Toán học - Chuyên đề: Khảo sát hàm số và bài toán liên quan

CHUYÊN ĐỀ: 
KHẢO SÁT HÀM SỐ & BÀI TOÁN LIÊN QUAN
TG: TRẦN VĂN MƯỜI
SƠ ĐỒ BÀI TOÁN: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
Tìm tập xác định của hàm số .
Tính đạo hàm y’, tìm nghiệm của phương trình y’= 0, tính giá trị của hàm số tại các nghiệm vừa tìm được.
Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
Lập bảng biến thiên.
Tìm điểm đặc biệt.
Vẽ đồ thị.
Cụ thể cho từng hàm số, sơ đồ đề nghị như sau:
1) HÀM BẬC BA:
+ Tập xác định: 
+ Đạo hàm: 
	(Hoặc y’ vô nghiệm)
+ Giới hạn: 
+ Bảng biến thiên: (Lập bảng biến thiên, đầy đủ chi tiết)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (từng khoảng): ? 
và đồng biến trên từng khoảng (khoảng): ?
Cực tiểu tại giá trị cực tiểu 
Cực đại tại giá trị cực tiểu 
(Hoặc: đồ thị không có cực trị)
+Đồ thị: qua điểm đặc biệt (phục vụ vẽ hai nhánh vô cực, nên vẽ bảng hai dòng x,y) và tâm đối xứng I(?;?)
+Vẽ đồ thị: (hướng dẫn các bước vẽ: xác định các điểm cực trị, tâm đối xứng – vẽ phần đồ thị trên khoảng chứa hai điểm cực trị- Xác định hai điểm đặc biệt A, B – vẽ hai nhánh vô cực)
Ví dụ 1:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 
+ TXĐ: D=R
+Đạo hàm: 
+Giới hạn: 
+Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên từng khoảng: và nghịch biến trên khoảng: 
Cực đại tại . Cực đại tại 
+Đồ thị:
	Điểm đặc biệt: 
 Đồ thị:
Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
+ TXĐ: D=R
+Đạo hàm: 
+Giới hạn: 
+Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng: . Không có cực trị
+Đồ thị:
Điểm đặc biệt: 
Tìm tâm đối xứng: 
 Đồ thị:
Bài tập tự luyện: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
1)	2) 	3) 
4) 	5) 	6) 
7) 	8) 	9) 
2) HÀM TRÙNG PHƯƠNG:
+ Tập xác định: 
+ Đạo hàm: 
+ Giới hạn: 
+ Bảng biến thiên: (Lập bảng biến thiên, đầy đủ chi tiết)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (từng khoảng): ? 
và đồng biến trên từng khoảng (khoảng): ?
Cực tiểu tại giá trị cực tiểu 
Cực đại tại giá trị cực tiểu 
+Đồ thị: qua điểm đặc biệt (Phục vụ vẽ 2 nhánh vô cực- nên vẽ bảng hai dòng x,y)
Vẽ đồ thị: (hướng dẫn các bước vẽ)
Ví dụ 1:
 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
+ TXĐ: D=R
+Đạo hàm: 
+Giới hạn: 
+Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng: . Nghịch biến trên: .
Cực đại tại . Cực tiểu tại 
+Đồ thị:
Điểm đặc biệt: 
 Đồ thị:
Ví dụ 2:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
+ TXĐ: D=R
+Đạo hàm: 
+Giới hạn: 
+Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng: . Nghịch biến trên: .
Cực đại tại . Cực tiểu tại 
+Đồ thị:
Điểm đặc biệt: 
 Đồ thị:
Bài tập tự luyện: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
1) 	2) 	3) 
4) 	5) 	6) 
7) 	8)	9) 
3) HÀM NHẤT BIẾN:
+ Tập xác định: 
+ Đạo hàm: 
+ Giới hạn: : tiệm cận ngang 
 Giới hạn: : tiệm cận đứng 
+ Bảng biến thiên: (Lập bảng biến thiên, đầy đủ chi tiết)
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng: ? 
Hoặc đồng biến trên từng khoảng : ?
Không có cực trị
+Đồ thị: qua điểm đặc biệt (là giao điểm với các trục tọa độ)
Vẽ đồ thị: (hướng dẫn các bước vẽ: vẽ hai tiệm cận- xác định hai điểm A,B- vẽ hai nhánh đối xứng qua giao điểm hai tiệm cận- Chú ý: vẽ đúng tính “tiệm cận”)
Ví dụ 1:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
+ TXĐ: 
+Đạo hàm: 
+Giới hạn:
 : tiệm cận ngang y=-2
 : tiệm cận đứng x=1
+Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng: . Không có cực trị 
+Đồ thị:
Điểm đặc biệt: 
 Đồ thị:
Ví dụ 2:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
+ TXĐ: 
+Đạo hàm: 
+Giới hạn:
 : tiệm cận ngang y=2
 : tiệm cận đứng x=-1
+Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng: . Không có cực trị 
+Đồ thị:
Điểm đặc biệt: 
 Đồ thị:
Bài tập tự luyện: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
1) 	2) 	3) 
4) 	5)	6)
7)	8)	9)
BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
Cho hàm số có đồ thị (C).
Tiếp tuyến của (C) tại có phương trình : . Trong đó : 
Giải bài toán tiếp tuyến, ta phải tìm 3 số : (tọa độ tiếp điểm và hệ số góc của tiếp tuyến).
Nhờ hai hệ thức trên, nếu ta biết một số thì sẽ tìm được hai số còn lại.
Ta thường gặp 3 dạng cơ bản sau : 
1) Cho (thuật ngữ thường dùng trong đề : “tiếp tuyến tại điểm có hoành độ ”) ta cần tìm 
2) Cho (thuật ngữ thường dùng trong đề : “tiếp tuyến tại điểm có tung độ”) ta cần tìm 
3) Cho biết hệ số góc ta cần tìm 
Đôi khi hệ số góc không cho trực tiếp mà được cho gián tiếp dưới dạng : 
i) Tiếp tuyến song song với đường thẳng : 
ii) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
*TIẾP TUYẾN ĐI QUA 1 ĐIỂM M(x1;y1): Mẫu bài giải bài toán nầy như sau:
- Gọi Mo(xo;yo) là điểm trên đồ thị, tiếp tuyến tại Mo có phương trình:
 	 (1)
Tiếp tuyến qua M (2)
Giải phương trình (2), ta có xo= ?
Thay xo vào (1), phương trình tiếp tuyến cần tìm: ?
Ví dụ 1:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 
Tiếp tuyến của (C) tại M0(x0,y0) có pt: 
Tiếp tuyến song song 
Tại Tiếp tuyến có pt: 
Tại Tiếp tuyến có pt: 
Ví dụ 2: 
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0, biết 
Tiếp tuyến tại x0 có pt: 
 (Sử dụng máy tính)
 (Sử dụng máy tính)
Tiếp tuyến cần tìm: 
Ví dụ 3: 
Cho . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với (d).
• Tọa độ giao điểm của (C) và (d) là: M0 (-2;3)
• Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M0 (-2;3) có dạng: 
• 
• Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M0 là:
BÀI TẬP
Bài 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của tại giao điểm của (C) với trục tung.
Bài 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của tại điểm có tung độ bằng 2.
Bài 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của , biết hệ số góc của tiếp tuyến là .
Bài 4 : Viết phương trình tiếp tuyến của , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng .
Bài 5: Cho . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này vuông góc với .
Bài 6: Cho hàm số 
Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x=-1 vuông góc với đường thẳng 
Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(2;0) đến 
Bài 8: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua đến 
Bài 9 : Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua A(1;-4) đến đồ thị 
BÀI TOÁN SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
Cho hai đường : và : 
	· Phương trình hoành độ giao điểm của và : (1) 
	· (Số nghiệm của phương trình (1) ) = (số giao điểm của hai đường và ) (*) 
Vận dụng đẳng thức (*) , ta có hai bài toán : 
Bài toán1 : Biện luận số giao điểm của hai đường và 
Sơ đồ như sau : 
· Số giao điểm của và bằng số nghiệm của phương trình : (1) 
· Biện luận số nghiệm của (1) .
· Kết luận.
Bài toán2 : Dùng đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình:
Sơ đồ như sau : 
· (2) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường : 
 và (đường thẳng cùng phương với Ox) 
· Số nghiệm của (2) bằng số giao điểm của (C) và .
· Dựa vào đồ thị và dạng của , đọc kết luận.
BÀI TẬP MẪU:
Ví dụ 1: Tìm giao điểm của hai đồ thị: và 
Pt hoành độ giao điểm: 
Hai đồ thị có 3 giao điểm: 
Ví dụ 2: Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị: và 
Pt hoành độ giao điểm: 
Bảng biện luận theo m số giao điểm hai đồ thị:
Ví dụ 3: Xác định m để pt: có ba nghiệm thực phân biệt
Pt đã cho được viết dạng: (*) là pt hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
 đồ thị (C)
y = m đồ thị là đt (d) cùng phương với Ox
	Do đó (*) có 3 nghiệm khi và chỉ khi (C) và (d) có 3 giao điểm.
Vẽ hai đồ thị (C) và (d):
Dựa vào đồ thị: (C) và (d) có 3 giao điểm khi: – 1 < m < 0
KL: Pt đã cho có 3 nghiệm khi – 1 < m < 0.
Có thể giải theo cách dùng yCĐ.yCT < 0:
Đặt . Ta có: 
f’(x) = 0 có hai nghiệm là: x1=0 , x2= 1. Khi đó: y1= m + 1, y2 = m
Pt f(x) = 0 có 3 nghiệm y1.y2 m(m+1) - 1 < m < 0
BÀI TẬP
Bài 1 : Biện luận theo tham số m số giao điểm của hai đồ thị : và 
Bài 2 : Dùng phương pháp đồ thị, biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình : 
a) 	b) 
Bài 3 : Dùng phương pháp đồ thị, tìm nghiệm của bất phương trình : .
Bài 4: Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: .
Bài 5: Cho hàm số 
 Định m để (C) cắt đường thẳng (d): tại ba điểm phân biệt. 
Bài 6 : Xác định m để pt : có ba nghiệm thực phân biệt.
Bài 7: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m - 2, có đồ thị (Cm).
 Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
TÍNH ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
 Định nghĩa:
Hàm số đồng biến trên (a;b) ..
Hàm số nghịch biến trên (a;b) 
 Định lí:
Hàm số đồng biến trên (a;b);(a;b).
Hàm số nghịch biến trên (a;b);(a;b).
Chú ý: dấu “=” xảy ra ở một số điểm hữu hạn.
Bài1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: 
	a) 	b) 	c)
	d) 	e) 
Bài 2: Xét tính đơn điệu của hàm số:
	a) 	b) trên khoảng . 	
Bài 3: Xác định để hàm số:
a) đồng biến trên tập xác định.
	b) nghịch biến trên tập xác định.
Bài 4: 
Xác định m để hàm số nghịch biến trên khoảng 
Bài 5: Chứng minh rằng::
	a) Với x > 0, ta có: 
	b) với 
	c) với mọi giá trị của x
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
 1) Tìm cực trị của hàm số ( quy tắc 1): 
Tìm TXĐ.
Tính y’ và tìm các điểm xi (i =1, 2,) mà tại đó y’=0 hoặc không xác định. 
Lập bảng biến thiên.
Dựa vào bảng biến thiên để kết luận các điểm cực trị của hàm số.
2) Tìm cực trị của hàm số ( quy tắc 2): 
- Tìm TXĐ.
- Tính y’ và tìm các điểm xi (i =1, 2 ) mà tại đó y’=0.
- Tính y’’ và y’’(xi).
- Dựa vào dấu của y’’(xi) để kết luận các điểm cực trị của hàm số.
 * y’’(xi)<0 : điểm xi là điểm cực đại của hàm số.
 * y’’(xi)>0 : điểm xi là điểm cực tiểu của hàm số.
Bài tập.
Bài 1. Dùng quy tắc 1, tìm cực trị của các hàm số sau: 
	a)	b) 	c) 	d) 
Bài 2. Dùng quy tắc 2, tìm cực trị của các hàm số sau: 
	a) 	b) 	 c)
Bài 3. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. 
Bài 4. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại . 
Bài 5. Tìm để hàm số đạt cực trị bằng tại .
Bài 6. 
	1. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực trị trái dấu.
	2. Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trị với mọi m.
	3. Tìm m để hàm số có 3 cực trị.
Bài 7: Tính giá trị cực trị của hàm số .Viết pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
Bài 7*: Cho hàm số: và điểm . Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị B và C sao cho A,B,C thẳng hàng. (HD: Sử dụng cách giải bài 7)
Bài 8: Cho hàm số. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu x1 và x2 thỏa điều kiện: x1+2x2=1.
Bài 9: Cho hàm số: 
 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu thỏa: 
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
 Định nghĩa: 
Cách tìm GTLN- GTNN
 a) Trên khoảng (a ; b), ( a có thể là -∞, b có thể là +∞)
· Xét hàm số trên 
· Tính y’ và cho y’ = 0, tìm x1, x2,..(a ; b) và tính f(x1), f(x2),.
· Lập BBT và kết luận.
b) Trên đoạn [a ; b] 
· Xét hàm số trên [a;b]
· Tính y’ và cho y’= 0, tìm x1, x2,(a ; b) và tính f(x1), f(x2), .f(a), f(b).
· Kết luận: 
M = f(x) = max{ f(x1), f(x2),, f(a), f(b) } và m = f(x) = min{f(x1), f(x2),, f(a), f(b) }
Ví dụ 1:Tìm GTLN, GTNN của hàm số : trên đoạn 
• 
• 
• 
• Kết luận;
Ví dụ 2:
 Xác định m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng 15
 vô nghiệm nên 
Hàm đồng biến trên nên 
Ví dụ 3: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn 
Nghiệm thuộc khoảng là: 
Trên đoạn , ta có:
Ví dụ 4: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số: 
Đặt 
Bảng biến thiên: (trên )
BÀI TẬP:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ( nếu có ) của các hàm số sau: 
	1. trên đoạn 	2. trên đoạn 
	3. 	4. trên đoạn 
	5. trên đoạn 	6. trên đoạn 
	7. trên đoạn 	8. trên đoạn 
	9. trên đoạn 	10. trên đoạn [0;3]
	11. trên đoạn 	 12. trên đoạn 
	13. trên đoạn 	14. trên đoạn 
	15. 
BÀI TẬP: KHẢO SÁT HÀM SỐ - BÀI TOÁN LIÊN QUAN
(Đề thi TNTHPT đã ra các năm )