Tiểu luận Dạy học vector và phương pháp tọa độ trong không gian

BÀI TIỂU LUẬN: 
CHỦ ĐỀ: 
DẠY HỌC VECTOR VÀ PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 
TRONG KHÔNG GIAN 
Giới thiệu thành viên nhóm: 
Họ và tên MSSV 
1. Nguyễn Ngọc Hoàng An 1210104 
2. Bùi Thị Bích Thảo 1210128 
3. Nguyễn Thị Tuyết 1010152 
1 
NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG TIỂU LUẬN 
Giáo viên 
Học sinh 
Phương pháp dạy học 
Quá trình dạy học 
Bất đẳng thức 
Phương trình 
Hệ phương trình 
Phương pháp 
Chứng minh 
Không gian 
Hình học không gian 
Mặt phẳng 
Yêu cầu bài toán 
Phương pháp véctơ 
Phương pháp tọa độ 
Véctơ pháp tuyến 
Véctơ chỉ phương 
Phương trình tổng quát 
Phương trình tham số 
GV 
HS 
PPDH 
QTDH 
BĐT 
PT 
HPT 
PP 
cm 
KG 
HHKG 
mp 
YCBT 
PPVT 
PPTĐ 
VTPT 
VTCP 
PTTQ 
PTTS 
2 
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 
 Thực tiễn cho thấy, có những bài giảng chưa gây được ấn tượng, 
chưa gây được hứng thú học tập phần PPVT và PPTĐ trong KG cho 
HS. Bởi vì bài giảng đó chỉ dừng lại ở những bài toán thuần túy như : 
các biểu thức véctơ và tọa độ, các PT mặt cầu, mp, đường thẳng trong 
KG, các công thức tính toán, khoảng cách. Hoặc có đề cập tới những 
bài toán tổng hợp nhưng với sự cho sẵn của hệ trục tọa độ Oxyz, chưa 
tạo điều kiện cũng như gợi mở cho bộ phận khá giỏi vận dụng một 
cách linh hoạt, sáng tạo cho bài toán. 
 Thực tế cho thấy rằng rất nhiều HS e ngai học môn HHKG vì 
các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tế khách quan. Vì 
thế có rất nhiều HS học yếu môn học này, về phần GV cũng gặp không 
ít khó khăn khi truyền đạt những kiến thức. 
 Phải chăng, chúng ta nên quan tâm một chút về việc sử dụng PPTĐ 
giải các bài toán HHKG. Phải có những dạng toán này thì HS mới thấy 
được cái hay, cái đẹp của toán học; HS thấy các kiến thức bổ sung cho 
nhau, hỗ trợ cho nhau, nhận rõ kết quả việc giải toán HHKG phụ thuộc 
như thế nào vào công cụ, phương tiện và tìm ra quy trình giải quyết 
công việc đó. Như vậy, đối với các em HS thì sẽ càng ngày càng hứng 
thú với môn hình học và dần dần sẽ cảm thấy việc học HHKG không 
còn khó khăn như đã tưởng tượng. 
 Vì những lí do trên mà, trong bài tiểu luận này chúng tôi xin 
đóng góp một số PP dạy chủ đề véctơ và tọa độ trong KG, dựa trên 
việc nghiên cứu tài liệu và tri thức thực nghiệm giảng dạy. 
3 
II. TỔNG QUAN VỀ DẠY HỌC CHƢƠNG PPTĐ TRONG KG 
 1. PPTĐ trong trƣờng phổ thông. 
 a) Vấn đề đưa phương pháp tọa độ vào trường phổ thông 
 Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné 
Descartes đã cho xuất bản cuốn "La Géométrie" với nội dung xây dựng 
hình học bằng PPTĐ đánh dấu một bước tiến mạnh mẽ của toán học. 
Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai sinh ra PPTĐ. PPTĐ ra đời 
đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, 
giúp con người đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hóa và trừu tượng 
hóa toán học trong nhiều lĩnh vực. 
 Khái niệm véctơ trong KG đã được đưa vào nội dung chương trình 
lớp 11, làm công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai 
đường thẳng, giữa đường thẳng với mp, giữa hai mp và khoảng cách 
giữa một số đối tượng trong HHKG. 
 Việc sử dụng véctơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong KG 
làm cho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn nhẹ hơn, HS 
dễ dàng tiếp thu. Mặt khác một số kiến thức về véctơ này sẽ là cơ sở 
chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm tọa độ trong KG ở chương trình 
hình học lớp 12, một công cụ hữu ích để giải nhiều bài toán HHKG. 
 PPTĐ trong KG được trình bày trong chương III sách Hình học 
nâng cao lớp 12. Nội dung chính của chương gồm những kiến thức sau: 
1- Hệ tọa độ Đềcác trong KG: biểu thức tọa độ của véctơ, của điểm 
đối với một hệ trục tọa độ, liên hệ giữa tọa độ của véctơ và tọa độ 
của hai điểm mút, tích có hướng của 2 véctơ, PT mặt cầu. 
2- Các vấn đề về mp: PT mặt phẳng, các trường hợp riêng, vị trí 
tương đối giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm tới một 
mặt phẳng. 
4 
3- Các vấn đề về đường thẳng: PT tham số và PT chính tắc của đường 
thẳng, vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ một 
điểm đến một đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo 
nhau. 
b) Những điều cần lưu ý khi dạy PPTĐ trong KG 
 Khi nói đến PPTĐ là PP xác định vị trí của một điểm trong mặt 
phẳng hay trong KG, từ đó xác định được vị trí và tính chất của một 
tập hợp điểm là một đường trong mặt phẳng hay là một đường hoặc 
một mặt phẳng trong KG. 
 Chúng ta biết rằng, về mặt PP, việc chuyển từ một bài toán hình 
học sang một bài toán đại số thường dẫn đến việc giải toán dễ dàng 
hơn. Đại số đã đưa cho hình học một PP xác định chính xác để giải 
toán mà cụ thể là PPTĐ. 
 Cần làm cho HS hiểu rõ và thấy được ý nghĩa của các khái niệm 
như VTPT, VTCP, ý nghĩa của tham số trong PT đường thẳng, mặt 
phẳng,... Mặt khác, cần tận dụng tốt tất cả các cơ hội có thể có được 
trong từng bài tập để rèn luyện cho HS khả năng phiên dịch từ ngôn 
ngữ hình học thông thường sang tọa độ và ngược lại. GV cũng cần 
hướng cho HS lưu ý đến ứng dụng của PPTĐ trong việc nghiên cứu các 
sự kiện hình học, ứng dụng của tích vô hướng, tích có hướng của hai 
véctơ, biểu thức tọa độ của chúng và các điều kiện cộng tuyến của hai 
véctơ, điều kiện đồng phẳng của ba véctơ, biểu thị bằng những công 
thức tọa độ.... Từ đó có thể vận dụng tốt khi sử dụng PPTĐ để giải các 
bài toán HHKG. 
 Như vậy, trong QTDH, GV phải biết linh hoạt vận dụng cả cú 
pháp lẫn ngữ nghĩa trong khi dạy học các yếu tố hình học giải tích. Có 
thể đạt đến điều đó bằng cách giúp HS vạch ra mối liên hệ giữa các 
5 
kiến thức cơ bản của hình học tổng hợp truyền thông với cái bản chất 
của các biểu thức hình thức trong hình học giải tích để hiểu và giải 
quyết được các vấn đề Toán mà PPTĐ đặt ra. 
III. PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT 
VẤN ĐỀ 
 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là PP dạy học trong đó GV 
tạo ra những tình huống có vấn đề, điều khiển HS phát hiện vấn đề, 
hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo đế giải quyết vấn đề và 
thông qua đó chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được những 
mục đích học tập khác. Đặc trưng cơ bản của dạy học phát hiện và giải 
quyết vấn đề là “tình huống gợi vấn đề” vì “tư duy chỉ bắt đầu khi xuất 
hiện tình huống có vấn đề”. PP này đòi hỏi người GV phải có năng lực 
sư phạm tốt mới suy nghĩ để tạo ra được tình huống gợi vấn đề và 
hướng dẫn HS tìm tòi để phát hiện và giải quyết vấn đề. 
 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có những đặc trưng sau: 
 HS được đặt trong tình huống gợi vấn đề. 
 HS hoạt động tích cực, tận lực huy động hết tri thức và khả năng 
của mình để giải quyết vấn đề. 
 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề không những làm cho HS 
lĩnh hội được tri thức của quá trình giải quyết vấn đề mà còn làm 
cho HS phát triển khả năng tiến hành những quá trình đó. 
 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có những hình thức sau: 
 Tự nghiên cứu giải quyết vấn đề 
Ví dụ: GV tạo tình huống có vấn đề: 
 Hỏi: Trong mặt phẳng, một đường thẳng được xác định khi nào? 
 Đáp (đ/a mong đợi): đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một 
VTCP hoặc VTPT và một điểm đi qua. 
 Hỏi: các dạng PT của đường thẳng? 
 Đáp( đáp án mong đợi là ): PTTS, PTTQ, PT chính tắc. 
Tạo tình huống: như vậy, trong không gian, PTTS của đường thẳng 
được xác định như thế nào? 
6 
 GV trình bày vấn đề: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ 
đi qua điểm M0(x0 ,y0 ,z0) và có VTCP 𝑢 (a;b;c). Điều kiện cần và 
đủ để điểm M(x;y;z)∈ ∆ ? 
 HS tự giải quyết vấn đề. 
 GV đánh giá kết quả của HS và đánh giá. 
 Nhận xét: 
 Trong quá trình HS giải quyết vấn đề, bài toán có thể để cho HS 
làm việc theo cá nhân( mỗi HS làm việc một cách độc lập) hoặc GV để 
cho giữa HS hợp tác (làm việc nhóm) hoặc kết hợp đan xen giữa các 
hình thức trên, tùy thuộc vào tình huống của vấn đề cần giải quyết. 
Nhờ hình thức nàymà GV dẫn dắt HS của mình tìm hiểu kiến thức 
mới, qua đó mà HS nhanh hiểu, mặt khác quyền chủ động lĩnh hội kiến 
thức là ở HS 
 Vấn đáp đặt và giải quyết vấn đề 
Ví dụ: Phát hiện các dạng bài tập cơ bản về PT mặt cầu. 
Từ kiến thức kiểm tra bài cũ,đặt vấn đề để dẫn dắt HS phát hiện ra 
các dạng bài tập cơ bản của PT mặt cầu. 
 Hỏi: Một mặt cầu được xác định khi biết các yếu tố nào? 
 Đáp: Một mặt cầu được hoàn toàn xác định khi biết tâm & 
bán kính hoặc 4 điểm không đồng phẳng mà nó đi qua. 
 Hỏi: Từ PT của mặt cầu đã cho, ta có thể xác định được những 
yếu tố nào của nó? 
 Đáp: Xác định được tọa độ tâm và bán kính mặt cầu. 
 Hỏi:Từ đó tìm xem có thể có những dạng toán nào liên quan 
tới phương trình mặt cầu? 
 Đáp: Ta thấy ngay hai dạng toán cơ bản là: 
 Xác định một PT đã cho có phải là PT mặt cầu khồng? 
Tìm tâm và bán kính(nếu có). 
 Viết PT mặt cầu. 
 Ý tưởng sư phạm: Trong hoạt động trên, từ kết quả kiểm tra bài cũ, 
GV đặt HS vào tình huống có vấn đề (tìm ra các dạng bài tập cơ bản 
về PT mặt cầu) bằng cách đặt ra những câu hỏi để dẫn dắt HS tự 
phát hiện ra vấn đề (các dạng bài tập liên quan) 
7 
 Thuyết trình và giải quyết vấn đề 
 Để thực hiên dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, điểm xuất 
phát hiện và giải quyết vấn đề là tạo ra tình huống có vấn đề(tốt nhất 
là tình huống gây được cảm xúc và làm cho HS ngạc nhiên). 
Có những cách để tạo ra tình huống có vấn đề như sau: 
a. Quan sát thực nghiệm để hình thành dự đoán 
Ví dụ: Tình huống có vấn đề liên quan tới vị trí tương đối của hai mặt 
phẳng 
 Nhờ máy tính có trang b ị phần mêm Cabri-Géométry và máy 
chiếu đa phương tiện, GV vẽ các trường hợp mà hai mặt phẳng 
(𝛼) ;(𝛽) song song, trùng nhau, cắt nhau 
 Yêu cầu HS quan sát và đưa ra kết luận trong các trường hợp hai 
mặt phẳng song song, trùng nhau thì VTPT của chúng có mối 
quan hệ gì? 
 Yêu cầu HS dự đoán, đưa ra điều kiện để hai mặt phẳng song 
song, hai mặt phẳng trùng nhau và hai mặt phẳng cắt nhau. 
b. Lật ngược vấn đề 
c. Tương tự hóa 
Ví dụ: Trước đó ta có điều kiện để hai mặt phẳng song song, trùng 
nhau, cắt nhau; vậy đối với vị trí tương đối của hai đường thẳng trong 
KG ta có những tính chất tương tương tự hay không? 
d. Khái quát hóa 
Ví dụ: Trong mặt phẳng ta có công thức tính khoảng cách từ một điểm 
tới một đường thẳng như sau: 
Cho đường thẳng Δ: ax + by +c = 0 và điểm M0(xo,yo) 
𝑑 𝑀𝑜 , Δ =
 𝑎𝑥𝑜 + 𝑏𝑦0 + 𝑐 
 𝑎2 + 𝑏2
- Khái quát hóa: Vậy liệu trong không gian, công thức tính khoảng 
cách từ một điểm tới mặt phẳng có hình thức sau hay không: 
Cho đường thẳng Δ: ax + by +cz + d = 0 và điểm M0(xo,yo,zo) 
𝑑 𝑀𝑜 ,Δ =
 𝑎𝑥𝑜 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧 + 𝑑 
 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
8 
e. Phát hiện sai lầm và nguyên nhân sai lầm 
 Yêu cầu HS phát hiện sai lầm và sửa chữa sai lầm cũng tạo ra một 
tình huống có vấn đề 
f. Tạo ra mâu thuẫn và xung đột về mặt nhận thức 
III.1 Dạy học khái niệm: 
 Như ta đã biết, khái niệm vừa là sản phẩm vừa là phương tiện của 
quá trình tư duy; khái niệm vừa là cơ sở của khoa học toán học, vừa là 
động lực phát hiện và giải quyết vấn đề triển của toán học. Do vậy, 
hình thành các khái niệm toán học cho HS là một trong những nhiệm 
vụ mấu chốt của dạy học toán ở trường phổ thông. 
Ta có thể sơ đồ hóa khái niệm như sau: 
Như vậy,để dạy học GV hoàn toàn có thể tạo ra tình huống gợi vấn đề 
giúp HS tiếp cận những tri thức mới đi từ cái đã biết đến vấn đề mới. 
III.2 Dạy học định lý: 
 Việc dạy học định lý ở trường phổ thông nhằm đạt tới các yêu cầu 
sau đây: 
 Góp phần làm cho HS thấy được nhu cầu rời khỏi Hình học quy 
nạp- thực nghiệm mà họ tiếp xúc trước lớp 7 và tính cần thiết dùng 
đến suy luận và chứng minh để xây dựng một hình học suy diễn, 
thấy được rằng suy luận và chứng minh là một đặc trưng cơ bản 
của toán học, một yếu tố quan trọng trong PP tiến hành các hoạt 
động toán học. 
 Hình thành và phát triển ở HS năng lực suy luận và chứng minh, 
bao gồm các năng lực: Hiểu được chứng minh, soạn thảo được 
chứng minh, tìm tòi được chứng minh,đánh giá được chứng minh 
 Làm cho HS nắm được một hệ thống các định lý cơ bản và mối 
quan hệ giữa chúng. Có kĩ năng vận dụng các định lý vào việc giải 
quyết vấn đề của toán học,của khoa học hay của thực tiễn. Do đó 
Khái niệm 
được định 
nghĩa (khái 
niệm mới) 
Khái niệm 
loại (khái 
niệm đã biết) 
Thuộc tính đặc 
trưng của 
chủng (diễn tả 
khác biệt về 
chủng 
= 
9 
mà để HS hiểu được nội dung định lý thì việc áp dụng định lý vào 
thực tiễn các bài toán sẽ đạt hiệu quả cao và tránh được các sai lầm 
khi áp dụng. 
III.3 Dạy học chứng minh: 
Đối với một bài toán chứng minh, có nhứng yêu cầu cơ bản sau đây: 
 Tiên đề và luận cứ phải chân thực. 
 Luận chứng phải hơpk logic. 
 Không đánh tráo luận đề. 
Một bài toán chứng minh các em dễ mắc phải những sai lầm chẳng hạn 
như: 
 Sai lầm về mặt tiên đề: Thường do chỉ dựa vào trực giác hay sử 
dụng các mệnh đề chưa được chứng minh. 
 Sai lầm về mặt luận cứ: Do áp dụng sai đinh lý, tính chất, định 
nghĩa, tiên đề. 
 Sai lầm về mặt luận chứng: Do sử dụng quy tắc suy luận không 
hợp logic. 
 Sai lầm về mặt luận đề: Do thay mệnh đề cần chứng minh không 
tương đương với nó. 
 Lưu ý: 
 Vì đối tượng HS của chúng ta còn có những HS khá giỏi nên trong 
bài giảng của GV nên xen lẫn những bài tập mở rộng như vậy HS 
không cảm thấy nhàm chán. 
IV. ÁP DỤNG 
GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG 
PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 
1. Dấu hiệu nhận biết và các bƣớc giải một bài toán HHKG bằng 
PPTĐ 
a) Những bài toán HHKG ở phần giả thiết có những dạng sau thì nên 
dùng PPTĐ để giải 
 Hình đã cho có 1 đỉnh là tam diện vuông. 
10 
 Hình chóp có 1 cạnh bên vuông góc với đáy và đáy là tam giác 
vuông, tam giác đều, hình vuông, hình chữ nhật,... 
 Hình lập phương, hình chữ nhật. 
 Hình đã cho có 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, trong 
mặt phẳng đó có những đa giác đặc biệt: tam giác vuông, tam 
giác đều, hình thoi. 
 Một vài hình chưa có sẵn tam diện vuông nhưng có thể tạo được 
tam diện vuông chẳng hạn: hai đường thẳng chéo nhau mà vuông 
góc, hoặc hai mặt phẳng vuông góc. 
 Ngoài ra, với một số bài toán mà giả thiết không cho những hình 
quen thuộc như đã nêu ở trên thì ta có thể dựa vào tính chất song song, 
vuông góc của các đoạn thẳng hay đường thẳng tham gia trong hình vẽ 
để thiết lập hệ trục tọa độ. 
b) Các bước giải một bài toán HHKG bằng PPTĐ 
 B1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp. 
 B2: Tìm tọa độ các điểm có liên quan đến yêu cầu bài toán. 
 B3: Giải bài toán bằng kiến thức tọa độ. 
 B4: Chuyển từ ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ 
tọa độ 
 Ví dụ về một vài cách chuyển từ ngôn ngữ hình học thông thường 
sang ngôn ngữ tọa độ: 
+ "3 điểm A, B, C phân biệt, thẳng hàng" tương đương với "tọa độ 
một điểm thỏa mãn PT đường thẳng đi qua hai điểm kia". 
+ "4 điểm A, B, C, D phân biệt, đồng phẳng" tương đương với "tọa 
độ của một điểm thỏa mãn PT mặt phẳng đi qua 3 điểm kia". 
11 
+ "3 đường thẳng (có PT dạng chính tắc) đồng quy" tương đương 
"hệ PT bao gồm 3 PT của 3 đường thẳng trên có nghiệm duy nhất" 
hoặc "giao điểm của 3 đường thẳng này nằm trên đường thẳng 
kia". 
2. Trình bày một số cách đặt hệ trục tọa độ với một số hình 
thƣờng gặp 
 Để giải được một số bài toán HHKG bằng PPTĐ ta cần phải chọn 
hệ trục tọa độ sao cho thích hợp. Dưới đây là một số lưu ý khi đặt hệ 
trục tọa độ: 
o Vẽ hình theo YCBT, sau đó tìm mối quan hệ vuông góc ở mặt đáy 
(tức là xác định 2 đường thẳng cố định ở mặt đáy vuông góc với 
nhau).Nơi giao nhau của 2 đường vuông góc đó chính lag nơi ta 
đặt gốc tọa độ và đồng thời hai trục tung và trục hoành. 
o Từ gốc tọa độ ta dựng vuông góc với mặt đáy thì được trục Oz 
nằm trên đường vuông góc đó là ta đã hoàn thành xong việc thiết 
lập hệ trục tọa độ. 
o Nhìn vào hình vẽ và giả thiết của bài toán, ta tìm tọa độ các điểm 
liên quan đến YCBT, ta cần chú ý đến các quan hệ cũng phương, 
đồng phẳng, vuông góc để tìm tọa độ các điểm đó. 
 Trước hết, để làm quen với việc tọa độ hóa các bài toán hình học 
không gian tổng hợp, ta bắt đầu bằng hai ví dụ đối với một hình đa 
diện có thể tọa độ hóa dễ dàng nhất, đó là hình lập phương. Có thể 
khẳng định chắc chắn rằng mọi bài toán yêu cầu chứng minh các 
quan hệ hình học hoặc tính toán đối với hình lập phƣơng đều có thể 
giải một cách ngắn gọn bằng phƣơng pháp tọa độ. 
12 
VD . Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. 
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB’D’) và (C’BD) song song 
với nhau. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng này; 
b) Chứng minh A’C vuông góc với mặt phẳng (AB’D’) và A’C vuông 
góc với IJ (I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BB’ và AD); 
c) Gọi K là trung điểm của cạnh CC’. Chứng minh rằng hai mặt 
phẳng (A’BD) và (KBD) vuông góc nhau. 
Giải 
Do các cạnh AB, AD, AA’ đôi 
một vuông góc 
nhau nên ta chọn hệ trục Oxyz 
sao cho: 
O A, tia AB  tia Ox, tia AD 
tia Oy, tia AA’  tia Oz. 
Khi đó, ta có: 
A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), 
A’(0;0;1), 
C(1;1;0), B’(1;0;1), 
D’(0;1;1), C’(1;1;1). 
a). Chứng minh (AB’D’) và (C’BD) song song với nhau. Khoảng 
cách giữa chúng. 
Dễ dàng thiết lập được phương trình của hai mặt phẳng: 
 (AB’D’): x + y – z = 0 và (C’BD): x + y – z – 1 = 0. 
Do đó (AB’D’) // (C’BD) 
và d((AB’D’),(C’BD)) = d(A,(C’BD)) = 
1
3
. 
b). Chứng minh A’C vuông góc với mặt phẳng (AB’D’) và A’C vuông 
góc với IJ 
Ta có 'A C

= (1;1;–1) chính là một vectơ pháp tuyến của 
(AB’D’): x + y – z = 0, do đó A’C  (AB’D’). 
Mặt khác, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BB’ và AD nên 
I(1;0;
1
2
), J(0;
1
2
;0) 
1 1
( 1; ; )
2 2
IJ   
 1 1
. ' ( 1).1 .1 ( ).( 1) 0 '
2 2
IJ A C A C IJ         
 
. 
K 
A 
B C 
D 
A’ 
B’ C’ 
D’ 
x 
y 
z 
I 
J 
13 
c). Chứng minh hai mặt phẳng (A’BD) và (KBD) vuông góc nhau 
Ta có phương trình mặt phẳng (A’BD) là x + y + z – 1 = 0 
(VTPT là 1 (1;1;1)n 

). 
K là trung điểm CC’ 
1
(1;1; ) ( ) : 2 1 0
2
K KBD x y z      
(VTPT là 2 (1;1; 2)n  

). 
Dễ thấy 1 2. 1.1 1.1 1.( 2) 0 ( ' ) ( ).n n A BD KBD      
 
 
Trên đây ta nhận thấy với phương pháp tọa độ, các chứng minh 
về quan hệ song song và vuông góc được thực hiện khá dễ dàng bằng 
các phép tính đại số mà không phụ thuộc vào hình vẽ hoặc các suy 
luận hình học thường rất khó trình bày đối với học sinh. Qua ví dụ ta 
rút ra các nhận xét quan trọng sau đây: 
 Cm hai mặt phẳng song song: viết PT của chúng và so sánh các 
hệ số. 
 Cm hai mặt phẳng vuông góc: chứng tỏ tích vô hướng của hai VTPT 
bằng 0. 
 Cm hai đường thẳng vuông góc: chứng tỏ tích vô hướng của 
hai VTCP bằng 0. 
 Cm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng tỏ VTCP của 
đường thẳng chính là một VTPT của mặt phẳng.