − b2 − c2
+
b2
b2 − c2 − a2
+
c2
c2 − a2 − b2
.
Xem lời giải tại:
25. Rút gọn biểu thức: A =
a2(c − b)
bc
+
b2(a − c)
ac
+
c2(b − a)
ab
a(c − b)
bc
+
b(a − c)
ac
+
c(b − a)
ab
.
Xem lời giải tại:
26. Cho a3 + b3 + c3 = 3abc và a + b + c ≠ 0. Tính giá trị của các biểu thức 
N =
a2 + b2 + c2
(a + b + c)2
Xem lời giải tại:
27. Cho a, b, c khác 0 và đôi một khác nhau, thỏa mãn điều kiện : 
a3 + b3 + c3 = 3abc.
Tính 
b − c
a
+
c − a
b
+
a − b
c
a
b − c
+
b
c − a
+
c
a − b
Xem lời giải tại:
28. Cho a, b, c, d là các số nguyên đôi một khác nhau thỏa mãn:
a
a + b
+
b
b + c
+
c
c + d
+
d
d + a
= 2
Chứng minh rằng abcd là một số chính phương.
( )( )
Xem lời giải tại:
29. Cho (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 và a, b, c khác 0.
Chứng minh rằng : 
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
=
3
abc
.
Xem lời giải tại:
BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
30. Cho phân thức A =
x3 + 1
x
.
1
x + 1
+
x − 1
x2 − x + 1
a.  Rút gọn
b.  Tính A khi x = 3
c.  Tính x khi A = 6
Xem lời giải tại:
31. Tính giá trị các biểu thức sau
a.  A =
x2 + y2 − (1 + 2xy)
x2 − y2 + 1 + 2x
 với x = 99 và y = 50
b.  B =
x2 − xy + y2
x − y
−
x2 + xy + y2
x + y
y − x +
x2
x + y
 với x = 999 và y = 1000
Xem lời giải tại:
32. Tính giá trị các biểu thức sau :
a.  P =
5a − b
3a + 7
−
3b − 2a
2b − 7
 biết a ≠ −
7
3
; b ≠
7
2
; 2a − b = 7
( )
b.  Q =
16x2 − 40xy
8x2 − 24xy
 biết x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ 3y và 
x
y
=
10
3
Xem lời giải tại:
33. Chứng minh các đẳng thức sau :
a. 
2
x − 3
+
2x
x2 − 4x + 3
−
x
1 − x
=
x + 2
x − 3
 với x ≠ 1; x ≠ 3
b. 
x + 2
x2 + 2x + 1
+
x − 2
1 − x2
x
x3 + x2 − x − 1
= 2 với(x ≠ 0; x ≠ ± 1)
Xem lời giải tại:
34. Cho B =
2 + a
2 − a
−
4a2
a2 − 4
−
2 − a
2 + a
.
a2 − 2a
2a2 − a
a.  Rút gọn B
b.  Tính B biết  | a– 5 | = 3
c.  Tìm các giá trị nguyên của a để B có giá trị nguyên.
Xem lời giải tại:
35. Cho biểu thức: Q = 1 +
x + 1
x3 + 1
−
1
x − x2 − 1
−
2
x + 1
:
x3 − 2x2
x3 − x2 + x
a.  Rút gọn Q.
b.  Tính giá trị của Q biết  x −
3
4
=
5
4
c.  Tìm giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên.
Xem lời giải tại:
( )
( )
| |
36. Cho biểu thức: P =
x − 2
x2 − 1
−
x + 2
x2 + 2x + 1
.
1 − x2
2
2
a.  Rút gọn P
b.  Tìm giá trị của x để 
P − 4
5
= x
Xem lời giải tại:
37. Cho biểu thức: N =
x + 2
x2 + x + 1
−
2
x − 1
−
2x2 + 4
1 − x3
a.  Rút gọn N
b.  So sánh N và 
1
3
Xem lời giải tại:
38. Cho biểu thức: N =
2x − 10
x2 − 7x + 10
−
2x
x2 − 4
+
1
2 − x
a.  Tìm giá trị của x để N có giá trị xác định.
b.  Rút gọn N
c.  Tìm giá trị của x để N nguyên.
Xem lời giải tại:
39. Cho biểu thức P =
x2 + x
x2 − 2x + 1
:
x + 1
x
−
1
1 − x
+
2 − x2
x2 − x
a.  Rút gọn P
b.  Tìm x để P < 1
c.  Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 1
Xem lời giải tại:
( ) ( )
( )
40. Chứng minh biểu thức A =
3
2
−
x
x2 + x + 1
 luôn dương với mọi giá trị của x
Xem lời giải tại:
41. Cho biểu thức: P =
x − 1
x + 3
+
2
x − 3
+
x2 + 3
9 − x2
:
2x − 1
2x + 1
− 1
a.  Rút gọn và tìm điều kiện xác định P
b.  Tính giá trị của P biết |x + 1| =
1
2
c.  Tìm x để P =
x
2
d.  Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
Xem lời giải tại:
42. Cho biểu thức : Q =
1
x + 1
+
3(2x + 1)
x3 + 1
−
2
x2 + 1 − x
: (x + 2)
a.  Rút gọn Q.
b.  Tính giá trị của Q biết  x +
5
3
=
1
3
c.  Tìm x để Q =
1
3
d.  Tìm giá trị lớn nhất của Q.
Xem lời giải tại:
43. Cho biểu thức : A =
3 + x
3 − x
−
3 − x
x + 3
+
4x2
x2 − 9
. 2 + x +
x2 + x − 1
2 − x
a.  Rút gọn
( ) ( )
( )
| |
( ) ( )
b.  Tính giá trị của biểu thức A biết |2x − 1| = 3
c.  Tìm x ∈ Z để A ∈ Z
Xem lời giải tại: