Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel trong chứng minh bất đẳng thức

Hoàng Minh Quân - THPT Ngọc Tảo - Hà Nội
ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY–SCHWARZ DẠNG ENGEL
TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Bất đẳng thức là một chủ đề đa dạng và hấp dẫn với nhiều bạn trẻ. Nói đến bất
đẳng thức nhiều bạn trong chúng ta thường quan tâm tới bất đẳng thức đại số mà ở
đó có nhiều kĩ thuật để khai thác và chứng minh.Bài viết sau đây sẽ trình bày một kĩ
thuật nhỏ nhưng khá hữu ích trong việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz để
chứng minh các bất đẳng thức.Nhằm giúp bạn đọc hiểu rõ hơn ý tưởng và cách tiếp
cận mỗi bài toán bất đẳng thức thì đối với mỗi bài toán tôi đều phân tích hướng tiếp
cận, sau đó nêu ý tưởng làm bài và cuối cùng là lời giải chi tiết cho bài toán đó, ở
đây chúng ta xét với bất đẳng thức ba biến, đối với các bất đẳng thức nhiều biến hơn
chúng ta làm tương tự. Hi vọng bài viết sẽ hữu ích cho nhiều bạn đọc.
Bài viết đã được xem xét kĩ nhưng cũng khó tránh khỏi thiếu sót.Mọi ý kiến đóng góp
cho bài viết thêm phong phú và hoàn thiện hơn xin gửi về địa chỉ: hoangquan9@gmail.com.
Hà Nội, ngày 25 tháng 3 năm 2012
Người viết
Hoàng Minh Quân
Hoàng Minh Quân 1 THPT Ngọc Tảo-Hà Nội
I.Phát biểu và chứng minh bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel.
Giả sử a1; a2; :::; anlà các số thực bất kì và b1; b2; :::; bnlà các số thực dương.Khi đó , ta
luôn có:
a21
b1
+
a22
b2
+ :::+
a2n
bn
 (a1 + a2 + :::+ an)
2
b1 + b2 + :::+ bn
()
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a1
b1
=
a2
b2
= ::: =
an
bn
Chứng minh
Trước hết chúng ta chứng minh bất đẳng thức đơn giản sau:
Cho a; b; x; y là các số thực và x; y > 0.Khi đó:
a2
x
+
b2
y
 (a+ b)
2
x+ y
(1)
Thật vậy, bất đẳng thức được viết lại thành
a2y(x+ y) + b2x(x+ y)  (a+ b)2xy , (ay  bx)2  0
(Luôn đúng) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a
x
=
b
y
. Vậy bất đẳng thức (1) được
chứng minh.
Với 6 số a; b; c; x; y; z và x; y; z > 0.Áp dụng bất đẳng thức (1) hai lần ta có:
a2
x
+
b2
y
+
c2
z
 (a+ b)
2
x+ y
+
c2
z
 (a+ b+ c)
2
x+ y + z
Do đó bằng phép quy nạp toán học với a1; a2; :::; anlà các số thực bất kì và b1; b2; :::; bnlà
các số thực dương.Khi đó , ta luôn có:
a21
b1
+
a22
b2
+ :::+
a2n
bn
 (a1 + a2 + :::+ an)
2
b1 + b2 + :::+ bn
()
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a1
b1
=
a2
b2
= ::: =
an
bn
II.Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel vào các bài toán
điển hình
Bài toán 1 Cho ba số thực dương x; y; z thỏa mãn x + y + z  3.Chứng minh
rằng:
x2
x+
p
yz
+
y2
y +
p
zx
+
z2
z +
p
xy
 3
2
Phân tích bài toán:
Tiếp cận bài toán chúng ta thấy vế trái của bất đẳng thức có dạng phân thức, tử số
của mỗi biểu thức có dạng bình phương như vậy chúng ta nghĩ ngay tới việc áp dụng
dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng Engel để đưa về bất đẳng thức đơn giản
hơn đã biết cách làm.Vậy ta làm như sau:
Chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng Engel, ta có:
x2
x+
p
yz
+
y2
y +
p
zx
+
z2
z +
p
xy
 (x+ y + z)
2
x+ y + z +
p
xy +
p
yz +
p
zx
Hoàng Minh Quân 2 THPT Ngọc Tảo-Hà Nội
Mặt khác:
x+ y + z  pxy +pyz +pzx
nên ta có:
x2
x+
p
yz
+
y2
y +
p
zx
+
z2
z +
p
xy
 (x+ y + z)
2
x+ y + z + x+ y + z
=
x+ y + z
2
 3
2
( Vì giả thiết x+ y + z  3).
Đẳng thức xảy ra , x = y = z
Bài toán 2 Cho ba số thực dương a; b; c.Chứng minh rằng:
a
b+ 2c
+
b
c+ 2a
+
c
a+ 2b
 1
Phân tích bài toán:
Tiếp cận bài toán, chúng ta thấy vế trái của bất đẳng thức có dạng phân số, điều
đó gợi nhớ cho chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng Engel,
nhưng muốn vậy tử số của mỗi phân thức phải là bình phương của một số. Do đó ta
nghĩ tới việc nhân cả tử và mẫu của một phân thức với một số để ta áp dụng được bất
đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng Engel.Do đó chúng ta làm như sau:
Chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng Engel, ta có:
V T =
a2
a(b+ 2c)
+
b2
b(c+ 2a)
+
c2
c(a+ 2b)
 (a+ b+ c)
2
3(ab+ bc+ ca)
 (a+ b+ c)
2
(a+ b+ c)2
= 1
Đẳng thức xảy ra , x = y = z
Bài toán 3 Cho các số thực dương a; b; c.Chứng minh rằng:
a3
a2 + ab+ b2
+
b3
b2 + bc+ c2
+
c3
c2 + ca+ a2
 a+ b+ c
3
(1)
Phân tích bài toán:
Tiếp cận bài toán, chúng ta thấy vế trái của bất đẳng thức có dạng phân số, và quan
sát số hạng đại diện chẳng hạn
a3
a2 + ab+ b2
chúng ta thấy tử số là a3 và chúng ta mong
muốn giảm bậc đi cho dễ làm.Điều này gợi cho chúng ta nghĩ tới sử dụng bất đẳng
thức Cauchy- Schwarz dạng Engel để đưa về chứng minh bất đẳng thức mới đơn giản
hơn.
Chứng minh
Ta sẽ tìm cách đưa vế trái (1) về dạng dùng được bất đẳng thức Cauchy–Schawrz.
V T (1) =
a3
a2 + ab+ b2
+
b3
b2 + bc+ c2
+
c3
c2 + ca+ a2
=
a4
a(a2 + ab+ b2)
+
b4
b(b2 + bc+ c2)
+
c4
c(c2 + ca+ a2)
 (a
2 + b2 + c2)
2
a3 + b3 + c3 + ab(a+ b) + bc(b+ c) + ca(c+ a)
Hoàng Minh Quân 3 THPT Ngọc Tảo-Hà Nội
Vì
a3 + b3 + c3 + ab(a+ b) + bc(b+ c) + ca(c+ a) = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2)
Nên
V T (1)  (a
2 + b2 + c2)
2
(a+ b+ c)(a2 + b2 + c2)
=
a2 + b2 + c2
a+ b+ c
Ta chỉ cần chứng minh
a2 + b2 + c2
a+ b+ c
 a+ b+ c
3
Hay
a2 + b2 + c2
a+ b+ c
 a+ b+ c
3
 0, 3(a2 + b2 + c2)  (a+ b+ c)2
tương đương
2a2 + 2b2 + 2c2  2ab 2ac 2bc  0
tương đương
(a b)2 + (b c)2 + (c a)2  0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Bài toán 4 (IMO1995)Cho các số thực dương a; b; c thỏa mãn abc = 1
Chứng minh rằng:
1
a3(b+ c)
+
1
b3(c+ a)
+
1
c3(a+ b)
 3
2
Phân tích bài toán:
Bài toán này khi tiếp cận, chúng ta thấy vế trái của bất đẳng thức có dạng phân số,
bậc của mẫu số lớn hơn bậc của tử số. Điều đó giúp chúng ta nghĩ tới bất đẳng thức
Cauchy- Schwarz dạng Engel. Đến đây nếu áp dụng trực tiếp luôn, chúng ta có:
1
a3(b+ c)
+
1
b3(c+ a)
+
1
c3(a+ b)
 (1 + 1 + 1)
2
a3(b+ c) + b3(c+ a) + c3(a+ b)
Khi đó bài toán trở nên phức tạp hơn, và dễ dẫn tới bế tắc trong giải quyết. Vì vậy
để ý một chút chúng ta thấy
1
a3(b+ c)
=
1
a2
a(b+ c)
, lúc này việc áp dụng bất đẳng thức
Cauchy- Schwarz dạng Engel mang lại hiệu quả rõ rệt.
Chứng minh
Ta có:
V T =
1
a3(b+ c)
+
1
b3(c+ a)
+
1
c3(a+ b)
=
1
a2
a(b+ c)
+
1
b2
b(c+ a)
+
1
c2
c(a+ b)

(
1
a
+ 1
b
+ 1
c
)2
2(ab+ bc+ ca)
=
(ab+ bc+ ca)2
2(ab+ bc+ ca)
Vậy V T  ab+ bc+ ca
2
Áp dụng bất đẳng thức AM–GM, ta có:
V T  ab+ bc+ ca
2
 3
3
p
a2b2c2
2
=
3
2
= V P
Hoàng Minh Quân 4 THPT Ngọc Tảo-Hà Nội
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Bài toán 5 Cho các số thực dương x; y; z thỏa mãn x2 + y2 + z2  1
3
Chứng minh rằng:
x3
2x+ 3y + 5z
+
y3
2y + 3z + 5x
+
z3
2z + 3x+ 5y
 1
30
Phân tích bài toán:
Quan sát bài toán chúng ta thấy đây là bất dẳng thức đối xứng ba biến có dạng phân
thức, điều đó gợi cho chúng ta nghĩ tới bất đẳng thức Cauchy–Schawrz dạng Engel
nhằm giảm bậc của phân thức giúp chúng ta có đánh giá dễ dàng hơn. Từ đó tiếp
cận vế trái , ta phân tích
x3
2x+ 3y + 5z
=
x4
x(2x+ 3y + 5z)
để áp dụng bất đẳng thức
Cauchy–Schawrz. Chúng ta làm như sau:
Chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy– Schawrz dạng Engel ta có:
V T =
x4
x(2x+ 3y + 5z)
+
y4
y(2y + 3z + 5x)
+
z4
z(2z + 3x+ 5y)
 (x
2 + y2 + z2)
2
2(x2 + y2 + z2) + 8(xy + yz + zx)
Lại có: x2 + y2 + z2  xy + yz + zx nên
V T  (x
2 + y2 + z2)
2
10(x2 + y2 + z2)
=
x2 + y2 + z2
10
 1
30
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
1
3
Bài toán 6 Cho ba số thực dương a; b; c.thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3abc.Chứng
minh rằng:
a
b2c2
+
b
c2a2
+
c
a2b2
 9
a+ b+ c
Phân tích bài toán:
Tiếp cận bài toán chúng ta thấy vế trái của bất đẳng thức có dạng phân thức,.Như
vậy chúng ta nghĩ tới sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng Engel để chứng
minh.Vì giả thiết đề bài cho a2 + b2 + c2 = 3abc nên để tận dụng tối đa giả thiết này
thì chúng ta làm cho xuất hiện a2 + b2 + c2.Điều đó giải thích cho tại sao chúng ta lại
phân tích
a
b2c2
=
a4
a3b2c2
chứ không phân tích
a
b2c2
=
a2
ab2c2
dù chúng cùng đưa về dạng
bình phương ở tử số.
Chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng Engel, ta có:
V T =
a4
a3b2c2
+
b4
b3c2a2
+
c4
c3a2b2
 (a
2 + b2 + c2)
2
a2b2c2(a+ b+ c)
=
(3abc)2
a2b2c2(a+ b+ c)
=
9
a+ b+ c
Hoàng Minh Quân 5 THPT Ngọc Tảo-Hà Nội
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1
Bài toán 7 Cho ba số thực dương a; b; c thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng:
a4
(a+ b)2(a+ c)
+
b4
(b+ c)2(b+ a)
+
c4
(c+ a)2(c+ b)
 3
8
Phân tích bài toán:
Tiếp cận bài toán chúng ta thấy , vế trái của bất đẳng thức có dạng phân số, như vậy
chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwartz dạng Engel để chứng minh.
Để ý một chút chúng ta thấy
∑
cyc
a4
(a+ b)2(a+ c)
có thể viết lại thành
∑
cyc
a4
(a+b)2
(a+ c)
và như
vậy dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng Engel đã xuất hiện. Công
việc của chúng ta chỉ là áp dụng để chứng minh.
Chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng Engel, ta có:
∑
cyc
a4
(a+ b)2(a+ c)

(∑
cyc
a2
a+b
)2
2(a+ b+ c)
(1)
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng Engel, ta có:∑
cyc
a2
a+ b
 (a+ b+ c)
2
2(a+ b+ c)
=
a+ b+ c
2
(2)
Từ (1) và (2) ta có:∑
cyc
a4
(a+ b)2(a+ c)

(
a+b+c
2
)2
2(a+ b+ c)
=
a+ b+ c
8
 3
3
p
abc
8
=
3
8
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1
Bài toán 8 Cho ba số thực dương a; b; c.Chứng minh rằng:
a3
a3 + abc+ b3
+
b3
b3 + abc+ c3
+
c3
c3 + abc+ a3
 1
Phân tích bài toán:
Tiếp cận bài toán chúng ta thấy , vế trái của bất đẳng thức có dạng phân số, như vậy
chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwartz dạng Engel để chứng minh.
Tuy nhiên quan sát chúng ta lại thấy bậc của tử số và mẫu số của mỗi phân thức đều
cùng bậc ba. Do đó đây là bất đẳng thức thuần nhất để đơn giản chúng ta có thể chuẩn
hóa abc = 1.Với việc chuẩn hóa abc = 1, chúng ta sử dụng phép thế thích hợp để đưa
bất đẳng thức đã cho về bất đẳng thức đơn giản hơn mà chúng ta dễ nhận ra việc áp
dụng được bất đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng Engel để chứng minh.
Chứng minh
Bất đẳng thức thuần nhất nên ta chuẩn hóa abc = 1 .
Đặt a = 3
√
x
y
; b = 3
√
y
z
; c = 3
√
z
x
Với x; y; z > 0
Ta có:
a3
a3 + abc+ b3
=
x
y
x
y
+ 1 + z
x
=
x2
x2 + xy + yz
Hoàng Minh Quân 6 THPT Ngọc Tảo-Hà Nội
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
x2
x2 + xy + yz
+
y2
y2 + yz + zx
+
z2
z2 + zx+ xy
 1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng Engel, ta có:
x2
x2 + xy + yz
+
y2
y2 + yz + zx
+
z2
z2 + zx+ xy
 (x+ y + z)
2
x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx)
Hay
x2
x2 + xy + yz
+
y2
y2 + yz + zx
+
z2
z2 + zx+ xy
 (x+ y + z)
2
(x+ y + z)2
= 1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1.
Bài toán 9 Cho ba số thực dương a; b; c .Chứng minh rằng:
a2 + b2
a+ b
+
b2 + c2
b+ c
+
c2 + a2
c+ a
 a+ b+ c
Phân tích bài toán:
Quan sát bài toán chúng ta thấy bất đẳng thức của đề bài ra nhìn khá phức tạp và
chưa có dấu hiệu gì cho việc sử dụng được bất đẳng thức Cauchy- Schwartz nhưng
bằng việc nắm chắc sử dụng Cauchy- Schwarz dạng Engel thì chúng ta có thể tách ra
để được các phân thức có tử số là dạng bình phương. Bài toán đến đây trở nên dễ dàng
hơn rồi.
Chứng minh
Ta có:
a2 + b2
a+ b
+
b2 + c2
b+ c
+
c2 + a2
c+ a
=
a2
a+ b
+
b2
a+ b
+
b2
b+ c
+
c2
b+ c
+
c2
c+ a
+
a2
c+ a
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwartz dạng Engel, ta có:
a2
a+ b
+
b2
a+ b
+
b2
b+ c
+
c2
b+ c
+
c2
c+ a
+
a2
c+ a
 [2(a+ b+ c)]
2
4(a+ b+ c)
= a+ b+ c
(Điều phải chứng minh)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bài toán 10 (USAMO 2003)Cho ba số thực dương a; b; c .Chứng minh rằng:
(2a+ b+ c)2
2a2 + (b+ c)2
+
(2b+ c+ a)2
2b2 + (c+ a)2
+
(2c+ a+ b)2
2c2 + (a+ b)2
 8
Phân tích bài toán:
Đây là một bài toán khá hay trong kì thi học sinh giỏi nước Mĩ năm 2003, bài toán
này có khá nhiều cách chứng minh và thật thú vị chúng ta có thể giải bằng cách sơ
cấp là áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng Engel. Khi giagr dạy giáo viên
phân tích cho học sinh hiểu tại sao chúng ta nghĩ ra được cách giải này.
Tiếp cận bài toán chúng ta thấy vế trái của bất đẳng thức có dạng phân thức, dù tử
số của mỗi phân số đều có dạng bình phương .Điều đó gợi cho chúng ta nghĩ tới sử
dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng Engel nhưng chúng ta chưa thể sử dụng
ngay được vì dấu của bất đẳng thức đã cho là dấu “ ”. Vậy ta tìm cách đưa về bất
Hoàng Minh Quân 7 THPT Ngọc Tảo-Hà Nội
đẳng thức mà có thể sử dụng tốt bất đẳng thức Cauchy- Schwartz dạng Engel.Khi đó
Để ý chúng ta thấy :3 (2a+ b+ c)
2
2a2 + (b+ c)2
=
2(b+ c a)2
2a2 + (b+ c)2
Do đó:
(2a+ b+ c)2
2a2 + (b+ c)2
+
(2b+ c+ a)2
2b2 + (c+ a)2
+
(2c+ a+ b)2
2c2 + (a+ b)2
 8
tương đương
2(b+ c a)2
2a2 + (b+ c)2
+
2(c+ a b)2
2b2 + (c+ a)2
+
2(a+ b c)2
2c2 + (a+ b)2
 1
Đến đây việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwartz dạng Engel là dễ dàng.Chúng
ta làm bài này như sau:
Chứng minh
Ta có nhận xét sau: 3 (2a+ b+ c)
2
2a2 + (b+ c)2
=
2(b+ c a)2
2a2 + (b+ c)2
Do đó bất đẳng thức đã cho được viết lại.
2(b+ c a)2
2a2 + (b+ c)2
+
2(c+ a b)2
2b2 + (c+ a)2
+
2(a+ b c)2
2c2 + (a+ b)2
 1 (1)
Bây giờ chúng ta chứng minh Bất đẳng thức (1).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel ta có: a2 + b2  (a+ b)
2
2
từ đó
ta có:
(a+ b)2  2(a2 + b2); (b+ c)2  2(b2 + c2); (a+ c)2  2(a2 + c2) nên
V T (1) =
2(b+ c a)2
2a2 + (b+ c)2
+
2(c+ a b)2
2b2 + (c+ a)2
+
2(a+ b c)2
2c2 + (a+ b)2
 2(b+ c a)
2
2(a2 + b2 + c2)
+
2(c+ a b)2
2(a2 + b2 + c2)
+
2(a+ b c)2
2(a2 + b2 + c2)
Vậy ta cần chứng minh
(b+ c a)2 + (c+ a b)2 + (a+ b c)2
a2 + b2 + c2
 1 tức là ta chỉ cần
chứng minh (b+ c a)2 + (c+ a b)2 + (a+ b c)2  a2 + b2 + c2
tương đương a2 + b2 + c2  (ab+ bc+ ca)  0 (Đúng) .
Vậy ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Như vậy qua việc phân tích và cách giải 10 bài toán trên cho nhiều tình huống khác
nhau. Hi vọng bạn đọc sẽ nắm được ý tưởng của việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy–
Schawrz vào việc chứng minh các bài toán bất đẳng thức.Sau đây là một số bài toán
mời bạn đọc tự giải để củng cố thêm kĩ năng làm bài:
Bài toán 11 (Nebits)Cho ba số thực dương a; b; c.Chứng minh rằng:
a
b+ c
+
b
c+ a
+
c
a+ b
 3
2
Bài toán 12 (Croatia 2004) Cho ba số thực dương a; b; c.Chứng minh rằng:
x2
(x+ y)(x+ z)
+
y2
(y + z)(y + x)
+
z2
(z + x)(z + y)
 3
4
Hoàng Minh Quân 8 THPT Ngọc Tảo-Hà Nội
Bài toán 13 (Rumani 2004) Cho ba số thực dương a; b; c. Chứng minh rằng:
a
bc(c+ a)
+
b
ca(a+ b)
+
c
ab(b+ c)
 27
2(a+ b+ c)
Bài toán 14 (Vasc)Cho ba số thực a; b; c không âm và hai trong ba số không
đồng thời bằng 0.Chứng minh rằng:
1
4a2 + b2 + c2
+
1
4b2 + c2 + a2
+
1
4c2 + a2 + b2
 1
2(a2 + b2 + c2)
+
1
ab+ bc+ ca
Bài toán 15 (Hoàng Minh Quân)Cho các số thực a; b; c > 0 thỏa mãn
ab+ bc+ ca = 1.Chứng minh rằng:
a
(3b+ 5c)3
+
b
(3c+ 5a)3
+
c
(3a+ 5b)3
 9
512
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội.
2. Phạm Văn Thuận, Lê Vĩ, Bất đẳng thức suy luận và khám phá, NXB ĐHQG Hà
Nội.
3. Võ Quốc Bá Cẩn,Trần Quốc Anh , Bất đẳng thức và những lời giải hay, NXB Hà
Nội,2009.
4. T.Andreescu,V.Cirtoaje, G.Dospinescu, M.Lascu.Old and New Inequalities, Gil pub-
lishing House
5. 
Hoàng Minh Quân 9 THPT Ngọc Tảo-Hà Nội