12 Bài toán về chứng minh Bất đẳng thức có điều kiện

 Bất đẳng thức cú điều kiện 
Hoàng Tài: 2018-2019 
Bài toán 1: 
 Cho ba số a, b, c  2;5  thoả mãn điều kiện: a+2b+3c  2. 
 Chứng minh bất đẳng thức : a2+2b2+3c2  66. 
Giải : 
Do a  2;5  nên (a+2)(a-5)  0  a2 3a+10 (1) 
 T-ơng tự: b23b+10  2b26b+20 (2) 
 2 23 10 3 9 30c c c c     (3) 
 Cộng vế theo vế của (1),(2), (3) 
 ta đ-ợc a2 + 2b2 + 3c2  3(a+2b+3c) + 60 
  a2+2b2+3c2  66 . 
 Dấu bằng xãy ra khi (1), (2) ,(3) cùng xãy ra dấu bằng mà thoả mãn 
 a2+2b2+3c2  66 , nên a =-2; b =5; c =-2. 
Bài toán 2: 
 Cho x, y, z  0;2 thoả mãn điều kiện: x+y+z = 3 . 
 Chứng minh rằng: 2 2 2 5x y z   . 
 Giải: Do x, y, z  0;2 
2 0
2 0
2 0
x
y
z
 

  
  
 Ta có : (x-2)(y-2)(z-2) 0 (1) 
   
   
     2 2 2 2
2 4 2 0
2 2 2 4 8 0
4 8 0
xy x y z
xyz xy yz zx x y z
xyz x y z x y z x y z
      
        
            
 
  2 2 2 5x y z xyz    (2) 
 Bất đẳng thức cú điều kiện 
Hoàng Tài: 2018-2019 
Do x, y, z  0;2 nên xyz 0 . Vậy từ (2) Ta có : 2 2 2 5x y z   
Dấu ''='' khi và chỉ khi 
( 2)( 2)( 2) 0
0
3
x y z
xyz
x y z
   


   
Do đó trong ba số x,y,z thì một số bằng 0, một số bằng 1 và một số bằng 2 
 Bài toán 3: 
 Cho x, y, z  1;2  thoả mãn điều kiện x+y+z = 0 . 
 Chứng minh rằng: 2 2 2 6x y z   
 Giải: 
 Do x  1;2  suy ra (x+1)(x-2)0  x2-x-2  0. (1) 
 T-ơng tự ta có: y2 -y -2 0. (2) 
 z2 -z -2  0. (3) 
Cộng vế theo vế của (1) , (2), (3) ta đ-ợc: 
    2 2 2 2 2 2 0x y x x y z         
 2 2 2 6x y z    (vì x+y+z= 0 ) 
 Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi (1),(2),(3) Cùng xãy ra dấu bằng cùng lúc , 
tức là 2 trong ba số x, y, z phải có hai số bằng -1 và số còn lại bằng 2. 
Bài toán 4: 
 Cho ba số a, b, c  0;1 Chứng minh rằng  2 2 2 2 2 21a b c a b b c c a      
Giải : 
 Do a, b, c  0;1 suy ra      20 1 1 1 1a b a b a b       (1) 
 T-ơng tự ta có : b(1-c)  b2(1-c) (2) 
 Bất đẳng thức cú điều kiện 
Hoàng Tài: 2018-2019 
 c(1-a)  c2(1-a) (3) 
Cộng vế theo vế của (1) , (2) ,(3) ta đ-ợc: 
 ( a2 + b2 + c2 ) - ( a2b + b2c + c2a )  ( a + b + c ) - ( ab + bc + ca ) (*) 
 Mặt khác: a, b, c  0;1 nên ta có : (1-a)(1-b)(1-c) + abc  0 
  1  (a+b+c) - (ab+bc+ca) (**) 
Từ (*) và (**) Ta suy ra:  2 2 2 2 2 21a b c a b b c c a      
Bài toán 5: 
Cho chín số thực a1,a2,...,a9  1;1  thoả mãn : a1
3+a2
3+...+a9
3 = 0 .(*) 
Chứng minh rằng : a1+a2+...+a9  3. 
Giải: 
Do a1  1;1  Suy ra :    
1 2 2
2
1 1 1 1
1
1 0
1 1
1 0 4 1 01
2 20
2
a
a a a a
a
 
    
            
      
 
 31 14 3 1 0a a    (1) 
 T-ơng tự ta có: 32 24 3 1 0a a   (2) 
.................... 
 39 94 3 1 0a a   (9) 
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta đ-ợc: 
    3 3 31 2 9 1 2 94 ... 3 ... 9 0a a a a a a         
   1 2 93 ... 9a a a    (Do a1
3+a2
3+...+a9
3 = 0) 
  a1+a2+...+a9  3. 
 Bất đẳng thức cú điều kiện 
Hoàng Tài: 2018-2019 
Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi các BĐT từ (1) đến (9) đều xãy ra dấu bằng và 
phải thoả mãn (*). Nên trong chín số phải có 8 số bằng 1/2, số còn lại bằng -1. 
Chú ý: Ta có thể khai thác bài toán d-ới dạng tổng quát: 
Cho a1, a2, ..., an  1;1  thõa mãn: a1
3 + a2
3 + ...+ an
3= 0 ( nN*) 
Chứng minh rằng: a1+a2+...+an  
3
n
. ( Thông th-ờng lấy số n chia hết cho 3) 
Bài toán 6: Cho a1, a2, ..., a2013  0;1 . 
 Chứng minh rằng: (1+a1+a2+...+a2013)
2  4(a1
2+a2
2+...+a2013
2) 
Giải: Do ai  0;1 với i=1, 2, 3..., 2013 nên ai  ai
2 (1) 
 Đặt a = 1; b = a1+ a2+...+ a2013 
Ta có: (1+ a1+a2+...+ a2013)
2 = ( a + b )2 mà (a+b)2  4ab do đó : 
 (1+a1+a2+...+a2013)
2  4( a1+a2+...+a2013 ) (2) 
 Từ (1) và (2) ta có: 
(1+ a1+ a2+...+ a2013) 
2  4( a1+ a2+...+ a2013 ) 4(a1
2+a2
2+...+a2013
2) 
  (1+a1+a2+...+a2013)
2  4(a1
2+a2
2+...+a2013
2). 
 Dấu bằng xãy ra khi a1= a2=...= a2012và a2013=1 
Bài toán 7: 
Cho a, b, c  0;1 . Chứng minh rằng: 2 3 1a b c ab bc ca      
Giải: 
 Với a, b, c  0;1 suy ra: a  a (1) 
 b2  b (2) 
 c3  c (3) 
 Bất đẳng thức cú điều kiện 
Hoàng Tài: 2018-2019 
Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta đ-ợc: 
 a + b2 + c3  a + b + c (*) 
 Với a, b, c  0;1 suy ra: (1-a)  0; (1 - b) 0 ; (1-c)  0 ; abc  0 (4) 
(1 )(1 )(1 ) 0
1 ( ) ( ) 0
a b c
a b c ab bc ca
    
       
 ( ) 1 ( )ab bc ca a b c       (**) 
Từ (*) và (**) Ta có : a + b2 + c3 - ab - bc - ca  1 + (a +b + c ) - (a + b +c) 
 Suy ra: 2 3 1a b c ab bc ca      
 Dấu bằng xãy ra khi (1), (2), (3) , (4) Đều xãy ra dấu bằng . Vì vậy trong ba số 
a, b ,c phải có một số bằng 1, 2 số còn lại bằng 0 . thì dấu bằng xãy ra. 
Bài toán 8: : Chứng minh rằng : 
 1 2 2014
1 2 2014
...1 1
2014 ... 2013
a a a
b b b
  
 
  
 Với 0 1i
i
a
b
  , i=1, 2,..., 2014 ; bi > 0. 
Giải: Do bi > 0 ta có 
1 1
2014 2013
i i ib a b  với i=1,2,...,2014 
Cộng từng vế 2014 bất đẳng thức trên và có : 
1 2 2014 1 2 2014
1 1
( ... ) ( ... )
2014 2013
b b b b b b       
Do b1 + b2 + ... + b2014 > 0 , nên suy ra: 
1 2 2014
1 2 2014
...1 1
2014 ... 2013
a a a
b b b
  
 
  
Bài toán 9: 
Cho 0 < a, b, c < 1. Chứng minh rằng có ít nhất một bất đẳng thức sau là sai: 
     
1 1 1
1 ; 1 ; 1
4 4 4
a b b c c a      
Giải: Do 
 Bất đẳng thức cú điều kiện 
Hoàng Tài: 2018-2019 
   
 
2
2 2
2
1 1 1 1
0;1 1 0 0 0 0
4 4 4 2
1 1 1
1
2 4 4
a a a a a a a a
a a a
   
                   
   
 
      
 
 T-ơng tự:  
1
1
4
b b  
  
1
1
4
c c  
 Suy ra:      
1
1 1 1
64
a a b b c c    (*) 
Nếu ba bất đẳng thức đều đúng thì:      
1
1 1 1
64
a a b b c c    (**) 
Vậy từ (*), (**) chắc chắn có ít nhất một bất đẳng thức sai. 
( Bài toán này ta cũng có thể chứng minh bằng cách khác ) 
-----------------Bài tập------------------ 
Bài toán 10: 
Cho a,b,c  2;4  thoã mãn điều kiện: 2+2b+3c  6 . 
Chứng minh BĐT : a2+2b2+3c2  60. 
Bài toán 11: Cho a,b,c  0;1 
Chứng minh rằng:    3 3 3 2 2 22 3a b c a b b c c a      . 
Bài toán 12: Chứng minh rằng: 
 2
1 1 1
a b c
bc ca ab
  
  
 với a,b,c  0;1