Toán học - Bài toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều

dụ: Tìm hai số lẻ biết tổng của chúng là 2014 và giữa chúng có 31 số lẻ liên tiếp ?
       Phân tích: Vì hai số cần tìm đều là số lẻ và giữa chúng có 31 số lẻ liên tiếp nên sẽ có 32 khoảng cách là 2.
Bài giải:
Hiệu hai số là: (31 + 1) x 2 =  64
Số bé là: (2014 – 64) : 2 = 975
Số lớn là: 2014 – 975 = 1039
Đáp số: Số bé: 975
                                                                Số lớn: 1039
          Kết luận: Hiệu của hai số lẻ khi biết tổng của hai số và giữa chúng có  n số lẻ  liên tiếp là: (n + 1) x 2
         Một số bài luyện tâp:
        Bài 1: Tìm hai số lẻ liên tiếp biết tổng của chúng là 1606 ?      
        Bài 2: Hai số có tổng là 4801. Tìm hai số đó biết giữa chúng có 100 số tự nhiên liên tiếp ?
        Bài 3: Tìm hai số biết giữa chúng có 15 số lẻ liên tiếp và tổng của chúng là 2011 ?
        Bài 4: Cho hai số có tổng là 1982. Tìm hai số biết giữa chúng có 25 số lẻ liên tiếp ?
MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH NHANH Ở TIỂU HỌC. 
Như chúng ta đã biết ở Tiểu học có một số dạng bài tính nhanh mà nếu ta tính theo những cách thông thường thì khó có thể tìm ra được kết quả. Ở mỗi dạng bài tính nhanh có những cách tính đặc trưng riêng. Sau đây tôi xin được giới thiệu một số dạng bạng bài tính nhanh với những cách tính đặc trưng của từng dạng qua một vài ví dụ cụ thể sau:
NHÓM 1:
Bài 1: Tính nhanh
S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..................... + 1/128 + 1/256
Phân tích: Bài này ta thấy số hạng liền sau bằng 1/2 số hạng liên trước nên ta có thể giải theo các cách sau:
Cách 1:
S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + .....................1/128 + 1/256
= 1 + (1 – 1/2) + (1/2 – 1/4) + (1/4 – 1/8) + ....................... (1/128 – 1/256)
= 2 – 1/256 = 511/256
Vậy S = 511/256
Cách 2:
S x 2 = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + .................................... + 1/128
S x 2 – S = 2 – 1/ 256 = 511/256
Vậy S = 511/256
Bài 2: Tính nhanh
S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ..................... + 1/2187
Phân tích: Bài này ta thấy số hạng liền sau bằng 1/3 số hạng liên trước nên ta có thể giải theo cách 2 như bài 1:
S x 3 = 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ..................... + 1/729
S x 3 – S = 3 – 1/2187 = 6560/2187
Vậy S =  6560/2187 : 2 = 6560/4374
Bài 3: Tính nhanh
A = 1 + 2 + 4 + 8 + ..................... + 4096 + 8192
Phân tích: Bài này ta thấy số hạng liền sau gấp 2 lần số hạng liền trước. Ta có thể giải bài toán trên theo các cách sau:
Cách 1:
A x 2 = 2 + 4 + 8 + ....................... + 16384
A x 2 – A = 16384 – 1 = 16383
Vậy A = 16383
Cách 2: Ta thấy: Tổng 3 số hạng đầu là:
1 + 2 + 4 = 3 + 4
Tổng 4 số hạng đầu là:
1 + 2 + 4 + 8 = 7 + 8
Tổng 5 số hạng đầu là:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 15 + 16
Theo quy luật đó ta sẽ tính được kết quả của tổng trên là:
A = 1 + 2 + 4 + 8 + ..................... + 4096 + 8192 = 8191 + 8192 = 16383
Vậy A = 16383
Cách 3: Nhận xét:
2 = 1 + 1
4 = (1 + 2) + 1
8 = (1 + 2 + 4) + 1
......................................................................................................................
8192 = (1 + 2 + 4 + ............... + 4096) + 1
Vậy A = 8192 – 1 + 8192 = 16383
     * Kết luận: Với dạng bài có số hạng liền sau hơn hoặc kém  số hạng liền trước n lần ta có cách giải chung là: ta nhân cả biểu thức đó cho n rồi lấy kết quả biểu thức sau khi nhân trừ cho biểu thức lúc đầu ta sẽ tính được kết quả của bài toán.
NHÓM 2:
Bài 4: Tính nhanh
1/1 x2 + 1/ 2 x 3 + 1/ 3 x 4 + ................. + 1/ 2013 x 2014
Phân tích: Bài này ta thấy ở mấu số là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên ta có thể phân tích như sau:
1/1 x2 + 1/ 2 x 3 + 1/ 3 x 4 + ................. + 1/ 2013 x 2014
= 1/1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + ........................ + 1/2013 – 1/2014
= 1 – 1/2014 = 2013/2014
Bài 5: Tính nhanh
A = 1/1 x3 + 1/ 3 x 5 + 1/ 5 x 7 + ................. + 1/ 2013 x 2015
Phân tích: Bài này ta thấy giống với bài 5 chỉ khác ở chỗ ở MS là tích 2 số lể liên tiếp. Muốn đưa về phân cách phân tích như bài 5 ta phải tìm cách đưa tử số về là 2. Ta làm như sau:
A x 2 = 2/1 x3 + 2/ 3 x 5 + 2/ 5 x 7 + ................. + 2/ 2013 x 2015
          = 1/1 – 1/3 + 1/3 – 1/5 + 1/5 – 1/7 + .................. + 1/2013 – 1/2015
          = 1 – 1/2015 = 2014/2015
Vậy A = 2014/2015 : 2 = 2014/4030.
Bài 6:  Tính nhanh.
1/ 2 x (1 + 2) + 1/ 2 x (1 + 2 + 3) + ............ + 1/2 x (1 + 2 + 3 + ....... + 9)
Phân tích:  Với bài này ta phải tìm cách đưa MS về dạng tính nhanh cở bản như bài 4; 5 ở trên. Ta có thể nhận thấy thừa số thứ 2 ở mẫu số là tổng các số tự nhiên liên tiếp nên ta có thể dùng cách tính tổng các số tự nhiên liên tiếp để có thể đưa về dạng tính nhanh cơ bản. Ta có thể làm  như sau:
MS = 2 x (1 + 2) + 2 x (1 + 2 + 3) + ............ + 2 x (1 + 2 + 3 + ....... + 9)
= 2 x (2 x 3)/2 + 2x (3 x 4)/2 + ................ + 2 x (9 x 10)/2
2 x3 + 3 x 4 + ...................... + 9 x 10
Vậy TS/MS = 1/2x3 + 1/3x4 + ............... + 1/9x10
= 1/2 – 1/10 = 2/5
   * Kết luận: Với  bài có dạng n/a xb + n/b xc (với khoảng cách giữa a và b; b và c là n đơn vị) ta phân tích như sau:
n/a xb + n/b xc = 1/a - 1/b + 1/b - 1/c
NHÓM 3:
Bài 7: Tính nhanh
M = 1 x 2  +  2 x 3 + 3 x 4 + .................... + 201 x 202
Phân tích: Bài này ta thấy mỗi số hạng là tích hai số tự nhiên liên tiếp. Để tạo ra các nhóm thừa số có thể loại trừ hết cho nhau ta phân tích như sau:
M x 3 = 1 x 2 x (3 - 0)  +  2 x 3 x (4 - 1) + 3 x 4 x (5 - 2) + .................... + 201 x 202 x (203 – 200) = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 – 1 x 2 x 3 + 3 x 4 x 5 – 2 x 3 x 4 +  ..................... + 201 x 202 x 203 – 200 x 201 x 202
= 201 x 202x 203 = 8242206
Vậy M = 8242206 : 3 = 2747402
Bài 8: Tính nhanh
N = 1 x 2  x 3 +  2 x 3 x 4 + 3 x 4 x 5 + .................... + 100 x 101 x 102
Phân tích: Tương tự ta thấy các số hạng trong tổng là tích ba số tự nhiên liên tiếp. Vì vậy ta có thểphân tích như sau:
N x 4 = 1 x 2  x 3 x (4 - 0)+  2 x 3 x 4 x (5 - 1)+ 3 x 4 x 5 x (6 – 2) + .................... + 100 x 101 x 102 x (103 – 99) = 1 x 2  x 3 x 4 + 2 x 3 x 4 x 5 - 1 x 2  x 3 x 4 + 3 x 4 x 5 x 6 - 2 x 3 x 4 x 5 + ................. + 100 x 101 x 102 x 103 – 99 x 100 x 101 x 102 = 100 x 101 x 102 x 103 = 106110600
Vậy N = 106110600 : 4 = 26527650
Bài 9: Tính nhanh
B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + .............. + 100 x 100
Phân tích: Bài này thực ra là bài thuộc dạng bài 7 và 8 nhưng ta phải tìm cách đưa về dạng cơ bản trên. Ta có thể phân tích như sau:
B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + .............. + 100 x 100 = 1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4 - 1) + .................. + 100 x (101 – 1) = 1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + ..................... + 100 x 101 – 100 = (1 x 2 + 2 x 3 + ............ + 100 x 101) – (1 + 2 + 3 + ................ + 100) = (100 x 101 x 102) : 3 - (101 x 100 : 2)  = 343400 – 5050 = 338350
    * Kết luận 3: Với dạng bài có các số hạng là tích các số tự nhiên liên tiếp ta có thể làm như sau:
- Số hạng thứ nhất nhân với n (trong đó n là số tự nhiên liền kề của thừa số lớn nhất trong tích).
- Số hạng thứ hai nhân với (n + 1) – 1
.....................................................................................................................
VD: 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 ................ ta làm như sau:
1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 .............. = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x (4 - 1)+ 3 x 4 x (5 - 2)
NHÓM 4:
Bài 10:  Tính nhanh.
Tử số = 2012 + 2011/2 + 2010/3 + ................ + 2/2011 + 1/2012
Mẫu số = 1/2 + 1/3 + 1/4 + ........................ + 1/2012 + 1/2013
(Đề thi GVG trường TH Tân Lộc năm học 2013 - 2014)
Phân tích:  Với bài này ta tìm cách đưa TS về dạng tích 2 thừa số trong đó có 1 thừa số chính là mẫu số. Ta có thể làm như sau:
TS = (1 + 1 + .......... + 1) + 2011/2 + ................ + 2/2011 + 1/2012
            (2012 chữ số 1)
= (1 + 2011/2) + ...........+ (1 + 2/2011) + (1 + 1/2012) + 1    
=  2013/2 + .......... + 2013/2011 + 2013/2012 + 2013/2013
=  2013 x ( 1/2 + .......... + 1/2011 + 1/2012 + 1/2013)
TS/MS = 2013
Bài 11:  Tính nhanh.
TS = 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + .............. + (1 + 2 + 3 + .......... + 2014)
MS = 1 x 2014 + 2 x 2013 + .................. + 2013 x 2 + 2014 x 1
Phân tích:  Với dạng bài ta nhận thấy ở TS có 2014 số 1; 2013 số 2 ............. Vì vậy ta có thể giải như sau:
TS = (1 + 1 + .... + 1) + (2 + 2 + ....... + 2) + ....... + (2013 + 2013) + 2014
         (2014 chữ số 1)     (2013 chữ số 2)
= 1 x 2014 + 2 x 2013 + .................. + 2013 x 2 + 2014 x 1
Vậy TS/MS = 1
Bài 12:  Tính nhanh.
TS = 1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100
MS = 1/1x2 + 1/3x4 + .......... + 1/99x100
Phân tích:  Với bài này ta có thể dùng cách thêm bớt để đưa MS về giống với TS. Ta có thể làm như sau:
MS = 1/1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + ......... + 1/99 – 1/100
= (1 + 1/3 + ............ + 1/99) – (1/2 + 1/4 + .......... + 1/100)
= (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..... + 1/99 + 1/100) – (1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/6 + 1/6 ....... 1/100 + 1/100) = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..... + 1/99 + 1/100) – (1 + 1/2  + 1/3 + ....... 1/50 ) = 1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100
Vậy TS/MS = 1
Bài 13:  Tính nhanh.
TS = 1 + 1/3 + 1/5 +  .............+ 1/97 + 1/99
MS = 1/1x99 + 1/3x97 + .......... + 1/49x51
Phân tích:  Với dạng bài ta thấy tương tự như các bài trên ta tìm cách đưa TS và MS về tích 2 thừa số và có 1 thừa số chung. Ta có thể làm như sau:
TS = (1 + 1/99) + (1/3 + 1/97) + ........................ + (1/49 + 1/51)
= 100/ 1x99 + 100/3x97 + .......................... + 100/49X51
= 100/ (1/1x99 + 1/3x97 + .......... + 1/49x51)
Vậy TS/MS = 100
Bài 14:  Tính nhanh.
TS = 1/2 + 1/3 + 1/4 +  .............+ 1/99 + 1/100
MS = 1/99 + 2/98 + .......... + 99/1
Phân tích:  Với dạng bài ta phân tích MS như sau:
MS = (100 – 99)/99 + (100 - 98)/98 + ............+ (100 – 2)/2 + (100 - 1)/1
= 100/99 – 1 + 100/98 – 1 + ..................... + 100/2 – 1 + 100/1 – 1
= 100/99 + 100/98 + .................. + 100/2 + 100/1 – 1 x 99
= 100/99 + 100/98 + .................. + 100/2 + 1
= 100/99 + 100/98 + .................. + 100/2 + 100/100
= 100 x (1/99 + 1/98 + ........................ + 1/2 + 1/100)
= 100 x (1/2 + 1/3 + ........................ + 1/99 + 1/100)
Vậy TS/MS = 1/100
     * Kết luận: Với các bài từ bài 10 đến bài 14 ta thấy giữa TS và MS luôn có mối quan hệ với nhau và ta tìm cách đưa TS hoặc MS về một thừa số giống nhau để giúp ta rút gọn và tính được giá trị của biểu thức.
       Trên đây là một vài cách tính nhanh với những dạng bài cụ thể mà tôi đã nghiên cứu, tích lũy qua thời gian tự học, tự rèn luyện của bản thân. Rất mong nhận được sự góp ý, bổ sung của quý bạn đồng nghiệp để dạng toán tính nhanh trở thành dạng toán quen thuộc, dễ hiểu đối với mỗi GV chúng ta cũng như là cơ sở giúp chúng ta BDHSG ngày một hiệu quả hơn. Xin chân thành cảm ơn các bạn ! 
Một số công thức về DÃY SỐ CÁCH ĐỀU
          TỔNG                    = (Số đầu + số cuối) x Số số hạng : 2
          SỐ CUỐI               = Số đầu + ( Số số hạng – 1) x Đơn vị khoảng cách.
          SỐ ĐẦU                 = Số cuối - (Số số hạng - 1) x Đơn vị khoảng cách
          SỐ SỐ HẠNG                   = (Số cuối – Số đầu)  : Đơn vị khoảng cách + 1
          TRUNG BÌNH CỘNG         =   Trung bình cộng của số đầu và số cuối.
          Cần chú ý: 
          -Nói đến dãy số cách đều, ta nên quan tâm đến: Số hạng đầu, số hạng cuối, số số hạng, hai số liên tiếp cách nhau bao nhiêu đơn vị (đơn vị khoảng cách).
          -Có số số hạng là lẻ thì số ở giữa bằng ½ tổng mỗi cặp (số đầu + số cuối). Ví dụ: Dãy số   1; 3; 5; 7; 9 thì số 5 = (1+9):2
          -Tuỳ theo dãy số tăng hay giảm để vận dụng các công thức một cách hợp lí (các công thức trên dùng cho dãy số tăng).
Dạng tìm một số tự nhiên khi thêm vào ở tửsố và bớt đi ở mẫu số cùng một số (hoặc ngượclại). 
Khi thêm ở tử số và bớt ở mẫu số (hoặc ngược lại) của một phân số cùng một số tự nhiên thì TỔNG của chúng vẫn không đổi. Trở về bài toán điển hình TỔNG và TỈ
Ví dụ:
Cho phân số 23/45. Hỏi phải cộng thêm vào tử số và bớt đi ở mẫu số cùng một số tự nhiên nào để được phân số mới có giá trị bằng 19/15?
Khi ta cộng thêm vào tử số và bớt đi ở mẫu số cùng một số tự nhiên thì TỔNG của mẫu số và tử số vẫn không đổi.
Tổng của chúng là:   23 + 45 = 68
Tổng số phần bằng nhau:  19 + 15 = 34 (phần)
Tử số của phân số mới là:        68 : 34 x 19 = 38
Số cần tìm là:  38 – 23 = 15
Đáp số:  15
Dạng tìm một số tự nhiên khi cùng thêm (cùngbớt) ở tử số và mẫu số của một phân số. 
Khi cùng thêm hoặc cùng bớt một số tự nhiên ở tử số và mẫu số một phân số tì HIỆU của chúng vẫn không đổi.
 Ví dụ:
Cho phân số 5/16. Hãy tìm một số để khi cùng thêm số đó vào ở tử số và mẫu số của phân số đã cho thì được phân số mới có giá trị bằng phân số 2/3.
Khi cùng thêm một số vào tử số và mẫu số của một phân số thì hiệu của mẫu số và tử số vẫn không đổi.
Hiệu là:   16 – 5 = 11
Hiệu số phần bằng nhau:  3 – 2 = 1 (phần)
Tử số của phân số mới là:        11 x 2 = 22
Số cần tìm là:  22 – 5 = 17
Đáp số:  17
CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU
	? Quãng đường bằng vận tốc nhân với thời gian.	 	S = v x t
	? Vận tốc bằng quãng đường chia cho thời gian.	v = S : t
	? Thời gian bằng quãng đường chia cho vận tốc.	t = S : v.
*.NGHỊCH CHIỀU: 	
	? Thời gian gặp nhau bằng quãng đường chia cho tổng hai vận tốc.
t = S : ( v1 + v2)
*.CÙNG CHIỀU:
	? Thời gian đuổi kịp bằng khoảng cách chia cho hiệu hai vận tốc.
 	 t = S : (v1 – v2) 	(v1>v2)
	Chú y: 
 Tìm thời gian gặp nhau hay thời gian đuổi kịp ta phải xét 2 chuyển động khởi hành cùng một lúc.
‚ Quãng đường đi được tỉ lệ thuận với thời gian và cũng tỉ lệ thuận với vận tốc.
ƒ Quãng đường không đổi vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian.
	„ Muốn tính vận tốc trung bình, chú ý là thời gian đi phải bằng nhau.
*.Bài tập:
 	131-.Một người đi xe lửa từ ga A đến ga B mất 3 giờ. Mỗi giờ xe lửa đi được 30 km. Nếu người đó đi ô tô từ ga A đến ga B, mỗi giờ đi được 45 km thì sẽ mất mấy giờ?
Giải
Quãng đường AB dài:	30 3 = 90 (km)
Mỗi giờ đi được 45 km thì hết:	90 : 45 = 2 (giờ)
	Đáp số: 2 giờ.
 	Tổng và Tỉ:
 	132-.Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 10 km/giờ. Khi đến B người đó liền trở về A bằng xe máy với vận tốc 30 km/giờ. Thời gian cả đi lẫn về là 8 giờ. 
Tính quãng đường AB.
Giải
Cùng một quãng đường thì vận tộc tỉ lệ nghịch với thời gian. Tỉ số thời gian của lượt đi so với lượt về là:	. Có nghĩa là thời gian lượt đi gấp 3 lần thời gian lượt về.
8 giờ
Ta có sơ đồ: 	 Lượt đi :
	 	 Lượt về:
Tổng số phần bằng nhau:	 3 + 1 = 4 (phần)
Thời gian đi lượt về:	 8 : 4 = 2 (giờ)
Quãng đường AB la:	30 2 = 60 (km)
	Đáp số: 60 km
 	133-.Quãng đường AB dài 32 km. Một người đi từ A đến B, trong 2 giờ đầu người đó đi bộ, trong 2 giờ sau người đó đi xe đạp để đến B. Biết rằng khi đi xe đạp có vận tốc gấp 3 lần vận tốc khi đi bộ. Tính vận tốc khi đi bộ và vận tốc khi đi xe đạp?
Giải
Người đó đi bộ và đi xe đạp cùng thời gian là giờ như nhau, mà vận tốc khi đi xe đạp gấp 3 lần vận tốc đi bộ nên quãng đường đi xe đạp phải gấp 3 lần quãng đường đi bộ:
32 km
Ta có sơ đồ: QĐ 
đi xe đạp:
	 	QĐ đi bộ:
Tổng số phần bằng nhau:	3 + 1 = 4 (phần)
Quãng đường đi bộ	32 : 4 = 8 (km)
Vận tốc khi đi bộ:	8 : 2 = 4 (km/giờ)
Vận tốc khi đi xe đạp:	4 3 = 12 (km/giờ)
	Đáp số:	 - Đi bộ: 4 km/giờ - Đi xe đạp: 12 km/giờ.
 	Tổng & Hiệu
 	134-.Một ô tô và một xe đạp khởi hành cùng một lúc: ô tô đi từ A, xe đạp đi từ B. Nếu ô tô và xe đạp đi ngược chiều nhau thì sẽ gặp nhau sau 2 giờ. Nếu ô tô và xe đạp đi cùng chiều nhau thì ô tô sẽ đuổi kịp sau 4 giờ. Biết rằng A cách B là 96km. 	Tính vận tốc của ô tô và xe đạp. 	
Giải
Tổng vận tốc của hai xe là:	96 : 2 = 48 (km/giờ)
Hiệu vận tốc của hai xe là:	96 : 4 = 24 (km/giờ)
48 km/giờ
24 km/giờ
Ta có sơ đồ:	VT ô tô:
	VT xe đạp:
Hai lần vận tốc xe đạp là:	48 – 24 = 24 (km/giờ)
Vận tốc xe đạp là:	24 : 2 = 12 (km/giờ)
Vận tốc xe ô tô là:	48 – 12 = 36 (km/giờ)
	Đáp số:	 -VT xe đạp: 12 km/giờ.	 -VT xe ô tô: 36 km/giờ.
	Vận tốc trung bình
	Lưu ý khi tính Vận tốc trung bình. Trường hợp đề bài cho biết một chuyển động đi với 2 vận tốc khác nhau, chỉ tính được vận tốc trung bình bằng cách tính trung bình cộng của 2 vận tốc đã cho, chỉ khi đi với 2 vận tốc đó có số đo thời gian bằng nhau. 
 	Coi chừng, đề bài cho đi với 2 quãng đường bằng nhau thì không thể tính vận tốc trung bình bằng cách tính trung bình cộng của 2 vận tốc.
 	135-.Một ô tô đi từ địa điểm A đến địa điểm B. Nửa thời gian đầu, ô tô đi với vận tốc 50km/giờ và nửa thời gian còn lại ô tô đi với vận tốc 35 km/giờ. Tính vận tốc trung bình của ô tô trên suốt quãng đường AB.
Giải
Vận tốc trung bình của ô tô trên suốt quãng đường AB là: 
 (50 + 35) : 2 = 42,5 (km/giờ)
	Đáp số: 42,5 km/giờ.
 	136-.Bính đi từ A đến B. Nửa quãng đường đầu Bính đi với vận tốc 40 km/giờ. Nửa quãng đường còn lại Bính đi với vận tốc 30 km/giờ. 
	Tính vận tốc trung bình của Bính trên suốt quãng đường AB.
Giải
Giả sử nửa quãng đường AB dài 120 km, thì thời gian đi nửa quãng đường đầu sẽ là:
	120 : 40 = 3 (giờ)
Thời gian đi nửa quãng đường sau sẽ là:	
120 : 30 = 4 (giờ)
Tổng thời gian đi hết quãng đường là:	
3 + 4 = 7 (giờ)
Vận tốc trung bình của Bính trên suốt quãng đường AB là: 120 2 : 7 = 34,29 km/giờ)
	Đáp số:34,29 km/giờ. 
 	137-.Hiện nay là 12 giờ. Sau bao lâu, 2 kim đồng hồ sẽ chập nhau?
Giải
Ta biết rằng kim chỉ phút chạy nhanh hơn kim chỉ giờ 12 lần, và mặt đồng hồ được chia đều nhau 12 khoảng cách giờ.
Hiệu số phần bằng nhau của vận tốc 2 kim là:	 12 – 1 = 11 (phần)
Thời gian để 2 kim đồng hồ chập nhau lần kế tiếp là:
12 : 11 = 1 giờ= 1giờ 5 phút 27 giây
	Đáp số:	 1 giờ 05 phút 27 giây.
 	138-.Một tàu tuần tiểu có vận tốc 40 km/giờ, được lệnh tiến hành trinh sát phía trước hạm đội theo phương tiến của hạm đội và quay về hạm đội sau 3 giờ. Biết vận tốc của hạm đội đi với vận tốc 24 km/giờ.
	Hỏi tàu tuần tiểu từ khi bắt đầu đi được khoảng cách bao xa để trở về hạm đội đúng thời gian quy định?
Giải
Sơ đồ hướng dẫn:
Tổng quãng đường của tàu tuần tiểu và hạm đội đi gấp 2 lần khoảng cách cần thiết của tàu tuần tiểu phải đi.
Hai lần khoảng cách đó là:	 (40 + 24) 3 = 192 (km)
Khoảng cách của tàu tuần tiểu phải đi là:	192 : 2 = 96 (km)
	Đáp số:	 96 km.
GIẢ THIẾT TẠM
	149-.	Vừa gà vừa chó 36 con.
	 	Bó lại cho tròn đếm đủ 100 chân.
	 	Hỏi có bao nhiêu con gà và bao nhiêu con chó?
Giải
CÂCH 1:
Giả sử 36 con, tất cả đều là chó, thì số chân sẽ là:	 	
 4 36 = 144 (chân)
Số chân của mỗi con gà có thêm:	 
 4 – 2 = 2 (chân)
Tổng số chân dư ra:	
144 – 100 = 44 (chân)
Số gà là:	 
 44 : 2 = 22 (con gà)
Số chó là:	 
36 – 22 = 14 (con chó)
	Đáp số: 22 con gà ; 14 con chó.
CÂCH 2:
Giả sử 36 con, tất cả đều là gà, thì số chân sẽ là:	 
 2 36 = 72 (chân)
Số chân của mỗi con chó bị mất đi:	 
4 – 2 = 2 (chân)
Tổng số chân mất đi:	
100 – 72 = 28 (chân)
Số chó là:	 
28 : 2 = 14 (con chó)
Số gà là:	 
36 –14 = 22 (con gà)
	Đáp số: 22 con gà ; 14 con chó.
CÂCH 3:
Giả sử 36 con bị chặt phân nữa số chân của mỗi con thì số chân còn lại: 100:2=50(chân)
Số chó là:	 
 50-36 = 14 (con chó)
Số gà là:	 
 36 –14 = 22 (con chó)
	Đáp số: 22 con gà ; 14 con chó.
 	150-.Trong một nhà xe có: xe lam và xe ô tô, đếm cả 2 loại xe thì được tất cả là 40 chiếc, và 148 bánh xe. Biết rằng xe lam có 3 bánh, xe ô tô có 4 bánh.
	Hỏi mỗi loại có bao nhiêu chiếc xe?
Giải
Giả sử tất cả đều là xe ô tô thì số bánh xe sẽ là:	 
40 4 = 160 (bánh xe)
Số bánh xe của mỗi chiếãe lam được thêm là:	 
 4 – 3 = 1 (bánh xe)
Số bánh xe sẽ dư ra chính bằng với số xe lam:	 1
60 – 148 = 12 (xe lam)
Số xe ô tô là:	 
 40 – 12 = 28 (xe ôtô)
	Đáp số: -Xe ôtô: 28 chiếc ; 
 -Xe lam: 12 chiếc.
TÌM 2 SỐ KHI BIẾT
HIỆU VÀ TỈ
107-.Hình chữ nhật có chiều rộng bằng 3/5 chiều dài. Biết chiều dài hơn chiều rộng 20m. Tính diện tích hình chữ nhật đó.
Giải
Ta có sơ đồ:
20 m
	Dài:
	Rộng:
Hiệu số phần bằng nhau:	 5 - 3 = 2 (phần)
Giá trị mỗi phần:	 20 : 2 = 10 (m)
Chiều rộng hình chữ nhật:	 10 3 = 30 (m)
Chiều dài hình chữ nhật:	 30 + 20 = 50 (m)
Diện tích hình chữ nhật:	50 30 = 1500 (m2)
	Đáp số: 1500 m2
	108-.Tìm một số tự nhiên. Biết rằng khi viết thêm chữ số 0 vào bên phải số đó, thì số đó