Ôn thi vào 10 môn Toán - Chuyên đề Đa thức

Chuyªn ®Ò ®a thøc
- C¸c bµi tËp vÒ ®a thøc lu«n xuÊt hiÖn trong c¸c ®Ò thi c¸c cÊp. Lo¹i to¸n nµy chñ yÕu vµo c¸c d¹ng bµi tËp sau:
+ T×m d­ cña phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc ax + b.
+ TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc f(x) khi biÕt mét sè gi¸ trÞ.
+ X¸c ®Þnh c«ng thøc f(x).
+ Ph©n tÝch ®a thøc bËc 2, 3 thµnh nh©n tö ( sö dông l­îc ®å Hooc-ne, gi¶i ph­¬ng tr×nh cña m¸y tÝnh).
1. T×m d­ phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc ax + b.
a, Ph­¬ng ph¸p gi¶i.
+ §Þnh lý B¬zu: Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a là f(a)
+ Chøng minh: Ta cã f(x) = (x-a).Q(x) + r ( r lµ sè d­ cña f(x) chia cho x-a).
Suy ra: f(a) = (a-a).Q(a) + r --> r = f(a).
+ Muèn t×m d­ phÐp chia cña f(x) ax+b ta dùa vµo ®Þnh lý B¬zu.
B­íc 1: T×m nghiÖm cña nhÞ thøc ax + b = 0.
B­íc 2: TÝnh . KÕt luËn sè d­ lµ r = .
Chó ý: trong tr­êng hîp nhÞ thøc lµ x – a th× chØ viÖc tÝnh f(a) råi kÕt luËn sè d­.
VD 1: T×m d­ trong phÐp chia cña f(x) = x4 – 5x3 + 3x2 + 9x – 5 cho 
a, g(x) = x - 2	b, h(x) = 2x + 3
Gi¶i
a, D­ cña phÐp chia f(x) cho g(x) lµ
r = f(2) = 1.
+ Quy tr×nh bÊm phÝm
2
Shift
STO
A
ALPHA
A
4
-
5
ALPHA
A
x3
+
3
ALPHA
A
x2
+
9
ALPHA
A
-
5
=
b, D­ cña phÐp chia f(x) cho g(x) lµ
r = f() = 
+ Quy tr×nh bÊm phÝm
Shift
STO
X
ALPHA
X
4
-
5
ALPHA
X
x3
+
3
ALPHA
X
x2
+
9
ALPHA
X
-
5
=
VD 2: Tìm m để đa thức f(x) = 4x4 – 5x3 + m2 x2 – mx – 80 chia hết cho x – 2
Gi¶i
+ Ta cã f(2) = 4.24 – 5.23+m2 . 22 – m.2 – 80 = 4m2 – 2m – 56.
+ §Ó f(x) chia hÕt cho x – 2 th× f(2) = 0.
Suy ra: 4m2 – 2m – 56 = 0. Gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn ta ®­îc m1 = 4; m2 = 3,5.
KL: VËy víi m=4 vµ m=3,5 th× ®iÒu kiÖn bµi to¸n tho¶ m·n.
VD 3: Tìm a và b sao cho hai đa thức f(x) = 4x3 – 3x2 + 2x + 2a + 3b và 
g(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x –3a + 2b cùng chia hết cho (x – 3) 
Giải: f(x) , và g(x) cùng chia hết cho (x – 3) khi và chỉ khi f(3) = g(3) = 0 
Đặt A(x) = 4x3 – 3x2 + 2x và B(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x
Ta có f(x) = A(x) + 2a + 3b 
 g(x)=B(x) –3a +2b 
f(3) = A(3) + 2a + 3b = 87 +2a + 3b Þ f(3) = 0 Û 2a + 3b = –87 
g(3) = B(3) –3a + 2b = 318–3a +2b Þ g(3) = 0 Û –3a +2b = –318 
Ta có hệ phương trình : 
Vào MODE EQN gọi chương trình giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta được nghiệm 
( x = 60 ; y = –69) hay a = 60 , b = –69.
2. TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc f(x) khi biÕt mét sè gi¸ trÞ.
+ §©y lµ d¹ng to¸n t­¬ng ®èi khã víi häc sinh líp 8,9. Lo¹i to¸n nµy mÊu chèt lµ ta ph¶i t×m ra xem ®a thøc phô trong bµi lµ g× ( §a thøc phô lµ ®a thøc mµ c¸c gi¸ trÞ t¹i c¸c gi¸ trÞ cña biÕn b»ng víi c¸c gi¸ trÞ cña biÕn ®ã ë ®a thøc ®Çu bµi). C¸ch lµm sÏ qua vÝ dô sau:
VD: Cho đa thức f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e . 
