Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Tỷ lệ thức dãy tỷ số bằng nhau

 PHÒNG GIÁO DỤC & ĐT HỘI AN
 TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM
 TỔ TOÁN LÝ 
 Chuyên đề 
 TỶ LỆ THỨC
 DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU
 KIẾN THỨC CẦN NHỚ : a/ Định nghĩa : TLT là đẳng thức của 2 tỷ số .
 b/ Tính chất TLT : 
 1/ Tích các trung tỷ bằng tích các ngoại tỷ .
 2/ Trong một TLT ta có thể hoán đổi các trung tỷ , Hoán đổi các ngoại tỷ
 Hoặc hoán đổi cả trung tỷ và ngoại tỷ .
 c/ Tính chất dãy tỷ số bằng nhau : Từ 
 Tương tự : 
 Mở rộng: 
 d/ Trong các bài toán chia một số thành các phần tỷ lệ thuận, hoặc tỷ lệ nghịch
 với các số cho trước ta chú ý rằng:
 * x,y,z tỷ lệ thuận với a,b,c x : y : z = a : b : c 
 * x,y,z tỷ lệ nghịch với m,n,p x : y : z = 
 B. LUYÊN TẬP VÀ NÂNG CAO :
 BÀI 1 : Tìm x trong các TLT sau : 
 a/ ...=> x = 0,02 
 b/ ...=> x = 37 
 c/ ...=> x = 
BÀI 2: Hãy lập tất cả TLT có từ 4 trong 5 số sau : 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; 243 ?
 HD : Từ 4 trong 5 số trên có thể lập được 3 đẳng thức :
 3 . 243 = 9 . 81 => 4 TLT :............
 9 . 243 = 27 . 81 => 4 TLT .............
 3 . 81 = 9 . 27 => 4 TLT ............. Vậy có tất cả 12 TLT.
BÀI 3 : Tính giá trị các tỷ số . Biết 
 HD :
 Ta có :...=> 
BÀI 4 : Tìm x,y,z . Biết và x.y.z = 576
 HD : 
 Ta có : => k = 2
 => 
BÀI 5 : Tim x ,y . Biết 
 HD: Ta có : 
 Nhân mỗi tỷ số với ta được 
BÀI 6 : Tìm x,y z . Biết 
a/ và 2x - y + 3z = 45 ...=> x=9;y=45 ;z=24
b/ x + y - z = - 35
 HD: Để quy về tỷ số của y ta nhận thấy BCNN(9;5)=45 nên và
 Do đó ta được : ....=>x =100;y=225;z= 360
c/ 5x = 6y ; 5y = 6z và x + 2y – 3 z = 42
 HD: Từ 5x = 6y và 5y = 6 z => và 
 Tương tự câu b : BCNN(5;6) =30 =>... => x = 72, y=60, z=50 
d/ 3x = 5y = 10z và x – 2y =Z = 15
 HD : Để lập được các tỷ số ta chia mỗi tỷ số cho BCNN(3,5,10)=30 rồi rút gọn:
 3x = 5y = 10z = ......=> x = 150,y = 90 z = 45 
e/ và x + y + z = 98 
 HD: Tương tự câu d ta chia mỗi tỷ số cho BCNN(2,3,4)=12 rồi rút gọn : 
 .........=> x =35 ; y =32 ; z = 30
f/ ....=> x = 60 ; y = 30 và z = 75
BÀI 7 a/ Tìm x,y,z. Biết và x + z = y
 HD: Ta có : 
 = .......=> x = 11 ; y = 22 ; z = 11
 b/ và x + y + z = 18
 HD: Ta có 
 => x = 4 ;y = 6 ;z = 8 
BAÌ 8 : Tìm x,y . Biết :
 a/ và x
 HD: 
 Do đó : 
 Nhân mỗi tỷ số với y ta được 
 Vậy ta có : ( 2 ; 1) và ( -2 ; -1 ) 
 b/ 
 HD: Ta có : x = 2 & y = 3
BÀI 9 : Ba lớp chia nhau dự định chia nhau một số kẹo theo tỷ lệ 5:6:7 . Nhưng Cô giáo lại cho chia theo tỷ lệ 4:5:6 nên có một lớp được nhận hơn dự định 4
túi kẹo Tính tổng số túi kẹo ?
HD : Gọi x là là tổng số túi kẹo ( x thuộc N )
 Số túi kẹo mỗi lớp dự định chia là a ; b ; c ta có :
 - Số túi kẹo mỗi lớp chia theo cô giáo là m ; n ; p ta có:
 - Vì Lớp thứ ba nhận nhièu hơn lúc đầu và
 phân số chỉ 4 túi kẹo là : 
 => Tổng số túi kẹo là : 4. 90 = 360 túi
BÀI 10 : Tìm ba phân số có tổng bằng 1 . Biết các tử số của chúng tỷ lệ với
4 : 3 : 5 và các mẫu tỷ lệ với 1 : 2 : 4 .
 HD : Gọi ba phân số cần tìm là ( b,d,f =/= 0 . Ta có :
 Do đó : 
 Vậy: 
BÀI 11 : Tìm ba số . Biết BSCNN của chúng bằng 120 ; Số thứ nhất và số thứ hai tỷ lệ 3 ; 4 . Số thứ nhất với số thứ ba tỷ lệ 5 ; 8 .
 HD : Ba số cần tìm là a,b,c thì ta có : 
 BCNN (a,b,c) = BCNN ( 15k;20k;24k ) =120 k =120 =>k= 1
 Vậy a = 15 ; b= 20 ; c = 24 
BÀI 12 : Tìm a số tự nhiên .Biết rắng số thứ nhất bằng số thứ hai và số thứ hai bằng số thứ ba .Tổng 2 lần số thứ nhất và 3 lần số tjhứ hai nhiều hơn 4 lần số thứ ba là 19 .
 Hướng dẫn : Gọi x;y;z là ba số tự nhiên phải tìmTheo đề bài ta có :
 x = và 2x + 3y – 4 z = 19.
BÀI 13: Cho dãy tỷ số bằng nhau Tính giá trị biểu thức :
 Ta có :
BÀI :14: Ba tấm vải có chiều dai tổng cộng 145 m . Nếu cắt tâm thứ nhất đi ;cắt tấm thứ hai đi và cắt tấm thứ ba đi chiều dài mỗi tấm thì chiều dài của ba tấm còn lại bằng nhau .Hỏi chiều dài mỗi tấm trước khi cắt ?
HD: Gọi chiều mỗi tấm trước khi cắt là x;y;z ( >0 , mét )). Thì sau khi cắt tâm thứ nhất còn 1/2x,tấm thứ hai còn 2/3y và tấm thứ ba còn 3/4z. Vì chiều dài mỗi tấm con lại bằng nhau nên ta có : và x + y + z = 145 
 Áp dụng DTSBN ........=> x= 60 m ; y = 45 m và z = 40 m
BÀI 15: Tìm ba phân số biết tổng 3 và biết tử tỷ lệ với 2 ; 3 ; 5 và mẫu tỷ lệ với 5 ; 4 ; 6 ?
 Hướng dẫn: Gọi x;y;z là 3 phân số cần tìm theo đề bài ta có :
 x:y:z = 
 Áp dụng DTSBN => 
BÀI 16: Cho tam giác vuông Â=90 độ . Biết và BC = 15 cm . Tính 
 AB ; AC ?
Hướng dẫn : 
BÀI 17: Tìm hai phân số tối giản biết hiệu của chúng ;các tử số tỷ lệ 
 với 3 ; 5 và các mẫu số tương ứng tỷ lệ với 4 và 7.
 Hướng dẫn: gọi x;y là phân số cần tìm .
 Ta có x : y = và x- y =
BÀI 18: Tim x;y;z Biết : 
Hướng dẫn : Ta có ........=
 => 12x - 15y = 0 12x = 15 y x : 5 = y :4 (1)
 20z - 12x = 0 12x = 20z x : 5 = z : 3 (2)
 TỪ(1) và(2) =>
BÀI 19: Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 300 m vuông . Hai cạnh tỷ lệ với 4 ; 3 . Tính chiều dài chiều rộng khu vườn ?
Hướng dẫn : Gọi x ; y là chièu dai và chiều rộng khu vườn 
 Ta có x .y = 300 và x : 4 = y : 3 => x=4k ; y = 3k
 x . y = 4k . 3k = 12k=k=25=>k = 5 (k=-5 loại)
 Vậy x = 20 mét và y = 15 mét
BÀI 20 : Cho P = . Tính P? Biết x;y;z tỷ lệ với 5;4;3 .
Hướng dẫn: Ta có : 
 Vậy : 
BÀI 21: Cho dãy tỷ số bằng nhau :
 Tính giá trị của biểu thức M . Biết M = 
Hướng dẫn : Mõi tỷ số đã cho đèu bớt đi 1 ta được :
 = 
 Nếu : a+b+c+d 0 => a=b=c=d lúc đó M= 1+1+1+1 = 4
 Nếu : a+b+c+d = 0 => a+b = -(c+d) ; b+c = -(d+a)
 C+d = -(a+b) ; d+a = -(b+c)
 Lúc đó : (-1)+(-1)+(-1)+(-1) = - 4
Bài 22: a/ Chứng minh rằng nếu có : 2( x + y ) = 5 (y =z ) = 3 (z + x )
 Thì : 
 b/ Cho b Chứng minh : 
Hướng dẫn : a/ Ta có : 2(x+y) = 5(y+z) = 3(z+x ) 
 Vậy : (1)
 (2)
 Từ(1) và (2) => 
 b/ Ta có : b
 Do đó : 
BÀI 23: Tìm các số x , y , z biết : 
 HD: Ta có : (1)
 Và : (2)
 Từ (1) và (2) => 
 Xét hai trường hợp:
Nếu x=0 thì
Nếu y=25 thì
 Vậy: x = 0 ; y =0 và x =40 ; y= 25
BÀI 16: Các số a , b , c , d thoả mãn điều kiện
 . Chứng tỏ : a=b=c =d ?
 HD: Áp dụng dãy TSBN : 
 Ta suy ra: 
 Từ (1);(2);(3) và(4) ta được a = b = c = d.
Bài 17: Tìm x . Biét rằng: 
 HD: * Khi a + b + c khác 0 ta có:
 x = 
 * Khi a + b + c = 0 thì a = -(b+c) ; b = -(a+c ) và c = - (a +b )
 Nên : = -1
 &&&&&&&&&