Toán học - Bài tập về góc và đường tròn

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
BÀI TẬP
1. Cho tam giác ABC có Bˆ = 70o; Cˆ = 50o. (O) là đường tròn nội tiếp tam giác
ABC. Tiếp điểm với các cạnh AB, BC, CA lần lượt là D, F, E. Tính sđ
⌢
EF; sđ
⌢
DE
Xem lời giải tại:
2. Chứng minh định lý: “ Nếu một tiếp tuyến song song với một dây cung thì tiếp
điểm chia đôi cung căng dây đó”
Xem lời giải tại:
3. Giả sử A là một điểm nằm ngoài (O). Kẻ các tiếp tuyến AB, AC tới (O) với B , C
là hai tiếp điểm. Biết bằng 
^
BAC = α . Hãy tính số đo cung lớn BC của (O)
Xem lời giải tại:
4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường phân giác của góc 
^
OBO ′  cắt (O) và (O’) theo thứ tự tại C và D. So sánh các góc 
^
BOC và 
^
BOD
Xem lời giải tại:
5. Cho đường tròn (O ; R) với dây cung AB. Gọi H là trung điểm của AB và I là
điểm chính giữa của cung AB.
a.  Chứng minh rằng ba điểm H, I, O thằng hàng.
b.  Cho cung 
⌢
CD cũng nhận điểm I làm điểm chính giữa . Chứng minh rằng CD //
AB hoặc CD trùng với AB.
Xem lời giải tại:
6. Cho (O), dây cung AB. Các điểm C và D di chuyển trên (O) sao cho 
⌢
AC =
⌢
BD.
Trong trường hợp nào thì dây CD có độ dài là một hằng số?
Xem lời giải tại:
7. Cho đường tròn (O ; R) với hai tiếp tuyến AB, AC. Một tiếp tuyến khác di động
nằm trên cung lớn 
⌢
CB của (O) cắt các tia AB, AC theo thứ tự ở P và Q. Gọi P’ và Q’
lần lượt là giao điểm của OP và OQ với (O). Kẻ OI vuông góc với P’ Q’. Chứng
minh rằng điểm I luôn thuộc một đường tròn cố định.
Xem lời giải tại:
8. Cho (O ; R). Vẽ hai dây cung AB = R√2 và AD = R sao cho tia AO nằm giữa hai
tia AB và AD. Vẽ dây cung BC song song với AD.
a.  Chứng minh rằng BD = AC
b.  Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại M. Chứng minh rằng tam giác MBC
là tam giác đều.
Xem lời giải tại:
9. Cho tam giác đều ABC. Lấy cạnh BC của tam giác làm đường kính dựng ra phía
ngoài tam giác nửa đường tròn (O). Trên nửa đường tròn (O) lấy hai điểm K và L
chia nửa đường tròn này thành ba cung bằng nhau: 
⌢
BK =
⌢
KL =
⌢
LC.
Chứng minh rằng các đường thẳng AK và AL chia đoạn thẳng BC thành ba phần
bằng nhau.
Xem lời giải tại:
10. Cho điểm M nằm ngoài (O ; R). Kẻ một cát tuyến của (O) đi qua M cắt (O) tại
A và B.
Chứng minh rằng MA.MB = MO2 – R2.
Xem lời giải tại:
11. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tâm của đường tròn (O)
nằm trên (O’). Dây cung OC của (O’) cắt (O) tại D. Chứng minh rằng D là tâm
đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Xem lời giải tại:
12. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O). MN là dây cung của (O) song
song với BC ( M, N nằm trên cung nhỏ BC và M nằm giữa B và N).
a.  Chứng minh rằng tứ giác BMNC là hình thang cân.
b.  AM cắt BC tại E. Chứng minh rằng AB.AC = AN.AE.
Xem lời giải tại:
13. Cho (O) , điểm M nằm bên ngoài (O). Kẻ tiếp tuyến MA tới (O), A là tiếp
điểm; Kẻ cát tuyến MBC của (O) ( B nằm giữa M và C ). Chứng minh rằng MA2 =
MC.MB. (Hệ thức lượng trong đường tròn).
