Bài tập cơ bản về các đường trong tam giác

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
QUAN HỆ GIỮA CẠNH, GÓC, ĐƯỜNG
QUAN HỆ GIỮA CẠNH, GÓC, ĐƯỜNG
VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN
QUAN HỆ GIỮA CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC
1. Cho   vuông tại A và độ dài cạnh 
a.  Hãy tính số độ dài cạnh BC.
b.  So sánh số đo của   và 
Xem lời giải tại:
2. Cho  , có  .
a.  Tính số đo  .
b.  So sánh độ dài các cạnh AB, AC và BC.
Xem lời giải tại:
3. Cho   có các cạnh AB=2cm, BC=4cm, AC=5cm. Hãy so sánh các góc
trong  .
Xem lời giải tại:
4. Cho   vuông tại A, có  ,  . Hãy tính diện tích của 
.
Xem lời giải tại:
5. Cho  , AB < AC, M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng:
a. 
b.  Tia phân giác của   cắt BC tại một điểm nằm giữa B và M.
Xem lời giải tại:
6. Cho hình chữ nhật ABCD có  ,  . Lấy điểm E nằm trên
đoạn AB sao cho  . Hãy tính độ dài các đoạn DE và EC.
Xem lời giải tại:
7. Cho hình chữ nhật ABCD trên AB lấy điểm E sao cho  . Biết 
,  .
Hãy tính diện tích hình thang AECD.
Xem lời giải tại:
8. Cho   có  . Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. So sánh độ
dài của BD và CD.
Xem lời giải tại:
9. Cho   vuông tại B, trên tia đối của tia CB lấy điểm D. Biết  , 
.
Hãy tính số đo của các góc:  ;  ;  . 
Xem lời giải tại:
10. Cho   có  . Kẻ tia phân giác BN của   ( ), CM là
tia phân giác của   ( ). BN và CM cắt nhau tại I. Hãy so sánh độ dài
đoạn IC và đoạn IB.
Xem lời giải tại:
QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC, ĐƯỜNG XIÊN VÀ
HÌNH CHIẾU
HÌNH CHIẾU
11. Cho   ABC cân tại A. Kẻ BE   AC. Biết AE = 3 cm; BE = 4 cm.
a.  Tính độ dài EC theo cm.
b.  So sánh AC và BC.
Xem lời giải tại:
12. Cho   có   , đường cao AH. Lấy điểm M bất kì trên AH. 
Chứng minh: CM < BM.
Xem lời giải tại:
13. Cho   ABC nhọn, kẻ BD và CE lần lượt là các đường vuông góc với AC và AB
( ). Chứng minh rằng: BD + CE < AC + AB.
Xem lời giải tại:
14. Cho   vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi E và F là chân các
đường vuông góc kẻ từ A và C đến BM.
Chứng minh rằng :  .
Xem lời giải tại:
15. Cho O là điểm nằm trong  . Biết AO = AC. CMR:   không thể
cân tại A.
Xem lời giải tại:
16. Cho  , các góc B và C nhọn. Điểm M nằm giữa B và C. Gọi d là tổng
khoảng cách từ B và C đến đường thẳng AM.
a.  Chứng minh rằng  .
b.  Xác định vị trí điểm M trên BC sao cho d có giá trị lớn nhất.
a.  5 cm; 10 cm; 12 cm?
b.  1 m; 2 m; 3,3 m?
c.  1,2 m; 1 m; 2,2 m?
Xem lời giải tại:
17. Cho  , M là điểm nằm trong tam giác. Gọi E, D, F lần lượt là các chân
đường vuông góc kẻ từ M tới AB, BC, AC. 
Chứng minh rằng: AM + BM + CM > ME + MF + MD.
Xem lời giải tại:
18. Cho  , điểm D nằm giữa A và C ( BD không vuông góc với AC ). Gọi E
và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BD. So sánh AC
với tổng AE và CF
Xem lời giải tại:
BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC
19. Có thể tồn tại tam giác nào mà độ dài ba cạnh như sau hay không:
Xem lời giải tại:
20. Tính chu vi tam giác cân ABC theo cm, biết:
a.  AB = 8 cm; AC = 5 cm.
b.  AB = 25 cm; AC = 12 cm.
Xem lời giải tại:
21. Cho tam giác ABC và D nằm trên cạnh BC. Chứng minh rằng: AD nhỏ hơn
nửa chu vi tam giác ABC.
Xem lời giải tại:
22. Ba thành phố A, B, C là ba đỉnh của một tam giác, trong đó 
.
a.  Nếu đặt ở B máy phát sóng truyền hình có bán kính hoạt động bằng 40 km
thì ở C có nhận được tín hiệu không? vì sao?
b.  Nếu đặt ở B máy phát sóng truyền hình có bán kính hoạt động bằng 120 km
thì ở C có nhận được tín hiệu không? vì sao?
Xem lời giải tại:
23. Cho hai điểm A và B nằm về 2 phía của đường thẳng d. Tìm điểm C thuộc d
sao cho AC + BC là nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
24. Cho hình vẽ, chứng minh rằng:  .
Xem lời giải tại:
25. Trong tam giác ABC, điểm M nằm bên trong tam giác. Chứng minh:
Xem lời giải tại:
26. Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng 7 cm và 2 cm. Tính độ dài cạnh còn
lại của tam giác biết rằng số đo của nó theo cm là một số tự nhiên lẻ.
Xem lời giải tại:
TÍNH CHẤT CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM
TÍNH CHẤT CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM
GIÁC
TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN
27. Cho   ABC vuông tại A, AB = 5, AC = 12. Ba đường trung tuyến AD, BE, CF
gặp nhau tại G. Hãy so sánh GA, GB, GC.
Xem lời giải tại:
28. Cho   ABC, các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Cho biết 
. Chứng minh rằng  .
Xem lời giải tại:
29. Cho   ABC cân tại A, đường trung tuyến AH. Trên tia đối của tia HA lấy
điểm D sao cho HD = HA. Trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho BE = BC.
Đường thẳng AB cắt DE tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm của DE.
Xem lời giải tại:
30. Cho   ABC có trọng tâm G và đường trung tuyến AD. Kéo dài GD thêm một
đoạn DI = DG. Gọi E là trung điểm của AB. IE cắt BG tại M. Chứng minh M là
trọng tâm của   ABI.
Xem lời giải tại:
31. Cho   ABC có M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng
Xem lời giải tại:
32. Cho  , các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Chứng minh
rằng:
a.  .
b. 
Xem lời giải tại:
33. Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai trung tuyến bằng nhau thì tam
giác đó là tam giác cân.
Xem lời giải tại:
34. Cho   ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho  . Trên tia AD lấy
điểm E sao cho D là trung điểm của AE. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB
và BC. Chứng minh rằng ba điểm M, N, E thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
35. Cho  , hai đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau tại G. Cho
. Chứng minh rằng: 
Xem lời giải tại:
36.   có ba đường trung tuyến AA', BB', CC'. Chứng minh rằng:
Xem lời giải tại:
TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
37. Cho   ABC,  , đường phân giác AD. Tia phân giác của góc ADC cắt
AC tại I và cắt đường thẳng AB tại K. Gọi tia Cx là tia đối của tia CB. Chứng minh
rằng:
a.  Tia BI là tia phân giác của góc B.
b.  Tia CK là tia phân giác của góc ACx.
Xem lời giải tại:
38. Cho   ABC cân tại A, đường phân giác CF. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho 
. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba đường thẳng AD,
BE, CF đồng quy.
Xem lời giải tại:
39. Cho   ABC vuông tại A. Kẻ  ( H   BC ). Các tia phân giác của các 
 và   cắt nhau ở I. Tia phân giác của   cắt BC ở D. Chứng minh
rằng: CI đi qua trung điểm của AD.
Xem lời giải tại:
40. Cho   ABC. Gọi I là giao điểm hai phân giác của hai   và  . Qua I kẻ đường
thẳng song song với BC, cắt AB ở M, cắt AC ở N. Chứng minh rằng: 
.
Xem lời giải tại:
41. Cho   ABC cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng m // BC. Tia phân giác của 
cắt đường thẳng m tại M. Chứng minh rằng:
a.  Đường thẳng AM là đường phân giác ngoài tại đỉnh A của   ABC.
b.  Đường thẳng CM là đường phân giác ngoài tại đỉnh C của   ABC.
