Toán bồi dưỡng kĩ năng chứng minh về nhân chia đa thức

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
BÀI TẬP
1. Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x
a.  A = − 3x(x − 5) + 3 x2 − 4x − 3x + 10
b.  B = 4x x2 − 7x + 2 − 4 x3 − 7x2 + 2x − 5
Xem lời giải tại:
2. Chứng minh giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
a.  A = x(2x + 1) − x2(x + 2) + x3 − x + 3
b.  B = 4(6 − x) + x2(2 + 3x) − x(5x − 4) + 3x2(1 − x)
Xem lời giải tại:
3. Chứng minh rằng biểu thức n(2n − 3) − 2n(n + 1) luôn chia hết cho 5 với 
n ∈ Z . 
Xem lời giải tại:
4. Cho a, b là các số nguyên. CMR
a.  Nếu 2a + b ⋮ 13 ; 5a − 4b ⋮ 13 thì a − 6b ⋮ 13
b.  Nếu 100a + 4b ⋮ 7 thì 4a + b ⋮ 7 
Xem lời giải tại:
5. Chứng minh:
a.  (x − 1)(x2 + x + 1) = x3 − 1
b.  (x3 + x2y + xy2 + y3)(x − y) = x4 − y4
( )
( ) ( )
Xem lời giải tại:
6. Cho a và b là hai số tự nhiên. Biết a chia cho 3 dư 1; b chia cho 3 dư 2. Chứng
minh rằng ab chia cho 3 dư 2.
Xem lời giải tại:
7. Chứng minh rằng biểu thức (n − 1)(3 − 2n) − n(n + 5) ⋮ 3 ∀n
Xem lời giải tại:
8. Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x.
a.  A = 5x2 − (2x + 1)(x − 2) − x(3x + 3) + 7
b.  B = (3x − 1)(2x + 3) − (x − 5)(6x − 1) − 38x
c.  C = (5x − 2)(x + 1) − (x − 3)(5x + 1) − 17(x − 2)
d.  D = − 3(x − 4)(x − 2) + x(3x − 18) − 25
Xem lời giải tại:
9. Chứng minh đa thức sau vô nghiệm:
a.  f(x) = (x − 1)(x + 2) − (x − 3)
b.  g(x) = (3 − x)(4 + x) − (13 − x)
Xem lời giải tại:
10. Cho biểu thức: B = (x2 + 1)(y2 + 1) − (x + 4)(x − 4) − (y − 5)(y + 5)
Chứng minh B ≥ 42 ∀x, y. Với giá trị nào của x; y thì B = 42.
Xem lời giải tại:
11. Chứng minh rằng:
a.  Nếu x; y ∈ N thì: A = (2x2 + x)(2y2 − y) − xy(4xy − 1) ⋮ 2
b.  Nếu x; y ∈ N và x + y ⋮ 13 thì: B = xn(x + 1) + xn(y − 1) ⋮ 13
Xem lời giải tại:
12. Chứng minh rằng nếu x; y ∈ Z thì:
M = (xy − 1)(x2015 + y2015) − (xy + 1)(x2015 − y2015) ⋮ 2
Xem lời giải tại:
13. CMR các bất đẳng thức sau thỏa mãn với mọi x, y:
a.  A = x2 + xy + y2 + 1 > 0
b.  B = x2 + 5y2 + 2x − 4xy − 10y + 14 > 0
c.  C = 5x2 + 10y2 − 6xy − 4x − 2y + 3 > 0
Xem lời giải tại:
14. Xét biểu thức f(x) = (2x − 5)2 − 4(2x − 5) + 5
a.  Chứng minh f(x) ≥ 1 với mọi giá trị của x.
b.  Với giá trị nào của x thì f(x) đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Xem lời giải tại:
15. Cho x2 − y2 − z2 = 0 . Chứng minh rằng 
(5x − 3y + 4z)(5x − 3y − 4z) = (3x − 5y)2
Xem lời giải tại:
16. Cho a2 + b2 + c2 + 3 = 2(a + b + c) . Chứng minh rằng a = b = c = 1. 
Xem lời giải tại:
17. Chứng minh rằng:
a.  n2(n + 1) + 2n(n + 1) ⋮ 6 ∀n ∈ Z.
b.  55n+1 − 55n ⋮ 54 ∀n ∈ N.
Xem lời giải tại:
18. Chứng minh rằng:
a. 719 + 720 + 721 ⋮ 57
b. 210
2
.850 − 327
7
⋮ 31
Xem lời giải tại:
19. Chứng minh rằng: a = b = c biết a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca
Xem lời giải tại:
20. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì
a.  (n + 3)2 − (n − 1)2 chia hết cho 8
b.  (n + 6)2 − (n − 6)2 chia hết cho 24.
Xem lời giải tại:
21. Cho a2 + b2 = 1; c2 + d2 = 1; ac + bd = 0 . Chứng minh rằng ab + cd = 0.
Xem lời giải tại:
22. Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên lẻ thì: A = n3 + 3n2 − n − 3 ⋮ 8
Xem lời giải tại:
23. Chứng minh rằng:
a.  a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca)
a.  29 − 1 ⋮ 73 b.  56 − 104 ⋮ 9
b.  (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
Xem lời giải tại:
24. Chứng minh rằng:
Xem lời giải tại:
25. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì A = (2n − 1)3 − (2n − 1) luôn chia
hết cho 24.
Xem lời giải tại:
26. Chứng minh rằng giá trị mỗi biểu thức sau luôn luôn không âm với mọi giá
trị của biến.
a.  A = (x − y)2 z2 − 2z + 1 − 2(z − 1)(x − y)2 + (x − y)2
b.  B = x2 + y2 z2 − 4z + 4 − 2(z − 2) x2 + y2 + x2 + y2
Xem lời giải tại:
27. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m thì
a.  m3 − m ⋮ 6
b.  m3 + 5m và m3 − 19m cũng luôn chia hết cho 6.
Xem lời giải tại:
28. Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a = b = c hoặc a + b + c = 0.
( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( )
Xem lời giải tại:
29. Chứng minh giá trị của mỗi đa thức sau luôn không âm với mọi giá trị của
các biến.
a.  A = (x − y)2(z2 − 2z + 1) − 2(z − 1)(x − y)2 + (x − y)2
b.  B = (x2 + y2)(z2 − 4z + 4) − 2(z − 2)(x2 + y2) + x2 + y2
Xem lời giải tại:
30. Chứng minh rằng các biểu thức sau là bình phương của một số nguyên với 
n ∈ Z.
a.  A = (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) + 1
b.  B = n4 − 4n3 − 2n2 + 12n + 9
Xem lời giải tại:
31. Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd với a, b, c, d là các số dương
thì a = b = c = d.
Xem lời giải tại:
32. Chứng tỏ rằng đa thức A = x2 + 1
4
+ 9 x2 + 1
3
+ 21 x2 + 1
2
− x2 − 31
luôn luôn không âm với mọi giá trị của biến x.
Xem lời giải tại:
33. Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh rằng 
B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương.
Xem lời giải tại:
( ) ( ) ( )
a.  251 − 1 ⋮ 7 b.  270 + 370 ⋮ 13
34. Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng biểu thức 
M = (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4) + 1 là bình phương của một số nguyên.
Xem lời giải tại:
35. Cho x là số nguyên. Chứng minh rằng B = x4 − 4x3 − 2x2 + 12x + 9 là bình
phương của một số nguyên.
Xem lời giải tại:
36. Cho đa thức f(x) = 3x3 − 7x2 + 4x − 4
a. Chứng minh rằng f(x) ⋮ x − 2
b. Tìm thương trong phép chia đa thức f(x) cho x − 2 từ đó phân tích f(x)ra thừa
số.
Xem lời giải tại:
37. Chứng minh đa thức f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 chia hết cho đa
thức g(x) = x2 + 8x + 10
Xem lời giải tại:
38. Cho x; y; z ∈ Z∗ , biết a = x2 − xy; b = y2 − xz; c = z2 − xy. 
Chứng minh rằng: ax + by + cz ⋮ a + b + c
Xem lời giải tại:
39. Chứng minh rằng
Xem lời giải tại:
a.  1719 + 1917 ⋮ 18 b.  24n − 1 ⋮ 15 , n ∈ N
a.  a3 − a ⋮ 3 b.  a7 − a ⋮ 7
40. Chứng minh rằng:
Xem lời giải tại:
41. Chứng minh rằng:
a.  Tích của hai số tự nhiên chẵn liên tiếp chia hết cho 8.
b.  Tích ba số tự nhiên chẵn liên tiếp chia hết cho 48.
Xem lời giải tại:
42. Chứng minh rằng với a ∈ Z
Xem lời giải tại:
43. Chứng minh rằng:
a.  Nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 với x; y ≠ 0 thì 
a
x
=
b
y
b.  Nếu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 với x; y; z ≠ 0 thì 
a
x
=
b
y
=
c
z
Xem lời giải tại:
44. Chứng minh rằng n6 + n4 − 2n2 chia hết cho 72.
Xem lời giải tại:
45. Chứng minh rằng: Nếu x4 + y4 + z4 + t4 = 4xyzt và x , y, z, t là các số dương
thì x = y = z = t.
Xem lời giải tại:
( ) ( )