Toán 12 - Hàm số đồng biến, nghịch biến và một số dạng toán áp dụng

 HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN 
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN ÁP DỤNG.
I.Tóm tắt lý thuyết quan trọng.
1. Định nghĩa: 
	Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng. Hàm số f xác định trên K được gọi là:
	+, Đồng biến trên K nếu với mọi 
	+, Nghịch biến trên K nếu với mọi 
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu.
	Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng I.
	+, Nếu h/s f đồng biến trên khoảng I thì 
	+, Nếu h/s f nghịch biến trên khoảng I thì 
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu.
	Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó:
	Nếu ( hoặc ), tại một số hữu hạn điểm thì h/s f đồng biến trên I ( hoặc nghịch biến ) trên I.
	Dựa vào định nghĩa, định lí h/s đb, nb ta có các tính chất sau:
Nếu h/s y = f(x) liên tục và đồng biến trên D thì:
f(x) = f(y) Û x = y và f(x) > f(y) Û x > y.
Nếu h/s y = f(x) liên tục và nghịch biến trên D thì:
f(x) = f(y) Û x = y và f(x) > f(y) Û x < y.
	Từ đó ta có các tính chất sau:
Nếu h/s y = f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f(x) = C ( trên (a; b)) có không quá một nghiệm và f(u) = f(v) Û u = v, " u, v Î (a; b).
Nếu h/s liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến), hàm số liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên cùng tập D thì phương trình có không quá một nghiệm trên D.
Nếu h/s liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì .
Nếu h/s y = f(x) liên tục biến trên [a; b] và có đạo hàm liên tục trên khoảng (a;b). Nếu f(a) = f(b) thì phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b) .
Từ đó: 
	+, Nếu phương trình có m nghiệm thì phương trình có m – 1 nghiệm.
	+, H/s có đạo hàm đến cấp k liên tục trên (a;b). Nếu phương trình có đúng m nghiệm thì phương trình có nhiều nhất là m+1 nghiệm.
Þ nếu có một nghiệm thì có nhiều nhất 2 nghiệm.
II. Bài tập vận dụng . 
* Dạng 1 : Xét chiều biến thiên.
Xét tính đồng biến, nghịch biến của các h/s sau:
1) y = -2x3 + 3x2 -1;	2) ;	3) y = 15x5 -15x3 +2;	4) y = -x4 + 3x2 +4;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ; 
9) trên khoảng (0 ; Õ).
* Dạng 2 : Tìm điều kiện của tham số để h/s đơn điệu trên một khoảng.
Tìm điều kiện của m để h/s :
1) luôn đồng biến;
2) nghịch biến trong khoảng (-1; 1);
3) đơn điệu trên R. Khi đó hàm số đồng biến hay nghịch biến, tại sao?
4) luôn đồng biến;
5) đồng biến trong khoảng (2; + ¥);
6) đồng biến khi x ³ 2;
7) đồng biến trong khoảng (0;3);
8) 
a) Tìm m để hàm số nghịch biến tron khoảng (0; 1).
b) Tìm m để hàm số nghịch biến trong một khoảng có độ dài lớn hơn 1.
Dạng 3 : Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số dạng toán bất đẳng thức, PT, HPT & BPT.
* Giải phương trình:
1) sinx = x;	 2) ;	
3) ;	 	 4) 	 ; 
; 
(phân tích đưa về dạng với h/s );
;	7) ;
8) ; 
9) (phân tích đưa về dạng với h/s ).
* Hệ phương trình:
1) ; 	 2) ; 3) ;
4) ;	 5) ;	 6) ; 
7) ;	8) ; 	9) ;	
10) ; 	11) ; 12) ;
13) ( Cộng 2 vế 2 PT đưa về f(x +1)=f(y) );
14) ; (ĐH A-2010). (Đặt , đưa ph (1) về f(2x)=f(t) ).	
15) 
* Bất phương trình:
1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) .
7) .
* Chứng minh BĐT:
1) ; 	2) ;	
 3) ;	4) 
5) ; 6) ; 7) .
* Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức có dạng 
	+, Nếu k = f(a) ta chứng minh h/s đồng biến trên (a; b)
	+, Nếu k = f(b) ta chứng minh h/s nghịch biến trên (a; b)
* Phương trình, bất phương trình chứa tham số.
Tìm m để các PT, BPT sau có nghiệm:
1) ;	2) ;	3) .
4) (ĐH-CĐ-Kb-2004);
5) ; 	6) ; 	7) ;
8) ;	9) ; 	10) ;	
* Lời giải một số bài minh hoạ:
Dạng 3. ý 2) (1).
	ĐK: .
	Xét hàm số 
	Có .
Suy ra hàm số f(x) luôn đồng biến với mọi .
Có . 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
ý 5) (1)
ĐK: .
(1) (2)
	Xét hàm số , ta có:
	. Suy ra h/s f(t) đồng biến trên R.
	 Nên pt(2) .
	Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Hệ phương trình. Ý 14)
 (ĐH - Khối A – năm 2010).
ĐK: 
 	Ta có: 
	Xét hàm số , có 
Nên pt(3) thay vào phương trình (2), ta có: (4)
Xét hàm số 
Có 
	Suy ra h/s f(y) đồng biến trên 
Lại có f(2) = 0. Suy ra pt(4) có nghiệm duy nhất y = 2 (thoả mãn).
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất .
Bất phương trình: Ý 2) 
	ĐK: .
Bpt (1).
	Trong đó có
	Nên f(x) là h/s đòng biến trên khoảng .
	Mà ta lại có: .
Kết hợp với ĐK, ta có nghiệm của Bpt đã cho là: . 
Phương trình, bất PT chứa tham số. 
	Tìm m để phương trình có nghiệm.
	 (ĐH-CĐ-Kb-2004);
	ĐK:
	Đặt t = , thì t ³ 0 và Dấu “ = ’’ xảy ra khi .
	Do đó .
	PT: 
	Xét h/s , có 
 	Nên f nghịch biến trên . Điều kiện có nghiệm của phương trình là:
	.