77 bài toán hay về các đường trong tam giác

g hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
BÀI TẬP TỔNG HỢP
BÀI TẬP TỔNG HỢP
BÀI TẬP ÔN TẬP
1. Cho   ABC có các đường trung tuyến AD = 12 cm, BE = 9 cm, CF = 15 cm.
Tính độ dài cạnh BC theo cm (làm tròn đến số thập phân thứ 2).
Xem lời giải tại:
2.   có trung tuyến AM bằng nửa cạnh huyền. Chứng minh rằng   ABC
vuông tại A.
Xem lời giải tại:
3. Cho   cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho 
. Chứng minh rằng  .
Xem lời giải tại:
4. Cho   ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Kẻ MH   AB. Gọi E là một điểm
thuộc đoạn AH. Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho  . Chứng minh
rằng FM là tia phân giác của  .
Xem lời giải tại:
5. Cho   ABC vuông tại A. Kẻ  ( H   BC ). Các tia phân giác của các 
 và   cắt nhau ở I. Tia phân giác của   cắt BC ở D. Chứng minh
rằng: CI đi qua trung điểm của AD.
Xem lời giải tại:
6. Cho H là trực tâm của   ABC. CMR:  .
Xem lời giải tại:
7. Cho   ABC ( AB < AC ). Vẽ đường trung trực m của cạnh BC. Gọi M là một
điểm bất kì trên đường thẳng m. Hãy xác định vi trí của M để chu vi tam giác
AMB nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
8. Cho   cân tại A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên. Đường trung trực của
đoạn thẳng AC cắt đường thẳng BC tại M. Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao
cho AN = BM. 
a.   là tam giác gì? Vì sao?
b.   cho trước phải có điều kiện gì  ?
Xem lời giải tại:
9. Cho   ABC cân, có góc  , phân giác AD. Kẻ 
trên đoạn EB và FC lấy hai điểm I và K sao cho 
a.  Chứng minh   DEF là tam giác đều.
b.  Chứng minh   DIK là tam giác cân.
c.  Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt BA ở M. chứng minh   MAC là
tam giác đều.
d.  Tính AD biết   và 
Xem lời giải tại:
10. Cho tam giác ABC, gọi O là giao điểm của các phân giác của tam giác đó, từ O
kẻ OD, OE, OF lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Trên tia đối của các tia AC, BA,
CB lấy theo thứ tự ba điểm A’, B’, C’ sao cho 
. Chứng minh rằng:
a.  .
b. 
c.  O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác A’B’C’.
Xem lời giải tại:
11. Cho tam giác ABC vuông tại A. Phân giác CD, gọi H là hình chiếu của điểm B
trên đường thẳng CD. Trên CD lấy điểm E sao cho H là trung điểm của DE. Gọi F
là giao điểm của BH và CA. Chứng minh rằng:
a. 
b. 
c. 
Xem lời giải tại:
12. Cho tam giác ABC. Lấy điểm P nằm trong tam giác sao cho  .
Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của P trên AC và BC; D, E, F lần lượt là trung điểm
của AB, AP, BP. Chứng minh:
a.   .
b.  Tam giác MND là tam giác cân.
Xem lời giải tại:
13. Cho tam giác nhọn ABC đường cao AH, vẽ điểm D sao cho AB là trung trực
của HD, vẽ điểm E sao cho AC là trung trực của HE. Gọi M là giao điểm của DE
với AB, N là giao điểm của DE với AC. Chứng minh:
a.  Tam giác ADE là tam giác cân.
b.  HA là tia phân giác của góc MHN
Xem lời giải tại:
14. Cho  ABC cân ở A. gọi O là giao điểm của các đường trung trực của  ABC.
Trên tia đối của tia AB và CA lấy theo thứ tự hai điểm M và N sao cho 
.
a.  Chứng minh 
b.  Chứng minh 
c.  Gọi I là giao điểm của hai đường trung trực của OM và ON. Chứng minh OI là
tia phân giác của góc MON.
Xem lời giải tại:
15. Cho  ABC. Đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B và đỉnh C của tam giác cắt
nhau tại O. Từ A lần lượt kẻ đường thẳng vuông góc với hai phân giác trên, cắt
đường thẳng BC ở M và N. chứng minh rằng:
a.  Chu vi  ABC bằng MN.
b.  Đường trung trực của MN đi qua O.
c.  AO là tia phân giác của góc 
Xem lời giải tại:
16. Cho  DEC cân  . Đường trung trực của DC cắt đường
thẳng EC tại A. trên tia đối của tia DA lấy điểm B sao cho DB = AE. Chứng minh
rằng: 
a. 
b.   ABC là tam giác cân.
Xem lời giải tại:
17. Cho có ABC (AB < AC). Gọi D là điểm nằm giữa A và B, E là điểm nằm giữa
A và C, sao cho  ; M, N, I lần lượt là trung điểm của BC, DE, và BE.
a.  Chứng minh  MIN là tam giác cân
b.  Đường thẳng MN cắt đường thẳng AB ở P, cắt đường thẳng AC ở Q. chứng
minh  APQ là tam giác cân.
c.  Kẻ phân giác AF của  ABC. Chứng minh MN//AF.
Xem lời giải tại:
18. Cho tam giác ABC có  . Từ trung điểm D của cạnh BC kẻ một
đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc BAC, đường thẳng đó cắt tia
AB, AC theo thứ tự ở M và N.
a.  Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân.
b.  Chứng minh 
c.  Cho  . Tính AN và BM theo c và b.
Xem lời giải tại:
19. Cho  ABC nhọn , hai đường cao BN, CM. Trên tia đối của tia BN lấy điểm D
sao cho  , trên tia đối của tia CM lấy điểm E sao cho  .
Chứng minh:
a. 
b. 
c.  Tam giác AED là tam giác vuông cân
Xem lời giải tại:
20. Cho góc xOy khác góc bẹt. A và B là hai điểm theo thứ tự trên hai cạnh Ox,
Oy.
a.  Hãy tìm điểm M cách đều hai cạnh của góc xOy và cách đều hai điểm A và B.
b.  Nếu   thì có bao nhiêu điểm M thỏa mãn điều kiện câu a.
Xem lời giải tại:
21. Cho  ABC nhọn,  , đường cao AH.
a.  Chứng minh 
b.  Trên đoạn thẳng HC lấy điểm D sao cho  , chứng minh rằng 
ABD là tam giác cân.
c.  Từ D kẻ   từ C kẻ  . Chứng minh rằng ba đường thẳng AH,
CE, DF cùng đi qua một điểm.
Xem lời giải tại:
22. Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có  . Chứng
minh rằng:
a.  Nếu   thì 
b.  Nếu   thì 
Xem lời giải tại:
23. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi AH là đường cao lớn nhất trong các đường cao
của tam giác đó, BE là trung tuyến. Biết AH=BE.
a.  Chứng minh rằng 
b.  Với điều kiện nào của tam giác ABC để 
Xem lời giải tại:
24. Cho tam giác đều AOB. Trên tia đối của các tia OA, OB lấy theo thứ tự hai
điểm C, D sao cho  . Từ B và C kẻ  . Gọi P là
trung điểm của BC. Chứng minh:
a.   đều.
b.  .
c.   đều.
Xem lời giải tại:
25. Cho  , các trung tuyến BE và CD. Trên tia đối của tia EB lấy điểm I sao
cho  . Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho  .
a.  Chứng minh A là trung điểm của KI.
b.  BK cắt CI tại F. Chứng minh BI, CK, FA đồng quy tại G(là trọng tâm của tam
giác ABC).
c.  FA cắt BC tại P. Chứng minh  .
Xem lời giải tại:
26. Cho  cân tại A, đường cao AH. Kẻ   Gọi O là trung điểm của
EH, I là trung điểm của EC. Chứng minh:
a. 
b. 
Xem lời giải tại:
27. Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho 
 và 
. Gọi I là giao điểm của các phân giác của  .
a.  Chứng minh rằng I là giao điểm các đường trung trực của   .
b.  Gọi m là khoảng cách từ I đến các cạnh của  . Tính DE theo m.
c.  Tính  ?
Xem lời giải tại:
28. Cho tam giác ABC vuông ở A,  . D là một điểm trên cạnh AC sao
cho   , E là một điểm trên cạnh AB sao cho  .
Gọi F là giao điểm của BD và CE, I và K là hình chiếu của điểm F lên BC và AC. Lấy
điểm G và H sao cho I là trung điểm của FG, K là trung điểm của FH.
a.  Tính 
b.  Chứng minh rằng:∆CHG đều
c.  Chứng minh rằng:Ba điểm H, G, D thẳng hàng
d.  Chứng minh rằng:Tam giác DEF là tam giác cân.
Xem lời giải tại:
29. Cho tam giác ABC ,  , hai đường cao BH, CK  .
Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh:
a.  Tam giác BEH và tam giác CKF là các tam giác đều.
b. 
Xem lời giải tại:
30. Cho   có ba góc nhọn, vẽ ra phía ngoài của   các tam giác đều
ABD và ACE. Gọi H là trọng tâm của tam giác ABD, I là trung điểm của BC, Dựng
điểm K sao cho I là trung điểm của HK. Chứng minh rằng:
a.  .
b.   đều.
Xem lời giải tại:
31. Cho   có ba góc nhọn, đường cao AH. Vẽ ra phía ngoài tam giác 
, các tam giác ABD vuông cân tại B và ACE vuông cân tại E. trên tia đối
của tia AH lấy điểm K sao cho  . Chứng minh rằng:
a. 
b. 
c.  CD, KH, BE đồng quy tại một điểm.
Xem lời giải tại:
32. Cho tam giác ABC vuông tại A có  , đường cao AH. Trên tia HA lấy
điểm P sao cho   và trên HC lấy điểm M sao cho  . Chứng
minh rằng:
a. 
b.  P là trực tâm của 
Xem lời giải tại:
33. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia IB lấy điểm
D sao cho  . Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của BC; CD và AB. Các
đường AM, AN cắt BD theo thứ tự G; K. Chứng minh rằng:
a.  Ba điểm C; G ;P thẳng hàng.
b.  BG = GK = KD.
Xem lời giải tại:
34. Cho tam giác ABC, cân tại A  . Hai đường cao BD và CE cắt nhau
tại H, tia AH cắt BC tại I.
a.  Chứng minh rằng: 
b.  Chứng minh I là trung điểm của BC.
c.  Từ C kẻ đường thẳng d vuông góc với AC, d cắt đường thẳng AH tại F. 
Chứng minh rằng CB là tia phân giác của  .
d.  Giả sử   và  . Tính khoảng cách từ B đến đường thẳng
CF.
Xem lời giải tại:
35. Cho   vuông tại A. Đường phân giác của góc   cắt AC tại D. Trên
cạnh BC lấy điểm E sao cho  .
a.  Chứng minh 
b.  Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với AC cắt BD tại K. 
Chứng minh tam giác BCK cân tại C.
c.  Vẽ CH vuông góc với BK. Chứng minh  .
Xem lời giải tại:
36. Cho tam giác đều ABC, hai đường cao BE và CD cắt nhau tại H. Chứng minh
rằng:
a. 
b. 
c.  AH là đường trung trực của BC.
d.  Từ B kẻ đường thẳng song song với DC, cắt AC tại I. 
Chứng minh rằng   cân.
Xem lời giải tại:
37. Cho   có  ;  , đường cao BH  .
a.  So sánh các góc 
b.  Tính  ?
c.  Vẽ AD là phân giác của góc A ( ), vẽ   tại I. 
Chứng minh rằng   .
d.  Tia BI cắt AC ở E. Chứng minh   đều.
e.  Chứng minh  .
Xem lời giải tại:
38. Cho tam giác ABC, vuông tại A,  , trên BC lấy điểm E sao cho 
.
a.  Chứng minh rằng   đều.
b.  Chứng minh  .
c.  Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt AB tại F. 
Chứng minh F là trung điểm của AB.
d.  Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt EF tại G. BG cắt AE tại H. 
Chứng minh   
Xem lời giải tại:
39. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ 
a.  Chứng minh rằng 
b.  Chứng minh IK=AH
c.  Gọi O là giao điểm của AH và IK, chứng minh OI=OK=OA=OH
d.  Gọi M là trung điểm của cạnh huyền BC. Chứng minh 
Xem lời giải tại:
40. Cho hai đường thẳng p và p’ song song với nhau. Một đường thẳng q cắt p và
p’ lần lượt tại các điểm A, B. Một đường thẳng q’//q cắt p và p’ lần lượt tại các
điểm D, C.
a.  Chứng minh AD=BC; AB=DC.
b.  Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh O là trung điểm của AC, đồng
thời cũng là trung điểm của BD.
c.  Một điểm M thuộc đoạn AD và một điểm P thuộc đoạn BC sao cho AM=CP.
Chứng minh điểm O là trung điểm của đoạn thẳng MP.
d.  Một đường thẳng đi qua O, cắt đoạn thẳng AB tại điểm Q và cắt đoạn thẳng
DC tại điểm N. Chứng minh MN//PQ và MQ//NP.
Xem lời giải tại:
41. Cho tam giác ABC, gọi E, F theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh AB, AC.
Trên tia đối của FB ta lấy điểm P sao cho PF=BF. Trên tia đối của tia EC, ta lấy
điểm Q sao cho QE=CE.
a.  Chứng minh AP=AQ
b.  Chứng minh ba điểm P, A, Q thẳng hàng
c.  Chứng minh BQ//AC và CP//AB
d.  Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng PC và QB, chứng minh rằng 
Chu vi của tam giác PQR bằng hai lần chu vi của tam giác ABC.
e.  Chứng minh ba đường thẳng AR, PB, CQ đồng quy.
Xem lời giải tại:
42. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH, trên đáy BC lấy điểm M, vẽ 
 .
a.  Chứng minh rằng ME=FH
b.  Chứng minh tam giác 
c.  Chứng minh khi M chạy trên BC thì tổng MD+ME có giá trị không đổi
d.  Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho KC=EH. Chứng minh rằng: trung
điểm của KD nằm trên cạnh BC
Xem lời giải tại:
43. Cho tam giác ABC, cân tại A, đường cao AH, biết AB=5cm, BC=6cm.
a.  Tính độ dài đoạn thẳng BH và AH.
b.  Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm A, G, H thẳng
hàng.
c.  Chứng minh rằng  .
Xem lời giải tại:
44. Cho tam giác vuông cân ABC, đỉnh A. Cạnh góc vuông AB=AC =a, trên tia AB
lấy điểm D mà AD=2a và điểm E mà AE=3a. Trên tia CA lấy điểm F sao cho
AF=2a. Kẻ tia   (trong nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C) Bx cắt
đường thẳng vuông góc với CF kẻ qua F tại điểm G. Chứng minh rằng:
a. 
b.  Tam giác CDG là tam giác vuông cân
c. 
Xem lời giải tại:
45. Cho hai góc xOy và yOz kề nhau và bằng nhau, kẻ tia phân giác Om của góc
xOy và On của góc yOz lấy trên các tia Ox, Om, Oy, On, Oz theo thứ tự các điểm A,
B, C, D, E sao cho  .
a.  So sánh các đoạn thẳng AB, BC, CD, DE
b.  So sánh các góc BAC và DCE
c.  So sánh các đoạn thẳng AD và BE
d.  Chứng minh rằng 
Xem lời giải tại:
46. Cho đoạn thẳng AB, từ A và B trong cùng nửa mặt phẳng bờ AB, ta kẻ các tia
Ax, By cùng vuông góc với AB, gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, và C là
một điểm bất kỳ nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, chứa các tia Ax, By
sao cho OC=OA, đường vuông góc với OC kẻ qua điểm C cắt Ax ở P và cắt By ở Q.
Chứng minh rằng:
a. 
b.  Tam giác POQ là tam giác vuông.
c.  Tam giác ACB là tam giác vuông.
d.  AC//OQ và BC//OP
Xem lời giải tại:
47. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh C. Kẻ đường cao CH, lấy điểm M trên
AB và lấy điểm N trên AC sao cho BM=BC, CN=CH.
a.  Chứng minh 
b.  Từ kết quả trên suy ra mệnh đề “ Trong một tam giác vuông, tổng hai cạnh
góc vuông bé hơn tổng của cạnh huyền và đường cao tương ứng với cạnh
huyền”
Xem lời giải tại:
48. Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác trong BD, CE; BD và CE cắt nhau tại điểm
I. Biết   .
a.  Tính góc A
b.  Chứng minh 
Xem lời giải tại:
49. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, phân giác trong tại đỉnh B cắt cạnh
AC tại điểm D. từ D ta kẻ DE vuông góc với BC (E thuộc BC). Tia ED và tia BA cắt
nhau tại điểm F.
a.  So sánh DA và DC
b.  Chứng minh 
c.  Chứng minh BC=BF
d.  Chứng minh AE//FC
Xem lời giải tại:
50. Từ các trung điểm I, K, L của cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC, ta kẻ các
đường trung trực, và trên các đường trung trực ấy, về phía ngoài của tam giác
theo thứ tự ta lấy các điểm M, N, P sao cho 
.
a.  Chứng minh MK=KP và 
b.  Chứng minh MC=NP
c.  Chứng minh 
d.  Chứng minh ba đường thẳng AP, BN, MC đồng quy.
Xem lời giải tại:
51. Cho tam giác ABC, trên nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa điểm C vẽ tia 
 và lấy trên đó một điểm E sao cho AE=AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC,
không chứa điểm B, vẽ tia   và lấy trên đó một điểm F sao cho AF=AC.
Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm A’ sao cho
A’D=AD
a.  Chứng minh rằng 
b.  Chứng minh EF=2AD
c.  Chứng minh 
d.  Qua E kẻ đường thẳng song song với Ay và qua F kẻ đường thẳng song song
với Ax. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I. Chứng minh rằng ba điểm A, I,
trung điểm K của EF thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
52. Cho tam giác ABC, AB < BC; AC < BC. Trên cạnh BC có hai điểm D, E sao cho
BD=AB; CE=AC, kẻ   , BK cắt AE ở điểm N, kẻ   , CP cắt AD ở
điểm F. 
a.  BK giao CP tại I. Chứng minh AI là phân giác của góc BAC.
b.  Chứng minh 
c.  Cho biết AB=7(cm); AC=5(cm); BC=8(cm). Hãy tính độ dài KP theo (cm).
Xem lời giải tại:
53. Cho tam giác ABC; AD và AH theo thứ tự là phân giác và đường cao kẻ từ
đỉnh A. Chứng minh rằng nếu AC < AB thì 
a. 
b. 
c.  Điểm H nằm trên tia DC
Xem lời giải tại:
54. Cho tam giác ABC, kẻ phân giác BD. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với BD, cắt BD
ở E và BC ở F. Gọi M, N là các trung điểm của các cạnh AB, AC.
a.  Chứng minh rằng AB=BF
b.  Chứng minh ME//BC
c.  Chứng minh ba điểm M, E, N thẳng hàng.
d.  Gọi J là trung điểm của đoạn thẳng BF. Chứng minh ba đường thẳng AJ, BE, và
FM đồng quy.
Xem lời giải tại:
55. Cho tam giác ABC, phân giác trong của góc B cắt phân giác trong của góc C
tại điểm I. Phân giác ngoài của góc B cắt phân giác ngoài của góc C tại điểm J. Tia
phân giác trong của góc B cắt tia phân giác ngoài của góc C tại điểm K.
a.  Chứng minh rằng  .
b.  Tính các góc   theo góc A.
c.  Áp dụng, tính các góc trên với 
d.  Chứng minh ba điểm A, I, J thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
56. Cho tam giác ABC biết AC < AB, vẽ trung tuyến AM.
a.  So sánh các góc ABC và ACB
b.  Chứng minh rằng 
c.  Chứng minh rằng điểm D, chân của đường phân giác AD nằm giữa trung
điểm M của cạnh BC và điểm H (chân đường cao kẻ từ đỉnh A).
Xem lời giải tại:
57. Cho tam giác ABC vuông tại A. AB = 6 cm, AC = 8 cm.
a.  Tính BC
b.  Trung trực của BC cắt AC tại D và cắt AB tại F. Chứng minh rằng 
c.  Tên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho DE = DC chứng minh tam giác BCE
vuông. Suy ra FD là phân giác của 
d.  Chứng minh rằng  .
Xem lời giải tại:
58. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ phân giác BD của góc B, kẻ  , AI cắt
BC tại E.
a.  Chứng minh BE = BA.
b.  Chứng minh tam giác BED là tam giác vuông.
c.  Đường thẳng DE cắt đường thẳng BA tại F. Chứng minh AE // FC.
Xem lời giải tại:
BÀI TẬP NÂNG CAO VÀ MỞ RỘNG
BÀI TẬP NÂNG CAO VÀ MỞ RỘNG
BÀI TẬP THAM KHẢO
59. Cho   ABC vuông tại A. Kẻ AH   BC (H   BC). Tia phân giác của góc HAB
cắt BC tại D. Tia phân giác của góc HAC cắt BC tại E. CMR : điểm cách đều ba
cạnh của   ABC chính là điểm cách đều ba đỉnh của   ADE.
Xem lời giải tại:
60. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi I là
giao điểm của CM và DN. Chứng minh
a. 
b. 
Xem lời giải tại:
61. Cho   cân tại A,  ; BC = 2 cm. Trên cạnh AC lấy điểm D sao
cho AD =  . Tính góc ABD =?
Xem lời giải tại:
62. Cho tam giác ABC, gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AB và BC, vẽ các
điểm MN sao cho C là trung điểm của ME và B là trung điểm của ND. Gọi K là
giao điểm của AC và DM, chứng minh N, E, K thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
63. Cho tam giác ABC có  . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho 
. Đường vuông góc với DC tại C cắt tia phân giác của góc   tại
E. Tính  . 
Xem lời giải tại:
64. Chứng minh rằng tổng độ dài ba đường trung tuyến của một tam giác lớn
hơn  chu vi và nhỏ hơn chu vi của tam giác ấy.
Xem lời giải tại:
65. Cho tam giác ABC nhọn. Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các điểm
D, E trong đó AB là đường trung trực MD, AC là đường trung trực của ME thì DE
có độ dài nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
66. Cho A nằm trong   nhọn. Tìm điểm B,C lần lượt thuộc Ox, Oy sao cho tam
giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
67. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E,I,K theo thứ tự là giao
điểm các đường phân giác của tam giác ABC, ABH, ACH. Chứng minh rằng 
.
Xem lời giải tại:
68. Chứng minh rằng: nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn
điều kiện   thì c là độ dài cạnh nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
69. Cho   ABC có BC = a, AC = b và AB = c. Tìm điểm M nằm trong   ABC sao
cho   đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó x, y, z lần lượt là khoảng cách từ
điểm M tới các cạnh BC, AC, AB. 
Xem lời giải tại:
70. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB,
AC. Kẻ NH   CM tại H. Kẻ HE   AB tại E. Chứng minh rằng tam giác ABH cân và
HM là phân giác của góc BHE.
Xem lời giải tại:
71. Cho tam giác ABC cân tại A, các điểm E và D theo thứ tự di chuyển trên hai
cạnh AB và AC sao cho AD = CE. Chứng minh rằng các đường trung trực của DE
luôn đi qua một điểm cố định. 
Xem lời giải tại:
72. Cho tam giác nhọn ABC. Điểm I là giao điểm của ba đường phân giác trong
của tam giác.
Chứng minh rằng nếu   thì tam giác ABC cân.
Xem lời giải tại:
73. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Trên tia AH lấy điểm D sao cho H
là trung điểm của AD. Trên tia BC lấy điểm E sao cho C là trung điểm của BE. Gọi
M là trung điểm của DE.
a.  Chứng minh ba điểm A, C, M thẳng hàng.
b.  Chứng minh HM // AE.
Xem lời giải tại:
74. Cho tam giác ABC có  . Trên cạnh AC, AB lần lượt lấy
điểm D, E sao cho  . Gọi K là giao điểm của BD và CE.
Tính các góc của tam giác KDE.
Xem lời giải tại:
75. Cho tam giác ABC có  . Đường phân giác AD, đường phân giác
ngoài tại C cắt AB tại K. Gọi E là giao điểm của DK và AC. Tính số đo góc 
Xem lời giải tại:
76