Toán học - Các cách giải phương trình vô tỷ

Các cách giải phương trình vô tỷ
 Trong chương trình đại số 9
Trong chương trình toán học phổ thông thì phương trình nói chung và phương trình vô tỷ nói riêng là một trong những đơn vị kiến thức rất cơ bản và phổ biến. Với bài viết này chỉ xin được trao đổi cùng các bạn về các cách giải phương trình vô tỷ 1 ẩn mà ở đó chỉ chứa các căn thức bậc hai cho phù hợp với chương trình đại số lớp 9.
Cách 1: Sử dụng công thức của định nghĩa căn bậc 2 số học
 Û 	 x ³ 0
	 x2 = a
	Ví dụ: Giải phương trình 
	Ta có: 	 Û	 x ³ 0
	 x2 = 3x + 4
Giải: x2 = 3x + 4 ta được x = -1 ; x = 4
Đối chiếu với x ³ 0 thì nghiệm của phương trình là x = 4
Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức 	|A| để đưa phương trình vô tỷ về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ: Giải phương trình:	(2)
	Với điều kiện x ³ 4 ta có:
	 (2) Û 
	Û 
Û 
	Û 	vì	"x ³ 4
- Nếu 	 	Û x ³ 8
 thì ta có	Û x = 8 (thoả mãn)
- Nếu 	Û x < 8
 thì ta có
Û 4 = 4	
Vậy phương trình có vô số nghiệm x thoả mãn 4 Ê x Ê 8
Cách 3: Bình phương 2 vế của phương trình vô tỷ đã cho để có phương trình hữu tỷ:
Ví dụ: Giải phương trình:	(3)
	điều kiện 	2x + 5 ³ 0
	 	 Û	 Û 
	3x – 5 ³ 0
	Ta có (3) Û 	 (3’)
Hai vế của (3’) không âm, ta bình phương 2 vế của (3’) thì được 
	Û	 (3’’)
	Với điều kiện 6 – x ³ 0 Û x Ê 6
	Hai vế của (3’’) không âm nên ta bình phương 2 vế của (3’’) thì được
	16(3x – 5) = 36 + x2 – 12x
	Û 	x2 – 60x + 116 = 0
	Û 	x = 2 , x = 58
	Đối chiếu với các điều kiện và x Ê 6 thì nghiệm của phương trình là x = 2
	Chú ý rằng: ở cách giải này nếu không đặt điều kiện cho 2 vế của phương trình đều không âm (không dương) thì sẽ dễ mắc sai lầm, bởi có sự xuất hiện của nghiệm ngoại lai. Thật vậy ở trong ví dụ này nếu chỉ có điều kiện 	 rồi bình phương 2 vế của (3) thì ta sẽ được 
	Û 	(3’’’)
Bình phương 2 vế của phương trình (3’’’) ta được
	x2 – 60x + 116 = 0
	Û x = 2 , x = 58
Đối chiếu với điều kiện	 thì phương trình có 2 nghiệm x = 2 , x = 58.
Mà khi thử lại ta lại thấy:
- Khi x = 2 ị giá trị các vế trái là 	 (VP)
- Khi x = 58 ị giá trị của vế phải là
	(Vế phải)
	Rõ ràng chỉ x = 2 là nghiệm của phương trình đã cho mà thôi
Cách 4: Phân tích thành nhân tử để xuất hiện những phương trình vô tỷ đơn giản hơn:
Ví dụ: Giải phương trình 	 (4)
	Ta có (4) Û 	 (4’)
Với điều kiện x ³ 3 ta có
(4’) Û 
	 Û
	 Û 
	Û 	Û 	(loại)
	(vô lý)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Cách 5: Đặt ẩn phụ
a) Đặt ẩn phụ để có phương trình bậc 2
	Ví dụ: Giải phương trình 3x2 + 6x + 20 = 	 (5)
 Ta có (5) 	Û 
	Vì 	 x2 + 2x + 8 = (x + 1)2 + 7	 ị TXĐ: "x
	Đặt t = 	 ị t ³ 
Khi đó ta có: 	3t2 – 4 = t
Û	3t2 – t – 4 = 0
	Û 	 t = -1 < loại
 t = 	 < = 	(loại)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
b) Đặt ẩn phụ để có phương trình hữu tỷ bậc cao
	Ví dụ: Giải phương trình
	Điều kiện: x + 1 ³ 0 Û x ³ -1
	 Đặt 	 ị t ³ 0
	 ị x + 1 = t2 ị x = t2 – 1 	 ị x2 = t4 – 2t2 + 1
Khi đó ta có t4 – 2t2 + 1 + t2 – 1 + 12t – 36 = 0
 Û t4 – t2 + 12t – 36 = 0
 Û t4 – 2t3 + 2t3 – 4t2 + 3t2 – 6t + 18t – 36 = 0
 Û t3(t – 2) + 2t2(t – 2) + 3t(t – 2) + 18(t – 2) = 0
Û (t – 2) (t3 + 2t2 + 3t + 18) = 0
Û t = 2
 	 t3 + 2t2 + 3t + 18 = 0 vô nghiệm vì t ³ 0 ị t3 + 2t2 + 3t + 18 ³ 18 > 0
 	Û t = 2 ị x + 1 = 4 ị x = 3 > -1
Vậy nghiệm của phương trình là x = 3
c) Đặt ẩn phụ để có hệ phương trình hữu tỷ đơn giản
	Ví dụ 1: Giải phương trình 
	Điều kiện x ³ -2004
	Đặt 	 Theo phương trình đã cho thì x2 + y = 2004
	Từ phép đặt ta lại có y2 = x + 2004
Vậy có hệ 	 x2 + y = 2004
	 y2 = x + 2004
	Giải hệ này ta có: 	 x = y
	 x = -y
 	- Khi x = y ị 	 Û 	 (thoả mãn)
	- Khi x = -y 	ị 	 Û	 (t/mãn)
 Vậy nghiệm của phương trình là 
Ví dụ 2: Giải phương trình
	điều kiện: 
	 đặt	theo phương trình ta có a – b = 3
mà theo phép đặt ta có a2 – b2 = (25 – x2) – (10 – x2) = 15
	vì thế ta có hệ:	a – b = 3	 Û	 a – b = 3	 Û a = 4
	a2 – b2 = 15	 a + b = 5	 b = 1
	Từ đây ị 	 ị x = +3	 (thoả mãn đ/k)
Vậy nghiệm của phương trình là x = +3
Cách 6: Nhẩm nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất
Ví dụ: Giải phương trình:	(6)
	- Ta thấy với x = 0 thì giá trị vế trái = 
	 	 và giá trị vế phải = 
	ị x = 0 là nghiệm
	- Giả sử phương trình có nghiệm x > 0. Tiến hành chia 2 vế của (6) cho 	ta có: 	 	 (6’)
 mà 
 ị 	 ị (6’) vô nghiệm
 ị phương trình (6) không có nghiệm x > 0
- Giả sử phương trình có nghiệm x < 0. Tiến hành chia 2 vế của (6) cho 
	ta có	 (6’’)
 mà 
 ị 	 ị (6’’) vô nghiệm
 ị phương trình (6) không có nghiệm x < 0
Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Cách 7: Sử dụng bất đẳng thức
a) Chứng tỏ tập giá trị của 2 vế không giao nhau, khi đó phương trình vô nghiệm
	Ví dụ: Giải phương trình
	điều kiện:	x ³ 0
	x + 1 ³ 0	x ³ 3
	x – 3 ³ 0
Khi đó ta có 
	ị giá trị của vế trái nhận giá trị âm.
Mà	 ị giá trị vế phải lại không âm
Do đó phương trình đã cho vô nghiệm
b) Chứng tỏ tập giá trị của 2 vế giao nhau tại cùng một giá trị. Khi đó phương trình có nghiệm tại chính giá trị đó của ẩn.
Ví dụ: Giải phương trình
	Ta có: 	 dấu = xảy ra Û x = -1
dấu = xảy ra khi x = -1
	ị giá trị vế trái ³ 	 dấu = xảy ra khi x = -1
mà 2 – 2x – x2 = - (x2 + 2x + 1) + 3
	 = - (x + 1)2 + 3 Ê 3 dấu = xảy ra Û x = -1
	ị giá trị vế phải Ê 3 	 dấu = xảy ra khi x = -1
Vì thế x = -1 là nghiệm của phương trình đã cho
c) Sử dụng dấu = xảy ra trong bất đẳng thức:
Ví dụ: Giải phương trình
điều kiện: 	x > 2	 ta có: 	 ;
	áp dụng a + b ³ 2	 "a, b ³ 0. Dấu = xảy ra Û a = b
Ta có
ị 	Û 
	Û
	Û x = 6 > 2 (thoả mãn)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 6
Và dưới đây là các ví dụ để chúng ta cùng nhau luyện tập
Hãy giải các phương trình sau:
1.	 2. 
3. 	 	 4. 
5. 	 6. 
7. 	 	 8. 
9. 
10. 	11. 
Giáo viên Trờng T.H.C.S hảI vân (suu Tâm)