Bài tập tổng hợp nâng cao và mở rộng về đường tròn

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
BÀI TẬP TỔNG HỢP
BÀI TẬP LIÊN QUAN
1. Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các nửa
đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB. Đường vuông góc với AB
tại C cắt nửa đường tròn lớn tại D. DA, DB cắt nửa đường tròn có đường kính AC,
CB theo thứ tự tại M, N.
a.  Tứ giác DMCN là hình gì?
b.  Chứng minh hệ thức DM. DA = DN. DB
c.  Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các đường tròn có đường kính
AC và CB.
d.  Điểm C ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất?
Xem lời giải tại:
2. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B, OO' = 3 cm. Qua A kẻ một
đường thẳng cắt các đường tròn (O) và (O') theo thứ tự E và F (A nằm giữa E và
F). Vậy đoạn thẳng EF có độ dài lớn nhất bằng bao nhiêu.
Xem lời giải tại:
3. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn. Gọi xy là tiếp tuyến
với đường tròn tại A. Từ một điểm M nằm trên xy, vẽ tiếp tuyến MB với đường
tròn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB.
a.  Chứng minh rằng ba điểm M, O, H thẳng hàng.
b.  Tứ giác AOBH là hình gì?
c.  Khi M di chuyển trên xy thì H di chuyển trên đường nào?
Xem lời giải tại:
4. Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R) tiếp xúc ngoài tại A (R > R'). Vẽ các
đường kính AOB, AO'C, dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung
điểm K của BC.
a.  Chứng minh rằng tứ giác BDCE là hình thoi.
b.  Gọi I là giao điểm của EC và đường tròn (O'). Chứng minh rằng 3 điểm D, A, I
thẳng hàng.
c.  Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O').
Xem lời giải tại:
5. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN tới
đường tròn đường kính BC. Chứng minh rằng ba điểm M, H, N thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
6. Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC. Kẻ
dây AD ⊥ BC tại I. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông
góc với BC, cắt BC tại H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng:
a.  ΔEBF là tam giác cân
b.  ΔHAF là tam giác cân
c.  HA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Xem lời giải tại:
7. Cho ΔABC cân tại A. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác.
a.  Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng AC với đường tròn (O) ngoại
tiếp ΔBIC
b.  Gọi H là trung điểm của BC, IK là đường kính của đường tròn (O).
Chứng minh rằng 
AI
AK
=
HI
HK
.
Xem lời giải tại:
8. Cho ΔABC vuông ở A, đường cao AH. Đường tròn tâm (A) bán kính AH. Gọi
HD là đường kính của đường tròn (A; AH) tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA
tại E.
a.  Chứng minh ΔBEC cân
b.  Gọi I là hình chiếu của A trên BE. Chứng minh rằng AI = AH
c.  Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH)
d.  Chứng minh rằng BE = BH + DE
Xem lời giải tại:
9. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa
đường tròn vẽ các tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Gọi M là điểm thuộc
nửa đường tròn, D là giao điểm của AM và By, C là giao điểm của BM và Ax, E là
trung điểm của BD. Chứng minh rằng:
a.  AC. BD = AB2
b.  ME là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).
Xem lời giải tại:
10. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc
nửa đường tròn. H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới AB, vẽ đường tròn (M;
MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn M (C và D là các tiếp điểm khác
H).
a.  Chứng minh rằng C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b.  Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC
+ BD không đổi.
c.  Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi
Xem lời giải tại:
11. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di
động trên đường thẳng d⊥OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B,
C là các tiếp điểm). Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.
a.  Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố
định.
b.  Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định
c.  Cho biết OA = 2R, hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác MBOC là
nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Xem lời giải tại:
12. Cho hai đường tròn (M; 15) và (N; 15) cùng tiếp xúc ngoài với đường tròn 
(O; 15) sao cho O nằm giữa M và N. Tia đối của tia MO cắt đường tròn (M) tại A.
Vẽ dây AC của đường tròn (M) sao cho AC = 12√6.
a.  Chứng minh rằng đường thẳng AC tiếp xúc với đường tròn (N)
b.  Đường thẳng AC cắt đường tròn (O) tại D và E. Tính độ dài DE.
Xem lời giải tại:
13. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A sao cho OA = R√2 vẽ các tiếp tuyến
AB, AC với đường tròn, 
^
DOE = 450 nằm trong 
^
BOC (D ∈ AB; E ∈ AC). Chứng
minh rằng:
a.  DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b. 
2
3
R < DE < R
Xem lời giải tại:
14. Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N
đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
a.  Chứng minh rằng NE⊥AB
b.  Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh rằng FA là tiếp tuyến của
đường tròn (O)
c.  Chứng minh rằng FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).
Xem lời giải tại:
15. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung
ngoài DE, D ∈ (O); E ∈ O ′ . Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A, cắt DE ở I. Gọi M
là giao điểm của OI và AD, N là giao điểm của O’I và AE.
a.  Tứ giác AMIN là hình gì? vì sao?
b.  Chứng minh hệ thức IM. IO = IN. IO ′
c.  Chứng minh rằng OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là DE.
d.  Tính độ dài DE biết rằng OA = 5cm; O ′A = 3, 2cm.
( )
Xem lời giải tại:
16. Cho đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Gọi AB và CD là các tiếp tuyến
chung ngoài trong đó A, C ∈ (O); B, D ∈ O ′ . Đường thẳng AD cắt (O) và (O’)
lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:
a.  Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
b.  AE = DF.
Xem lời giải tại:
17. Cho ΔABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). AC = 40cm; BC = 48cm. Tính
khoảng cách từ O đến BC.
Xem lời giải tại:
18. Cho ΔABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O); cạnh bên bằng b, đường cao 
AH = h. Tính bán kính của đường tròn.
Xem lời giải tại:
19. Cho ΔABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi M là trung điểm của BC. Giả
sử O nằm trong ΔAMC hoặc O nằm giữa A và M. Gọi I là trung điểm của AC.
Chứng minh rằng:
a.  Chu vi của ΔIMC lớn hơn 2R
b.  Chu vi của ΔABC lớn hơn 4R
Xem lời giải tại:
20. Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm bất kỳ thuộc cung BC không
chứa A. Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xứng với M qua AB, AC. Tìm vị trí M
để DE có độ dài lớn nhất.
( )
Xem lời giải tại:
21. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của
AC, tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt tia BD tại E. Tia CE cắt (O) tại điểm
thứ hai là F.
a.  Chứng minh BC // AE
b.  Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành.
c.  Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của các tia BC và OI . Tính tỉ số 
^
BAC
^
BGO
.
Xem lời giải tại:
22. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, AC là dây cung của nó. Kẻ tiếp
tuyến Ax và kẻ đường phân giác của 
^
CAx cắt đường tròn tại E và BC kéo dài tại
D. Gọi I là giao điểm của AC và BE. Chứng minh:
a.  Tam giác ADB cân
b.  OE // BD
c.  DI⊥AB
d.  Khi C chạy trên đường tròn (O) thì D chạy trên đường nào
Xem lời giải tại:
23. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi E là
giao điểm CM và DN.
a.  Tính 
^
CEN
b.  Chứng minh: A, D, E, M cùng thuộc một đường tròn.
c.  Xác định tâm của đường tròn đi qua 3 điểm B, D, E.
Xem lời giải tại:
24. Cho hai đường tròn (O) và (O’) có cùng bán kính cắt nhau tại A và B. Kẻ cát
tuyến chung DAE của hai đường tròn D ∈ (O); E ∈ O ′ . Chứng minh rằng 
BD = BE.
Xem lời giải tại:
25. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và một điểm I nằm giữa A và B. Gọi
C là một điểm trên nửa đường tròn (O). Đường thẳng qua C vuông góc với IC cắt
các tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A và B lần lượt ở M và N. 
a.  ΔCAI ∼ ΔCBN
b.  ΔABC ∼ ΔINC
Xem lời giải tại:
26. Cho ΔMAB. Vẽ đường tròn (O), đường kính AB cắt MA ở C cắt MB ở D. Kẻ AP
⊥CD, BQ⊥CD. Gọi giao điểm của AD với BC là H. Chứng minh:
a.  CP = DQ
b.  PD. DQ = AP. BQ
c.  QC. CP = PD. QD
d.  MH⊥AB
Xem lời giải tại:
27. Cho đường tròn (O) và đường thẳng d tiếp xúc nhau tại A. Gọi BC là một
đường kính của đường tròn, H và K là hình chiếu của B và C trên d. Chứng minh:
a.  BA là tia phân giác của 
^
OBH
b.  Các đường tròn (B; BH) và (C; CK) tiếp xúc ngoài với nhau
c.  BC là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH)
d.  Chứng minh các đường tròn (B; BH); (C; CK) và (A; AH) cùng đi qua một
điểm.
Xem lời giải tại:
( )
28. Bán kính của đường tròn nội tiếp một tam giác bằng 2cm, tiếp điểm trên
một cạnh chia cạnh đó thành hai đoạn thẳng 4cm và 6cm. Tính các cạnh còn lại
của tam giác.
Xem lời giải tại:
29. Cho ΔABC ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi D, E, F theo thứ tự là tiếp điểm
trên các cạnh BC, AB, AC. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến EF. Chứng
minh rằng: 
^
BHE =
^
CHF
Xem lời giải tại:
30. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, kẻ tiếp tuyến chung
ngoài MN với M ∈ (O) và N ∈ O ′ . Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’, Q là
điểm đối xứng với N qua OO’. Chứng minh rằng:
a.  MNQP là hình thang cân
b.  PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)
c.  MN + PQ = MP + NQ
Xem lời giải tại:
31. Cho nửa đường tròn đường kính AB, qua điểm C bất kỳ trên nửa đường tròn
dựng đường thẳng d là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C. Gọi E, F lần lượt là
hình chiếu của A, B lên d, H là hình chiếu của C lên AB. chứng minh rằng:
a.  C là trung điểm của đoạn thẳng EF.
b.  BC là tia phân giác của 
^
ABF
c.  CH2 = AE. BF
Xem lời giải tại:
32. Cho ΔABC có BC = a; AC = b; AB = c. Gọi (I) là đường tròn nội tiếp ΔABC
đường vuông góc với CI tại I cắt AC, BC theo thứ tự M, N. Chứng minh rằng:
( )
a.  AM. BN = IM2 = IN2.
b. 
IA2
bc
+
IB2
ca
+
IC2
ab
= 1.
Xem lời giải tại:
33. Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau, kẻ các tiếp tuyến chung ngoài
AB và CD (A, C thuộc (O); B, D thuộc (O’)). Kẻ tiếp tuyến chung trong GH (G
thuộc (O); H thuộc (O’)). GH cắt AB, CD theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng:
a.  AB = EF
b.  EG = FH
Xem lời giải tại:
34. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài nhau tại A, kẻ tiếp tuyến
chung ngoài BC, trong đó B ∈ (O); C ∈ O ′ . OI cắt AB tại K, IO’ cắt AC tại H
a.  Tứ giác IKAH là hình gì?
b.  Tứ giác OBCO’ là hình gì? Tính chu vi của tứ giác OBCO’.
c.  Gọi D là giao điểm của CA với đường tròn (O) (D ≠ A) , chứng minh rằng ba
điểm B, O, D thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
35. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi CD là tiếp tuyến
chung ngoài của hai đường tròn C ∈ (O); D ∈ O ′ .
a.  Tính số đo 
^
CAD
b.  Tính độ dài CD biết OA = 4, 5cm; O ′A = 2cm
Xem lời giải tại:
36. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B (O và O’ thuộc hai nửa mặt
phẳng bờ AB). Một cát tuyến kẻ qua A cắt đường tròn (O) ở C, cắt đường tròn
(O’) ở D. Kẻ OM⊥CD và O’N⊥CD.
( )
( )
a.  Chứng minh MN =
CD
2
b.  Gọi I là trung điểm của MN, Chứng minh rằng đường thẳng kẻ qua I vuông
góc với CD đi qua điểm cố định khi cát tuyến CD qua A thay đổi.
c.  Nếu CD / /OO ′  thì tứ giác MOO’N là hình gì?
Xem lời giải tại:
37. Cho đường tròn (O), đường kính AB và điểm I nằm giữa A và O. Qua I kẻ dây
cung CD rồi kẻ AH, OE, BK vuông góc với CD. Đường thẳng OE cắt BH ở F. Chứng
minh:
a.  F là trung điểm của HB
b.  OE =
BK − AH
2
c.  AI. IK = IH. IB
Xem lời giải tại:
BÀI TẬP NÂNG CAO VÀ MỞ RỘNG
BÀI TẬP LIÊN QUAN
38. Cho ΔABC có AC > AB. Đường tròn tâm I nội tiếp ΔABC tiếp xúc với AB, BC
lần lượt ở D, E. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AC, BC. Gọi K là giao điểm
của MN và AI. Chứng minh rằng:
a.  Bốn điểm I, E, K, C thuộc cùng một đường tròn.
b.  Ba điểm D, K, E thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
39. Cho điểm B nằm giữa A và C, sao cho AB = 14cm; BC = 28cm. Vẽ về một phía
của AC các nửa đường tròn (I), (K), (O) có đường kính theo thứ tự là AB, BC, AC.
Tính bán kính của đường tròn (M) tiếp xúc ngoài với các nửa đường tròn (I), (K)
và tiếp xúc trong với đường tròn (O)
Xem lời giải tại:
40. Gọi R và r theo thứ tự là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp
một tam giác vuông có diện tích S. Chứng minh rằng: R + r ≥ √2S
Xem lời giải tại:
41. Gọi ha, hb, hc là các đường cao ứng với các cạnh a, b, c của một tam giác, r là
bán kính của đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng:
a.  ha + hb + hc ≥ 9r. Đẳng thức xảy ra khi nào?
b.  h2a + h
2
b + h
2
c ≥ 27r
2. Đẳng thức xảy ra khi nào?
Xem lời giải tại:
42. Gọi r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác vuông và h là đường cao
ứng với cạnh huyền. Chứng minh rằng: 2 <
h
r
< 2, 5.
Xem lời giải tại:
43. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O;
R), lấy E ∈ Ax sao cho AE > R. Kẻ tiếp tuyến ME với đường tròn (O; R); M ≠ A.
a.  Chứng minh rằng BM / /OE
b.  Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt BM tại N. Chứng minh rằng tứ giác
OBNE là hình bình hành.
c.  Cho R = 4cm; OE = 6cm, tính diện tích hình thang OBME.
d.  AN cắt OE tại K, EM cắt ON tại I, EN cắt OM tại J. Chứng minh rằng ba điểm I, J,
K thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
44. Cho ΔABC chứng minh rằng các tiếp điểm trên cạnh BC của đường tròn
bàng tiếp Aˆ và của đường tròn nội tiếp đối xứng với nhau qua trung điểm của
BC.
Xem lời giải tại:
45. Gọi a, b, c lần lượt là các cạnh của ΔABC , ha, hb, hc là các đường cao tương
ứng, Ra, Rb, Rc là bán kính của các đường tròn bàng tiếp tương ứng, r là bán
kính của đường tròn nội tiếp, p là nửa chu vi tam giác, S là diện tích tam giác.
Chứng minh rằng:
a.  S = Ra(p − a) = Rb(p − b) = Rc(p − c)
b. 
1
Ra
=
1
hb
+
1
hc
−
1
ha
Xem lời giải tại:
46. Cho hai đường tròn tâm (O; R) và (O ′ ; R ′ ) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến
chung ngoài BC.
a.  Tính BC
b.  Tính diện tích tứ giác OBCO’
c.  Khi R ′ =
R
3
, tính diện tích giới hạn bởi BC và hai cung AB, AC
Xem lời giải tại:
47. Cho đường tròn tâm (I) bán kính r nội tiếp ΔABC. Chứng minh rằng: 
IA + IB + IC ≥ 6r
Xem lời giải tại:
48. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B, vẽ dây AC của
(O) sao cho AC⊥AO ′ , vẽ dây AD của (O’) sao cho AD⊥AO.
a.  Qua O kẻ đường vuông góc với AC, qua O’ kẻ đường vuông góc với AD chúng
cắt nhau tại K. Tứ giác AOKO’ là hình gì? vì sao?
b.  Gọi E là điểm đối xứng của A qua B. Chứng minh rằng 4 điểm A, C, D, E cùng
thuộc một đường tròn.
Xem lời giải tại:
49. Cho hai đường tròn (O; 3cm) và (O’; 1cm) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến
chung ngoài BC (B ∈ (O); C ∈ O ′ ). Tính độ dài các cạnh của ΔABC. 
Xem lời giải tại:
50. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ một điểm C thuộc (O) kẻ 
CH⊥AB(C ≠ A, B; C ∈ AB). Đường tròn (C; CH) cắt (O) tại D và E. Chứng minh
rằng DE đi qua trung điểm của CH.
Xem lời giải tại:
51. Cho ΔABC vuông tại A, AC > AB, đường cao AH. Gọi E là điểm đối xứng với B
( )
qua H, đường tròn đường kính EC cắt AC ở K. Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến
của đường tròn đường kính EC.
Xem lời giải tại:
52. Hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau ở A và B. Các điểm M, N theo thứ tự di
chuyển trên các đường tròn (O) và (O') sao cho chiều từ A đến M và từ A đến N
trên các đường tròn đều theo chiều quay của kim đồng hồ và cung AM, AN có số
đo bằng nhau. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm
cố định.
Xem lời giải tại:
53. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB cố định. P là một điểm cố định nằm
giữa B và O. Một góc vuông MPN quay xung quanh đỉnh P (M, N thuộc đường
tròn (O; R)). Gọi I là trung điểm của MN.
a.  Chứng minh: R2 = IO2 + IP2
b.  Tìm quỹ tích của điểm I. (không chứng minh phần đảo)
Xem lời giải tại: