Tuyển tập 30 đề thi Học sinh giỏi Toán 7 có đáp án hay - Năm học 2010-2011 - Nguyễn Văn Tú

o ( tính chất hai góc kề bù )	
 + = 180o 
 Ba điểm I;M;K thẳng hàng 	
c/ (1,5 điểm )
Trong tam giác vuông BHE ( = 90o ) có = 50o 
 = 90o - = 90o - 50o =40o 	
 = - = 40o - 25o = 15o 	
 là góc ngoài tại đỉnh M của 
 Nên = + = 15o + 90o = 105o 
 ( định lý góc ngoài của tam giác ) 	
Bài 5: (4 điểm)
a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 	
suy ra 	
Do đó 	
b) ABC cân tại A, mà (gt) nên 
ABC đều nên 	
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra .
 Tia BM là phân giác của góc ABD 
nên 	
Xét tam giác ABM và BAD có:
AB cạnh chung ; 
Vậy: ABM = BAD (g.c.g) 
 suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC	
ĐỀ SỐ 3: 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
MÔN TOÁN LỚP 7
 (Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết 
Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn và nhỏ hơn 
Câu 3. Cho 2 đa thức 
 P = x + 2mx + m và
 Q = x + (2m+1)x + m
 Tìm m biết P (1) = Q (-1)
Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết:
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau :
 A = +5 
 B = 
Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
Chứng minh: DC = BE và DC BE
Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh: AB = ME và ABC = EMA 
Chứng minh: MA BC
ĐÁP ÁN ĐỀ 3 TOÁN 7
Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết 
0 
=>= 0; 1; 2; 3 ; 4
* = 0 => a = 0
* = 1 => a = 1 hoặc a = - 1
* = 2 => a = 2 hoặc a = - 2
* = 3 => a = 3 hoặc a = - 3
* = 4 => a = 4 hoặc a = - 4
Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn và nhỏ hơn 
Gọi mẫu phân số cần tìm là x
Ta có:
 => => -77 9x = -72 
=> x = 8
Vậy phân số cần tìm là 
Câu 3. Cho 2 đa thức 
 P = x + 2mx + m và
 Q = x + (2m+1)x + m
 Tìm m biết P (1) = Q (-1)
P(1) = 12 + 2m.1 + m2
 = m2 + 2m + 1
Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m2
 = m2 – 2m 
Để P(1) = Q(-1) thì m2 + 2m + 1 = m2 – 2m 4m = -1 m = -1/4
Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết:
 => 
=> x2 = 4.49 = 196 => x = 14
=> y2 = 4.4 = 16 => x = 4
Do x,y cùng dấu nên:
x = 6; y = 14
x = -6; y = -14
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
=> 
=> -x = 5x -12
=> x = 2. Thay x = 2 vào trên ta được:
=>1+ 3y = -12y
=> 1 = -15y
=> y = 
Vậy x = 2, y = thoả mãn đề bài
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau :
 A = +5 
Ta có : 0. Dấu = xảy ra x= -1.
 A 5.
Dấu = xảy ra x= -1.
Vậy: Min A = 5 x= -1.
B = = = 1 + 
Ta có: x 0. Dấu = xảy ra x = 0
 x + 3 3 ( 2 vế dương )
 4 1+ 1+ 4
 B 5
Dấu = xảy ra x = 0
 Vậy : Max B = 5 x = 0. 
Câu 6: 
a/ 
Xét ADC và BAF ta có:
DA = BA(gt)
AE = AC (gt)
DAC = BAE ( cùng bằng 900 + BAC )
=> DAC = BAE(c.g.c )
=> DC = BE
Xét AIE và TIC
I1 = I2 ( đđ)
E1 = C1( do DAC = BAE)
=> EAI = CTI
=> CTI = 900 => DC BE
b/ Ta có: MNE = AND (c.g.c)
=> D1 = MEN, AD = ME
mà AD = AB ( gt) 
=> AB = ME (đpcm) (1)
Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( trong cùng phía )
mà BAC + DAE = 1800
=> BAC = AEM ( 2 )
Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3). Từ (1),(2) và (3) => ABC = EMA ( đpcm)
c/ Kéo dài MA cắt BC tại H. Từ E hạ EP MH
Xét AHC và EPA có:
CAH = AEP ( do cùng phụ với gPAE )
AE = CA ( gt)
PAE = HCA ( do ABC = EMA câu b)
=> AHC = EPA
=> EPA = AHC
=> AHC = 900
=> MA BC (đpcm)
ĐỀ SỐ 4: 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1 ( 2 điểm)
 Thực hiện phép tính :
a- 
b- 
Câu 2 ( 2 điểm)
Tìm số nguyên a để là số nguyên
Tìm số nguyên x,y sao cho x-2xy+y=0
Câu 3 ( 2 điểm)
Chứng minh rằng nếu a+c=2b và 2bd = c (b+d) thì với b,d khác 0
Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+ để được một số có ba chữ số giống nhau .
Câu 4 ( 3 điểm) 
Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD=2CB . Tính góc ADE
Câu 5 ( 1điểm)
Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1
ĐÁP ÁN ĐỀ 4 
CÂU
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐIỂM
1.a
Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa
1Điểm
1.b
Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa
1Điểm
2.a
Ta có : =
 vì a là số nguyên nên là số nguyên khi là số nguyên hay a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau :
a+1
-3
-1
1
3
a
-4
-2
0
2
Vậy với athì là số nguyên
0,25
0,25
0,25
0,25
2.b
Từ : x-2xy+y=0 
Hay (1-2y)(2x-1) = -1
Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên do đó ta có các trường hợp sau :
Hoặc 
Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài
0,25
0,25
0,25
0,25
3.a
Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d)
Hay ad=bc Suy ra ( ĐPCM)
0,5
0,5
3.b
Giả sử số có 3 chữ số là =111.a ( a là chữ số khác 0)
Gọi số số hạng của tổng là n , ta có :
Hay n(n+1) =2.3.37.a 
Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n+1<74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn )
Do đó n=37 hoặc n+1 = 37
Nếu n=37 thì n+1 = 38 lúc đó không thoả mãn 
Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó thoả mãn 
Vậy số số hạng của tổng là 36
0,25
0,25
0,5
4
Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =600 do đó CDH = 300
Nên CH = CH = BC 
Tam giác BCH cân tại C CBH = 300 ABH = 150
Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân tại H 
Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 450+300=750
0,5
0,5
1,0
1,0
5
Từ : x2-2y2=1suy ra x2-1=2y2
Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x=3 lúc đó y= 2 nguyên tố thoả mãn 
Nếu x không chia hết cho 3 thì x2-1 chia hết cho 3 do đó 2y2 chia hết cho 3 Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho 3 khi đó x2=19 không thoả mãn 
Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm được thoả mãn điều kiện đầu bài là (2;3)
0,25
0,25
0,25
0,25
ĐỀ SỐ 5: 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (3đ):
1, Tính: P = 
2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. 
Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
3, Cho: A = 
Tính giá trị của A biết là số nguyên âm lớn nhất.
Bài 2 (1đ):
Tìm x biết:
 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117
Bài 3 (1đ):
Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trên đồng cỏ bằng nửa thời gian chạy qua đầm lầy. 
Hỏi vận tốc của con thỏ trên đoạn đường nào lớn hơn ? Tính tỉ số vận tốc của con thỏ trên hai đoạn đường ?
Bài 4 (2đ):
Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
1, ∆ABE = ∆ADC
2, 
Bài 5 (3đ):
Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm.
1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó.
2, Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. 
Chứng minh: AE = AB
ĐỀ SỐ 6: 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (4đ):
Cho các đa thức:
A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 
B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3
C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 
1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x)
2, Tính giá trị của M(x) khi x = 
3, Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không ?
Bài 2 (4đ):
1, Tìm ba số a, b, c biết:
3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60
2, Tìm x biết:
Bài 3 (4đ):
Tìm giá trị nguyên của m và n để biểu thức
1, P = có giá trị lớn nhất
2, Q = có giá trị nguyên nhỏ nhất
Bài 4 (5đ):
Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b. Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E.
1, Chứng minh BD = CE.
2, Tính AD và BD theo b, c
Bài 5 (3đ):
Cho ∆ABC cân tại A, . D là điểm thuộc miền trong của ∆ABC sao cho .
Tính góc ADB ?
ĐỀ SỐ 7: 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (3đ): Tính:
1, 
2, (63 + 3. 62 + 33) : 13
3, 
Bài 2 (3đ):
1, Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2005.
Tính b, c.
2, Chứng minh rằng từ hệ thức ta có hệ thức:
Bài 3 (4đ): 
Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ?
Bài 4 (3đ):
Vẽ đồ thị hàm số: 
y = 
Bài 5 (3đ):
Chứng tỏ rằng:
A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
Bài 6 (4đ):
Cho tam giác ABC có góc A = 600. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia phân giác của góc C cắt AB tại E. Các tia phân giác đó cắt nhau tại I.
Chứng minh: ID = IEĐỀ SỐ 8: 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (5đ): 
1, Tìm n N biết (33 : 9)3n = 729
 2, Tính :
 A = + 
Bài 2 (3đ):
 Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng:
 = 
Bài 3 (4đ):
 Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân ?
Câu 4 (6đ):
 Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE.
 1, Chứng minh: BE = DC.
 2, Gọi H là giao điểm của BE và CD. Tính số đo góc BHC.
Bài 5 (2đ):
 Cho m, n N và p là số nguyên tố thoả mãn: = .
Chứng minh rằng : p2 = n + 2.
ĐỀ SỐ 9: 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (2 điểm)
a, Cho 
Trong hai số A và B số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần ?
b) Số có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?
Câu 2: (2 điểm)
 Trên quãng đường AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A. Vận tốc An so với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4. 
Tính quãng đường mỗi người đi tới lúc gặp nhau ?
Câu 3: 
a) Cho với a, b, c là các số hữu tỉ.
 	Chứng tỏ rằng: . Biết rằng 
b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị lớn nhất.
Câu 4: (3 điểm)
Cho DABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 900, B và E nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AC. Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 900. F và C nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AB.
a) Chứng minh rằng: DABF = DACE
b) FB ^ EC.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm chữ số tận cùng của 
ĐỀ SỐ 10: 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính 
b) Cho 
Chứng minh rằng .
Câu 2: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu thì 
(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
b) Tìm x biết: 
Câu 3: (2điểm)
a) Cho đa thức với a, b, c là các số thực. Biết rằng f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên.
Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
b) Độ dài 3 cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba đường cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ?
Câu 4: (3 điểm) 
Cho tam giác cân ABC (AB = AC0. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.
Câu 5: (1 điểm) 
Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị lớn nhất.
ĐỀ SỐ 11: 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính:
A = 
B = 
b) Tìm các giá trị của x để: 
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho a, b, c > 0 . Chứng tỏ rằng: không là số nguyên.
b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: .
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm hai số dương khác nhau x, y biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12.
b) Vận tốc của máy bay, ô tô và tàu hoả tỉ lệ với các số 10; 2 và 1. Thời gian máy bay bay từ A đến B ít hơn thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 giờ. 
Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B mất bao lâu ?
Câu 4: (3 điểm) 
 Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi DAPQ bằng 2. 
Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450.
Câu 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng: 
ĐỀ SỐ 12: 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương đều có:
A= 
b) Tìm tất cả các số nguyên tố P sao cho là số nguyên tố.
Bài 2: ( 2 điểm)
a) Tìm số nguyên n sao cho 
b) Biết 
Chứng minh rằng: 
Bài 3: (2 điểm)
An và Bách có một số bưu ảnh, số bưu ảnh của mỗi người chưa đến 100. Số bưu ảnh hoa của An bằng số bưu ảnh thú rừng của Bách. 
+ Bách nói với An. Nếu tôi cho bạn các bưu ảnh thú rừng của tôi thì số bưu ảnh của bạn gấp 7 lần số bưu ảnh của tôi.
+ An trả lời: còn nếu tôi cho bạn các bưu ảnh hoa của tôi thì số bưu ảnh của tôi gấp bốn lần số bưu ảnh của bạn. 
Tính số bưu ảnh của mỗi người.
Bài 4: (3 điểm)
Cho DABC có góc A bằng 1200 . Các đường phân giác AD, BE, CF .
a) Chứng minh rằng DE là phân giác ngoài của DADB.
b) Tính số đo góc EDF và góc BED.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:
ĐỀ SỐ 13: 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (2 điểm)
Tính: 
Bài 2: (3 điểm)
a) Chứng minh rằng: chia hết cho 77.
b) Tìm các số nguyên x để đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Chứng minh rằng: P(x) có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên.
Bài 3: (2 điểm)
a) Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: 
 và 
b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: chia hết cho 7.
Bài 4: (2 điểm)
 Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi DAPQ bằng 2. Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450.
Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng: (a, b Î Z )
ĐỀ SỐ 14: 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (2 điểm) 
a) Tìm số nguyên dương a lớn nhất sao cho 2004! chia hết cho 7a.
b) Tính 
Bài 2: (2 điểm)
Cho 
chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên.
Bài 3: (2 điểm) 
 Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11 km để đi đến C. Vận tốc của người đi từ A là 20 km/h. Vận tốc của người đi từ B là 24 km/h. 
Tính quãng đường mỗi người đã đi. Biết họ đến C cùng một lúc và A, B, C thẳng hàng.
Bài 4: (3 điểm)
 Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH ^ BC (H Î BC). Vẽ AE ^ AB và AE = AB (E và C khác phía đối với AC). Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đường thẳng AH (M, N Î AH). EF cắt AH ở O. 
Chứng minh rằng O là trung điểm của EF.
Bài 5: (1 điểm)
So sánh: và 
ĐỀ SỐ 15: 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: (2 điểm)
Tính : ; 	
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
b) Tìm x, y, z biết: (x, y, z )
Câu 3: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dương ta có:
 	 chia hết cho 10.
b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 
Câu 4: (3 điểm)
 Cho tam giác ABC, AK là trung tuyến. Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ là AC, kẻ tia Ax vuông góc với AC; trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM = AC. Trên nửa mặt phẳng không chứa C, bờ là AB, kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấy điểm N thuộc Ay sao cho AN = AB. Lấy điểm P trên tia AK sao cho AK = KP. Chứng minh:
a) AC // BP.
b) AK ^ MN.
Câu 5: (1 điểm)
 Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác vuông với c là số đo cạnh huyền. Chứng minh rằng:
 ; n là số tự nhiên lớn hơn 0.
ĐỀ SỐ 16: 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: (2 điểm) 
Tính:
Câu 2: ( 2, 5 điểm) 
1) Tìm số nguyên m để:
a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1.
b) 
2) Chứng minh rằng: chia hết cho 30 với mọi n nguyên dương.
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm x, y, z biết:
 	; và 
b) Cho . Biết f(0), f(1), f(2) đều là các số nguyên. 
Chứng minh f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.
Câu 4: (2,5 điểm)
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. Ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH).
 a) Chứng minh: EM + HC = NH.
 b) Chứng minh: EN // FM.
Câu 5: (1 điểm)
 Cho là số nguyên tố (n > 2). Chứng minh là hợp số.
ĐỀ SỐ 17: 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: (2 điểm) Tính nhanh:
Câu 2: (2 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức với 
b) Tìm x nguyên để chia hết cho 
Câu 3: ( 2 điểm)
a) Tìm x, y, z biết và 
b) Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 15 phút. 
Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.
Câu 4: (3 điểm) 
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đường thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đường thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC và AF = AC. Chứng minh rằng:
a) FB = EC
b) EF = 2 AM
c) AM ^ EF.
Câu 5: (1 điểm)
Chứng tỏ rằng: 
ĐỀ SỐ 18: 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: (2 điểm) 
a) Thực hiện phép tính: 
b) Tính tổng: 
Câu 2: (2 điểm)
1) Tìm x biết: 
2) Trên quãng đường Kép - Bắc giang dài 16,9 km, người thứ nhất đi từ Kép đến Bắc Giang, người thứ hai đi từ Bắc Giang đến Kép. Vận tốc người thứ nhất so với người thứ hai bằng 3: 4. Đến lúc gặp nhau vận tốc người thứ nhất đi so với người thứ hai đi là 2: 5. 
Hỏi khi gặp nhau thì họ cách Bắc Giang bao nhiêu km ?
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho đa thức (a, b, c nguyên). 
 	 CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3.
b) CMR: nếu thì (Giả sử các tỉ số đều có nghĩa).
Câu 4: (3 điểm)
 Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng:
 a) AE = AF
b) BE = CF
c) 
Câu 5: (1 điểm) 
Đội văn nghệ khối 7 gồm 10 bạn trong đó có 4 bạn nam, 6 bạn nữ. Để chào mừng ngày 30/4 cần 1 tiết mục văn nghệ có 2 bạn nam, 2 bạn nữ tham gia. 
Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu cách lựa chọn để có 4 bạn như trên tham gia.
ĐỀ SỐ 19: 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: (2 điểm) 
a) Tính giá trị của biểu thức: 
b) Chứng tỏ rằng:
Câu 2: (2 điểm)
Cho phân số: (x Î Z)
a) Tìm x Î Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
b) Tìm x Î Z để C là số tự nhiên.
Câu 3: (2 điểm)
Cho . Chứng minh rằng: 
Câu 4: (3 điểm)
 Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D.
a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE.
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC ở M, chứng minh rằng các DMAB; MAC là tam giác vuông cân.
c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường thẳng này cắt BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm số nguyên tố p sao cho:
 ; là các số nguyên tố.
ĐỀ SỐ 20: 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: (2 điểm)
a) Thực hiện phép tính: 
; 
b) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000.
Câu 2: ( 2 điểm)
a) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c 17 nếu a - 11b + 3c 17 (a, b, c Î Z).
b) Biết 
 Chứng minh rằng: 
Câu 3: ( 2 điểm)
 Bây giờ là 4 giờ 10 phút. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì hai kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng.
Câu 4: (2 điểm)
 Cho DABC vuông cân tại A. Gọi D là điểm trên cạnh AC, BI là phân giác của DABD, đường cao IM của DBID cắt đường vuông góc với AC kẻ từ C tại N. 
Tính góc IBN ? 
Câu 5: (2 điểm) 
 Số 2100 viết trong hệ thập phân tạo thành một số. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số ?
ĐỀ SỐ 21: 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức 
b) Chứng minh rằng:
Câu 2: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n thì:
 chia hết cho 6.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 3: (2 điểm)
 Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút. 
Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.
Câu 4: (3 điểm)
 Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng không chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với AC. Trên tia đó lấy điểm E sao cho AE = AC. Chứng minh rằng:
a) DE = 2 AM
b) AM ^ DE.
Câu 5: (1 điểm)
 Cho n số x1, x2, , xn mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu x1. x2 + x2. x3 + + xn x1 = 0 thì n chia hết cho 4.
ĐỀ SỐ 22: 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (2 điểm) 
a) Tính giá trị của biểu thức:
b) Chứng minh rằng tổng:
Bài 2: (2 điểm)
a) Tìm các số nguyên x thoả mãn.
b) Cho p > 3. Chứng minh rằng nếu các số p, p + d , p + 2d là các số nguyên tố thì d chia hết cho 6.