Xem lời giải tại:
a.  Chứng minh   BOC cân ở O.
b.  Tính số đo góc BOC.
a.  .
b.  .
42. Cho   ABC vuông tại A. Vẽ   MBC vuông cân ở M sao cho M và A thuộc hai
nửa mặt phẳng đối nhau. Chứng minh rằng:
a.  Điểm M cách đều hai cạnh AB và AC.
b.  Tia AM là tia phân giác của góc A.
Xem lời giải tại:
43. Cho   ABC,  . Vẽ đường phân giác AM của tam giác đó.
a.  Tính số đo của góc AMB.
b.  Vẽ đường phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại
N. Chứng minh rằng AM = AN.
Xem lời giải tại:
44. Cho   vuông tại A. I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh
của tam giác. Gọi   là khoảng cách từ I đến ba cạnh của  . Chứng minh
rằng:  .
Xem lời giải tại:
TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, ĐƯỜNG CAO
45. Cho   và điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B sao cho Ox là trung
trực của AB, vẽ điểm C sao cho Oy là trung trực của AC.
Xem lời giải tại:
46. Cho   ABC vuông cân tại B. Trên cạnh AB lấy điểm H, trên tia đối của tia BC
lấy điểm D sao cho BD = BH. Chứng minh rằng:
Xem lời giải tại:
47. Chứng minh trong một tam giác vuông giao điểm của ba đường trung trực
của ba cạnh chính là trung điểm của cạnh huyền.
Xem lời giải tại:
48. Cho góc nhọn aOb và một điểm M nằm trong góc ấy. Từ M kẻ MA   Oa và
MB   Ob. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng OM và P là trung điểm của đoạn
thẳng AB. Chứng minh CP là trung trực của cạnh AB của tam giác ACB.
Xem lời giải tại:
49. Cho  ABC nhọn, AB < AC và đường cao AH.
a.  Chứng minh  .
b.  Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD = HB. CM:   ABD là tam giác cân.
c.  Từ D kẻ  , từ C kẻ  . CMR: ba đường thẳng AH, DE, CF cùng
đi qua một điểm.
Xem lời giải tại:
50. Cho   ABC,  , hai đường cao BH, CK ( ). Gọi E và
F lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh:
a.   BEH và   CKF là các tam giác đều.
b.  .
Xem lời giải tại:
51. Cho   ABC có  . Gọi d là đường trung trực của BC, O là giao điểm
của AB và d. Trên tia đối của tia CO lấy điểm E sao cho CE = BA. 
Chứng minh rằng: d là đường trung trực của AE.
Xem lời giải tại:
52. Cho   vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là trung điểm của BC, E là
trung điểm của HC, F là trung điểm của AH. Chứng minh rằng: 
 Xem lời giải tại:
53. Cho  . Hai điểm M và N theo thứ tự di chuyển trên hai tia BA và CA
sao cho  . Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi
qua một điểm cố định.
Xem lời giải tại:
54. Chứng minh rằng trong một tam giác thì trực tâm, trọng tâm và giao điểm
của các đường trung trực của một tam giác cùng nằm trên một đường thẳng.
Xem lời giải tại:
55. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Chứng minh rằng:
.
Xem lời giải tại:
56. Cho điểm A nằm trong góc nhọn xOy, B và C lần lượt là hai điểm di động trên
Ox và Oy. Tìm vị trí của B và C để chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
57. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ 
a.  Chứng minh rằng 
b.  Chứng minh IK=AH
c.  Gọi O là giao điểm của AH và IK, chứng minh OI=OK=OA=OH
d.  Gọi M là trung điểm của cạnh huyền BC. Chứng minh 
Xem lời giải tại:
58. Cho tam giác ABC, AB < BC; AC < BC. Trên cạnh BC có hai điểm D, E sao cho
BD=AB; CE=AC, kẻ   , BK cắt AE ở điểm N, kẻ   , CP cắt AD ở
điểm F. 
a.  BK giao CP tại I. Chứng minh AI là phân giác của góc BAC.
b.  Chứng minh 
c.  Cho biết AB=7(cm); AC=5(cm); BC=8(cm). Hãy tính độ dài KP theo (cm).
Xem lời giải tại:
59. Cho tam giác ABC, trên nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa điểm C vẽ tia 
 và lấy trên đó một điểm E sao cho AE=AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC,
không chứa điểm B, vẽ tia   và lấy trên đó một điểm F sao cho AF=AC.
Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm A’ sao cho
A’D=AD
a.  Chứng minh rằng 
b.  Chứng minh EF=2AD
c.  Chứng minh 
d.  Qua E kẻ đường thẳng song song với Ay và qua F kẻ đường thẳng song song
với Ax. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I. Chứng minh rằng ba điểm A, I,
trung điểm K của EF thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
60. Từ các trung điểm I, K, L của cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC, ta kẻ các
đường trung trực, và trên các đường trung trực ấy, về phía ngoài của tam giác
theo thứ tự ta lấy các điểm M, N, P sao cho 
.
a.  Chứng minh MK=KP và 
b.  Chứng minh MC=NP
c.  Chứng minh 
d.  Chứng minh ba đường thẳng AP, BN, MC đồng quy.
Xem lời giải tại:
61. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, phân giác trong tại đỉnh B cắt cạnh
AC tại điểm D. từ D ta kẻ DE vuông góc với BC (E thuộc BC). Tia ED và tia BA cắt
nhau tại điểm F.
a.  So sánh DA và DC
b.  Chứng minh 
c.  Chứng minh BC=BF
d.  Chứng minh AE//FC
Xem lời giải tại:
62. Cho tam giác ABC vuông tại A. AB = 6 cm, AC = 8 cm.
a.  Tính BC
b.  Trung trực của BC cắt AC tại D và cắt AB tại F. Chứng minh rằng 
c.  Tên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho DE = DC chứng minh tam giác BCE
vuông. Suy ra FD là phân giác của 
d.  Chứng minh rằng  .
Xem lời giải tại:
63. Cho tam giác ABC; AD và AH theo thứ tự là phân giác và đường cao kẻ từ
đỉnh A. Chứng minh rằng nếu AC < AB thì 
a. 
b. 
c.  Điểm H nằm trên tia DC
Xem lời giải tại:
64. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH, trên đáy BC lấy điểm M, vẽ 
 .
a.  Chứng minh rằng ME=FH
b.  Chứng minh tam giác 
c.  Chứng minh khi M chạy trên BC thì tổng MD+ME có giá trị không đổi
d.  Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho KC=EH. Chứng minh rằng: trung
điểm của KD nằm trên cạnh BC
Xem lời giải tại:
65. Cho   có  ;  , đường cao BH  .
a.  So sánh các góc 
b.  Tính  ?
c.  Vẽ AD là phân giác của góc A ( ), vẽ   tại I. 
Chứng minh rằng   .
d.  Tia BI cắt AC ở E. Chứng minh   đều.
e.  Chứng minh  .
Xem lời giải tại:
66. Cho tam giác đều ABC, hai đường cao BE và CD cắt nhau tại H. Chứng minh
rằng:
a. 
b. 
c.  AH là đường trung trực của BC.
d.  Từ B kẻ đường thẳng song song với DC, cắt AC tại I. 
Chứng minh rằng   cân.
Xem lời giải tại:
67. Cho   vuông tại A. Đường phân giác của góc   cắt AC tại D. Trên
cạnh BC lấy điểm E sao cho  .
a.  Chứng minh 
b.  Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với AC cắt BD tại K. 
Chứng minh tam giác BCK cân tại C.
c.  Vẽ CH vuông góc với BK. Chứng minh  .
Xem lời giải tại:
68. Cho tam giác ABC, cân tại A  . Hai đường cao BD và CE cắt nhau
tại H, tia AH cắt BC tại I.
a.  Chứng minh rằng: 
b.  Chứng minh I là trung điểm của BC.
c.  Từ C kẻ đường thẳng d vuông góc với AC, d cắt đường thẳng AH tại F. 
Chứng minh rằng CB là tia phân giác của  .
d.  Giả sử   và  . Tính khoảng cách từ B đến đường thẳng
CF.
Xem lời giải tại: