Thể tích của khối đa diện

THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
1. Khái niệm về thể tích
Định nghĩa: Thể tích của mỗi khối đa diện là 1 số dương có các tính chất sau:
Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1. Khối lập phương như thế gọi là khối lập phương đơn vị.
Thể tích của 2 khối đa diện bằng nhau thì bằng nhau.
Nếu 1 khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện phân chia.
2. Công thức tính thể tích các khối đa diện.
Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích của 3 kích thước. Như vậy:
Với khối hộp có 3 kích thước là a, b, c thì V = a.b.c
Với khối lập phương có cạnh bằng a thì V = a3
Thể tích của khối lăng trụ bằng tích của diện tích đáy và chiều cao: V=B.h
Thể tích của khối chóp bằng 1 3 tích của diện tích đáy và chiều cao: V=1 3B.h
Nếu khối chóp cụt có chiều cao h và có diện tich 2 đáy là B1 và B2 thì thể tích của nó là: V=1 3B1+B2+B1.B2h
Dạng 1: Thể tích của khối hộp chữ nhật, khối lập phương.
 Đọc VD1-SGK/t24.
Dạng 2: Thể tích của khối lăng trụ.
 Sử dụng công thức: V=B.h
 Để tính được thể tích của hình lăng trụ ta thường thực hiện theo các bước:
B1: Xác định các yếu tố của giả thiết (như khoảng cách, góc giữa đường thẳng với mặt phẳng, góc giữa 2 mặt phẳng,...) theo các phương pháp đã biết.
B2: Dựa vào cong thức, ta phân tích V thành các biểu thức chứa những đoạn thẳng phải tính.
B3: Tính những đoạn thẳng ấy bằng cách sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác, tính chất đồng dạng,...
B4: Suy ra giá trị của V.
· Dieän tích xung quanh cuûa hình laêng truï (hình choùp) baèng toång dieän tích caùc maët beân.
· Dieän tích toaøn phaàn cuûa hình laêng truï (hình choùp) baèng toång dieän tích xung quanh vôùi dieän tích caùc ñaùy.
VD1:Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác vuông tại A,AC = a, góc ACB=600. Đường thẳng BC1 tạo với mp(A1ACC1)một góc 300.Tính thể tích khối lăng trụ.
Hướng dẫn:Trong tam giác ABC có AB=AC.tan600=a
 ABAC và ABA1A
 Nên AB mp(ACC1A) do đó AC1B=300 và AC1=AB.cot300=3a.
 Áp dụng định lý pitago cho tam giác ACC1 : CC1==2a
 Do vậy VLT=CC1.SABC= 2a..a.a=a3.
VD2: Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A1 cách đều ba
điểm A,B.C,cạnh bên A1A tạo với mp đáy một góc 600.Hãy tính thể tích khối trụ đó.
Hướng dẫn: Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên SABC=mặt khác A1A= A1B= A1C A1ABC là tứ diện đều gọi G là trọng tâm tam giác ABC có A1G là đường cao
Trong tam giác A1AG có AG=2/3AH=vàA1AG=600
 A1G=AG.tan600=a. vậy VLT=A1G.SABC=
VD3: Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB=.Cho biết mpABB1vuông góc với đáy,A1A=,Góc A1AB nhọn, góc giữa mpA1AC và đáy bằng 600. hãy tính thể tích trụ.
Hướng dẫn: Tam giác ABC có cạnh huyền AB=và cân nên CA=CB=1;
 SABC=1/2.CA.CA=1/2.
 . MpABB1vuông góc với ABC từ A1 hạ A1G AB tại G.
 A1G chính là đường cao 
 Từ G hạ GH AC tại H
 Gt góc A1HG=600 
 Đặt AH=x(x>0) 
 Do AHG vuông cân tại H nên HG=x và AG=x
 HGA1 có A1G=HG.tan600=x.
 A1AG có A1A2=AG2+A1G2 3=2x2+3x2 hay x=
 Do đó A1G= vậy VLT=A1G.SABC=
VD4:Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hcn với AB= và AD=. Các mặt bên ABB1A1 và A1D1DA lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. Hãy tính thể tích khối hộp đó biết cạnh bên bằng 1.
Hướng dẫn: Gọi H là hình chiếu của A1 lên mpABCD
 Từ H hạ HMAD tại M và HNAB tại N
 Theo gt A1MH=600 và A1NH=450 
 Đặt A1H=x(x>0) ta có A1M==
 tứ giác AMHN là hcn( góc A,M,N vuông)
 Nên HN=AM mà AM==
 Mặt khác trong tam giác A1HN có HN=x.cot450 
 Suy ra x = hay x= vậy VHH=AB.AD.x= 3.
BT1: Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC=a, C=600, đường chéo BC1 của mặt bên BCC1B1 hợp với mặt bên ACC1A1 một góc 300
	a) Tính độ dài đoạn AC1 b) Tính thể tích lăng trụ
BT2: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A1 lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC). Cạnh bên AA1 tạo với mặt phẳng đáy 1 góc 600.
 a) Tính thể tích lăng trụ 	b) CMR: BCC1B1 là hình chữ nhật 
BT3: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, A=600. Chân đường vuông góc hạ từ B1 xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. Cho BB1=a.
 a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy b) Tính thể tích hình hộp