Tài liệu ôn tập Hình học Lớp 9 - Dạng bài: Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Dạng bài: Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
Dạng 1: Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau
Bài 1: Cho đường tròn đường kính AB, C là một điểm trên đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm D, gọi M là một điểm chính giữa cung BD. Đường thẳng MC cắt đường tròn tại E, đường thẳng DE cắt AM tại K. Đường thẳng đi qua C và song song với AD cắt DE tại F. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AKCE nội tiếp một đường tròn
b) CK ^ AD
c) CF = CB
Bài 2: Cho đường tròn tâm O có đường kính BC. Gọi A là một điểm thuộc cung BC (); D là điểm thuộc bán kính OC. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E, cắt tia BA tại F.
a) Chứng minh tứ giác ADCF là tứ giác nội tiếp 
b) Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng : 
c) Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O)
d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC của đường tròn (O) biết BC = 8cm; 
Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC, AD lần lượt lấy các điểm E, F sao cho . Biết BD cắt AE, AF theo thứ tự tại G, H. Chứng minh rằng
ADFG; GHFE là các tứ giác nội tiếp
Tam giác CGH và tứ giác GHFE có diện tích bằng nhau
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. 
 a) Chứng minh rằng 
 b) Gọi M là điểm trên cung AC, trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME = MC. Chứng minh rằng bốn điểm B; D; E; C thuộc một đường tròn 
Bài 5: Trên đường tròn (O) lấy hai điểm B và D. Gọi A là điểm chính giữa cung lớn BD. Các tia AD, AB cắt tiếp tuyến Bx và Dy của đường tròn lần lượt tại N và M. Chứng minh.
Tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn
MN// BD
MA.MB = MD2
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông ở A, với AC > AB. Trên AC lấy điểm M, vẽ đường tròn tâm O đường kính MC. Tia BM cắt đường tròn (O) tại D. Đường thẳng qua A và D cắt đường tròn (O) tại S. 
Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh 
Chứng minh AC là tia phân giác của góc SCB
d) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy.
e) Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE
f) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE
k) Biết bán kính đường tròn (O) là R và . Tính độ dài cung MS. 
Bài 7: Cho đường tròn (O;R) có AB là đường kính cố định, còn CD kà đường kính thay đổi. Gọi (d) là tiếp tuyến của đường tròn tại B; AC, AD lần lượt cắt (d) tại P, Q.
Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được đường tròn
Chứng minh đường trung tuyến AI của tam tam giác AQP vuông góc với DC
c) Khi CD thay đổi thì tâm E của đường tròn ngoại tiếp tam giác CPD chuyển động trên đường nào ?
Dạng 2: Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800
Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại F; E. Gọi H là giao điểm của BE, CF; D là giao điểm của AH với BC. 
	 1. Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AEHF; AEDB nội tiếp đường tròn 
	 b) AF.AB = AE.AC
	 2. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu AD +BE + CF = 9r thì tam giác ABC đều.
Bài 2: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AC > BC) nội tiếp đường tròn tâm O. Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại A và B, các tiếp tuyến này cắt nhau tại M. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên MC.
Chứng minh rằng: MAOH là tứ giác nội tiếp
Tia HM là phân giác của góc AHB
 c) Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt các đường thẳng MA, MB lần lượt tại E và F. Nối HE cắt AC tại F, nối HF cắt BC tại Q. Chứng minh rằng PQ//EF.
Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng các tứ giác BFEC, BFHD nội tiếp 
Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
AD cắt cung BC tại M. Chứng minh rằng tam giác BHM cân.
Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M thuộc nửa đường tròn, điểm C thuộc đoạn OA. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M vẽ tiếp tuyến Ax và By. Đường thẳng qua M và vuông góc với MC cắt Ax, By tại P và Q. AM cắt CP tại E; BM cắt CQ tại F. 
Chứng minh rằng tứ giác APMC nội tiếp.
Chứng minh rằng 
Chứng minh rằng EF // AB
Bài 5: Cho nửa đường tròn đường kính AB. C là một điểm thuộc nửa đường tròn. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên đoạn AB lấy điểm E sao cho AE = AC; DE cắt BC tại H; AH cắt nửa đường tròn tại K. Chứng minh:
a) 
b) OK ^ BC
c) Tứ giác ACHE nội tiếp 
d) B, K, D thẳng hàng
Dạng 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện
Bài 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn. Gọi C, D là hai điểm di động trên đường tròn. Các tia AC, AD cắt Bx lần lượt tại E và F ( F nằm giữa B và E).
Chứng minh rằng DABF ~DBDF
Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp được
c) Khi C, D di động trên nửa đường tròn. Chứng minh AC.AE = AD.AF có giá trị không đổi.
d) Cho . Hãy tính diện tích của tứ giác ACDB.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, vẽ nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F.
Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật
Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp 
Chứng minh: AE.AB = AF.AC
d) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G. Chứng minh:
Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD.
Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được
AC //FG.
Các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy.
Dạng 4: Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm
Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B.Các tiếp tuyến tại A của hai đường tròn (O’); (O) cắt đường tròn (O); (O’) lần lượt tại C và D. Trung trực của AC và trung trực của AD cắt nhau tại S.
Tứ giác AOSO’ là tứ giác gì ? Vì sao? Chứng SB ^ AB.
Lấy E đối xứng với A qua B. Chứng minh tứ giác ACDE nội tiếp
Dạng 5: Chứng minh 5 điểm nằm trên một đường tròn
Bài 1: Từ điểm A bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB; AC và cát tuyến AMN. Gọi I là trung điểm của MN.
Chứng minh AB2 = AM.AN.
Chứng minh rằng 5 điểm A, B, I, C, O cùng nằm trên một đường tròn 
Gọi K là giao điểm của BC và AI. Chứng minh rằng: 
Bài 2: Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường thẳng xy theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn (O) đi qua hai điểm B và C. Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN (M, N thuộc đường tròn). Gọi E là hình chiếu của O trên xy; AO cắt MN tại F. 
Chứng minh AM2 = AB . AC
Chứng minh 5 điểm A, N, O, E, M cùng nằm trên một đường tròn
Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh rằng IN // AB
d) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi đường tròn (O) thay đổi.
Bài 3: Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AN, AM. Trên nửa mặt phẳng bờ AN không chứa M lấy điểm B sao cho . Đường thẳng BO cắt AN tại D, cắt đường thẳng AM tại C. Đường thẳng BM cắt AN tại K. Gọi I là trung điểm của AC. BI cắt AN tại E. Chứng minh:
Năm điểm A, B, N, O, M cùng nằm trên một đường tròn.
BD là phân giác của tam giác BKN.
DN.AK = AN.DK
Tam giác BEN cân
Bài 4: Cho hình vuông ABCD và một điểm M trên cạnh BC. Vẽ hình vuông AMPQ sao cho P và Q thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AM không chứa đỉnh B. Chứng minh rằng:
Ba điểm Q, C, D thẳng hàng
Năm điểm A, M, C, P, Q cùng thuộc một đường tròn 
điểm P chạy trên một đoạn thẳng cố định khi M chuyển động trên cạnh BC
Bài 5: Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B và C là tiếp điểm) và cát tuyến AMN (M nằm giữa A và N) với đường tròn . Gọi E là hình chiếu của O trên MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với đường tròn.
Chứng minh rằng năm điểm A, O, E, C, B cùng nằm trên một đường tròn
Chứng minh 
Chứng minh BI//MN
Xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.
Dạng bài: Vị trí tương đối của hai đường tròn
Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Trên nửa mặt phẳng bờ OO’ có chứa B vẽ tiếp tuyến chung EF (Ẻ(O);F ẻ(O’)). Một cát tuyến qua A và song song với EF cắt (O) ở C và cắt (O’) ở D; CE giao DF ở I. Chứng minh:
IA ^ CD
Tứ giác IEBF nội tiếp
AB đi qua trung điểm của EF.
Bài 2: Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài tại K.Vẽ tiếp tuyến chung ngoài AD (A ẻ (O1); D ẻ (O2)) rồi vẽ đường kính AB của đường tròn (O1). Qua B vẽ tiếp tuyến BM với đường tròn (O2). Chứng minh
Ba điểm B, K, D thẳng hàng
AB2 = BK.BD
AB = BM
Một số bài tập bổ sung
Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Kẻ hai đường kính AA’ và BB’ của đường tròn.
Chứng minh tứ giác ABA’B’ là hình chữ nhật
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, Chứng minh BH = CA’
Cho OA = R, tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC.