Toán học - Chuyên đề Số phức
dạng toán Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức
Phương pháp
Giả sử z = a + bi, thay vào giả thiết, từ đó tìm được một hệ thức đối với z, y. Suy ra tập hợp cá điểm biểu diễn số phức cần tìm
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Toán học - Chuyên đề Số phức, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ó bit thc: ( ) ( )∆ = − − = − = −
% % ' %
Vy phng trình có 2 nghim phc:
( ) ( )
− + + − − +
= = + = = − − .
c) ( ) ( ) ( )+ + + + − = , # $
Phng trình có bit thc: ( ) ( )( ) ( )∆ = + − − + = − − = −
, $ $
Vy phng trình có 2 nghim phc:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
− + + − − + − −
= = − = = − +
+ +
.
c) + + − =%
t
= . Phng trình tr thành: + + − = (*)
Phng trình (*) có bit thc: ( ) ( ) ( )∆ = − − = − − = −
% % ,
(*) có 2 nghim là:
( )
− + −
= = − ;
( )
− − −
= = −
+ Vi
=
= − = − ⇔
= −
+ Vi ( )
= −
= − = − = − ⇔
= − +
Vy phng trình ã cho có các nghim: = ; = − ;
= − ;
= − +
Chuyên S PHC Luyn thi THPT Quc gia 2016
Giáo viên: LÊ BÁ BO...0935.785.115... CLB Giáo viên tr TP Hu -17-
Bài t p 1: Gi i các phng trình sau:
( ) ( )
% # .
" & %
− −
= − − − + − =
−
G
i ý:
a) Vi iu kin ≠ , phng trình ã cho tng ng vi:
( )( ) ( )% # . # % . − − = − − ⇔ − + + + = (1)
Ta có: ( )
# % ∆ = − = −
Lúc ó:
( )
( )
# %
#
# %
+ + −
= = +
⇔
+ − −
= = +
Vy phng trình có hai nghim # = + = + .
b) Do − ≠ , nên
( ) ( )
( )
( ) ( )
%
% #
+
− − + − = ⇔ − − = ⇔ + − − + =
− −
(2)
Ta có: ( ) ( ) ( )
# , ∆ = − + + = = +
Lúc ó:
( )
( )
#
#
− + +
= =
⇔
− − +
= = − +
Vy phng trình có hai nghim = = − + .
Bài t p 2: Gi i phng trình sau: $ % # + + + + + = (1)
G
i ý: Ta có: ( )( )% %
= −
⇔ + + + = ⇔
+ + =
Xét phng trình (*):
( ) ( )
( ) ( )
%
# #
# #
% %
# #
# #
% %
− + +
= = − + = + =
+ + = ⇔
− + −
= = − − = − =
Vi
# #
#
# #
+
= = +
+
= ⇔
− −
= = − −
Vi
# #
#
# #
−
= = −
−
= ⇔
− +
= = − +
Chuyên S PHC Luyn thi THPT Quc gia 2016
Giáo viên: LÊ BÁ BO...0935.785.115... CLB Giáo viên tr TP Hu -18-
Kt lun: Vy phng trình ã cho có 5 nghim:
# # # #
! ! ! !
− + − − − − +
Bài t p 3: Gi i phng trình sau: % #
− + + + = (1)
G
i ý: Do = không là nghim c a phng trình (1) nên
⇔ − + + + =
( )
( )
#
# $
# # #
+
− =
− + − =
⇔ − − − + = ⇔ ⇔
− − − − =
− =
Gi i (2): ( ) # − + − = có ( )
, ' # ∆ = + = +
Do ó phng trình (2) có 2 nghim là:
( ) ( ) # # # #
!
% %
+ + + + − +
= = + = = − +
Gi i (3): ( ) # − − − = có ( )
, ' # ∆ = − = −
Do ó phng trình (3) có 2 nghim là:
( ) ( ) # # # #
!
% %
− + − − − −
= = − = = − −
Kt lun: Vy phng trình ã cho có 4 nghim là:
! ! !
= + = − + = − = − −
Bài t p 4: Gi i phng trình sau: ( ) ( )
# ' # ' # + + + + + − = (1)
G
i ý:
t # ' = + + . Lúc ó, phng trình (1) tr thành:
( )( ) # #
#
=
+ − = ⇔ − + = ⇔
= −
* Xét
$
# ' '
$
= − −
= + + = ⇔ + + = ⇔
= − +
* * Xét
# #
# # ' ' '
# #
= − −
= − + + = ⇔ + + = ⇔
= − +
Kt lun: Vy phng trình ã cho có 4 nghim là:
$! $! # #! # # = − − = − + = − − = − +
Bài t p 5: Gi i phng trình sau: ( ) = + + (1)
G
i ý: Gi s ! = + thay vào phng trình, ta c:
( ) ( )( ) ( )
+ = + − + ⇔ − + = + + − +
( )( )
+ − − = − = +
⇔ ⇔
= − + = − +
Chuyên S PHC Luyn thi THPT Quc gia 2016
Giáo viên: LÊ BÁ BO...0935.785.115... CLB Giáo viên tr TP Hu -19-
Gi i h c ( ) ( ) ( ) ( ) # ! # = = − − .
Vy nghim c a phng trình là: # ! # = + = − −
Bài t p 6: Gi i phng trình sau:
$
, '
+ = − (1)
G
i ý: Gi s
!
∈
= +
≠
suy ra = − và
−
= =
+ +
Khi ó, (1) tr thành:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
$ , $
, '
$ '
+ + = +−
− + = − ⇔
+ + + = +
L#y (1) chia (2) v theo v ta có:
#
%
= th vào (1) gi i c = hoc % = .
+ Vi = = ( loi ). + Vi % # = = . Ta có s phc: % # = + .
Kt lun: Vy phng trình có mt nghim là % # = + .
L u ý: Dng toán “ Gi
i phng trình bc ba ( ) = bit rng phng trình có mt
nghim th c”
Cách gii:
Bc 1: Gi s phng trình có nghim th
c là = ∈ , ta c ( ) = . Bin
i h thc trên v dng
=
+ = ⇔
=
, t ó xác !nh c .
Bc 2:Phân tích ( ) ( )( ) " #= − + + =
Tng t
vi dng toán “ Gi
i phng trình bc ba ( ) = bit rng phng trình có
mt nghim thun
o”
Bài t p 1: Gi i phng trình sau: ( ) ( )# # ' − − − − + − = (1), bit r
ng phng
trình có mt nghim th
c.
G
i ý: Vi ∈ , phng trình (1) tng ng vi:
( )
#
#
# '
# '
− − + =
− − + + + − = ⇔ ⇔ = −
+ − =
.
Lúc ó, phng trình (1) ( ) ( ) $ , ⇔ + − − + − = .
T ây, tìm c các nghim c a phng trình (1) là: # = − = + = − .
Bài t p 2: Gi i phng trình sau: ( ) ( )# # # - − − + − + = (1), bit r
ng phng
trình có mt nghim thu n o.
G
i ý: Gi s (1) có nghim thu n o là ( )= ≠ ∈ ! . Thay vào phng trình:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )# #
#
# # - ' # # -
'
#
K
#
# # -
− − + − + = ⇔ + + − − + + =
+ =
⇔ ⇔ = − = −
− − + + =
Lúc ó, (1) ( )( )# # ⇔ + − + = .
T ây, tìm c các nghim c a phng trình (1) là: # = − = + = − .
Chuyên S PHC Luyn thi THPT Quc gia 2016
Giáo viên: LÊ BÁ BO...0935.785.115... CLB Giáo viên tr TP Hu -20-
BÀI TP T/ LUYN:
Bài t p 1: Gi i phng trình sau: ( ) ( )# + − + − − = (1), bit r
ng phng
trình có mt nghim thu n o.
Bài t p 2: Gi i các phng trình sau:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
" , '# ' & # % #
' # ( ' ,
− − + − = − + − + − =
− + + + = − − + − =
Bài t p 3: Gi i phng trình sau: ( )# $ # # − + + + + = (1), bit r
ng phng
trình có mt th
c.
Bài t p 4:
a) Tìm các s th
c ! có phân tích: ( )( )# # # '# # + + − = − + + .
b) Gi i phng trình # # # '# + + − =
Bài t p 5:
a) Tìm các s th
c ! ! có phân tích:
( ) ( ) ( )( )# % , − + + + − = − + + .
b) Gi i phng trình ( ) ( )# % , − + + + − =
Bài t p 6: Cho phng trình: ( )( ) − − + − = . Xác !nh phng trình:
a) Có úng mt nghim phc.
b) Có úng mt nghim th
c.
c) Có ba nghim phc.
Bài t p 7: Gi i phng trình sau: ( ) ( )# % , − + + + − = (1), bit r
ng phng
trình có mt nghim thu n o.
Bài t p 8: G i ! là hai nghim c a phng trình
% + + = . Tính giá tr! c a biu
thc
#
= + − + .
Bài t p 9: G i ! là hai nghim c a phng trình
% − + = . Tính giá tr! c a biu
thc
( )
+
=
+
.
Bài t p 10: Chng minh r
ng nu phng trình ( )+ + = ∈ ! ! có nghim
phc α ∉ thì α c"ng là nghim c a phng trình ó.
Bài t p 11: Tìm các s th
c ! phng trình + + = nhn s phc = + làm
1 nghim.
DNG TOÁN: TÌM TP H P I0M BI0U DI1N C A S PHC
Phng pháp:
Gi s = + , thay vào gi thit, t ó tìm
c m t h thc i vi ! . Suy ra
t p h
p các im biu din s phc c n tìm.
Bài t p 1: Tìm tp hp các im biu din c a s phc tha mãn:
− + =
G
i ý: Gi s ( )= + ∈ ! có im ( ) biu din trên mt phng (Oxy).
Ta có: ( ) ( )
− + = − + +
Chuyên S PHC Luyn thi THPT Quc gia 2016
Giáo viên: LÊ BÁ BO...0935.785.115... CLB Giáo viên tr TP Hu -21-
Theo bài: ( ) ( ) ( ) ( )
− + = ⇔ − + + = ⇔ − + + =
Kt lun: Vy tp hp các im biu din c a là ng tròn tâm ( )− $ , bán kính
= .
Bài t p 2: Tìm tp hp các im biu din c a s phc tha mãn: + − ≤
G
i ý: Gi s ( )= + ∈ ! có im ( ) biu din trên mt phng (Oxy).
Ta có: ( ) ( ) + − = + + − −
Theo bài: ( ) ( ) ( ) ( )
+ − ≤ ⇔ + + − − ≤ ⇔ + + + ≤
Kt lun: Vy tp hp các im biu din c a là hình tròn tâm ( )− − $ , bán kính = .
Nh n xét: Nu bài là + − < , ta kt lun nh sau: Tp hp các im biu din c a
là hình tròn tâm ( )− − $ , bán kính = (không k ng tròn ó). Hoc: im trong
c a hình tròn tâm ( )− − $ , bán kính = (không k ng tròn ó).
Bài t p 3: Tìm tp hp các im biu din c a s phc tha mãn:
− + = + −
G
i ý: Gi s ( )= + ∈ ! có im ( ) biu din trên mt phng (Oxy).
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )
− + = − + + + − = + + − −
Theo bài: ( ) ( ) ( ) ( )
− + = + − ⇔ − + + = + + − −
( ) ( ) ( ) ( )
⇔ − + + = + + + ⇔ − + + + + = + + + + +
⇔ + =
Kt lun: Vy tp hp các im biu din c a là ng th!ng
∆ + = .
Bài t p 4: Tìm tp hp các im biu din c a s phc tha mãn: ( )
% − =
G
i ý: Gi s ( )= + ∈ ! có im ( ) biu din trên mt phng (Oxy).
Ta có:
= + + = + −
Theo bài: ( ) ( )
=
− = − = ⇔ = ⇔ = ⇔
= −
% % % %
Kt lun: Vy tp hp các im biu din c a là hai $ng hyperbol (H1): =
và (H2):
= −
.
Bài t p 5: Tìm tp hp các im biu din c a s phc sao cho
#
+ +
=
−
là mt s
thu n o.
G
i ý: Gi s ( )= + ∈ ! có im ( ) biu din trên mt phng (Oxy).
Chuyên S PHC Luyn thi THPT Quc gia 2016
Giáo viên: LÊ BÁ BO...0935.785.115... CLB Giáo viên tr TP Hu -22-
Khi ó
( )
( ) ( )
( )
# # #
+ + + − −+ + + + + = = =
− + − + −
T s b
ng ( ) # + + + − + − + là s thu n o khi và ch khi:
( )
( ) ( )
( )
+ + + − = + + + =
⇔
+ − ≠ + − ≠
# $
Kt lun: Vy tp hp các im biu din c a là mt $ng tròn tâm ( ) $ − − , bán kính
$ = , loi i im ( )0;1 .
Bài t p 6: Tìm tp hp các im biu din c a s phc tha mãn
#
%
+ −
=
− +
.
G
i ý: Gi s ( ) ! = + ∈ có im ( ) biu din trên mt phng (Oxy).
Khi ó gi thit tng ng vi
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
# % # %
# % #
+ − = − + + + − = − − −
⇔ + + − = − + − ⇔ − − =
Kt lun: Vy tp hp các im biu din c a là $ng thng: # − − = .
Bài t p 7: Tìm tp hp các im biu din c a s phc tha mãn $ − + + = .
G
i ý: Gi s ( )= + ∈ ! có im ( ) biu din trên mt phng (Oxy).,
Cách 1:Khi ó gi thit tng ng vi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
⇔ − + + + + =
− + − + +
⇔ = ⇔ − + − + + = −
− + − + +
$
,
$
$
T (1) và (2) ta có h:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
$ %
$
$
, $ %
$ $
− + = −− + + + + =
⇔
− + − + + = − + + = +
( )
( )
$ % $
$ , - - $ $
$ % , ,$ % $
$ ,
− + = − ≤
⇔ + = − ≤ ≤
+ + = + ≥ −
Kt lun: Vy tp hp các im biu din c a là elip
$ $
$ - , ,
% %
+ = − ≤ ≤
Cách 2: Gi s ( )= + ∈ ! có im ( ) biu din trên mt phng (Oxy).
Trong mt phng (Oxy) xét các im ( ) ( ) ! − .
Ta có ( ) ( ) ( )
= − − + − = + + = +
Chuyên S PHC Luyn thi THPT Quc gia 2016
Giáo viên: LÊ BÁ BO...0935.785.115... CLB Giáo viên tr TP Hu -23-
( ) ( ) ( )
= − + − = − + = −
Gi thit $ $ − + + = ⇔ + = vì + > , nên tp hp im biu
din là elip có hai tiêu im là ( ) ( ) ! − .
Ta có: ( )
$ % $ $ $
$ - , , % % -
% %
%
= =
+ = − ≤ ≤
= =
.
DNG TOÁN: TÌM S PHC CÓ MÔUN L2N NH3T, NH4 NH3T
Phng pháp:
Gi s = + , thay vào gi thit, t ó tìm
c m t h thc i vi ! . Suy ra
t p h
p các im biu din s phc c n tìm.
B !c 1: Tìm tp hp im ( )& các im biu din c a tha mãn iu kin.
B !c 2: Tìm s phc tng ng vi im biu din ( ) &∈ sao cho kho ng cách
có giá tr! ln nh#t ( hoc nh nht )
Bài t p 1: Bit r
ng s phc tha mãn ( )( )# # = + − + + là mt s th
c. Tìm giá
tr! nh nh#t c a .
G
i ý: Gi s ( )= + ∈ ! , ta có:
( )( ) ( ) ( )
( )
# # # #
% % ' %
= + − + + = + + − + − −
= + + − + + − −
Theo gi thit % ∈ ⇔ − − = .
Vy tp hp các im biu din c a là $ng thng % ' − − = . Gi s ( ) là
im biu din c a thì C
C
'⇔ ⇔ ⊥
Ta tìm c ( ) − ⇔ = − + .
Bài t p 2: Bit r
ng s phc tha mãn
+ −
=
+ −
. Tìm giá tr! nh nh#t và ln nh#t
c a .
G
i ý: Gi s ( )= + ∈ ! , ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
#
+ −
= ⇔ + + − = + − +
+ −
⇔ + + − = + + +
⇔ + + =
Vy tp hp các im biu din c a là $ng tròn tâm ( ) #$ − ,
bán kính = .
Gi s ( ) là im biu din c a thì
C
C
C"=C"=
⇔
⇔
.
x
y
M
O
- 10
I
Chuyên S PHC Luyn thi THPT Quc gia 2016
Giáo viên: LÊ BÁ BO...0935.785.115... CLB Giáo viên tr TP Hu -24-
Tìm c:
( )
( )
C
# ! #
C"= # ! #
= − + = − +
= + = − +
Bài t p 3: Trong các s phc tha mãn iu kin − − = . Tìm s phc có môun
nh nh#t.
G
i ý:
Cách 1: Nh bài trên.
Cách 2: Gi s ( )= + ∈ ! và ( ) là im biu din s phc .
Ta có: − − = tr thành: ( ) ( )
% − + − = .
Vy tp hp im là ( ) ( ) ( )
% − + − = có tâm $ bán kính = .
Chuyn phng trình $ng tròn v dng tham s:
t ( )
= +
+ +
= +
.
Môun ca s phc chính là dài ca vect
Ta có: ( ) ( ) ( )
- %
= = + + + = + +
Theo b#t ng thc Bunhiacopski ( hoc cách khác ):
( ) ( )( )
$ $
$+ ≤ + + = − ≤ + ≤
- % $ - % $ − ≤ ≤ +
Vy
C
$ $
- % $
$
%
$ $
= − = −
= − ⇔ + = − ⇔
= − = −
%
$ $
= − + −
BÀI TP T/ LUYN:
Bài t p 1: Xác !nh tp hp các im biu din các s phc tha mãn:
# $
#
+ −
=
− +
.
Lúc ó, tìm giá tr! nh nh#t và ln nh#t c a .
Bài t p 2: Trong các s phc tha mãn iu kin
#
#
− + = . Tìm s phc có
moun nh nh#t.
Bài t p 4: Trong các s phc tha mãn iu kin
$
#
+ −
=
+ −
. Tìm s phc có
moun nh nh#t.
Bài t p 5: Trong các s phc tha mãn iu kin % − − = − . Tìm s phc có
moun nh nh#t.
Chuyên S PHC Luyn thi THPT Quc gia 2016
Giáo viên: LÊ BÁ BO...0935.785.115... CLB Giáo viên tr TP Hu -25-
Bài t p 6: Xét s phc tha mãn
( )
( )
−
= ∈
− −
a) Tìm
= .
b) Tìm
%
− ≤ .
c) Tìm s phc có moun ln nh#t.
DNG TOÁN: MT S DNG TOÁN V CHNG MINH
Phng pháp:
L i gii các bài toán v" chng minh th ng
c da trên các tính cht v" môun và
liên h
p c#a s phc.
Chú ý r
ng: Nu các s phc ! có im biu din tng ng là A, B thì
! !
= = = −
Bài t p 1: Gi s ! là các s phc khác . Chng minh r
ng:
=
G
i ý:
Cách 1: D
a vào tính ch#t:
=
Ta có:
= = = = =
( .p.c.m )
Cách 2: Xu#t phát t:
= +
= +
Bài t p 2: Gi s ! là các s phc khác , tha mãn
− + = G i A, B là các
im biu din tng ng c a ! . Chng minh r
ng: OAB là tam giác u.
G
i ý:
Ta có: ( )( )# # + = + − + =
suy ra:
# ## #
= − = = =
Mt khác: ( ) ( ) − = − + − = − nên − = =
Suy ra:
= = nên
= = .
Vy OAB là tam giác u ( .p.c.m ).
Bài t p 3: Cho 3 s phc #! ! u có môun b
ng 1. Chng minh r
ng:
# # # + + = + +
G
i ý: Vì # = nên
# # # #
# #
# # #
# # #
+ + + +
+ + = = = + +
= + + = + + = + +
Suy ra: # # # + + = + + ( .p.c.m ).
Chuyên S PHC Luyn thi THPT Quc gia 2016
Giáo viên: LÊ BÁ BO...0935.785.115... CLB Giáo viên tr TP Hu -26-
Nh n xét: Trong bài gi i trên có s d'ng mt s kt qu sau:
! ! !
= = + = + =
Bài t p 4: Chng minh r
ng nu s phc tha mãn #
#
,
-
+ ≤ thì
#
+ ≤ .
G
i ý: t ( )= + ≥ ∈
!
.
Ta có:
#
#
#
,
'
+ = + + +
suy ra
#
# #
#
,
' - '
= + ≤ + + + ≤ +
Ta c: ( )( )# ' - # # # − − ≤ ⇔ − + +File đính kèm:
Chuyen_de_SO_PHUC_LTDH_2016.pdf