Xem lời giải tại:
14. Cho hai đường tròn (O) và (O’) nằm ngoài nhau. Đường nối tâm OO’ cắt (O)
tại A và B, cắt (O’) tại C và D. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn, E và
F lần lượt là hai tiếp điểm với (O) và (O’). Gọi M là giao điểm của AE và DF, N là
giao điểm của EB và CF. Chứng minh rằng:
a.  MENF là hình chữ nhật.
b.  MN vuông góc với AD.
c.  ME.MA = MF.MD.
Xem lời giải tại:
15. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B , tiếp tuyến tại A với (O)
cắt (O’) tại D. Tiếp tuyến tại (B) của (O’) cắt (O) tại C. Chứng minh rằng AC.AD2 =
BD.BC2.
Xem lời giải tại:
16. Từ một điểm A nằm bên ngoài (O) , kẻ các tiếp tuyến AB, AC với (O). Gọi BD
là dây cung của đường tròn song song với AC, E là giao điểm của AD với (O). I là
giao điểm của BE và AC. Chứng minh rằng I là trung điểm của AC.
Xem lời giải tại:
17. Cho (O), dây AB của (O) không phải đường kính. M là trung điểm của AB,
quá M dựng hai dây cung CD và PQ, CQ và PD cắt AB tại E và F. Chứng minh rằng
ME = MF.
Xem lời giải tại:
18. Hãy chứng minh rằng trong một tam giác , đường tròn ngoại tiếp đi qua ba
trung điểm của các đoạn nối tâm đường tròn nội tiếp và tâm ba đường tròn
bàng tiếp của tam giác.
Xem lời giải tại:
19. Cho (O ; R) , lấy các cung liên tiếp nhau AB = BC = CD = DE = R. Tia CB và EA
cắt nhau tại M. Tia CA và BE cắt nhau tại I. Tính số đo các cung AB, BC, CD, DE.
Từ đó suy ra số đo 
^
BME và 
^
CIE
Xem lời giải tại:
20. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O ; R). M là một điểm nằm trên cung
nhỏ AB. Gọi I là giao điểm của AM và tia CB. Chứng minh rằng: AB2 = AM.AI
 Xem lời giải tại:
21. Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp (O) , bán kính 5cm. Tiếp tuyến với
nửa đường tròn tại C cắt tia phân giác của Bˆ tại K. Giao điểm của BK và AC là D
và BD = 4cm. Tính độ dài BK.
Xem lời giải tại:
22. Cho hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau của (O) và M là điểm thuộc
bán kính OA . Kẻ dây cung DE đi qua M, tiếp tuyến tại E cắt đường thẳng AB tại
F.
a.  Chứng minh rằng tam giác FME cân và MF2 = FA.FB.
b.  FD cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh rằng FM tiếp xúc với đường tròn
ngoại tiếp tam giác MDN.
Xem lời giải tại:
23. Cho (O), hai dây AB và CD cắt nhau tại E sao cho 
^
CEB = 1300, sđ
⌢
AC = 300.
Tính sđ
⌢
BD = ?
Xem lời giải tại:
24. Cho (O), từ điểm E nằm ngoài đường tròn, vẽ hai cát tuyến ECA và EDB (C
nằm giữa E và A; D nằm giữa E và B) sao cho 
^
AEB = 400,
^
AOB = 1000. Tính 
sđ
⌢
CD = ?
Xem lời giải tại:
25. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai cát tuyến ABC và ADE (B nằm
giữa A và C; D nằm giữa A và E). Biết Aˆ = 500, sđ
⌢
BD = 400. Chứng minh 
CD⊥BE.
Xem lời giải tại:
26. Từ một điểm M nằm ngoài (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MB, MC. Vẽ đường kính
BD. Hai đường thẳng CD và MB cắt nhau tại A. Chứng minh M là trung điểm của
AB.
Xem lời giải tại:
27. Cho ΔABC nội tiếp (O). Các tia phân giác của Bˆ, Cˆ cắt nhau tại I và cắt
đường tròn lần lượt tại D, E. Dây DE cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N.
Chứng minh:
a.  ΔAMN, ΔEAI, ΔDAI là các tam giác cân.
b.  Tứ giác AMIN là hình thoi.
Xem lời giải tại:
28. Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O). Trên các cung nhỏ AB và AC lần lượt lấy
các điểm I và K sao cho 
⌢
AI =
⌢
AK. Dây IK cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại D và E.
a.  Chứng minh: 
^
ADK =
^
ACB
b.  ΔABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác DECB là hình thang cân.
Xem lời giải tại:
29. Cho (O) và một dây AB. Vẽ đường kính CD⊥AB (D thuộc cung nhỏ AB). Trên
cung nhỏ BC lấy một điểm N. Các đường thẳng CN và DN lần lượt cắt đường
thẳng AB tại E và F. Tiếp tuyến của đường tròn tại N cắt đường thẳng AB tại I.
Chứng minh rằng:
a.  ΔINE, ΔINF là các tam giác cân.
b.  AI =
AE + AF
2
.
Xem lời giải tại:
30. Trên (O) lấy ba điểm A, B, C. Gọi M, N, P theo thứ tự là điểm chính giữa của
các cung AB, BC, AC. Gọi I là giao điểm của BP và AN, E là giao điểm của NM và
AB, D là giao điểm của AN và BC. Chứng minh rằng:
a.  ΔBNI cân
b.  AE. BN = EB. AN
c.  EI / /BC
d. 
AN
BN
=
AB
BD
Xem lời giải tại:
31. Từ điểm M nằm ngoài (O), kẻ hai cát tuyến MAB và MCD (A nằm giữa M và
B; C nằm giữa M và D). Biết sđ
⌢
AB = 1100, sđ
⌢
AC = 300, sđ
⌢
CD = 700. 
a.  Tính các góc của tứ giác ABDC
b.  Gọi I là giao điểm của AD và BC. Tính 
^
BMD,
^
BID
Xem lời giải tại:
32. Cho (O) có đường kính AB. Lấy điểm C thuộc đường tròn sao cho 
sđ
⌢
AC = 220. Trên nửa đường tròn còn lại (không chứa điểm C) lấy điểm D chính
giữa 
⌢
AB và lấy điểm E sao cho sđ
⌢
BE = 560. Gọi I là giao điểm của BD và CE, K là
giao điểm của BE và CD, H là giao điểm của AB và CD.
a.  Tính 
^
BIC,
^
BKC
b.  Chứng minh ΔKBH cân
c.  Chứng minh BO. EK = BE. OH.
Xem lời giải tại:
33. Cho (O) và hai dây cung AB, CD cắt nhau tại E nằm ngoài đường tròn (A nằm
giữa B và E, C nằm giữa E và D). Đường thẳng kẻ từ E song song với AD cắt BC
tại F. Kẻ tiếp tuyến FG (G là tiếp điểm) với đường tròn (O). Chứng minh rằng:
a.  2
^
EFC =  sđ
⌢
AB +  sđ
⌢
CD
b.  ΔFEC ∼ ΔFBE từ đó suy ra EF = FG.
Xem lời giải tại:
34. Cho ΔABC nội tiếp trong (O). Các tia phân giác của Aˆ, Bˆ, Cˆ cắt (O) lần lượt
tại A’, B’, C’.
Chứng minh: AA ′ + BB ′ + CC ′ > AB + BC + AC
Xem lời giải tại:
35. Cho ΔABC đều, nội tiếp (O). Điểm I chuyển động trên cung nhỏ BC. Gọi M là
giao điểm của AB và CI, N là giao điểm của AC và BI. Chứng minh:
a.  BC2 = BM. CN
b. 
^
AIN có số đo không đổi.
Xem lời giải tại:
36. Cho tứ giác ABCD có A, B, C, D nằm trên (O). Gọi M là giao điểm của AB và
CD, N là giao điểm của AD và BC.
a.  Tính các góc của tứ giác ABCD, biết 
^
AMD = 300,
^
BND = 400
b.  Hai phân giác của Mˆ và Nˆ cắt nhau tại I. Chứng minh IM⊥IN.
Xem lời giải tại:
37. Cho ΔABC có ba góc nhọn, nội tiếp (O). Gọi M, N, P lần lượt là điểm nằm
chính giữa của các cung nhỏ 
⌢
AB,
⌢
BC,
⌢
CA. MN cắt AB tại K; NP cắt AC tại H; MP
cắt AB tại D và cắt AC tại E. Chứng minh:
a.  KH / /BC
b.  AI⊥MP (I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC)
Xem lời giải tại: