Bài tập nâng cao về hàm số bậc hai và phương trình bậc hai một ẩn

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
MỘT SỐ BÀI TOÁN HAY
BÀI TẬP
1. Trong mặt phẳng Oxy, giả sử hai điểm A và B chạy trên parabol (P) : y = x2
sao cho A, B không trùng với gốc tọa độ và OA  ⊥  OB. Giả sử điểm I là trung
điểm của đoạn thẳng AB.
a.  Chứng minh rằng tọa độ của điểm I thỏa mãn phương trình y = 2x2 + 1.
b.  Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
c.  Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
2. Trên Parabol (P): y = x2 ta lấy ba điểm phân biệt A(a; a2), B(b; b2), C(c; c2)
thỏa mãn: a2 − b = b2 − c = c2 − a. Hãy tính tích sau: 
T = (a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1).
Xem lời giải tại:
3. Cho phương trình x2 + mx + n = 0 (1) với m, n là những số nguyên.
a.  Chứng minh rằng nếu phương trình (1) có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó là số
nguyên.
b.  Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình khi n = 3
Xem lời giải tại:
4. Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 có các hệ số a, b, c là các số nguyên lẻ.
Chứng minh rằng phương trình nếu có nghiệm thì các nghiệm ấy không thể là số
hữu tỉ.
Xem lời giải tại:
5. Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P) : y =
1
4
x2. Giả sử đường thẳng đi qua
I(0 ; 1) cắt (P) tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng: 
1
IA
+
1
IB
= 1.
Xem lời giải tại:
6. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) : y = kx +
1
2
 và parabol (P) : 
y =
1
2
x2. Chứng minh rằng:
a.  Đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định, và nó cũng luôn cắt (P) tại hai
điểm A, B phân biệt.
b.  Có đúng một điểm M thuộc đường thẳng (d') : y = −
1
2
 để MA  ⊥  MB.
Xem lời giải tại:
7. Xác định những giá trị của m để phương trình: x4 − 2(m + 1)x2 + 2m + 1 = 0
có bốn nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa mãn x2 − x1 = x3 − x2 = x4 − x3 > 0.
Xem lời giải tại:
8. Chứng minh rằng nếu phương trình x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0 có nghiệm
thực thì ta sẽ có a2 + b2 ≥
4
5
 và 2a2 + b2 ≥
4
3
.
Xem lời giải tại:
9. Giải phương trình: x4 + 8x3 + 15x2 − 4x − 2 = 0. (1)
Xem lời giải tại:
10. Tìm a để phương trình sau có nghiệm: (x2 − a)2 − 6x2 + 4x + 2a = 0.
Xem lời giải tại:
11. Có ba đội xây dựng I, II và III cùng làm một công việc. Làm chung được 4
ngày thì đội III được điều động đi làm việc khác, hai đội còn lại làm thêm 12
ngày nữa thì hoàn thành công việc. Biết rằng năng suất của đội I cao hơn năng
suất đội II, năng suất đội III bằng trung bình cộng của năng suất hai đội kia và
nếu mỗi đội làm 
1
3
 công việc thì mất 37 ngày mới xong. Hỏi nếu mỗi đội làm một
mình thì bao nhiêu ngày xong công việc trên?
Xem lời giải tại:
12. Một người đi từ A đến B cách A 17km theo đường thẳng, B cách một xa lộ
8km. Lúc khởi hành người đó đi trên xa lộ với vận tốc 5 km/h. Hỏi người đó
phải rời xa lộ chỗ nào để đi đến B trên đường đất sao cho thời gian đi từ A đến B
là ít nhất? Biết rằng vận tốc của người đó trên đường đất là 3 km/h.
Xem lời giải tại:
13. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c thỏa mãn điều kiện |f(x)| ≤ 1 với mọi
x ∈ { − 1; 1}
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 4a2 + 3b2
Xem lời giải tại:
14. Cho hai số a và b khác 0 thỏa mãn 
1
a
+
1
b
=
1
2
. Chứng minh rằng phương
trình ẩn x sau luôn có nghiệm  x2 + ax + b x2 + bx + a = 0
Xem lời giải tại:
15. Cho phương trình: (x + 1)4 − (m − 1)(x + 1)2 − m2 + m − 1 = 0 (1)
a.  Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với
mọi giá trị tham số của m
b.  Tìm các giá trị của m để  x1 + x2 = 2
Xem lời giải tại:
16. Cho phương trình bậc hai dạng x2 + px + q = 0. Biết rằng phương trình có
nghiệm nguyên, các hệ số p và q đều là những số nguyên và p + q + 1 = 2003.
Tìm giá trị của p và q.
Xem lời giải tại:
17. Với mỗi số dương a thỏa mãn a3 = 6(a + 1). Chứng minh rằng phương trình 
x2 + ax + a2 − 6 = 0 vô nghiệm
Xem lời giải tại:
18. Cho |a| + |b| > 2. Chứng minh rằng phương trình 2ax2 + bx + 1 − a = 0 có
nghiệm.
Xem lời giải tại:
19. Tìm a để nghiệm của phương trình x4 + 2x2 + 2ax + a2 + 6a + 1 = 0 là nhỏ
nhất, lớn nhất.
( )( )
| | | |
Xem lời giải tại:
20. Cho x1; x2là hai nghiệm của phương trình x
2 − 7x + 3 = 0
a.  Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 − x2 và 2x2 − x1
b.  Tính giá trị biểu thức B = 2x1 − x2 + 2x2 − x1
Xem lời giải tại:
21. Cho x1; x2 là hai nghiệm của phương trình x
2 − 4x + 1 = 0. Chứng minh rằng
x51 + x
5
2 là một số nguyên.
Xem lời giải tại:
22. Cho phương trình 2x2 + mx + 2n + 8 = 0 ( ∗ ) (ẩn x; m, n là các tham số
nguyên). Giả sử phương trình có các nghiệm đều là số nguyên. Chứng minh rằng
m2 + n2 là hợp số 
Xem lời giải tại:
23. Cho a, b là hai số dương. Biết phương trình x3 − x2 + 3ax − b = 0 có ba
nghiệm. Chứng minh rằng 
a3
b3
+ 27b ≥ 28. Dấu bằng xảy ra khi nào?
Xem lời giải tại:
24. Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d là các hằng số).
Biết P(1) = 10; P(2) = 20; P(3) = 30. Tính giá trị biểu thức
P(12) + P( − 8)
10
+ 25
| | | |
 Xem lời giải tại:
25. Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = mx − m2 + 3 (m là tham
số).
a.  Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có
hoành độ x1; x2.
b.  Với giá trị nào của m thì x1; x2 là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác
vuông có độ dài cạnh huyền bằng 
√5
2
?
Xem lời giải tại:
26. Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 
b > a > 0 và phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm 
Chứng minh rằng: 
a + b + c
b − a
> 3
Xem lời giải tại:
27. Cho 
¯
abc là một số nguyên tố có ba chữ số. Chứng minh rằng phương trình 
ax2 + bx + c = 0 không có nghiệm nguyên.
Xem lời giải tại:
28. Chứng minh rằng với mỗi số dương a cho trước, đa thức f(x) = x4 + ax2 + 2
luôn là tổng bình phương của hai đa thức bậc hai.
Xem lời giải tại:
29. Cho phương trình x2 − 4x + m2 − 3m = 0 (1)
a.  Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm
b.  Giả sử x1; x2 là nghiệm của phương trình (1). Hãy tìm các giá trị của m sao
cho x1 = x
2
2 − 4x2
Xem lời giải tại:
30. Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0; c ≠ 0) có nghiệm x1 > 0. Chứng
minh rằng phương trình cx2 + bx + a = 0 có nghiệm x2 > 0 và x1 + x2 + x1x2 ≥ 3
Xem lời giải tại:
31. Cho phương trình 2x2 + bx + c = 0 (1)
Tìm điều kiện của b và c để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 cùng dấu
thỏa mãn
x1 + x2 + x1x2 + x1 + x2 − x1x2 = 2010
Xem lời giải tại:
32. Cho p là một số nguyên dương. Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình 
x2 + 5px − 1 = 0 ; x3, x4 là hai nghiệm của phương trình x
2 + 4px − 1 = 0. Chứng
minh rằng tích :
x1 − x3 x2 − x3 x1 + x4 x2 + x4  là một số chính phương
Xem lời giải tại:
| √ | | √ |
( )( )( )( )