Biết f(0) = 1 , f(1) = –2 , f(2) = –3 , f(3) = –2 ; f(4) = 1 . Tính f(100) 
Giải : 
(Rõ ràng nếu ta thế 0,1,2,3,4, chỉ xác định hệ số tự do , việc còn lại là giải hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn mà máy CASIO không thể giải quyết được. Giải bằng tay thì rất vất vả . Bài toán này có thể giải quyết như sau )
+ Xét đa thức phụ k(x) = x2 – 4x + 1 
+ Ta có : k(0) = 1 ; k(1) = –2 ; k(2) = –3 ; k(3) = –2 ; k(4) = 1 
+ Đặt g(x) = f(x) – k(x) 
+ Ta có : 	g(0) = f(0) – k(0) = 0 
 	g(1) = f(1) – k(1) = 0 
 	g(2) = f(2) – k(2) = 0
 	g(3) = f(3) – k(3) = 0 
 	g(4) = f(4) – k(4) = 0
+ Từ đó suy ra 0,1,2,3,4 là nghiệm của g(x) 
+ Mặt khác g(x) là đa thức bậc 5 (Cùng bậc với f(x) vì k(x) là bậc 2 mà g(x) = f(x) – k(x) ) và có hệ số cao nhất là là 1 
Từ đó suy ra g(x) phân tích được thành nhân tử : 
g(x) = (x – 0)(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) 
mà g(x) = f(x) – k(x) Þ f(x) = g(x) + k(x) 
Vậy f(x) = x .(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) +x2 –4x + 1 
Þf(100) = 9034512001
(Vấn đề ở đây là làm sao tìm được đa thức phụ k(x) ? 
Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị k(1) = 1 k(2) = –3 , k(3) = –2 
(nhận 3 trong 5 giá trị của f(x) đã cho) 
ta có hệ phương trình : 
nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = –4 , c = 1 
Þ k(x) = x2 – 4x + 1 . Thử tiếp thấy k(0) = 1 và k(4) = 1
Vậy k(x) = x2 – 4x + 1 là đa thức phụ cần tìm . Tất nhiến khi thử k(0) ≠ 1 hoặc k(4) ≠ 1 thì buộc phải tìm cách giải khác. Đây là cách làm phổ biến nhất)
Bài tập áp dụng
1) Cho đa thức P(x) = x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e . Biết P(1) = 1 ; P(2) = 4 ; P(3) = 9 ; P(4) = 16 ; P(5) = 25 . Tính các giá trị của P(6) ; P(7) , P(8) , P(9) 
2) Cho đa thức Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q và biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 , Q(3) = 9 Q(4) =11 . Tính các giá trị Q(10) , Q(11) Q(12) , Q(13)
3) Cho đa thức f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e 
Biết f(1) = –1 ; f(2) = –1 ; f(3) = 1 ; f(4) = 5 ; f(5) = 11. Hãy tính f(15), f(16), f(18,25)
4) Cho đa thức f(x) = 2x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e . Biết f(1) = 1 f(2) = 3 f(3) = 7 f(4) 13 f(5) = 21. Tính f(34,567)
Chú ý: Trong trường hợp đa thức có bậc lớn hơn số các giá trị của đầu bài cho ta làm theo ví dụ sau:
VD 3
Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005 
Biết P(1) = 8 , P(2) = 11 , P(3) = 14 , P(4) = 17 Tính P(15)
Giải :
 Xét đa thức phụ Q(x) = 3x + 5 
Ta có Q(1) = 8 ; Q(2) = 11 ; Q(3) = 14 ; Q(4) = 17 
Đặt k(x) = P(x) – Q(x) 
Ta có k(1) = k(2) = k(3) = k(4) = 0 hay k(x) có 4 nghiệm là 1 , 2 , 3 , 4 .
(Tới đây , làm như bài 5 thì không được bởi vì k(x) phải là đa thức bậc 5 mà ta mới chỉ tìm được có 4 nghiệm !!. Bài toán này quá hay !
Đa thức k(x) phải có hệ số cao nhất là hệ số cao nhất của f(x) nên k(x) được phân tích thành nhân tử như sau k(x) = (x + J) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) . Vấn đề còn lại là tìm số J như thế nào ?)
Tiếp tục : 
Vì k(x) = P(x) – Q(x) Þ P(x) = k(x) + Q(x) 
Hay P(x) = (x + J) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5 
Þ Hệ số tự do của P(x) là J.(–1)(–2).(–3).(–4) + 5 = 132005 hay 24J = 132000
 Þ J = 132000:24 = 5500 
Vậy P(x) = (x + 5500)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5 
Þ P(15) = 132492410
Bài tập tương tự :
Cho đa thức f(x) = 2x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 115197 
Biết f(1) = –1 , f(2) = 1, f(3) = 3 , f(4) = 5 . Tính f(12) (KQ : 38206101).
VD4
Cho đa thức P(x) = 
a) Tính f(–4) , f(–3) , f(–2) , f(–1) ,f(0) , f(1) , f(2) ,f(3) , f(4) 
b) Chứng minh rằng với mọi xä Z thì P(x) nhận giá trị nguyên .
Giải : a) Câu a thật ra là gợi ý để giải câu b .
Dễ dàng tính được f(–4) = f(–3) = f(–2) = f(–1) = f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 0
b) Suy ra –4 ,–3 , –2 ,–1 , 0 , 1 , 2, 3 , 4 là 9 nghiệm của của P(x) 
Þ P(x) được phân tích thành nhân tử như sau : 
P(x) = (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 )
Với x äZ thì (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 ) là 9 số nguyên liên tiếp 
Trong đó có ít nhân 1 số chia hết cho 2 , 1 số chia hết cho 5 1 số chia hết cho 7 và 1 số chia hết cho 9 
 Đặt A = (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 )
 Vì ƯCLN(2,5) = 1 Þ A M 10
 ƯCLN(7,9) = 1Þ A M 63 
 ƯCLN(10 ,63) = 1 Þ A M 630 
Þ là một số nguyên hay P(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x äZ
3. Xác định công thức của đa thức
+ Chúng ta chỉ cần có nhận xét là: đa thức không phụ thuộc vào biến.
+ Dạng toán này ta chỉ cần sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ --> sử dụng các phép biến đổi đa thức về dạng chỉ có ẩn phụ là được.
+ Một số bài toán cần kĩ thuật giải hệ phương trình
VD 1:
Cho f(2x – 3) = x3 + 3x2 – 4x + 5 
a) Xác định f(x) 
b) Tính f(2,33) 
Giải: 
a) Đặt t = 2x – 3 Þ 
Þ f(t) = 
Þf(x) 
b)f(2,33) 
Qui trình ấn phím :
 KQ : 34,57410463
VD 2: Xác định các hệ số a, b, c của đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để sao cho P(x) chia cho (x – 3) có số dư là 2, chia cho (x-13) dư và chia cho (x – 14) có số dư là 3. ( Kết quả làm tròn tới 2 chữ số thập phân)
Giải
Ta có : P(x) = Q(x)(x – a) + r Þ P(a) = r
Vậy 	P(13) = a.133 + b.132 + c.13 – 2007 = 1
	P(3) = a.33 + b.32 + c.3 – 2007 = 2 
	P(14) = a.143 + b.142 + c.14 – 2007 = 3
Tính trên máy và rút gọn ta được hệ ba phương trình :
Tính trên máy được :
a = 3,693672994 » 3,69
b = –110,6192807 » –110,62
c = 968,2814519 » 968,28
4. Phân tích đa thức thành nhân tử dựa vào trình giải phương trình EQN.
+ Định lý: Đa thức f(x) = a1xn + a2 xn -1+ .+an có x1, x2, , xn là các nghiệm thì f(x) được phân tích dưới dạng sau: f(x) = a1.(x-x1).(x-x2).(x-xn).
+ Qua định lý trên ta có cách làm như sau:
Bước 1: Sử dụng trình giải phương trình EQN để giải phương trình tìm nghiệm của đa thức ( chỉ giải được phương trình bậc 3 trở xuống; nếu gặp phương trình bậc cao hơn phải sử dụng phương pháp khác).
Bước 2: Sử dụng định lý trên để phân tích
VD 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 105x2 + 514x – 304 
(Nếu không có sự hổ trợ của MTBT thì việc phân tích đa thức trên thành nhân tử là 1 bài toán khó )
Giải: Ấn Nhập a = 105 , b = 514 , c = –304 
Tìm được nghiệm của đa thức trên : 
Vậy đa thức 105x2 + 514x – 304 được phân tích thành 
Bài tập tương tự :
 Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
a) 65x2 + 4122x +61093 
b) 299 x2 – 2004x + 3337 
c) 156x3 – 413 x2 – 504 x+ 1265
VD 2: Phân tích đa thức f(x) = x4 – 7x3 + 17x2 – 17x + 6 thành nhân tử
(Đây là đa thức bậc 4 nên không thể giải phương trình bằng máy tính ngay được. Ta sẽ sử dụng lược đồ Hooc-ne để hạ bậc đa thức
+ Lược đồ Hooc-ne: dùng để hạ bậc 1 đa thức khi biết được 1 nghiệm của đa thức. Nguyên tắc của lược đồ Hooc-ne là giữ nguyên hệ số cao nhất của đa thức và nhân nghiệm lần lượt với số cùng hàng rồi cộng với hệ số của đa thức ở hàng liền kề phía trên. Các số ở hàng dưới chính là hệ số của đa thức đã bị hạ bậc. Nếu hệ số của biến nào thiếu thì viết là 0)
+ Nhận thấy x = 1 là nghiệm của đa thức. Sử dụng lược đồ Hooc-ne ta có:
1
-7
17
-17
6
1 (nghiệm)
1(HS cao nhất)
-6( 1x1+-7)
11(1x(-6)+17)
-6(1x11+(-17))
0(1x(-6)+6)
--> f(x) = (x-1)(x3 – 6x2 + 11x – 6).
+ Ấn Nhập a = 1 , b = -6 , c = 11; d = -6 
Tìm được nghiệm của đa thức trên : x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3.
--> f(x) = (x-1)(x-1)(x-2)(x-3) = (x-1)2(x-2)(x-3).
(GV sẽ giới thiệu cụ thể lược đồ Hooc-ne ở trên lớp khi ôn tập)