Tuyển tập 45 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Có đáp án)

2), (13;11;2), (7;5;3) 
và các hoán vị của nó. 
0.5 
Câu 4 (6 điểm) 
+ Tứ giác AMHN nội tiếp nên 
 
AMN AHN= 0.5 
+ Lại có 
 
AHN ACH= (vì cùng phụ với góc 
CHN ) 0.5 
+ Suy ra 
 
ACB AMN= , mà 
 
 0180AMN NMB+ = nên 
 
 0180ACB NMB+ = 0.5 
1 
(2 điểm) 
KL: 0.5 
+ Có 
 
AID AOH= vì cùng bằng hai lần 
ACB . 0.5 
+ Tam giác AD AIAID AOH
AH AO
⇒ =
 

 0.5 
+ Có 1 1 1 1( ), AI= .
2 2 2 2
AO BC HB HC AH HB HC= = + = 0.5 
2 
(2 điểm) 
+ Do đó 1 1 1 .
. .
AO HB HC
AD AH AI HB HC HB HC
+
= = = + 
0.5 
+ Tính được BC=5, 12
5
AH = 0.5 3 (2 điểm) 
+ Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN. Khi đó 
KI là đường trung trực của đoạn MN. 0.5 
Do hai tam giac AID và AOH đồng dạng nên 
 
 090ADI AHO⇒ = = 
OA MN⇒ ⊥ 
Do vậy KI//OA. 
+ Do tứ giác BMNC nội tiếp nên OK BC⊥ . Do đó AH//KO. 
+ Dẫn đến tứ giác AOKI là hình bình hành. 0.5 
Bán kính 
2 2 2 2 2 21 1 1 769
4 4 4 10
R KB KO OB AI BC AH BC= = + = + = + = 0.5 
Câu 5 (1 điểm) 
Ta có: 2 2 2 2 22 3 ( ) ( 1) 2 2 2 2a b a b b ab b+ + = + + + + ≥ + + 
Tương tự: 2 22 3 2 2 2b c bc c+ + ≥ + + , 2 22 3 2 2 2c a ac a+ + ≥ + + 
0.5 
Suy ra: 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1( )
2 3 2 3 2 3 2 1 1 1
1 1 1 1 1( ) .1 1 12 1 21 1
a b b c c a ab b bc c ac a
ab b
a
a ab b
+ + ≤ + +
+ + + + + + + + + + + +
= + + =
+ + + + + +
0.5 
Điểm toàn bài (20điểm) 
Lưu ý khi chấm bài: 
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, 
hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo 
thang điểm tương ứng. 
- Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm. 
 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO 
NGHỆ AN 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS 
NĂM HỌC 2010 - 2011 
Môn thi: TOÁN - BẢNG B 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Câu 1 (5,0 điểm). 
 a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì 2n n 2+ + không chia hết cho 3. 
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 2n 17+ là một số chính phương. 
Câu 2 (5,0 điểm) 
 a) Giải phương trình: 2x 4x+5 = 2 2x+3+ 
 b) Giải hệ phương trình: 
2
2
2x+y = x
2y+x = y



Câu 3 (3,0 điểm). 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2
4x+3
A
x 1
=
+
Câu 4 (4,5 điểm) 
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE, CF của 
tam giác ABC cắt nhau tại H. 
a) Chứng minh rằng BH.BE + CH.CF = 2BC 
b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh rằng K∈(O). 
Câu 5 (2,5 điểm). 
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC 
không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường 
thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh 
rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. 
- - - Hết - - - 
Họ và tên thí sinh:................................................................................ Số báo danh: ..................................... 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS 
NĂM HỌC 2010 - 2011 
ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC 
Môn: TOÁN - Bảng B 
------------------------------------------- 
Câu: Nội dung 
1. 
*) Nếu 2n 3 n n 3⇒ +M M 
nên 2n n 2 3/+ + M (1) 
*) Nếu 2n 3 n 2 3/ ⇒ +M M 
2n n 2 3/⇒ + + M (2) 
a, 
(2,5) 
Từ (1) và (2) n Z⇒∀ ∈ thì 2n n 2 3/+ + M 
Đặt 2 2m n 17= + (m N)∈ 
2 2m n 17 (m n)(m n) 17 1.17⇒ − = ⇒ − + = = =17.1 
Do m + n > m - n 
m n 17 m 9
m n 1 n 8
+ = = 
⇒ ⇒ 
− = = 
b, 
(2,5) 
Vậy với n = 8 ta có 2 2n 17 64 17 81 9+ = + = = 
2. 
 Giải phương trình 2x 4x+5=2 2x+3+ (1) 
Điều kiện: 32x+3 0 x -
2
≥ ⇒ ≥ 
(1) 2x 4x+5-2 2x+3 0⇔ + = 
2
x 2x+1+2x+3-2 2x+3 1 0⇔ + + = 
2 2(x 1) ( 2x+3 1) 0⇔ + + − = 
x 1 0
2x+3 1 0
+ =
⇔ 
− =
x 1
2x+3=1
= −
⇔ 

a, 
(2.5) 
 x 1⇔ = − thỏa mãn điều kiện 
Giải hệ phương trình 
2
2
2x+y=x
2y+x=y



Trừ từng vế 2 phương trình ta có: 2 2x y x y− = − 
b, 
(2.5) 
(x y)(x y 1) 0⇔ − + − = 
(1) 
(2) 
x y x y
x y 1 0 x 1 y
= = 
⇔ ⇔ + − = = − 
Ta có: 
*) x y x y
x(x 3) 0 x 0
= = 
⇔ 
− = = 
Vậy (x; y) = (0;0); (3;3) 
*) 
2 2 2
x 1 y x 1 y x 1 y
2x+y = x 2 2y y (1 y) y y 1 0
= − = − = −  
⇔ ⇔  
− + = − − + =  
 (*) 
Vì phương trình 2y y 1 0− + = vô nghiệm nên hệ (*) vô nghiệm 
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 0); (3; 3) 
3. 
Tìmgiá trị nhỏ nhất của 
2
4x+3
A
x 1
=
+
Ta có: 
2
2 2
4x+3 x 4x+4
A 1
x 1 x 1
+
= = − +
+ +
2
2
(x 2)
A 1 1
x 1
+
= − + ≥ −
+
Dấu "=" xảy ra x 2 0 x 2⇔ + = ⇔ = − 
Vậy 
min
A 1= − khi x = -2 
4. 
H
K
E
I
F O
B
A
C
Gọi I là giao điểm của AH và BC ⇒ AI ⊥ BC 
Ta có: ∆BHI ∆BCE (g, g) 
BH BI
BH.BE BC.BI
BC BE
⇒ = ⇒ = (1) 
Ta có: ∆CHI ∆CBF (g, g) 
CH CI
CH.CF BC.CI
CB CF
⇒ = ⇒ = (2) 
a, 
(2,5) 
Từ (1) và (2) suy ra BH.HE + CH.CF = BC(BI + CI) = BC2 
Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC suy ra  HCB KCB= b, 
(2,0) 
Mà  FAI HCI= (do tứ giác AFIC nội tiếp) 
S 
S 
hoặc x = 3 
    FAI BCK hay BAK BCK⇒ = = 
 ⇒ tứ giác BACK nội tiếp đường tròn (O) ⇒ K ∈ (O) 
5. 
 + Khi  0BAC 90= ⇒  0BIC 90= . 
 ⇒ F trùng với B, E trùng với C lúc đó EF là đường kính. 
 ⇒ EF đi qua điểm O cố định. 
K
F
E
O
A
B
C
I
+ Khi BAC 900. 
Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF. 
 EIF EAF⇒ = (cùng bù BIC ) 
 EKF EIF= (Do I và K đối xứng qua EF) 
 EKF EAF⇒ = 
 AKFE⇒ nội tiếp 
 KAB KEF⇒ = (cung chắn KF ) (1) 
 IEF KEF= (Do K và I đối xứng qua EF) (2) 
 IEF BIK= (cùng phụ KIE ) (3) 
Từ (1), (2), (3)  KAB BIK⇒ = 
 ⇒ AKBI là tứ giác nội tiếp 
 ⇒ K (O)∈ 
 Mà EF là đường trung trực của KI ⇒ E, O, F thẳng hàng. 
+ Khi BAC > 900 ⇒ BIC < 900 chứng minh tương tự. 
Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O cố định. 
- - - Hết - - - 
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 THCS 
 CÀ MAU NĂM HỌC 2008-2009 
 Môn thi: Toán 
 Ngày thi: 01 – 03 – 2009 
 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Baøi 1 (3,0 ñieåm): 
a) Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: S = 2 + 3 2 - 3+
2 - 3 2 + 3
b) Ruùt goïn bieåu thöùc: y = 2 2x - 2x + 1 + x - 4x + 4 
Baøi 2 (3,0 ñieåm): 
a) Chöùng minh raèng soá a = ( )2 3 1 2- 3+ laø soá höõu tæ. 
b) Cho ña thöùc f(x) = mx3 + (m – 2)x2 – (3n – 5)x – 4n. Xaùc ñònh m, n 
sao cho ña thöùc f(x) chia heát cho x + 1 vaø x – 3. 
Baøi 3 (3,0 ñieåm): 
Tìm moät soá töï nhieân goàm ba chöõ soá sao cho khi ta laáy chöõ soá ôû haøng ñôn 
vò ñaët veà beân traùi cuûa soá goàm hai chöõ soá coøn laïi, ta ñöôïc moät soá coù ba chöõ soá 
lôùn hôn chöõ soá ban ñaàu 765 ñôn vò. 
