Hướng dẫn giải Chuyên đề: Hàm số - Toán 9

Hướng dẫn giải
Chuyeân ñeà: HAØM SOÁ
Toaùn 9
ÔN THI TS10
/~~~~~~*0*~~~~~~
Bieân soaïn: Nguyeãn Long Thaïnh
Bài 1. Với giá trị nào của m thì mỗi hàm số sau là hàm số bậc nhất.
1/ y = (1 – 4m + 4m2)x – 3 
Hàm số trên là hàm số bậc nhất ó 1 – 4m + 4m2 0 ó m 
2/ y = 
Hàm số trên là hàm số bậc nhất ó ó 3 – m > 0 ó m < 3
3/ y = (1 – m2)x2 + (m + 1)x – 3 
 Hàm số trên là hàm số bậc nhất ó ó => m = 1
4/ y = 
 Hàm số trên là hàm số bậc nhất ó 0 ó ó 
Bài 2. Tìm m để các hàm số bậc nhất trong mỗi trường hợp sau:
1/ y = nghịch biến trên R.
* Điều kiện 
* Hàm số trên là hàm số bậc nhất khi 
ó ó ó ó 
* Hàm số trên nghịch biến trên R ó ó ó 
Vậy để hàm số đã cho nghịch biến trên R thì 3 > m > 2.
2/ y = đồng biến trên R.
* Điều kiện: m > 0
* Hàm số trên là hàm số bậc nhất khi ó ó m 
* Hàm số trên đồng biến trên R ó 
Vậy để hàm số đã cho đồng biến trên R thì 0 < m < 9.
3/ y = khi x = thì y = 1.
* Hàm số trên là hàm số bậc nhất khi ó 
* Thay x = ; y = 1 vào hàm số đã cho ta được:
1 = ó 
Bài 3. Cho hàm số y = .
1/ Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao?
Hàm số đã cho nghịch biến trên R vì a = < 0
2/ Tình giá trị của y khi x = 1:
Thay x = 1 vào hàm số đã cho ta được:
y = = = 
3/ Tính giá trị của x khi y = 3:
Thay y = 3 vào hàm số đã cho ta được:
3 = ó 3 = ó x = 3
Bài 4. Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b. biết rằng đồ thị của nó là đường thẳng:
1/ Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2:
* Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 nên x = 3, y = 0. Thay vào y = ax + b, ta được:
0 = 3a + b => a = 
* Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên b = 2. Thay vào a = ta tìm được: a = 
Vậy hàm số cần xác định là y = x + 2
2/ Song song với đường thẳng y = x và đi qua điểm B(1 ;2) :
Vì y = ax + b song song đường thẳng y = x nên : 
Và đi qua điểm B(1 ;2) nên ta thay x = 1 ; y = 2 vào y = ax + b ta được : 2 = .1 + b ó b = 
Vậy hàm số cần xác định là y = x + .
Bài 5. Cho hàm số bậc nhất (d) : y = m2x + 4 (m0) và (d’) : y = 25x + m – 1. Với giá trị nào của m thì đồ thị của hai hàm số (d) và (d’) là hai đường thẳng:
1/ Song song:
(d) // (d’) ó ó=> m = -5
2/ Trùng nhau:
(d) (d’) ó ó => m = 5
3/ Cắt nhau:
(d) cắt (d’) ó m2 25 ó m 5
Bài 6. Cho hàm số bậc nhất (d) y = (m – 2)x + 3m + 1. Tìm m để đồ thị của hàm số
1/ Song song với đường thẳng (d’) : y = 3x + 2 :
(d) // (d) ó ó 
2/ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3: Ta có b = 3 => 3m + 1 = 3 => m =
3/ Đi qua điểm A(-2;): Theo đề bài ta có x = -2; y = , thay vào (d) ta được:
 = (m – 2)(-2) + 3m + 1 ó 4 – 2m + 3m + 1 = ó m = .
Bài 7. Với giá trị nào của m và n thì đồ thị của hai hàm bậc nhất (d): y = mx + n – 1 và (d’) y = (4 + n)x + 3 – n trùng nhau?
(d) (d’) ó ó 
Bài 8. Tìm hai số m và n, biết hai đường thẳng mx + 2y = -1 và my – nx = -5 cắt nhau tại M(3;-2)
Vì 2 đường thẳng ấy cắt nhau tại M nên ta thay M(3;-2) lần lượt vào 2 đường thẳng ta được hệ phương trình:
 ó
Bài 9. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(-2;-5) và B(1;4):
Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b (d) đi qua hai điểm A(-2;-5) và B(1;4) nên ta thay lần lượt tọa độ hai điểm ấy vào (d) ta được hệ phương trình: ó ó 
Vậy phương trình đường thẳng là: y = 3x + 1.
Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng (d1): y = 3x + 2; (d2): y = x – 4; (d3): y = 4x + 5m. Tìm giá trị của m để ba đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng qui.
Tọa độ điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ: 
Thay x = -3; y = -7 vào (d3) ta được: 4.(-3) + 5m = -7 ó m = 1.
Vậy khi m = 1 thì 3 đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng qui.
Bài 11. Cho (P): y = x2 và (d): y = -2x + 3.
1/ Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ:
x
-1
1
(d): y = -2x + 3
5
1
* Bảng giá trị: 
x
-2
-1
0
1
2
(P): y = x2
4
1
0
1
4
...
...
...
...
...
...
...
...
2/ Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính:
* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): x2 = -2x + 3 ó x2 + 2x – 3 = 0 (1)
* Phương trình (1) có: a + b + c = 1 + 2 – 3 = 0. Do đó 2 nghiệm của phương trình là: x1 = 1 và x2 = -3
+ Thay x1 = 1 vào (P) ta tìm được y1 = 1 => Tọa độ giao điểm thứ nhất là (1;1)
+ Thay x2 = -3 vào (P) ta tìm được y2 = 9 => Tọa độ giao điểm thứ hai là (-3;9)
Vậy tọa độ các giao điểm của (P) và (d) là (1;1) và (-3;9).
Bài 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (P): y = và đường thẳng (d): y = 2x + m. Với giá trị nào để:
1/ (d) không cắt (P):
* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): = 2x + m ó – 2x – m = 0 ó x2 – 6x – 3m = 0
∆’ = b’2 – ac = (-3)2 – 1.(-3m) = 9 + 3m.
(d) không cắt (P) ó ∆’ 9 + 3m < 0 ó m < –3.
2/ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt: ó ∆’ > 0 => 9 + 3m > 0 => m > –3.
3/ (d) tiếp xúc (P): ó ∆’ = 0 => 9 + 3m = 0 ó m = -3
Bài 13. Cho (P): y = và đường thẳng (d): y = mx + n (m 0).
1/ Xác định m và n để (d) đi qua điểm A(-1;4) và tiếp xúc (P).
(d) đi qua A(-1;4) nên ta thay x = -1; y = 4 vào (d) ta được: -m + n = 4 
Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): – mx – n = 0 ó x2 + 2mx + 2n = 0 (*)
Vì (d) tiếp xúc (P) nên ∆’ = 0 => (m)2 – 1.2n = 0 ó m2 – 2n = 0
Giải hệ phương trình: ó ó (I)
* Giải phương trình m2 – 2m – 8 = 0 ta tìm được m1 = 4; m2 = -2 
(I) ó ó Hoặc (I) ó
2/ Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (d) với các giá trị của m và n vừa tìm được ở câu 1:
* Thay m = 4; n = 8 vào (*) ta được: x2 + 2.4.x + 2.8 = 0 ó x2 + 8x + 16 = 0
Giải phương trình bậc hai trên ta tìm được x = -4. Tiếp tục thay x = -4 vào (P) ta tìm được y = -8
Tọa độ tiếp điểm thứ nhất là (-4;-8).
* Thay m = -2; n = 2 vào (*) ta được: x2 – 4x + 4 = 0. 
Giải phương trình bậc hai trên ta tìm được x = 2. Tiếp tục thay x = 2 vào (P) ta được y = -2
Tọa độ tiếp điểm thứ hai là (2;-2).
Vậy tọa độ các tiếp điểm của (P) và (d) với các giá trị m và n vừa tìm được ở câu 1 là (-4;-8) và (2;-2).
Bài 14. Tìm hệ số a của hàm số (P) y = ax2 (a 0), biết rằng đồ thị của nó cắt đường thẳng (d) y = -x + 2 tại điểm có hoành độ bằng 1.
* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): ax2 + x – 2 = 0 (**)
(P) và (d) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1 nên x = 1. Ta thay x = 1 vào (**) ta được: a2 – 1 = 0 ó a = 1
Bài 15. Chứng minh các đường thẳng (d): y = 3mx – 1 – m luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
Gọi x0, y0 là điểm cố định mà đường thẳng (d): y = 3mx – 1 – m luôn đi qua.
=> y0 = 3mx0 – 1 – m với mọi m ó 3mx0 – 1 – m – y0 = 0 với mọi m 
ó m(3x0 – 1) = 0 và –(y0 + 1) = 0 m => x0 = ; y0 = –1.
x
-4
-2
0
2
4
y = x2
8
2
0
2
8
Bài 16. Cho hàm số (P): y = x2
1/ Vẽ đồ thị hàm số (P): 
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
2/ Viết phương trình đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (P) tại hai điểm có hoành độ bằng -2 và 3.
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
x
0
1
y = 2x + 4 
4
6
Bài 17. 
1/ Vẽ đồ thị hàm số y = 2x + 4 (d)
........
........
........
........
........
........
........
........
2/ Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) y = 6x2 bằng phép tính:
* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): 2x + 4 = 6x2 ó 6x2 – 2x – 4 = 0
Giải phương trình bậc hai trên ta tìm được x1 = 1 và x2 =.
+ Thay x1 = 1 vào (P) ta tìm được y1 = 6 => Tọa độ giao điểm thứ nhất là (1;6)
+ Thay x2 = vào (P) ta tìm được y2 = => Tọa độ giao điểm thứ hai là (;)
Vậy tọa độ các tiếp điểm của (P) và (d) là (1;6) và (;).
3/ Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b (d’), biết rằng đồ thị song song với đường thẳng (d) và đi qua Q(3;4).
Vì (d) // (d’) nên Và đi qua Q(3;4) nên ta thay x = 3; y = 4 vào (d’) ta được: 3.2 + b = 4 ó b = -2.
Vậy hàm số cần xác định là y = 2x – 2.
Bài 18. 
1/ Viết phương trình đường thẳng (e) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5.
* Do đường thẳng (e) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5 nên x = 5; y = 0. 
* Ta thay x = 5; y = 0 vào y = ax + b ta được: 5a + b = 0
* Do đường thẳng (e) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 nên b = 5. Ta thay vào 5a + b = 0 ta được: a = -1.
Vậy phương trình đường thẳng cần xác định là y = -x + 5.
2/ Tìm m và n để đường thẳng (f): y = (m + 1)x + n – 3 (m -1) song song với đường thẳng y = -2x + 4 (d).
(f) // (d) ó 
Bài 19. Cho (P): y = x2 và (d1): y = 2mx – 1 – m (m 0).
1/ Với m = -2, vẽ (P) và (d1) trên cùng mặt phẳng tọa độ:
Thay m = -2 vào (d1) ta được: y = -4x – 3.
x
-4
-2
0
2
4
y = x2
8
2
0
2
8
x
-1
0
y = -4x – 3 
1
-3
2/ Tìm m để đường thẳng (d1), (d2): y = 2x – 1, (d3): y = x đồng qui.
Tọa độ giao điểm của (d3) và (d2) là nghiệm của hệ: 
Thay x = 1; y = 1 vào (d1) ta được: 1 = 2.m.1 – 1 – m ó m = 2.
Vậy khi m = 2 thì (d1), (d2), (d30 đồng qui.
Bài 20. 
1/ Trên cùng hệ trục tọa độ Oxy, vẽ đồ thị các hàm số: y = x2 và y = 2x + 1.
x
-4
-2
0
2
4
y = x2
8
2
0
2
8
x
0
1
y = 2x + 1
1
3
2/ Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 2x + 1 và tiếp xúc với (P): y = x2 :
........
........
........
........
........