Toán học - Chuyên đề 5: Hệ phương trình

CHUYÊN ĐỀ 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A - Lý thuyết: Các phương pháp giải
1. Phương pháp thế
- B1: Từ 1 pt nào đó ta rút 1 ẩn và biểu diễn theo ẩn còn lại ( thường rút ẩn có hệ số nhỏ nhất)
- B2: Thế biều thức đó vào pt còn lại để được 1 pt 1 ẩn
- B3: Giải Pt thu được
- B4: Thay ẩn vừa tìm được vào 1 trong các pt để tìm ẩn còn lại và kết luận
2. PP cộng đại số
- B1: Nhân cả 2 vế của các pt với các số thích hợp ( nếu cần) để được hệ số của cùng 1 ẩn ở 2 pt bằng nhau hoặc đối nhau
- B2: Cộng (nếu 2 hệ số đối nhau) hoặc trừ(nếu 2 hệ số bằng nhau) từng vế của 2 pt để được 1 pt 1 ẩn
- B3: Giải Pt thu được
- B4: Thay ẩn vừa tìm được vào 1 trong các pt để tìm ẩn còn lại và kết luận
3. Đặt ẩn phụ: Khi ở các pt có những nhóm giống nhau thì ta chọn làm ẩn phụ
4. Dùng BĐT: Dùng BĐT để lập luận trường hợp xảy ra dấu bằng
- BĐT Côsi: a+b2; ( Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau)
- BĐT Bunhiacopxki: 
 Dấu bằng xảy ra khi 2 bộ số tương ứng tỉ lệ
B – Bài tập: (Riêng hệ vô tỷ ta xét sau cùng với PT vô tỷ)
I- Dạng 1. Hệ bậc nhất.
Bài 1. Giải các hệ phương trình
 a. b. c. 
 d. e. f. 
 g. h. i. 
Bài 2: Giải các hệ phương trình
a. b.: c. d. e. f. 
Bài 3: GHPT
	a.	 b. 	 c. 
	d. 	 e.	 f.
	g.	 h. 
HD: Đặt ẩn phụ
II - Dạng 2: Hệ bậc cao
1. Hệ đối xứng loại 1
-Nhận dạng: Là hệ pt mà nếu mỗi cặp số (x; y) là 1 nghiệm thì (y; x) cũng là nghiệm ( vai trò x và y là như nhau ở các PT)
- PP giải: Đặt x+y = S; xy = P. Giải HPT với S và P sau đó tìm x, y nhờ PT: 
X2 – S.X + P =0
Chú ý: Với hệ giả đối xứng loại 1 thì đặt x-y = S; -xy = P.
 Khi đó nghiệm của Pt là x và -y
Bài 4: GHPT
a. c. 
d. e. f. 
g. h. (HD: Đặt 2y+1=a)
2. Hệ đối xứng loại 2
- Nhận dạng: Cũng như loại I, loại II cũng “đối xứng” nhưng là đối xứng giữa 2 phương trình chứ không không phải là đối xứng trong từng phương trình như kiểu I.
+ Một cách nhận dạng khác nữa là cho x=y thì 2 phương trình của hệ như nhau. Hay nói cách khác x=y chính là nghiệm của hệ. Đây chính là đặc điểm khai thác của hệ này.
- Phương pháp: Thông thường, ta trừ theo vế ta thu được nghiệm x=y, và 1 số nghiệm khác. Sau đó thay lại tìm ra nghiệm (x;y).
*Chú ý: Hệ giả đx thì x ở PT 1 được thay bằng –y ở PT 2 và ngược lại
Bài 5: GHPT
a. b. c. d. 	 e. f. 
g. h. 	 
 i. (giả đx ) k. (giả đx)
 3. Hệ đẳng cấp
- Nhận dạng: Là HPT mà tất cả các hạng tử chứa ẩn đều có bậc bằng nhau
- Phương pháp: Đặt x = ty (hoặc y = tx), thế vào 2 pt sau dó chia từng vế ta được 1 pt ẩn t. Giải pt tìm t, thay vào tìm x và y.
Bài 6: GHPT
a. b. c.
4. Một số dạng khác
Bài 7: GHPT
a. ( HD: Phân tích PT 1 thành nhân tử rồi thế x vào pt 2)
b. (HD: Từ PT 1 dùng BĐT phụ để suy ra x=y=z)
c.(HD: Nhân vế trái của PT 1 với vế phải của PT 2 và ngược lại)
d. ;(HD:Nhân chéo vế) 
e. (HD: Hệ đx loại 2 - trừ từng vế)
f. trong đó 
(HD: cộng 1 vào 2 vế, PTTNT rồi nhân từng vế cả 3 pt)
g. (HD: Đặt:	x-y=a;	 x+y =b sau đó sử dụng pp thế)
h. (HD :Đặt x+y = a; xy=b sau đó sử dụng pp thế)
Bài 8: Giải các hệ phương trình (PP dùng BĐT)
a. ( HD: Dùng BĐT phụ cho PT (2) )
(HD: Tìm ĐK, xét x>y và y>x sau đó suy ra x = y)
 c.
	Giải:
	ĐK: 
	Hệ đã cho tương đương với
	Theo bất đẳng thức BunhiaCốp xki ta có
	Suy ra 
	Mặt khác 
	Đẳng thức xẩy ra khi x= 16 và y=3 (t/m)
	Vậy hệ đã có nghiệm là (x;y) = (16;3)
III- Dạng 3. Giải và biện luận hệ phương trình
Phương pháp giải:
Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x	
Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)
Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ
+ Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b
	- Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm
	- Nếu b0 thì hệ vô nghiệm
 + Nếu a 0 thì (1) x = , Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình: 
	Từ (1) y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:
4x – m(mx – 2m) = m + 6 (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)
	+) Nếu m2 – 4 0 hay m2 thì x = 
	Khi đó y = - . Hệ có nghiệm duy nhất: (;-)
	+) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4
	Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R
	+) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm
Vậy: - Nếu m2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = (;-)
- Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R
	- Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm
Bài 9: Giải và biện luận các hệ phương trình sau: 
a) 	b) 	) 
IV - Dạng 4: Xác định tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
*Phương pháp giải:
Giải hệ phương trình theo tham số
Viết x, y của hệ về dạng: n + với n, k nguyên
Tìm m nguyên để f(m) là ước của k
Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
HD Giải:
để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 0 hay m 
Vậy với m hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Để x, y là những số nguyên thì m + 2 Ư(3) = 
Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5
Bài Tập: 
Bài 10:
Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
Bài 11
Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)
(HD: Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n)
Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là 
x = 1 và x = -2
(HD: thay x = 1 và x = -2 vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b
Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3
(HD:Dùng định lí bơzu cho f(x))
Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4. Xác định các hệ số a và b biết rằng 
f(2) = 6 , f(-1) = 0
Bài 12:
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)	
Bài 13:
Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy
Bài 14 :Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy
a) 2x – y = m ; 	x - y = 2m ;	mx – (m – 1)y = 2m – 1
b) mx + y = m2 + 1	; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2
Bài 15: 
Cho hệ phương trình: 
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
 2x + y + = 3
HD Giải:
- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m 2
- Giải hệ phương trình theo m
- Thay x = ; y = vào hệ thức đã cho ta được:
	 2. + + = 3
	=> 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12 
	 3m2 – 26m + 23 = 0 
	m1 = 1 ; m2 = (cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện)
Vậy m = 1 ; m =