Baøi 4 (3,0 ñieåm): Cho ña thöùc f(x – 1) = x2 – (m + 1)x – m2 + 2m – 2 . 
 a) Tìm f(x). 
 b) Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa f(x) khi m = – 2. 
Baøi 5 (3,5 ñieåm): 
Cho hình bình haønh ABCD. Goïi I laø trung ñieåm cuûa caïnh CD, E laø giao 
ñieåm cuûa AC vaø BI, F laø giao ñieåm cuûa hai tia AB vaø DE. Chöùng minh raèng : 
a) B laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AF. 
b) Neáu BC = BD thì AC = FD. 
c) Neáu AC = FD thì BC = BD. 
 Baøi 6 (4,5 ñieåm): Cho töù giaùc ABCD noäi tieáp ñöôøng troøn (O) trong ñoù hai 
ñöôøng cheùo AC vaø BD caét nhau taïi M. Cho bieát ADB laø tam giaùc caân coù goùc 
A > 900. 
a) Chöùng minh raèng: AD2 = AM.AC . 
b) Goïi I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc DCM vaø J laø taâm ñöôøng 
troøn ngoaïi tieáp tam giaùc BCM. Chöùng minh raèng: · ·IDB = JBD . 
c) Chöùng minh raèng: Toång caùc ñoä daøi cuûa hai ñoaïn thaúng ID vaø JB 
khoâng tuyø thuoäc vaøo vò trí cuûa ñieåm C treân cung lôùn BD cuûa ñöôøng troøn (O). 
---------- HEÁT ---------- 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH 
 LONG AN MÔN THI :TOÁN 
 NGÀY THI: 07/4/2011 
 THỜI GIAN :150 phút (không kể thời gian phát đề) 
Bài 1:(4 điểm) 
 1/ Không sử dụng máy tính , thực hiện phép tính : 
 A = 3 5 3 5
2 2 3 5 2 2 3 5
+ −
+
+ + − −
 2/ Cho biểu thức: 
 B = 2 4x x− + − (với 2 4x≤ ≤ ) 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B và giá trị x tương ứng 
Bài 2:( 5 điểm) 
 1/ Cho hàm số y = ax2 (a ≠ 0) có đồ thị là (P) đi qua M(-1;2) . Trên (P) lấy A và B có 
hoành độ tương ứng là 1 và 2 . Xác định m để đường thẳng y = mx +5 song song với 
đường thẳng AB 
 2/ Tìm x thỏa mãn : 2 2 3 21 1 1 (2 2 1)
4 4 2
x x x x x x− + + + = + + + 
Bài 3: (5 điểm) 
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn có AB < AC nội tiếp đường tròn O bán kính R. 
Ba đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H 
 a/ Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF 
 b/ Kẻ đường kính AK của đường tròn O.Gọi S là diện tích tam giác ABC 
Chứng minh : S = . .
4
AB AC BC
R
 c/ Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh: tứ giác DFEM là nội tiếp 
Bài 4 : (3 điểm) 
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Gọi các khoảng cách 
từ M đến ba cạnh BC, AC, AB tương ứng là x,y,z . Hãy xác định vị trí M trong tam giác 
sao cho biểu thức : a b cP
x y z
= + + đạt giá trị nhỏ nhất 
Bài 5 : (3 điểm) 
Tìm một số chính phương có bốn chữ số , mỗi chữ số nhỏ hơn 9. Biết rằng khi tăng mỗi 
chữ số thêm một đơn vị thì số mới được tạo thành cũng là số chính phương. 
_______________ 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH 
 LONG AN MÔN THI : TOÁN 
 NGÀY THI : 11/4/2012 
 THỜI GIAN : 150 phút (không kể thời gian phát đề) 
Bài 1: ( 4 điểm) 
 1/ Không sử dụng máy tính, hãy thực hiện phép tính: 
A = 2 3 4 15 10
23 3 5
- + - +
-
2/ Cho biểu thức B = 3x 6 x x 1 x 2
x x 2 x 2 1 x
+ + +
- +
+ - + -
a/ Tìm điều kiện xác định và rút gọn B. 
b/ Tìm giá trị lớn nhất của B và giá trị x tương ứng. 
Bài 2: (5 điểm) 
 1/ Tìm hệ số a > 0 sao cho các đường thẳng y = ax – 1 ; y = 1 ; y = 5 và trục tung tạo thành hình 
thang có diện tích bằng 8 (đơn vị diện tích). 
 2/ Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn đồng thời 1 1 1 2
x y z
+ + = và 2
2 1 4
xy z
− = . Tính giá trị của 
biểu thức P = (x + 2y + z)2012. 
Bài 3: (5 điểm) 
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF (D Î BC, EÎ AC, 
F Î AB) cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) theo thứ tự ở M, N, K. Chứng minh rằng: 
a/ BH.BE + CH.CF = BC2. 
 b/ AH.AD + BH.BE + CH.CF = 
2 2 2
2
AB BC CA+ +
. 
 c/ 4AM BN CK
AD BE CF
+ + = . 
Bài 4: (3 điểm) 
Cho đoạn thẳng CD = 6 cm, I là một điểm nằm giữa C và D ( IC > ID). Trên tia Ix vuông góc 
với CD lấy hai điểm M và N sao cho IC = IM, ID = IN, CN cắt MD tại K ( )K MD∈ , DN cắt MC tại L 
( )L MC∈ . Tìm vị trí của điểm I trên CD sao cho CN.NK có giá trị lớn nhất. 
Bài 5: (3 điểm) 
Tìm các cặp số (x; y) nguyên dương thỏa mãn: xy + 2x = 27 – 3y. 
----------------------------------------------------- Hết -------------------------------------------- 
Họ và tên thí sinh :. 
Số báo danh : 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH 
 LONG AN MÔN THI : TOÁN 
 NGÀY THI : 11/4/2012 
 THỜI GIAN : 150 phút (không kể thời gian phát đề) 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
Bài Câu Nội dung Điểm 
1 
A = 
2 3 4 15 10
23 3 5
- + - +
-
( )
( )
2 2 3 4 15 10
2 23 3 5
- + - +
=
-
4 2 3 8 2 15 2 5
46 6 5
- + - +
=
-
( ) ( )
( )
2 2
2
3 1 5 3 2 5
3 5 1
- + - +
=
-
3 1 5 3 2 5
3 5 1
- + - +
=
-
3 5 1
3 5 1
-
=
-
= 1 
0,5 
0,25 
0,75 
0,25 
0,25 
1 
(4đ) 
2 
 a/ ĐKXĐ x 0,x 1³ ¹ 
B = 
3x 6 x x 1 x 2
x x 2 x 2 1 x
+ + +
- +
+ - + -
 ( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
2
x 1 x 1 x 23x 6 x
x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2
+ - ++
= - -
- + - + - +
 ( )( )
3x 6 x x 1 x 4 x 4
x 1 x 2
+ - + - - -
=
- +
 ( )( )
x 2 x 3
x 1 x 2
+ -
=
- +
0,25 
0,5 
0,25 
ĐỀ CHÍNH THỨC
( )( )
( )( )
x 1 x 3
x 1 x 2
- +
=
- +
x 3
x 2
+
=
+
b) x 3B
x 2
+
=
+
 Với x 0,x 1³ ¹ 
 Mà x 2 2+ ³ 
1 1
2x 2
Û £
+
1 31
2x 2
Û + £
+
Dấu “ = “ xãy ra khi x 0 x 0= Û = (tmđk) 
Vậy giá trị lớn nhất của B là 
3
2
khi x = 0. 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
D
CB
A
O
y=1
y=5
0,5 
2 
(5đ) 
1 
+) Kí hiệu hình thang ABCD cần tìm như hình vẽ. 
+) Tính được C( 6 ;5)
a
; D( 2 ;1)
a
 BC = 6
a
; AD = 2
a
+) 6 2 .4 : 2 8ABCDS
a a
 
= + = 
 
⇒a = 2 ( Thỏa ĐK a > 0) 
+) Vậy phương trình đường thẳng là y = 2x – 1. 
0,5 
0,5 
0,25 
0,25 
2 
+) Ta có 1 1 1 2
x y z
+ + = ⇒
2
1 1 1 4
x y z
 
+ + = 
 
+) Do đó 
2
2
1 1 1 2 1
x y z xy z
 
+ + = − 
 
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 2 1 0
x y z xy yz zx xy z
⇔ + + + + + − + = 
2 2 2 2
1 2 1 1 2 1 0
x xz z y yz z
  
⇔ + + + + + =   
   
221 1 1 1 0
x z y z
  
⇔ + + + =   
   
2
2
1 1 1 10
1 11 1 0
x z x z
x y z
y zy z
 
−+ = =    
⇔ ⇔ ⇔ = = − 
−   =+ =   
Thay vào 1 1 1 2
x y z
+ + = ta được x = y = 1
2
; z =
1
2
−
Khi đó P = 
2012
20121 1 12. 1 1
2 2 2
− 
+ + = = 
 
0,25 
0.25 
0,25 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,25 
H
D
E
F
K
N
M
o
A
B C
 3 
(5đ) 
a +) Tứ giác DCEH có 
 
 0 0 090 90 180HDC HEC+ = + = 
⇒Tứ giác DCEH nội tiếp⇒ 
 
HED HCD= ( cùng chắn cung HD) 
* ∆ BDE và ∆ BHC có 
 
HED HCD= và 
EBC chung. 
⇒ ∆ BDE đồng dạng ∆ BHC (g.g) 
0,5 
0,25 
⇒ . .
BD BE BH BE BC BD
BH BC
= ⇒ = (*) 
*Chứng minh tương tự đẳng thức (*)ta được : CH.CF = CD.CB (**) 
Cộng (*) và (**) theo vế ta được: 
BH.BE + CH.CF = BC.BD + CD.CB 
 = (BD + CD).BC 
 = BC.BC = BC2 (1) 
0,5 
0,25 
0,5 
b +) Chứng minh tương tự đẳng thức (1) ta được: 
BH.BE + AH.AD = AB2 (2) và AH.AD + CH.CF = AC2 (3) 
+) Cộng (1), (2), (3) theo vế ta được: 
2(AH.AD + BH.BE + CH.CF) = AB2 + AC2 + BC2 
⇔ AH.AD + BH.BE + CH.CF = 
2 2 2
2
AB BC CA+ +
. 
0,5 
0.75 
0.25 
c +) Ta có: 
 
MBC MAC= ( cùng chắn cung MC) 

 
MAC CBE= ( cùng phụ 
BCA ) 
Nên 
 
MBC CBE= ⇒BC là phân giác 
MBE 
* ∆ MBH có BC là đường cao đồng thời là đường phân giác nên là tam giác cân tại 
B 
⇒BC đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh MH. 
⇒D là trung điểm của MH. 
⇒DM = DH. 
*Ta có 1AM AD DM DM
AD AD AD
+
= = + (*) 
∆ BHC và ∆ ABC có chung đáy BC nên ta có BHC
ABC
S DH DM
S AD AD
= = (**) 
Từ (*) và (**) suy ra : 1 BHC
ABC
AM S
AD S
= + (1) 
Chứng minh tương tự đẳng thức (1) ta được: 
1 AHC
ABC
BN S
BE S
= + (2) và 1 AHB
ABC
CK S
CF S
= + (3) 
Công (1) (2) và (3) theo vế ta được : 
1 1 1 3 3 1 4BHC AHC AHB ABC
ABC ABC ABC ABC
AM BN CK S S S S
AD BE CF S S S S
+ + = + + + + + = + = + = 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
4 
(3đ) 
x
M
N
DC I
K
L
 +) D IND vuông tại I có IN = ID (gt) 
Þ D IND vuông cân tại I 
 
 045IND IDN⇒ = = 
* Chứng minh tương tự ta được D IMC vuông cân tại I 
 
 045ICM IMC⇒ = = 
D LCD có · · 0LCD LDC 45= = 
 Þ D LCD vuông cân tại L 
Þ DL^ MC 
Mà MI ^ CD (gt) 
Þ DL và MI là hai đường cao của D CDM cắt nhau tại N 
Þ N là trực tâm D CDM 
Þ CN^ MD hay CK^ MD 
 D CNI và D MNK có: 
· · 0CIN MKN 90= = 
· ·INC KNM= (đđ) 
Þ D CNI đồng dạngD MNK (g-g)Þ CN NI
MN NK
= 
Þ CN.NK = MN.NI 
Ta có: MN.NI = (MI – NI).NI = ( CI – ID).ID = (CD – ID – ID).ID 
 Đặt ID = x; x > 0 ta được: 
MN.NI = (6 – 2x).x = 6.x – 2x2
 = 
23 9 92 x
2 2 2
æ ö÷ç
- - + £÷ç ÷çè ø
Dấu “ = “ xảy ra khi x = 
3
2
 (TMĐK x > 0) 
Vậy CN. NK có giá trị lớn nhất là 
9
2
 khi ID = 
3
2
cm. 
0.5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
5 
(3đ) 
 Ta có: xy + 2x = 27 – 3y 
xy 2x 3y 27Û + + = 
⇔ ( ) ( )2 3 2 33x y y+ + + = 
(x 3)(y 2) 33Û + + = 
Û x 3 1
y 2 33
ì + =ïïíï + =ïî
 hoặc
x 3 33
y 2 1
ì + =ïïíï + =ïî
hoặc
x 3 3
y 2 11
ì + =ïïíï + =ïî
hoặc
x 3 11
y 2 3
ì + =ïïíï + =ïî
do x > 0, y > 0. 
Û x 2
y 31
ì = -ïïíï =ïî
(loại)hoặc
x 30
y 1
ì =ïïíï = -ïî
(loại)hoặc
x 0
y 9
ì =ïïíï =ïî
(loại)hoặc
x 8
y 1
ì =ïïíï =ïî
(tđk) 
Vậy cặp số nguyên dương cần tìm là (x; y) = (8;1) 
0,5 
0,25 
1,0 
1,0 
0,25 
(Nếu HS trình bày bài giải bằng cách khác đúng thì chấm theo thang điểm tương đương) 
 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO 
NGHỆ AN 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS 
NĂM HỌC 2010 - 2011 
Môn thi: TOÁN - BẢNG A 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Câu 1 (4,0 điểm). 
 a) Cho các số nguyên a1, a2, a3, ... , an. Đặt S = 3 3 31 2 na a ... a+ + + 
và 
1 2 n
P a a ... a= + + + . 
Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6. 
b) Cho A = 6 4 3 2n n 2n 2n− + + (với n N,∈ n > 1). Chứng minh A không phải là số 
chính phương. 
Câu 2 (4,5 điểm). 
 a) Giải phương trình: 3 210 x 1 3x 6+ = + 
 b) Giải hệ phương trình: 
1
x 3
y
1
y 3
z
1
z 3
x

+ =


+ =


+ =

Câu 3 (4,5 điểm). 
 a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và 1 1 1 4
x y z
+ + = . 
Chứng minh rằng: 1 1 1 1
2x+y+z x 2y z x y 2z
+ + ≤
+ + + +
b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn 2011 2011 2011x y z 3+ + = . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2M x y z= + + 
Câu 4 (4,5 điểm). 
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác. 
Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. (M không trùng với B và C). Gọi N và P 
lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC. 
a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng. 
b) Khi 
 0BOC 120= , xác định vị trí của điểm M để 1 1
MB MC
+ đạt giá trị nhỏ nhất. 
Câu 5 (2,5 điểm). 
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC 
không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường 
thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh 
rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. 
- - - Hết - - - 
Họ và tên thí sinh:................................................................................ Số báo danh: ..................................... 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS 
NĂM HỌC 2010 - 2011 
ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC 
Môn: TOÁN - Bảng A 
-------------------------------------------- 
Câu: Nội dung 
1. 
Với a Z∈ thì 
3a a (a 1)a(a 1)− = − +
 là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết 
cho 2 và 3. Mà (2.3)=1 
3a a 6⇒ − M
3 3 3
1 1 2 2 n n
S P (a a ) (a a ) ... (a a ) 6⇒ − = − + − + + − M
 Vậy S 6 P 6⇔M M 
6 4 3 2 2 2 2n n 2n 2n n (n 1) .(n 2n 2)− + + = + − +
 với n N∈ , n > 1 thì 
2 2n 2n 2 (n 1) 1− + = − +
 > 
2(n 1)−
 và 
2 2n 2n 2 n 2(n 1)− + = − −
 < 
2n
 Vậy 
2(n 1)− <
2n 2n 2− + <
2n
2n 2n 2⇒ − +
 không là số chính phương 
⇒
 đpcm 
2. 
3 210 x 1 3(x 2)+ = +
2 210 (x 1)(x x 1) 3(x 2)⇔ + − + = +
 điều kiện x 1≥ − 
Đặt x 1 a+ = (a 0)≥ 
2
x x 1 b− + =
 (b>0) 
Ta có: 2 210ab = 3a 3b+ 
a = 3b
(a 3b)(3a-b) = 0
b 3a

⇔ − ⇔ 
=
Trường hợp1: a = 3b 
Ta có: 
2
x 1 3 x x 1+ = − +
 (1) 
29x 9x+9=x+1⇔ −
29x 10x+8 = 0⇔ −
' 25 9.8∆ = − < 0 ⇒ phương trình (1) vô nghiệm 
Trường hợp 2: b = 3a 
Ta có: 
2
3 x 1 x x 1+ = − +
29(x 1) x x 1⇔ + = − +
 2x 10x-8 = 0⇔ −
1
2
x 5 33 (TM)
x 5 33 (TM)
 = +
⇔ 
= −
Vậy phương trình có 2 nghiệm x 5 33= ± 
1
x 3
y
1
y 3
z
1
z 3
x

+ =


+ =


+ =

Từ (3) 
3x-1
z
x
⇒ =
thay vào (2) 3xy+3 = 8x+y⇒ (4) 
Từ (1) xy 1 3y 3xy+3 = 9y⇒ + = ⇔ (5) 
Từ (4) và (5) 8x+y = 9y x y⇒ ⇒ = 
Chứng minh tương tự : y = z 
Từ đó x y z⇒ = = 
Thay vào (1) 
21
x 3 x 3x+1 = 0
x
⇒ + = ⇒ −
3 5
x
2
±
⇒ =
⇒
 hệ có 2 nghiệm 
3 5
x y z
2
±
= = =
3. 
Áp dụng bất đẳng thức 
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
 (với x,y > 0) 
Ta có: 
1 1 1 1
( )
2x+y+z 4 2x y z
≤ +
+
 ; 
1 1 1
y z 4y 4z
≤ +
+
Suy ra: 
1 1 1 1 1
( )
2x+y+z 4 2x 4y 4z
≤ + +
 (1) 
Tương tự: 
1 1 1 1 1
( )
x+2y+z 4 4x 2y 4z
≤ + +
 (2) 
1 1 1 1 1
( )
x+y+2z 4 4x 4y 2z
≤ + +
 (3) 
Từ (1),(2),(3) 
1 1 1 1 1 1 1
( )
2x+y+z x+2y+z x+y+2z 4 x y z
⇒ + + ≤ + +
1 1 1
1
2x+y+z x+2y+z x+y+2z
⇒ + + ≤
Dấu "=" xảy ra 
3
x y z
4
⇔ = = =
Áp dụng bất đẳng thức CôSy cho 2011 2011x ,x và 2009 số 1 ta có: 
2011 2011 2 20112011x x 1 1 ... 1 2011 (x )+ + + + + ≥
 2009 
2011 22x 2009 2011x⇒ + ≥
 (1) 
Tương tự: 
2011 22y 2009 2011y+ ≥