Tổng hợp bài tập Casio

h.
Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1996) Giải phương trình: 1,85432x2 – 3,21458x – 2,45971 = 0
	3.1.2: Giải theo công thức nghiệm
	Tính 
	+ Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm: 
	+ Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép: 
	+ Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Ví dụ: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Giải phương trình 2,354x2 – 1,542x – 3,141 = 0
Dạng 3.2. Giải phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a≠0)
	3.2.1: Giải theo chương trình cài sẵn trên máy
Ấn nhập các hệ số a, b, c, d vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính.
Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2002) Tìm tất cả các nghiệm gần đúng với 5 chữ số thập phân của phương trình x3 – 5x + 1 = 0.
	3.2.2: Giải theo công thức nghiệm
Ta có thể sử dụng công thức nghiệm Cardano để giải phương trình trên, hoặc sử dụng sơ đồ Horner để hạ bậc phương trình bậc 3 thành tích phương trình bậc 2 và bậc nhất, khi đó ta giải phương trình tích theo các công thức nghiệm đã biết.
Chú ý: @ Nếu đề bài không yêu cầu, nên dùng chương trình cài sẵn của máy tính để giải.
Dạng 3.3. Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn
	3.3.1: Giải theo chương trình cài sẵn trên máy
Ấn nhập các hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2 vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính.
Ví dụ: GHPT rồi tính 
Chú ý: Nếu hệ phương trình vô nghiệm hoặc vô định thì máy tính sẽ báo lỗi Math ERROR.
	3.3.2: Giải theo công thức nghiệm
Ta có: với 
Dạng 3.4. Giải hệ phương trình nhất ba ẩn: Giải theo chương trình cài sẵn trên máy
Ấn nhập các hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3 vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính.
Ví dụ: Giải hệ phương trình 
Chú ý: Cộng các phương trình trên vế theo vế ta được x + y + z = 15 suy ra x = y = z = 5.
Nhận xét: 	@ Dạng toán 3 là dạng bài dễ chỉ đòi hỏi biết sử dụng thành thạo máy tính và các chương trình cài sẵn trên máy tính. Do đó trong các kỳ thi dạng toán này rất ít chúng thường xuất hiện dưới dạng các bài toán thực tế (tăng trưởng dân số, lãi suất tiết kiệm, ) mà quá trình giải đòi hỏi phải lập phương trình hay hệ phương trình với các hệ số là những số lẻ.
Bài tập tổng hợp
Bài 1: Giải các phương trình:
1.1. (Sở GD Hà Nội, 1996, Thanh Hóa, 2000): 1,23785x2 + 4,35816x – 6,98753 = 0
1.2. (Sở GD TPHCM 1998): 1,9815x2 + 6,8321x + 1,0581 = 0
1.3. x3 + x2 – 2x – 1 =0
1.4. 4x3 – 3x + 6 = 0
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
2.1.2.2. 
2.3.2.4. 
======================
CHỦ ĐỀ 9:
DÃY SỐ 
Dạng 1. Dãy Lucas
	Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = un + un-1	(với n 2. a, b là hai số tùy ý nào đó)
Nhận xét: Dãy Lucas là dãy tổng quát của dãy Fibonacci, với a = b = 1 thì dãy Lucas trở thành dãy Fibonacci. 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	----> gán u2 = b vào biến nhớ A 
	----> lấy u2+ u1 = u3 (u3 = b+a) gán vào B
Lặp lại các phím: 	----> lấy u3+ u2 = u4 gán vào A
	----> lấy u4+ u3 = u5 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta một lần và, cứ liên tục như vậy n – 5 lần.
Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2001, lớp 9) Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = un + un-1 (n 2).
a. Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
b. Sử dụng qui trình trên tính u13, u17?
u13 = 2584; u17 = 17711
Dạng 2. Dãy Lucas suy rộng dạng
	Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1	(với n 2. a, b là hai số tùy ý nào đó)
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	----> gán u2 = b vào biến nhớ A 
	----> tính u3 (u3 = Ab+Ba) gán vào B
Lặp lại các phím: 	 ----> Tính u4 gán vào A
	 ----> lấy u5 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta một lần và, cứ liên tục như vậy n – 5 lần.
Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 (n 2). Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
Dạng 3. Dãy phi tuyến dạng
	Cho Cho u1 = a, u2 = b, (với n 2).
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	----> gán u2 = b vào biến nhớ A 
	----> lấy u22+ u12 = u3 (u3 = b2+a2) gán vào B
Lặp lại các phím: 	----> lấy u32+ u22 = u4 gán vào A
	----> lấy u42+ u32 = u5 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta một lần và, cứ liên tục như vậy n – 5 lần.
Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, (n 2).
a. Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
b. Tính u7?
u6 =750797; u7 = 563 696 885165
Chú ý: Đến u7 máy tính không thể hiển thị được đầy đủ các chữ số trên màn hình do đó phải tính tay giá trị này trên giấy nháp có sử dụng máy tính hỗ trợ trong khi tính. Ví dụ: 7507972 = 750797.(750.1000+797) = 750797.750.1000 + 750797.797 = 563097750.1000 + 598385209 = 563097750000 + 598385209= 563 696 135209.
Dạng 4: Dãy phi tuyến dạng
	Cho Cho u1 = a, u2 = b, (với n 2).
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	 ----> gán u2 = b vào biến nhớ A 
	----> Tính u3 = Ab2+Ba2 gán vào B
Lặp lại các phím: 	----> Tính u4 gán vào A
	----> Tính u5 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta một lần và, cứ liên tục như vậy n – 5 lần.
Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, (n 2). Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
Dạng 5: . Dãy Fibonacci suy rộng dạng
	Cho u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2 (với n 3).
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	 ----> gán u2 = 1 vào biến nhớ A 
	 ----> gán u3 = 2 vào biến nhớ B
	 ----> tính u4 đưavào C
Lặp lại các phím: 	 ----> tính u5 gán biến nhớ A
	 ----> tính u6 gán biến nhớ B
	 ----> tính u7 gán biến nhớ C
Bây giờ muốn tính un ta và, cứ liên tục như vậy n – 7 lần.
Ví dụ: Tính số hạng thứ 10 của dãy u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2?
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	
 (u10 = 149)
Dạng 6: Dãy truy hồi dạng
	Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1+ f(n) 	(với n 2)
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	----> gán u2 = b vào biến nhớ A 
	----> tính u3 (u3 = Ab+Ba+f(n)) gán vào B
Lặp lại các phím: 	 ----> Tính u4 gán vào A
	 ----> tính u5 gán vào B
Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 + (n 2). 
a. Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
b. Tính u7?
-- Giải --
a. Lập qui trình bấm phím
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Ấn các phím: 	 
	Lặp lại các phím:
b. Tính u7 ?
Ấn các phím: (u7 = 8717,92619)
	Kết qủa: u7 = 8717,92619
Dạng 7 . Dãy phi tuyến dạng 
	Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = 	(với n 2)
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	
Lặp lại các phím: 	
Ví dụ: Cho u1 = 4; u2 = 5, . Lập qui trình ấn phím tính un+1?
-- Giải --
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	
Lặp lại các phím: 	
Bài tập tổng hợp
Bài 1: (Thi khu vực, 2001, lớp 9) Cho dãy u1 = 144; u2 = 233; un+1 = un + un-1.
a. Lập một qui trình bấm phím để tính un+1.
b. Tính chính xác đến 5 chữ số sau dấu phẩy các tỉ số 
Bài 2: (Thi khu vực, 2003, lớp 9) Cho dãy u1 = 2; u2 = 20; un+1 = 2un + un-1.
a. Tính u3; u4; u5; u6; u7.
b. Viết qui trình bấm phím để tính un.
c. Tính giá trị của u22; u23; u24; u25.
Bài 3: (Thi khu vực, 2003, lớp 9 dự bị) Cho dãy số 
a. Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy.
b. Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 và un.
c. Lập một qui trình tính un.
d. Tìm các số n để un chia hết cho 3.
Bài 4: (Thi khu vực, 2003, lớp 9 dự bị) Cho u0 = 2; u1 = 10; un+1 = 10un – un-1.
a. Lập một quy trình tính un+1
b. Tính u2; u3; u4; u5, u6
c. Tìm công thức tổng quát của un.
Bài 5: (Thi vô địch toán Lêningrat, 1967) Cho dãy u1 = u2 = 1; . Tìm số dư của un chia cho 7.
Bài 6: (Tạp chí toán học & tuổi trẻ, tháng 1.1999) Cho u1 = 1; u2 = 3, un+2 = 2un+1 – un+1. Chứng minh: A=4un.un+2 + 1 là số chính phương.
Bài 7: (Olympic toán Singapore, 2001) Cho a1 = 2000, a2 = 2001 và an+2 = 2an+1 – an + 3 với n = 1,2,3 Tìm giá trị a100?
Bài 8: (Tạp chí toán học & tuổi trẻ, tháng 7.2001) Cho dãy số un được xác định bởi: u1 = 5; u2 = 11 và un+1 = 2un – 3un-1 với mọi n = 2, 3,. Chứng minh rằng:
a. Dãy số trên có vô số số dương và số âm.
b. u2002 chia hết cho 11.
Bài 9: (Thi giỏi toán, 1995)Dãy un được xác định bởi: 
u0 = 1, u1 = 2 và un+2 = với mọi n = 0, 1, 2, 3, .
Chứng minh rằng: 
a. chia hết cho 20
b. u2n+1 không phải là số chính phương với mọi n.
Bài 10: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) Cho u1 = u2 = 7; un+1 = u12 + un-12. Tính u7=?
Bài 11: Cho dãy u1 = u2 = 11; u3 = 15; un+1 = với n3
a. Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un của dãy?
b. Tìm số hạng u8 của dãy?
Bài 12: Cho dãy u1 = 5; u2 = 9; un +1 = 5un + 4un-1 (n2).
a. Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un của dãy?
b. Tìm số hạng u14 của dãy?
Bài 13: a.Cho . Tính ?
b. Cho . Tính ?
c. Cho u0=3 ; u1= 4 ; un = 3un-1 + 5un-2 (n2). Tính u12 ?
Bài 14: (Thi khu vực 2002, lớp 9)Cho dãy số xác định bởi công thức, n là số tự nhiên, n >= 1. Biết x 1 = 0,25. Viết qui trình ấn phím tính xn? Tính x100?
Bài 15: Cho dãy 
a) Lập quy trình tính xn+1 với x1=1. b) Tính x100.
Bài 3 : Cho dãy số : U = với 
1) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy này .
2) Lập một công thức truy hồi để tính U theo U và U .
3) Viết qui trình bấm phím liên tục để tính Utrên máy .
4) Tìm tất cả các số tự nhiên n để U 3 .
Dạng 10. Phương pháp biểu diễn nghiệm dưới dạng tuyến tính:
Ví dụ 1: Cho dãy . Tìm dạng tuyến tính của dãy đã cho?
-- Giải --
Gọi số hạng tổng quát của dãy có dạng: 	(*)
Cho n = 1; 2; 3 ta được 
Thay vào (*) ta được hệ: => 
Vậy 
Chú ý: Ta có thể dùng phương pháp qui nạp để chứng minh công thức trên.
7.2.2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ 2: Cho dãy . Tìm công thức tổng quát của dãy.
-- Giải --
Ta thấy (với mọi n) vì nếu un = 0 thì un-1 = 0 hoặc un-2 = 0 do đó u2 = 0 hoặc u1 = 0. Vô lí.
Đặt khi ấy có phương trình đặc trưng có nghiệm .
Công thức nghiệm tổng quát: . Với n = 0; 1 ta có: .
Vậy hay 
7.2.2.3. Phương pháp biến đổi tương đương:
Ví dụ 3: Cho dãy . Tìm công thức tổng quát của dãy.
-- Giải --
Bình phương hai vế phương trình đã cho ta có: .
Thay n + 1 bởi n ta được: .
Trừ từng vế của hai phương trình trên ta được: 
Do nên 
Suy ra có phương trình đặc trưng có nghiệm 
Công thức nghiệm tổng quát 
Từ các giá trị ban đầu suy ra: 
Vậy số hạng tổng quát: 
*Một số dạng toán thường gặp:
1. Lập công thức truy hồi từ công thức tổng quát:
Ví dụ 1: (Thi khu vực 2005) Cho dãy số . Lập công thức truy hồi để tính theo , .
-- Giải --
Cách 1:
Giả sử (*).
Với n = 0, 1, 2, 3 ta tính được .
Thay vào (*) ta được hệ phương trình : => 
Vậy 
Chú ý: Với bài trên ta có thể giả sử thì bài toán sẽ giải nhanh hơn.
Cách 2:
Đặt khi ấy chứng tỏ là nghiệm của phương trình đặc trưng do đó ta có: và 
Suy ra: 
Vậy 
hay 
tức là .
2. Tìm công thức tổng quát từ công thức truy hồi:
Ví dụ 2: (Thi khu vực 2002) Cho dãy số(*). Tìm công thức tổng quát un của dãy?
-- Giải --
Phương trình đặc trưng của phương trình (*) là: có hai nghiệm 
Vậy 
Với n = 0; 1 ta có hệ phương trình sau: => 
Vậy số hạng tổng quát .
3. Tính số hạng thứ n của dãy khi biết công thức truy hồi:
Các giải: Nếu lặp theo công thức truy hồi mà số lần lặp quá nhiều sẽ dẫn đến thao tác sai, do đó ta sẽ đi tìm công thức tổng quát cho số hạng un theo n sau đó thực hiện tính.
Ví dụ 3: Cho dãy số. Tính số hạng thứ u100?
-- Giải --
Cách 1:
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	 
Lặp lại các phím: 
Bây giờ muốn tính u100 ta 96 lần.
Cách 2:
Tìm công thức tổng quát .
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Nhận xét: Như vậy cách 2 sẽ nhanh và chính xác hơn nhiều so với cách 1 nhưng sẽ mất thời gian để tìm ra công thức tổng quát. Do đó nếu số hạng cần tính là nhỏ thì ta dùng cách 1, còn lớn ta sẽ dùng cách 2.
VD: Cho dãy số sắp xếp thứ tự U1 ; U2 ; U3 ;. . . ; Un ; Un+1; . . .
 biết U5 = 588 ; U6 = 1084 ; . Tính U1 ; U2 ; U25
HD: U4 = 340 ; U3 = 216; U2 = 154; U1 = 123; 
U5 = 588 ; U6 = 1084 ; U25 = 520093788
VD: Cho ; và , n = 0; 1; 2; 3; . . . 
1. Lập quy trình tính .
2. Tìm công thức tổng quát của.
KQ: ; ; ; ; 
Bài tập: Cho U1 = 8; U2 = 13; Un+2 = Un+1+Un (n2)
	a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un?
	b) Áp dụng quy trình trên để tính U13, U17?
Bài tập: Cho U1 = 1; U2 = 2; Un+2 = 2Un+1- 4Un (n2)
	a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un?
	b) Áp dụng quy trình trên để tính U15,U16, U17?
Bài tập: Cho U1 = 1; U2 = 2; U3 = 3; Un+3 = 2Un+2 - 3Un+1 +2Un (n2)
	a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un?
	b) Áp dụng quy trình trên để tính U19,U20, U66, U67, U68?
	c) Tính tổng 20 số hạng đầu tiên của dãy (S20)?
Bài tập: Cho dãy số:
 ( n là số tự nhiên)
Tính u6 ; u18 ; u20 .
Quy trình: 1 gán vào A
 Viết công thức f(A).
 A + 1 gán vào A
 lặp lại 2 dòng lệnh trên.
Bài tập: tìm 20 số hạng đầu của dãy số sau:
Quy trình: Ấn 1 = ()
 (Ans + 2) : (Ans + 1) =
 Lặp lại dấu bằng =..=.
Bài tập: Cho dãy số: 
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để un là số nguyên.
Đáp số n = 4 thì U4= 3 là số nguyên.
=============
CHỦ ĐỀ 11
TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Trong rất nhiều trường hợp để giải một phương trình ta chỉ có thể tìm nghiệm gần đúng của nó (nghiệm thường là những số thập phân vô hạn), các phương trình ứng dụng trong cuộc sống thực tế phần lớn thuộc dạng phương trình này, các phương trình có nghiệm nguyên chỉ là hữu hạn mà thôi. 
Phương pháp lặp: Giả sử phương trình đa thức f(x) = 0 có nghiệm trong .
Ta biến đổi f(x) thành dạng x = g(x) (1). Lấy một giá trị x1 (đủ lớn) nào đó tùy ý trong khoảng nghiệm . Thay x1 vào (1) ta được: x2 = g(x1)	(2). Thay x2 vào (2) ta được: x3 = g(x2) (3), , cứ tiếp tục như vậy cho đến bước n + 1 mà sao cho các giá trị liên tiếp  = xn-1 = xn = xn+1 thì giá trị x đó là nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:x16 + x – 8 = 0.
-- Giải --
Ta có: x16 + x – 8 = 0 x = . Chọn x1 = 2.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Dùng phép lặp: x = 
Ấn các phím: 2 
	Kết quả: 1,128022103
Ví dụ 2: Tìm nghiệm gần đúng 
-- Giải --
Ta có: x = 1 + . Chọn x1 = 2.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Dùng phép lặp: x = 1 + 
Ấn các phím: 2
	Kết quả: 2,618033989
Ví dụ 3: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 
..Kết quả: 
Nhận xét: 	@ Phương pháp lặp để tìm nghiệm gần đúng của phương trình, xét về cách làm tương đối đơn giản, chỉ cần thay những vị trí có x trong g(x) bằng biến nhớ Ans, sau khi ấn phím giá trị kế tiếp theo lại được thay thế vào g(x). Nhưng đây là dạng toán mà hay bị sai đáp số nhất, lý do là cách biến đổi để nhận được biểu thức x = g(x) không hợp lý, biểu thức g(x) càng phức tạp thì sai số càng lớn dẫn đến những đáp số không chính xác, có trường hợp do chọn biểu thức x = g(x) khi thực hiện phép lặp làm tràn bộ nhớ máy tính hoặc quá tải.
	========================
CHỦ ĐỀ 12:
TOÁN VỀ DÃY TRUY HỒI.
I. Lý thuyết.
1. Nêu và viết các giải phương trình bậc 2.
2. Công thức truy hồi để tính Un: 
3. Công thức tổng quát để tính Un: 
Công thức (1) và (2) cùng biểu diễn để tính Un và có quan hệ với nhau.
Ở công thức (2) x1 và x2 là nghiệm của phương trình hay .
Do vậy nếu biết được công thức truy hồi ta tìm được công thức tổng quát và ngược lại.
II. Bài tập:
Dạng 1: Tìm công thức Tổng quát biết công thức truy hồi.
Bài 1: Cho dãy số (n = 1; 2; 3; )
Tìm côn thức tổng quát của Un
BG:
	Giả sử công thức tổng quát dạng: 
Trong đó là nghiệm của phương trình (*)
Giải phương trình (*) ta có: 
Suy ra 
Do nên ta có: 
Vậy công thức tổng quát cần tìm là 
Bài 2: Cho dãy số 
a) Tìm công thức tổng quát của Un.
ĐS: 
b) Tính .
Bài 3: Cho dãy số Un
Lập quy trình tính Un trên máy CASIO và tính 
Tìm công thức tổng quát của Un
Bài giải:
 a) 
 SHIFT =KQ
b) Giả sử công thức tổng quát có dạng: 
	Trong đó x1; x2; x3 là nghiệm của phương trình 
	Giải phương trình ta được: x1 =2; x2 = -3; x3 = 1
	Vì 
Vậy công thức tổng quát là: 
Dạng 2: Tìm công thức truy hồi khi biết công thức tổng quát:
Bài 1: Cho dãy số với n = 0; 1; 2; 3; ...
Tính 5 số hạng đầu tiên U0, U1, U2, U3, U4
Chứng minh rằng Un + 2 = 10Un + 1 – 18Un .
Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 theo Un + 1 và Un.
HD giải:
Thay n = 0; 1; 2; 3; 4 vào công thức ta được 
 U0 = 0, U1 = 1, U2 = 10, U3 = 82, U4 = 640
Chứng minh: Giả sử Un + 2 = aUn + 1 + bUn + c. Thay n = 0; 1; 2 và công thức ta được hệ phương trình:
 Giải hệ này ta được a = 10, b = -18, c = 0
c) Quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 trên máy Casio 570MS , Casio 570ES
 Đưa U1 vào A, tính U2 rồi đưa U2 vào B
 1 SHIFT STO A x 10 – 18 x 0 SHIFT STO B, 
 lặp lại dãy phím sau để tính liên tiếp Un + 2 với n = 2, 3, ...
 x 10 – 18 ALPHA A SHFT STO A (được U3)
 x 10 – 18 ALPHA B SHFT STO B (được U4)
Bài 2: Cho dãy số với n = 1; 2; 3; ...
Tính 5 số hạng đầu tiên U1, U2, U3, U4 , U5
Lập công thức truy hồi tính Un + 1 theo Un và Un – 1.
Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 1 trên máy Casio
Bài 3: Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức
 với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . .
 a) Tính 
 b) Lập công thức truy hồi tính theo và 
 c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính theo và 
Bài 4: 
Cho dãy số được tạo thành theo quy tắc sau: Mỗi số sau bằng tích của hai số trước cộng với 1, bắt đầu từ U0 = U1 = 1.
Lập một quy trình tính un.
Tính các giá trị của Un với n = 1; 2; 3; ...; 9
Có hay không số hạng của dãy chia hết cho 4? Nếu có cho ví dụ. Nếu không hãy chứng minh.
Hướng dẫn giải:
a) Dãy số có dạng: U0 = U1 = 1, Un + 2 = Un + 1 . Un + 1, (n =1; 2; ...)
 Quy trình tính Un trên máy tính Casio 500MS trở lên:
1 SHIFT STO A x 1 + 1 SIHFT STO B. Lặp lại dãy phím 
x ALPHA A + 1 SHIFT STO A x ALPHA B + 1 SHIFT STO B
b) Ta có các giá trị của Un với n = 1; 2; 3; ...; 9 trong bảng sau:
U0 = 1
U1 = 1
U2 = 2
U3 = 3
U4 = 7
U5 = 22
U6 = 155
U7 = 3411
U8 = 528706
U9 = 1803416167
Bài 5: Cho dãy số với n = 1; 2; 3; ...
Tính 6 số hạng đầu tiên của dãy.
lập công thức truy hồi tính Un + 2 theo Un và Un +1.
Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 trên máy Casio
b) 
Bài 6: cho dãy số Un được xác định bởi.
Bài 7:
Bài 8: 
============================
4. Một số bài toán liên quan đến tính tổng
Ví dụ: Cho 
Tính ?
Thuật toán:
Cách 1: Dùng chức năng có sẵn ,bấm quy trình sau (fx 570ES):
|shift| |log_□| |ALPHA| |X^| |Replay| |→| |1| |Replay| |→| |30| |=|
Đọc kết quả 
Cách 2: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES):
X=X+1:A=A+X^3
Bấm CALC máy hỏi:
X? Bấm 0=
A? Bấm 0=
===
Trong đó X là tổng thứ X; A là giá trị của tổng thứ X.
5. Một số dạng toán tính tích
Ví dụ: Cho (n là số lẻ).
Tính ?
Thuật toán:
Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES):
X=X+1:A=AX^2
Bấm CALC máy hỏi
X? Bấm 0=
A? Bấm 1=
=== ..
Trong đó X là tích thứ X; A là giá trị của tích thứ X.
6. Tìm điều kiện của x để tổng tích thỏa mãn điều kiện đề cho
Ví dụ: Tìm giá trị gần đúng của x để:
Thuật toán:
Cách 1: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570ES):
Bấm CALC máy hỏi:
X? Bấm 0=
Bấm = = =  nhiều lần đến khi nào kết quả gần là thì dừng.
Cách 2: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES):
X=X+1:B=B+
Bấm CALC máy hỏi
X? Bấm 0=
B? Bấm 0=
Bấm = = =  nhiều lần cho đến khi nào kết quả gần là thì dừng.
7. Một số bài toán liên quan đến tổng và tích
Bài 1: Cho 
Tính ?
Bài 2: Cho 
Tính ?
Bài 3: Cho 
Tính ?
Bài 4: Cho 
Tính ?
Bài 5: Tìm giá trị gần đúng của x thỏa:
a) 
b) 
c) 
8. Tìm số dư của phép chia dạng lũy thừa bậc cao
Ví dụ: Tìm số dư của phép chia cho 
Ta có: 
(mod )
(mod )
(mod )
(mod )
(mod )
(mod )
(mod )
(mod )
(mod )
(mod )
Suy ra (mod )
Vậy số dư của phép chia cho là .
Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia cho 
Vì là số nguyên tố. Theo định lý Fermat ta có:
(mod )
Suy ra:
(mod )
(mod 2003)
Vậy số dư của phép chia cho là .
4. Mét sè bµi to¸n sö dông tÝnh tuÇn hoµn cña c¸c sè d­ khi n©ng lªn luü thõa:
§Þnh lÝ: §èi víi c¸c sè tù nhiªn a vµ m tuú ý, c¸c sè d­ cña phÐp chia a, a2, a3, a4... cho m lÆp l¹i mét c¸ch tuÇn hoµn (cã thÓ kh«ng b¾t ®Çu tõ ®Çu).
Chøng minh. Ta lÊy m + 1 luü thõa ®Çu tiªn:
a, a2, a3, a4..., am, am+1
vµ xÐt c¸c sè d­ cña chóng khi chia cho m. V× khi chia cho m chØ cã thÓ cã c¸c sè d­ {0, 1, 2, ..., m - 2, m - 1}, mµ l¹i cã m + 1 sè, nªn trong c¸c sè trªn ph¶i cã hai sè cã cïng sè d­ khi