Toán học - Nâng cao kĩ năng giải toán tiếp tuyến của đường tròn

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG
TRÒN VÀ ĐƯỜNG THẲNG
BÀI TẬP
1. Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R, dây MN vuông góc với OA tại trung
điểm I của OA. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt đường thẳng OA tại E. Tính
độ dài IE theo R.
Xem lời giải tại:
2. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Hai tiếp tuyến Ax và By nằm cùng
một nửa mặt phẳng bờ AB; Qua điểm M nằm trên đường tròn, kẻ tiếp tuyến cắt
Ax và By tại D và E với DE không song song với AB. Vẽ đường tròn tâm I đường
kính DE. Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của (I)
Xem lời giải tại:
3. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O ; R) thỏa mãn OA = 3R, kẻ hai tiếp tuyến
AM và AN với đường tròn , M và N là hai tiếp điểm. Qua E thuộc cung nhỏ MN, kẻ
tiếp tuyến thứ ba với đường tròn (O) cắt AM và AN lần lượt tại H và K. Tính chu
vi tam giác AHK theo R.
Xem lời giải tại:
4. Cho điểm O cách đường thẳng (d) là 4cm. Vẽ đường tròn (O ; 5cm).
a.  Chứng minh rằng đường tròn (O) có hai giao điểm với đường thẳng (d).
b.  Gọi hai giao điểm nói trên là B và C, tính độ dài BC
Xem lời giải tại:
5. Cho điểm M ở ngoài (O ; R), qua M ta kẻ cát tuyến MAB qua tâm O và cát tuyến
MCD. Kẻ tiếp tuyến MT. Chứng minh rằng:
a.  MA.MB = MC.MD = MT2
b.  ΔMTC  ∼ Δ MDT.
Xem lời giải tại:
6. Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm. Chứng minh rằng AC là
tiếp tuyến của đường tròn tâm B bán kính BA.
Xem lời giải tại:
7. Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm và một điểm A cách O là 13cm. Kẻ tiếp
tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB.
Xem lời giải tại:
8. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính
AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A ; AH). Tiếp tuyến của đường tròn
tại D cắt AC tại E.
a.  Chứng minh rằng tam giác BEC cân.
b.  Gọi I là hình chiếu của A lên BE. Chứng minh rằng AI = AH.
c.  Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của (A ; AH)
d.  Chứng minh rằng BE = BH + DE.
Xem lời giải tại:
9. Cho đường tròn tâm O. Điểm K nằm bên ngoài (O). Kẻ các tiếp tuyến KA, KB
với đường tròn (A và B là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của (O). Tiếp tuyến
của (O) tại C cắt AB tại E. Chứng minh rằng:
a.  Tam giác KBC và tam giác OBE đồng dạng với nhau.
b.  CK  ⊥  OE.
Xem lời giải tại:
10. Cho nửa đường tròn đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa
đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên tia Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa
đường tròn, kẻ CH vuông góc với AB. Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm
của CH.
Xem lời giải tại:
11. Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi d là tiếp tuyến của đường
tròn, A là tiếp điểm. Gọi M là điểm bất kì thuộc d. Qua O kẻ đường thẳng vuông
góc với BM, cắt d tại N. Xác định vị trí của M sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
12. Cho hình thang vuông ABCD (Aˆ = Bˆ = 900) có 
^
CMD = 900, với M là trung
điểm AB. Biết AB = 2.a.
a.  Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB
b.  Tính tích BC.AD theo a.
Xem lời giải tại:
13. Cho tam giác ABC cân tại A, I là giao điểm của các đường phân giác.
a.  Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng AC với đường tròn (O) ngoại
tiếp tam giác BIC.
b.  Gọi H là trung điểm của BC, IK là đường kính của (O). Hãy chứng minh 
AI
AK
=
HI
HK
Xem lời giải tại:
BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP
TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
BÀI TẬP
14. Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các nửa
đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB. Đường vuông góc với AB
tại C cắt nửa đường tròn lớn tại D. DA, DB cắt nửa đường tròn có đường kính AC,
CB theo thứ tự tại M, N.
a.  Tứ giác DMCN là hình gì?
b.  Chứng minh hệ thức DM. DA = DN. DB
c.  Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các đường tròn có đường kính
AC và CB.
d.  Điểm C ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất?
Xem lời giải tại:
15. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn. Gọi xy là tiếp tuyến
với đường tròn tại A. Từ một điểm M nằm trên xy, vẽ tiếp tuyến MB với đường
tròn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB.
a.  Chứng minh rằng ba điểm M, O, H thẳng hàng.
b.  Tứ giác AOBH là hình gì?
c.  Khi M di chuyển trên xy thì H di chuyển trên đường nào?
Xem lời giải tại:
16. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN tới
đường tròn đường kính BC. Chứng minh rằng ba điểm M, H, N thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
17. Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R) tiếp xúc ngoài tại A (R > R'). Vẽ các
đường kính AOB, AO'C, dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung
điểm K của BC.
a.  Chứng minh rằng tứ giác BDCE là hình thoi.
b.  Gọi I là giao điểm của EC và đường tròn (O'). Chứng minh rằng 3 điểm D, A, I
thẳng hàng.
c.  Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O').
Xem lời giải tại:
18. Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC. Kẻ
dây AD ⊥ BC tại I. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông
góc với BC, cắt BC tại H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng:
a.  ΔEBF là tam giác cân
b.  ΔHAF là tam giác cân
c.  HA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Xem lời giải tại:
19. Cho ΔABC cân tại A. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác.
a.  Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng AC với đường tròn (O) ngoại
tiếp ΔBIC
b.  Gọi H là trung điểm của BC, IK là đường kính của đường tròn (O).
Chứng minh rằng 
AI
AK
=
HI
HK
.
Xem lời giải tại:
20. Cho ΔABC vuông ở A, đường cao AH. Đường tròn tâm (A) bán kính AH. Gọi
HD là đường kính của đường tròn (A; AH) tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA
tại E.
a.  Chứng minh ΔBEC cân
b.  Gọi I là hình chiếu của A trên BE. Chứng minh rằng AI = AH
c.  Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH)
d.  Chứng minh rằng BE = BH + DE
Xem lời giải tại:
21. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa
nửa đường tròn vẽ các tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Gọi M là điểm
thuộc nửa đường tròn, D là giao điểm của AM và By, C là giao điểm của BM và
Ax, E là trung điểm của BD. Chứng minh rằng:
a.  AC. BD = AB2
b.  ME là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).
Xem lời giải tại:
22. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc
nửa đường tròn. H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới AB, vẽ đường tròn (M;
MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn M (C và D là các tiếp điểm khác
H).
a.  Chứng minh rằng C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b.  Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC
+ BD không đổi.
c.  Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi
Xem lời giải tại:
23. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung
ngoài DE, D ∈ (O); E ∈ O ′ . Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A, cắt DE ở I. Gọi M
là giao điểm của OI và AD, N là giao điểm của O’I và AE.
a.  Tứ giác AMIN là hình gì? vì sao?
b.  Chứng minh hệ thức IM. IO = IN. IO ′
c.  Chứng minh rằng OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là DE.
d.  Tính độ dài DE biết rằng OA = 5cm; O ′A = 3, 2cm.
Xem lời giải tại:
24. Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N
đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
a.  Chứng minh rằng NE⊥AB
b.  Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh rằng FA là tiếp tuyến của
đường tròn (O)
c.  Chứng minh rằng FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).
( )
Xem lời giải tại:
25. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A sao cho OA = R√2 vẽ các tiếp tuyến
AB, AC với đường tròn, 
^
DOE = 450 nằm trong 
^
BOC (D ∈ AB; E ∈ AC). Chứng
minh rằng:
a.  DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b. 
2
3
R < DE < R
Xem lời giải tại:
26. Cho hai đường tròn (M; 15) và (N; 15) cùng tiếp xúc ngoài với đường tròn 
(O; 15) sao cho O nằm giữa M và N. Tia đối của tia MO cắt đường tròn (M) tại A.
Vẽ dây AC của đường tròn (M) sao cho AC = 12√6.
a.  Chứng minh rằng đường thẳng AC tiếp xúc với đường tròn (N)
b.  Đường thẳng AC cắt đường tròn (O) tại D và E. Tính độ dài DE.
Xem lời giải tại:
27. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và một điểm I nằm giữa A và B. Gọi
C là một điểm trên nửa đường tròn (O). Đường thẳng qua C vuông góc với IC cắt
các tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A và B lần lượt ở M và N. 
a.  ΔCAI ∼ ΔCBN
b.  ΔABC ∼ ΔINC
Xem lời giải tại:
28. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, kẻ tiếp tuyến chung
ngoài MN với M ∈ (O) và N ∈ O ′ . Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’, Q là
điểm đối xứng với N qua OO’. Chứng minh rằng:
a.  MNQP là hình thang cân
b.  PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)
( )
c.  MN + PQ = MP + NQ
Xem lời giải tại:
29. Cho đường tròn (O) và đường thẳng d tiếp xúc nhau tại A. Gọi BC là một
đường kính của đường tròn, H và K là hình chiếu của B và C trên d. Chứng minh:
a.  BA là tia phân giác của 
^
OBH
b.  Các đường tròn (B; BH) và (C; CK) tiếp xúc ngoài với nhau
c.  BC là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH)
d.  Chứng minh các đường tròn (B; BH); (C; CK) và (A; AH) cùng đi qua một
điểm.
Xem lời giải tại:
30. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi CD là tiếp tuyến
chung ngoài của hai đường tròn C ∈ (O); D ∈ O ′ .
a.  Tính số đo 
^
CAD
b.  Tính độ dài CD biết OA = 4, 5cm; O ′A = 2cm
Xem lời giải tại:
31. Cho nửa đường tròn đường kính AB, qua điểm C bất kỳ trên nửa đường tròn
dựng đường thẳng d là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C. Gọi E, F lần lượt là
hình chiếu của A, B lên d, H là hình chiếu của C lên AB. chứng minh rằng:
a.  C là trung điểm của đoạn thẳng EF.
b.  BC là tia phân giác của 
^
ABF
c.  CH2 = AE. BF
Xem lời giải tại:
( )