Toán học - Kiến thức cơ bản về đường tròn

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN, TÍNH CHẤT
ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
BÀI TẬP LIÊN QUAN
1. Cho đường tròn đường kính AB và điểm M (M không trùng với A và B). Chứng
minh rằng :
a.  Nếu điểm M thuộc đường tròn thì 
^
AMB = 900.
b.  Đảo lại, nếu 
^
AMB = 900 thì điểm M thuộc đường tròn đường kính AB.
Xem lời giải tại:
2. Cho tam giác đều ABC. Gọi M, H, N lần lượt là trung điểm của ba cạnh AB, BC,
CA. Chứng minh bốn điểm B, M, N, C nằm trên một đường tròn có tâm H.
Xem lời giải tại:
3. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5cm, AC = 12cm. Gọi M là trung điểm
của BC. Hãy xác định vị trí của mỗi điểm B, M, C đối với đường tròn tâm A bán
kính 6,5cm.
Xem lời giải tại:
4. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O), AC = 40cm, BC = 48cm.
Tính khoảng cách từ O đến BC.
Xem lời giải tại:
5. Cho đường tròn (O ; R) và dây cung AB ( không phải đường kính ). Kéo dài AB
về phía B lấy điểm C sao cho BC = R. Chứng minh rằng 
^
AOC = 180o ‐ 3.
^
ACO
 Xem lời giải tại:
6. Trên đường tròn (O ; R) đường kính AB lấy điểm C. Trên tia AC lấy điểm M
sao cho C là trung điểm của AM.
a.  Xác định vị trí của điểm C để AM có độ dài lớn nhất.
b.  Xác định vị trí của điểm C để AM = 2R√3.
c.  Chứng minh rằng khi C di động trên đường tròn (O) thì điểm M di động trên
một đường tròn cố định.
Xem lời giải tại:
7. Cho ba điểm A, B, C bất kì và đường tròn (O) bán kính bằng 1. Chứng minh
rằng tồn tại một điểm M nằm trên đường tròn (O) sao cho MA + MB + MC ≥ 3.
Xem lời giải tại:
8. Cho tam giác ABC. Từ trung điểm của các cạnh tam giác kẻ các đường vuông
góc với hai cạnh kia tạo thành một lục giác. Chứng minh rằng diện tích của tam
giác ABC gấp hai lần diện tích của lục giác tạo thành.
Xem lời giải tại:
9. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O). M là điểm bất kỳ thuộc cung BC không
chứa A. Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xứng với M qua AB và AC. Tìm vị trí
của M để DE có độ dài lớn nhất.
Xem lời giải tại:
10. Cho hình thang cân ABCD, hãy chứng minh rằng tồn tại một đường tròn đi
qua cả bốn đỉnh của hình thang .
Xem lời giải tại:
ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA
ĐƯỜNG TRÒN
BÀI TẬP LIÊN QUAN
11. Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, hai dây AB và CD song song với nhau
có độ dài lần lượt là 6cm và 8cm. Tính khoảng cách giữa hai dây.
Xem lời giải tại:
12. Cho đường tròn (O) có hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại
E, CE = 4cm, DE= 28cm.
a.  Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây
b.  Vẽ đường kính DF của (O). So sánh hai khoảng cách từ tâm O đến hai dây
cung CF và AB.
Xem lời giải tại:
13. Cho đường tròn tâm O bán kính OA = 11cm. Điểm M thuộc bán kính OA của
đường tròn và cách O là 7cm. Qua M kẻ dây CD có độ dài 18cm. Tính các độ dài
MC, MD (biết CD < MD ).
Xem lời giải tại:
14. Cho đường tròn tâm O bán kính 10cm, dây AB bằng 16cm. Vẽ dây CD song
song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 11cm. Tính độ dài dây CD.
Xem lời giải tại:
15. Cho đường tròn (O ; 2,5cm) và dây AB di động sao cho AB = 4cm. Hỏi trung
điểm M của AB di động trên đường nào?
Xem lời giải tại:
16. Cho đường tròn (O), hai dây AB, CD của đường tròn kéo dài cắt nhau tại
điểm M nằm ngoài (O). Gọi H, E là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng
AB < CD ⇔  MH < ME.
Xem lời giải tại:
17. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 13cm. Dây CD có độ dài 12cm
vuông góc với AB tại H.
a.  Tính các độ dài HA, HB.
b.  Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AC, BC. Tính diện tích của tứ giác
CMHN.
Xem lời giải tại:
18. Cho đường tròn (O) và dây AB không phải là đường kính. Gọi M là trung
điểm của AB, qua M vẽ dây cung CD không trùng với AB. Chứng minh rằng:
a.  M không phải là trung điểm của CD.
b.  AB < CD
Xem lời giải tại:
19. Cho đường tròn (O ; 13cm) và một điểm M cách O là 5cm.
a.  Tính độ dài dây dài nhất và dây ngắn nhất đi qua M.
b.  Có bao nhiêu dây có độ dài là một số tự nhiên đi qua M.
Xem lời giải tại:
20. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ các nửa đường tròn đường kính AB và AC
ở ngoài tam giác ABC. Qua A kẻ đường thẳng (d) cắt nửa đường tròn nói trên lần
lượt tại D và E. Xác định vị trí của (d) để chu vi tứ giác BCDE đạt giá trị lớn nhất.
Xem lời giải tại:
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG
TRÒN VÀ ĐƯỜNG THẲNG, TIẾP
TUYẾN
BÀI TẬP LIÊN QUAN
21. Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm và một điểm A cách O là 13cm. Kẻ tiếp
tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB.
Xem lời giải tại:
22. Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm. Chứng minh rằng AC
là tiếp tuyến của đường tròn tâm B bán kính BA.
Xem lời giải tại:
23. Cho điểm M ở ngoài (O ; R), qua M ta kẻ cát tuyến MAB qua tâm O và cát
tuyến MCD. Kẻ tiếp tuyến MT. Chứng minh rằng:
a.  MA.MB = MC.MD = MT2
b.  ΔMTC  ∼ Δ MDT.
Xem lời giải tại:
24. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi E là điểm đối
xứng với B qua H. Đường tròn có đường kính là EC cắt AC ở K. Chứng minh rằng
HK là tiếp tuyến của đường tròn.
Xem lời giải tại:
25. Cho tam giác ABC cân tại A, I là giao điểm của các đường phân giác.
a.  Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng AC với đường tròn (O) ngoại
tiếp tam giác BIC.
b.  Gọi H là trung điểm của BC, IK là đường kính của (O). Hãy chứng minh 
AI
AK
=
HI
HK
Xem lời giải tại:
26. Cho hình thang vuông ABCD (Aˆ = Bˆ = 900) có 
^
CMD = 900, với M là trung
điểm AB. Biết AB = 2.a.
a.  Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB
b.  Tính tích BC.AD theo a.
Xem lời giải tại:
27. Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi d là tiếp tuyến của đường
tròn, A là tiếp điểm. Gọi M là điểm bất kì thuộc d. Qua O kẻ đường thẳng vuông
góc với BM, cắt d tại N. Xác định vị trí của M sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
28. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O ; R) thỏa mãn OA = 3R, kẻ hai tiếp
tuyến AM và AN với đường tròn , M và N là hai tiếp điểm. Qua E thuộc cung nhỏ
MN, kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn (O) cắt AM và AN lần lượt tại H và K.
Tính chu vi tam giác AHK theo R.
Xem lời giải tại:
29. Cho điểm O cách đường thẳng (d) là 4cm. Vẽ đường tròn (O ; 5cm).
a.  Chứng minh rằng đường tròn (O) có hai giao điểm với đường thẳng (d).
b.  Gọi hai giao điểm nói trên là B và C, tính độ dài BC
Xem lời giải tại:
30. Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R, dây MN vuông góc với OA tại
trung điểm I của OA. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt đường thẳng OA tại E.
Tính độ dài IE theo R.
Xem lời giải tại:
31. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Hai tiếp tuyến Ax và By nằm cùng
một nửa mặt phẳng bờ AB; Qua điểm M nằm trên đường tròn, kẻ tiếp tuyến cắt
Ax và By tại D và E với DE không song song với AB. Vẽ đường tròn tâm I đường
kính DE. Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của (I)
Xem lời giải tại:
32. Cho nửa đường tròn đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa
đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên tia Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa
đường tròn, kẻ CH vuông góc với AB. Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm
của CH.
Xem lời giải tại:
33. Cho đường tròn tâm O. Điểm K nằm bên ngoài (O). Kẻ các tiếp tuyến KA, KB
với đường tròn (A và B là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của (O). Tiếp tuyến
của (O) tại C cắt AB tại E. Chứng minh rằng:
a.  Tam giác KBC và tam giác OBE đồng dạng với nhau.
b.  CK  ⊥  OE.
Xem lời giải tại:
34. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính
AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A ; AH). Tiếp tuyến của đường tròn
tại D cắt AC tại E.
a.  Chứng minh rằng tam giác BEC cân.
b.  Gọi I là hình chiếu của A lên BE. Chứng minh rằng AI = AH.
c.  Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của (A ; AH)
d.  Chứng minh rằng BE = BH + DE.
Xem lời giải tại:
35. Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Đường tròn tâm I đường
kính BH cắt AB tại M. Đường tròn tâm K đường kính HC cắt AC tại N. Gọi O là
giao điểm của AH và MN. Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của (I) tại M, là tiếp
tuyển của (K) tại N.
Xem lời giải tại:
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG
TRÒN
BÀI TẬP LIÊN QUAN
36. Cho đường tròn (O) bán kính OA và đường tròn (O') đường kính OA.
a.  Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O').
b.  Dây AN của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ tại M. Chứng minh rằng AM =
MN.
Xem lời giải tại:
37. Cho hai đường tròn (O) và (O') có cùng bán kính, cắt nhau tại hai điểm phân
biệt A và B. Kẻ một cát tuyến chung của hai đường tròn đi qua A cắt (O) tại D và
(O') tại E. Chứng minh rằng BD = BE.
Xem lời giải tại:
38. Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài
AB và CD của hai đường tròn, trong đó A và C thuộc (O); B và D thuộc (O'). Tiếp
tuyến chung của hai đường tròn là GH cắt AB và CD theo thứ tự ở E và F; G thuộc
(O), H thuộc (O'). Chứng minh rằng:
a.  AB = EF
b.  EG = FH
Xem lời giải tại:
39. Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong với nhau tại A. Qua A vẽ một
cát tuyến cắt hai đường tròn (O) và (O') lần lượt tại B và C. Kẻ các tiếp tuyến Bx
của đường tròn (O) và Cy của đườn tròn (O'). Chứng minh rằng Bx // Cy.
Xem lời giải tại:
40. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B sao cho hai điểm O và O'
cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB. Biết OA = 30cm, O'A = 26cm, AB = 48cm.
Tính độ dài OO'.
Xem lời giải tại:
41. Cho hai đường tròn (O) và (O') nằm ngoài nhau, AB và CD là hai tiếp tuyến
chung ngoài của hai đường tròn, đường thẳng AD cắt (O) tại điểm M, cắt (O') tại
điểm N. Chứng minh rằng AM = DN.
Xem lời giải tại:
42. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Qua A kẻ cát tuyến CAD
và EAF (C và E thuộc (O), A và F thuộc (O')) sao cho AB là tia phân giác của 
^
CAF.
Hãy chứng minh rằng CD = CF.
Xem lời giải tại:
43. Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Qua A vẽ hai
đường thẳng cắt (O) và (O') lần lượt tại B và C (BC không song song với OO').
a.  Chứng minh OB và O'C song song với nhau.
b.  Vẽ đường kính BD của đường tròn (O), đường kính CE của đường tròn (O').
Chứng minh rằng AB.CE = AC.BD.
Xem lời giải tại:
44. Cho ba đường tròn tâm O1, O2, O3 cùng có bán kính R và đôi một tiếp xúc
ngoài với nhau. Tính diện tích tam giác có ba đỉnh là ba tiếp điểm.
Xem lời giải tại:
45. Cho (O' ; R') tiếp xúc trong với đường tròn (O ; R) sao cho điểm O nằm trên
(O'). Một dây cung AB của (O) di động và tiếp xúc với (O') tại C. Hãy xác định vị
trí của dây AB để AC2 + BC2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Xem lời giải tại: