Toán học - Ôn luyện kiến thức về đường trung tuyến

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG
TUYẾN TRONG TAM GIÁC
BÀI TẬP ÔN TẬP
1. Cho Δ ABC, các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Cho biết 
^
NCB <
^
MBC. Chứng minh rằng BM < CN.
Xem lời giải tại:
2. Cho Δ ABC cân tại A, đường trung tuyến AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm
D sao cho HD = HA. Trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho BE = BC. Đường
thẳng AB cắt DE tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm của DE.
Xem lời giải tại:
3. Cho ΔABC, hai đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau tại G. Cho 
BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng: a2 + b2 = 5c2.
Xem lời giải tại:
4. ΔABC có ba đường trung tuyến AA', BB', CC'. Chứng minh rằng:
AA ′ + BB ′ + CC ′ >
3
4
(AB + BC + CA).
Xem lời giải tại:
5. Cho ΔABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Chứng minh rằng:
a.  BD + CE >
3
2
BC.
b.  BD <
AB + BC
2
Xem lời giải tại:
6. Cho Δ ABC có M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng
AB + AC − BC
2
< AM
Xem lời giải tại:
7. Cho Δ ABC có trọng tâm G và đường trung tuyến AD. Kéo dài GD thêm một
đoạn DI = DG. Gọi E là trung điểm của AB. IE cắt BG tại M. Chứng minh M là
trọng tâm của Δ ABI.
Xem lời giải tại:
8. Cho Δ ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho DC =
1
4
BC. Trên tia AD lấy điểm
E sao cho D là trung điểm của AE. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC.
Chứng minh rằng ba điểm M, N, E thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
9. Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai trung tuyến bằng nhau thì tam giác
đó là tam giác cân.
Xem lời giải tại:
10. Cho Δ ABC có các đường trung tuyến AD = 12 cm, BE = 9 cm, CF = 15 cm.
Tính độ dài cạnh BC theo cm (làm tròn đến số thập phân thứ 2).
Xem lời giải tại:
11. ΔABC có trung tuyến AM bằng nửa cạnh huyền. Chứng minh rằng Δ ABC
vuông tại A.
Xem lời giải tại:
12. Cho ΔABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho 
^
DAE =
^
ABD. Chứng minh rằng 
^
DAE =
^
ECB.
Xem lời giải tại:
13. Cho ΔABC, ba đường trung tuyến AD, BE, CF. Từ F kẻ đường thẳng song
song với AD cắt ED tại I.
a.  Chứng minh rằng IC // BE và IC = BE.
b.  Cho biết AD ⊥ BE, chứng minh ΔICF là tam giác vuông và chu vi của tam giác
này bằng tổng độ dài ba đường trung tuyến của ΔABC.
Xem lời giải tại:
BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO
BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO
BÀI TẬP THAM KHẢO
14. Cho tam giác ABC biết AC < AB, vẽ trung tuyến AM.
a.  So sánh các góc ABC và ACB
b.  Chứng minh rằng 
^
BAM <
^
CAM
c.  Chứng minh rằng điểm D, chân của đường phân giác AD nằm giữa trung
điểm M của cạnh BC và điểm H (chân đường cao kẻ từ đỉnh A).
Xem lời giải tại:
15. Cho hai đường thẳng p và p’ song song với nhau. Một đường thẳng q cắt p và
p’ lần lượt tại các điểm A, B. Một đường thẳng q’//q cắt p và p’ lần lượt tại các
điểm D, C.
a.  Chứng minh AD=BC; AB=DC.
b.  Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh O là trung điểm của AC, đồng
thời cũng là trung điểm của BD.
c.  Một điểm M thuộc đoạn AD và một điểm P thuộc đoạn BC sao cho AM=CP.
Chứng minh điểm O là trung điểm của đoạn thẳng MP.
d.  Một đường thẳng đi qua O, cắt đoạn thẳng AB tại điểm Q và cắt đoạn thẳng
DC tại điểm N. Chứng minh MN//PQ và MQ//NP.
Xem lời giải tại:
16. Cho tam giác ABC, gọi E, F theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh AB, AC.
Trên tia đối của FB ta lấy điểm P sao cho PF=BF. Trên tia đối của tia EC, ta lấy
điểm Q sao cho QE=CE.
a.  Chứng minh AP=AQ
b.  Chứng minh ba điểm P, A, Q thẳng hàng
c.  Chứng minh BQ//AC và CP//AB
d.  Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng PC và QB, chứng minh rằng 
Chu vi của tam giác PQR bằng hai lần chu vi của tam giác ABC.
e.  Chứng minh ba đường thẳng AR, PB, CQ đồng quy.
Xem lời giải tại:
17. Cho tam giác ABC, cân tại A, đường cao AH, biết AB=5cm, BC=6cm.
a.  Tính độ dài đoạn thẳng BH và AH.
b.  Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm A, G, H thẳng
hàng.
c.  Chứng minh rằng 
^
ABG =
^
ACG.
Xem lời giải tại:
18. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia IB lấy điểm
D sao cho ID = IB. Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của BC; CD và AB. Các
đường AM, AN cắt BD theo thứ tự G; K. Chứng minh rằng:
a.  Ba điểm C; G ;P thẳng hàng.
b.  BG = GK = KD.
Xem lời giải tại:
19. Cho ΔABC có ba góc nhọn, vẽ ra phía ngoài của ΔABC các tam giác đều ABD
và ACE. Gọi H là trọng tâm của tam giác ABD, I là trung điểm của BC, Dựng điểm
K sao cho I là trung điểm của HK. Chứng minh rằng:
a.  ΔAHE = ΔCKE.
b.  ΔEHK đều.
Xem lời giải tại:
20. Cho tam giác đều AOB. Trên tia đối của các tia OA, OB lấy theo thứ tự hai
điểm C, D sao cho OC = OD. Từ B và C kẻ BM⊥AC; CN⊥BD. Gọi P là trung điểm
của BC. Chứng minh:
a.  ΔCOD đều.
b.  AD = BC.
c.  ΔMNP đều.
Xem lời giải tại:
21. Cho ΔABC, các trung tuyến BE và CD. Trên tia đối của tia EB lấy điểm I sao
cho EI = EB. Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DC = DK.
a.  Chứng minh A là trung điểm của KI.
b.  BK cắt CI tại F. Chứng minh BI, CK, FA đồng quy tại G(là trọng tâm của tam
giác ABC).
c.  FA cắt BC tại P. Chứng minh GP =
1
4
GF.
Xem lời giải tại:
22. Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có AB = A ′B ′ , AC = A ′C ′ . Chứng minh
rằng:
a.  Nếu Aˆ >
^
A ′  thì BC > B ′C ′
b.  Nếu BC > B ′C ′  thì Aˆ >
^
A ′
Xem lời giải tại:
23. Cho cóΔABC (AB < AC). Gọi D là điểm nằm giữa A và B, E là điểm nằm giữa A
và C, sao cho BD = CE; M, N, I lần lượt là trung điểm của BC, DE, và BE.
a.  Chứng minh ΔMIN là tam giác cân
b.  Đường thẳng MN cắt đường thẳng AB ở P, cắt đường thẳng AC ở Q. chứng
minh ΔAPQ là tam giác cân.
c.  Kẻ phân giác AF của ΔABC. Chứng minh MN//AF.
Xem lời giải tại:
24. Cho tam giác ABC có Bˆ = 600; Cˆ = 300. Trên cạnh AC, AB lần lượt lấy điểm
D, E sao cho 
^
ABD = 200;
^
ACE = 100. Gọi K là giao điểm của BD và CE.
Tính các góc của tam giác KDE.
 Xem lời giải tại:
25. Chứng minh rằng tổng độ dài ba đường trung tuyến của một tam giác lớn
hơn
3
4
 chu vi và nhỏ hơn chu vi của tam giác ấy.
Xem lời giải tại:
26. Cho A nằm trong 
^
xOy nhọn. Tìm điểm B,C lần lượt thuộc Ox, Oy sao cho tam
giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
27. Chứng minh rằng: nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn
điều kiện a2 + b2 > 5c2 thì c là độ dài cạnh nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
28. Cho tam giác ABC, gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AB và BC, vẽ các
điểm MN sao cho C là trung điểm của ME và B là trung điểm của ND. Gọi K là
giao điểm của AC và DM, chứng minh N, E, K thẳng hàng.
Xem lời giải tại: