Tài liệu luyện thi THPT môn Toán Lớp 12

   
+ + = . 
Ví dụ 6. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn 
Phương trình ( )4 2sin sin sin 3 sin 2 0
2 2
x x
x x
 
− + + + = 
 
 có các nghiệm là: 
A. 2 ; .x k k=  . B. ; .x k k=  . C. ( )2 1 ; .x k k= +  D. ; .
2
x k k

=  . 
Lời giải 
Chọn C. 
Đặt  2t sin 0;1 , .
2
x
t x=     
Phương trình tương đương ( )2
1 (1)
t sin 3 t sin 2 0
sin 2(2)
t
x x
t x
=
− + + + =   = +
+ Với 2
1 cos
t 1 sin 1 1 cos 1 2 (2k 1) , (k )
2 2
x x
x x k x  
−
=  =  =  = −  = +  = +  
+ Với 2t sin 2 sin sin 2
2
x
x x= +  = + 
2 2
2
cos 1sin 1 sin 1
sin sin 22 2
sin 12
sin 2 1 sin 2 1
x x
xx
x
x
x x
 
= − =  
 = +    
= − +  + = 
 (vô nghiệm) 
Kết luận: Vậy nghiệm của phương trình là (2k 1) , (k )x = +  . 
Nhận xét: 
+ Với phương trình này hoàn toàn có thể giải bằng phương pháp đưa về dạng tích 
0
. 0 .
0
A
A B
B
=
=   =
+ Với phương trình 2sin sin 2
2
x
x= + (2) có thể giải cách khác như sau: 
1 cos
(2) sin 2 2sin cos 3
2
x
x x x
−
 = +  + = − , phương trình này vô nghiệm do 
( )
22 22 1 3 .+  − 
STUDY TIP 
asin cosx b x c+ = có nghiệm 2 2 2.a b c +  
Ví dụ 7. Phương pháp đánh giá 
Với phương trình ( )
2
3cos 4 cos 2 sin 7 (*)x x x+ − = thì: 
A. trên đoạn  0;2 phương trình có 1 nghiệm. 
B. trên đoạn  0;2 phương trình có 2 nghiệm 
C. trên đoạn  0;2 phương trình có 3 nghiệm. 
D. trên đoạn  0;2 phương trình có 4nghiệm. 
Lời giải 
Chọn A. 
Ta có 3cos4 3x  
( ) ( )
222 2cos2 sin cos2 sin cos2 sin 2x x x x x x− = −  +  
( ) ( )
2 2
cos 2 sin 4 3cos 4 cos 2 sin 7 x x x x x −   + −  
Phương trình (*) xảy ra 
( )
2
cos 4 1
cos 2 1 (I)cos 4 1
3cos 4 3 sin 1cos 2 sin 2(1)
cos 4 1 cos 4 1cos 2 sin 4
cos 2 sin 2(2) cos 2 1 (II)
sin 1
x
xx
x xx x
x xx x
x x x
x
 =

= = 
 = = −− =       = =− =    − = − = −  
 =
+ Giải (I): 
2 2
2
2cos 2 1 1 cos 2 1
cos 2 1 sin 01 2sin 1
cos 2 1 cos 2 1
sin 1 sin 1sin 1
sin 1 sin 1
x x
x xx
x x
x xx
x x
 − = =
= = − =  
=  =       
= − ==  = − = − 
(vô nghiệm) 
+ Giải (II): 
2
2
cos 2 1
cos 2 1 1 2sin 1
cos 2 1 sin 1 2 ( )
sin 1 2sin 1
sin 1
x
x x
x x x k k
x x
x


 =
= −  − = −
= −    =  = +   
= =  =
Vậy phương trình ban đầu có 1 nghiệm thuộc  0;2 . 
Chú ý: Có thể giải phương trình này bằng cách đưa về phương trình bậc 4 với sin x sẽ tự nhiên 
hơn. Tuy nhiên với ví dụ này tôi muốn minh họa thêm cho các bạn một phương pháp giải khác 
để linh hoạt khi làm bài. 
STUDY TIP 
(1) cos2 sin 2 cos2 sin 2x x x x− =  = + . Mà 
cos 2 1
sin 2 1
x
x


+ 
+ suy ra (1) xảy ra khi và chỉ khi 
cos 2 1 cos 2 1
sin 2 1 sin 1
x x
x x
= = 
 
+ = = − 
+ suy ra (1) xảy ra khi và chỉ khi 
cos 2 1 cos 2 1
sin 2 1 sin 1
x x
x x
= − = − 
 
+ = − = 
Lưu ý: Đối với phương trình (1) và (2) ta có thể đưa ngay cách giải ngay bằng cách đưa về 
phương trình bậc 2 đối với sin x bằng cách sử dụng công thức
2cos 2 1 2sinx x= − . Tuy nhiên 
một số phương trình không đưa về được như vậy. Ví dụ sin sin5 2x x+ = (bạn đọc tự giải) 
Ví dụ 8. Phương pháp hàm số 
Phương trình 
2 2sin 1 2 sin cos 1 (*)
4
x x x
 
+ = − + + 
 
 có tổng các nghiệm trong khoảng 
0;
2
 
 
 
 là: 
A. 0 . B. 
2

 . C. 
4

 D. 
3

. 
Lời giải 
Chọn C. 
Phương trình 2 2sin 1 sinx cos cos 1 x x x + = − + + + 
2 2sin 1 sinx cos cos 1 (1)x x x + + = + + 
Xét hàm số 2( ) 1f t t t= + + trên ( )0;1 . 
Với ( )1 2 1 2, 0;1 t t va t t   ta xét biểu thức 
( )( )
( )( )
2 2 2 2
1 1 2 21 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
1 2
2 2
1 2 1 2
1 1( ) ( )
1 1
1 0.
1 1
t t t tf t f t t t t t
t t t t t tt t t t
t t
t t t t
+ + − + −− − −
= = + =
− − −+ + + −
−
= + 
+ + + −
Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên ( )0;1 , Suy ra phương trình (1) tuuongw đương 
( )(sinx) (cos ) sinx cos tan 1 ,
4
f f x x x x k k

=  =  =  = +  
Vậy phương trình (*) có 1 nghiệm thuộc 0;
2
 
 
 
là .
4

Lưu ý: Đối với việc chứng minh hàm số đồng biến trên ( );a b của hàm số 
( )1 2
1 2
, ;
( ),
x x a b
y f x
x x
 
= 

 , xét tỉ số 1 2
1 2
(x ) (x )f f
m
x x
−
=
−
+ Nếu 0m  Hàm số đồng biến trên ( ); .a b 
+ Nếu 0m Hàm số nghịch biến trên ( ); .a b 
+ Nếu 0= Hàm số không đổi trên ( ); .a b 
STUDY TIP 
+ Nếu hàm số ( )y f x= đồng biến trên ( );a b thì ( )1 2, ; :x x a b  
1 2 1 2( ) ( )f x f x x x   
1 2 1 2( ) ( )f x f x x x   
1 2 1 2( ) ( ) .f x f x x x =  = 
 V. Một số phương trình lượng giác đưa về dạng tích 
Ví dụ 1. Phương trình sin 4cos 2 sin2x x x+ = + có số nghiệm trên ( )0;2 là: 
 A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. 
Lời giải 
 Chọn C. 
 Phương trình sin 4cos 2 2sin cosx x x x + = + 
( ) ( )
( )( )
sin 1 2cos 2 1 2cos 0
sin 2 1 2cos 0
sin 2( )
sin 2 0
2 , ( )1
1 2cos 0 3cos
2
x x x
x x
x VN
x
x k k
x x


 − − − =
 − − =
=
− =    =  +  − = =

Vậy phương trình có 2 nghiệm trên ( )0;2 là 
3
x

= và 
5
.
3
x

= 
Ví dụ 2. Phương trình 1 cos sin cos2 sin2 0x x x x+ + + + = có các nghiệm dạng 
1 2 3 42 , 2 , 2 , 2x a k x b k x c k x d k   = + = + = + = + . Với 0 , , , 2a b c d   thì a b c d+ + + 
là: 
A. 0 . B. 
7
2

 . C. 
5
4

 D. 
9
2

. 
Lời giải 
Chọn D. 
Phương trình 2 21 sin 2 cos sin cos sin 0x x x x x + + + + − = 
( ) ( ) ( )( )
( )( )
2
cos sin cos sin cos sin cos sin 0
cos sin cos sin 1 cos sin 0
2 sin 0
cos sin 0 4 4
( )
22cos 1 0 1
2cos
32
x x x x x x x x
x x x x x x
x x k
x x
k
x
x kx
 



 + + + + + − =
 + + + + − =
   
+ = = +  + =      + =   =  += 
Nghiệm trên biểu diễn trên đường tròn lượng giác ta viết lại các nghiệm phương trình là: 
3 7 2 4 3 7 2 4 9
2 v 2 v 2 v 2 .
4 4 3 3 4 4 3 3 2
x k x k x k x k a b c d
        
   = + = + = + = +  + + + = + + + = 
Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình 3 2 2cos 2 cos 2 sin 0x x a x− − = có nghiệm 
0; ?
6
x
 
 
 
A. 0 . B. 1 . C. 2 D. 3 . 
Lời giải 
Chọn B. 
Phương trình 3 2
1 cos 2
cos 2 cos 2 0
2
x
x x a
−
 − − = 
( )( )3 2 2 2
cos 2 1(1)
2cos 2 2cos 2 cos 2 0 cos 2 1 2cos 2 0
cos 2 (2)
2
x
x x a x a x x a a
x
=
 − + − =  − − = 
 = −

-Giải (1) 2 2 ( )x k x k k  =  =  , các nghiệm này không thuộc 0;
6
 
 
 
. 
-Giải (2) có 2
1 1
0; 2 0; cos2 1 cos 2 1
6 3 2 4
x x x x
    
           
   
y
5π
3
π
3
O
x
Suy ra phương trình (2) có nghiệm thuộc 
1 1
0; 1 2 .
6 4 2 2
a
a
 − 
    −   − 
 
Vậy có 1 giá trị nguyên của a là 1.− 
Ví dụ 4. Phương trình ( )( ) 32sin 1 4cos4 2sin 4cos 3x x x x+ + + = nhận các giá trị arccos
2
x m k

= +
( )k  làm nghiệm thì giá trị m là: 
A. 
1
4
m = . B. 
1
4
− . C. 
1
16
m = D. 
1
16
m = − . 
Lời giải 
Chọn B. 
Phương trình ( )( ) ( )22sin 1 4cos 4 2sin 4 1 sin 3 0x x x x + + + − − = 
( )( ) ( )( )
( )( )
2sin 1 4cos 4 2sin 1 2sin 1 2sin 0
2sin 1 4cos 4 1 0.
x x x x x
x x
 + + + − + =
 + + =
2
6
1 7
sin 2
2 6
( )
1 1 1
cos 4 arccos( )
4 4 4 2
1 1
arccos( )
4 4 2
x k
x x k
k
x x k
x k







= − +

 = − = + 
   
 = − = − +
 

= − − +

Vậy 
1
4
m = 
STUDY TIP 
( )( )
( )( )
2
2
cos 1 sin 1 sin
sin 1 cos 1 cos
x x x
x x x
= − +
= − +
Ví dụ 5. Phương trình sin2 2cos cos2 sinx x x x+ = − là phương trình hệ quả của phương trình: 
A.
1
sin( )
4 2
x

− = B. sin 2 0x = C. 
1
sin cos
2
x x+ = D. 
1
sin cos
2
x x+ =
Lời giải 
Chọn C 
pt 22sin cos 2cos 2sin sin 1x x x x x + = − − + 
sin 1
(sin 1)(2cos 2sin 1) 0 1
cos sin
2
x
x x x
x x
= −
 + + − = 
 + =

Lưu ý: Phương trình bậc hai 2 0( 0)at bt c a+ + =  có hai nghiệm 1 2,t t thì 
2
1 2( )( )at bt c a t t t t+ + = − − 
VI. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA ĐIỀU KIỆN 
Ví dụ 1. Phương trình 
sin 5
1
5sin
x
x
= có số nghiệm là: 
 A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số 
Lời giải 
Chọn A 
Điều kiện: sin 0 cos 1x x    
sin5 5sin 0 sin5 sin 4sin 0Pt x x x x x − =  − − = 
2cos3 .sin2 4sin 0 2cos3 .2sin cos 4sin 0x x x x x x x − =  − = 
sin 0( )
4sin (cos3 cos 1) 0 1
(cos 2 cos 4 ) 1 0
2
x l
x x x
x x
=
 − = 
 + − =

2 2
cos 2 1
cos 2 2cos 2 1 2 0 2cos 2 cos 2 3 0 3
cos 2 ( )
2
x
x x x x
x VN
=
 + − − =  + − = 
 = −

Với 2cos 2 1 1 2sin 1 sin 0x x x=  − =  = (loại vì không TMĐK) 
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 
Ví dụ 2. Phương trình 2 23cot 2 2 sin (2 3 2)cosx x x+ = + có các nghiệm dạng 
2 ; 2 , ,0 ,
2
x k x k k Z

     = + = +    thì .  bằng: 
A. 
2
12

 B. - 
2
12

 C. 
7
12

 D. 
2
212

Lời giải 
Chọn A 
Điều kiện: sin 0 cos 1x x    
2 4 2 2
2 2 2
3cos 2 2 sin 2cos .sin 3 2 cos .sin
3cos (cos 2 sin ) 2sin (cos 2 sin ) 0
Pt x x x x x x
x x x x x x
 + = +
 − − − =
2 2(cos 2 sin )(3cos 2sin ) 0x x x x − − = 
2
2
2 cos cos 2 0(1)
2cos 3cos 2 0(2)
x x
x x
 + − =
 
+ − =
2
cos
(1) 2 ( )2
4
cos 2( )
x
x k k
x VN



=
  =  + 
 = −
1
cos
(1) 2 ( )2
3
cos 2( )
x
x k k
x VN



=  =  + 

= −
Vậy 
2
; ; .
4 3 12
  
   = = = 
Ví dụ 3. Phương trình 
1 1 1
cos sin 2 sin 4x x x
+ = có tổng các nghiệm trên (0; ) là: 
A. 
6

 B. 
6

 C. 
2
3

 D.  
Lời giải 
Chọn D 
Điều kiện:
cos 0 cos 0 cos 0 sin 1
sin 2 0 sin 0 sin 0 sin 0
sin 4 0 cos 2 0 2 2
sin sin
2 2
x x x x
x x x x
x x
x x
 
      
    
         
          
  
( ) ( )
2 2
2
2
1 1 1
cos 2sin cos 4sin cos cos 2
2sin cos 2 cos 2 1 0
2sin (1 2sin ) 1 2sin 1 0
2sin (1 2sin sin ) 0
sin 1 2
sin 0 6
1
5sin1 2sin sin 0
22
6
Pt
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x l x k
x l
k
xx x
x k




 + =
 + − =
 − + − − =
 − − =

= − = + =      =− − =  = + 
=>có 2 nghiệm trên (0; ) là x=
6

 và x=
5
6

Vậy tổng các nghiệm trên (0; ) là: 
5
6 6
 
+ = 
Ví dụ 4. Phương trình 
sin 2 2cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
+ − −
=
+
 có bao nhiêu nghiệm trên (0;3 ) ? 
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 
Lời giải 
Chọn B 
Điều kiện: ( )
cos 0
*
tan 3
x
x


 −
sin 2 cos 2 sin 1 0 2sin cos sin 2cos 1 0
sin 1 2
2
(2cos 1)(sin 1) 0 1
cos
22
3
Pt x x x x x x x
x x k
x x k
x
x k




 + − − =  − + − =

= − = − + 
 − + =   
 =  =  + 
Kết hợp điều kiện (*)=>Nghiệm của phương trình là 2
3
x k

= + 
Vậy có hai nghiệm thuộc (0;3 ) là 
3
x

= và 
7
3
x

= 
Ví dụ 5. Phương trình 
(1 sin cos 2 )sin( )
14 cos
1 tan 2
x x x
x
x

+ + +
=
+
 có các nghiệm dạng 
2 ; 2 , ; , ,x k x k k Z         = + = +   −   thì 2 2 + là: 
A. 
2
36

 B. 
235
36

 C. 
213
18

 D. 
215
18

Lời giải 
Chọn C 
Điều kiện: ( )
cos 0
*
tan 1
x
x

  −
(1 sin cos 2 ) 2 sin( )
4 cos
sin cos
cos
x x x
Pt x
x x
x

+ + +
 =
+
2(1 sin 1 2sin ) 2 sin( )
4 1
2 sin( )
4
x x x
x


+ + − +
 =
+
 2 2
sin 1
2 sin 2sin 1 2sin sin 1 0 1
sin
2
x
x x x x
x
=
 + − =  − − = 
 =

Kết hợp điều kiện(*) ta có nghiệm của pt là 
2
6
5
2
6
x k
k
x k





= − +

 = − +

2 2 2 2
2 2 25 26 13
36 36 36 18
   
  + = + = = 
Ví dụ 6. Phương trình ( )
4 4
4sin 2 cos 2 cos 1
tan tan
4 4
x x
x
x x
 
+
=
   
− +   
   
có số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn 
lượng giác là: 
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 
Lời giải 
Chọn B 
Điều kiện: 
sin( ) 0
4 4
sin( ) 0
4 4
os( ) 0
4 4
os( ) 0
4 4
x x k
x x k
c x x k
c x x k
 

 

 

 

 
+   − + 
 
 −   +
 
 
 +   +
 
 
 −   − +
 
Ta có: 
tan tan tan tan
1 tan 1 tan4 4tan tan . . 1
4 4 1 tan 1 tan
1 tan tan 1 tan tan
4 4
x x
x x
x x
x x
x x
 
 
 
− +
− +   
− + = = =   
+ −    + −
( ) 4 4 4 2 2 2
1
sin 2 cos 2 cos 4 1 sin 4 1 sin 4 sin 4 0
2
x x x x x x  + =  − = −  = . 
( )
sin 2 0
sin 4 0 2sin 2 cos 0
cos 0( ) 2
x
x x x x k k
x L
=
 =  =   =  =
. 
Kết hợp điều kiện ⇒ nghiệm của phương trình (1) là ( )
2
x k k Z

=  
Vậy số điểm biểu diễn cần tìm là 4. 
Lưu ý: Ở bài nầy điều kiện bài toán có thể gộp thành x k (k Z)
4 2
Bài tập rèn luyện kỹ năng 
Phương trình lượng giác cơ bản 
Câu 1. Phương trình 0 0 0
1
sin( 10 ) (0 180 )
2
x x+ =   có nghiệm là: 
A. 
030x = và 0150x = B. 020x = và 0140x = 
C. 
040x = và 0160x = D. 
030x = và 0140x = 
Câu 2. Số nghiệm của phương trình 2 os( ) 1
4
c x

+ = với0 2x   là: 
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 
Câu 3. Phương trình sin(5 ) 2
2
x m

+ = − có nghiệm khi: 
A.  1;3m B.  1;1m − C. m R D. (1;3)m 
Câu 4. Phương trình 0 2tan(3 60 )x m+ = có nghiệm khi: 
A.  1;1m − B.  0;1m C. m R D. m 
Câu 5. Phương trình có nghiệm t an(x-1) 2= là: 
A. 1 arctan(2) ( )x k k Z= − + +  B. 1 arctan(2) ( )x k k Z= + +  
C. arctan(2) 2 ( )x k k Z= +  D. 1 arctan(2) ( )
2
x k k Z

= + +  
Câu 6. Tổng các nghiệm của phương trình t anx 1= trên khoảng (0;10) là: 
A. 
15
4

 B. 
3
2

 C. 
7
2

 D. 8 
Câu 7. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình cos 0x = ? 
A. sinx 1= B. sinx 1= − C. t anx 0= D. cot 0x = 
Câu 8. Phương trình os( ) sin
3 6
c x
 
+ = Có các nghiệm dạng 2x k = + và 2x k = − +
(0 ; )    Khi đó  + bằng 
A. 0 B. 
6

− C. 
2
3

 D. 
2
3

− 
Câu 9. Phương trình os2 os( )
2
c x c x

= − + có bao nhiêu nghiệm thuộc (0;10 ) 
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 
Câu 10. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình cot tan( )
2 2
x
x

= − 
A. 
2
3

− B. 
3

− C. 
4
3

− D. 0 
Câu 11. Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm? 
A. t anx 99= B. cot 2018 2017x = 
C. 
3
sin 2
4
x = − D. 
2
cos(2 )
2 3
x
 
− = 
Một số phương trình lượng giác thường gặp 
Câu 12. Số nghiệm của phương trình 2sin 3 0x− = Trên đoạn  0;2 
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 
Câu 13. Phương trình tan 3 0m x− = Có nghiệm khi 
A. 0m  . m R C. 
3
1 1
m
−   D. 
3
1 1
m
−   
Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 22cos 1 0x m+ − = Có nghiệm? 
A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô số 
Câu 15. 
Tổng các nghiệm của phương trình 02sin( 20 ) 1 0x+ − =
trên khoảng 0 0(0 ,180 )
A. 
0210 B. 0200 C. 0170 D. 0140 
Câu 16. Phương trình sinx 3cos 0x− = có nghiệm dạng ar cot ,x c m k k Z= +  thì giá trị m là: 
A. 
1
3
m = B. 3m = C. 3m= − D. 
1
3
m = − 
Câu 17. Tổng 2 nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình: 22sin 7sin 4 0x x+ − = là: 
A. 
6
x

= B. 
4
3

 C. 
6

 D. 
5
6

Câu 18. Nghiệm của phương trình 
t anx 3
0
2cos 1x
−
=
+
 là: 
A. ,
3
S k k Z


 
= +  
 
 B. (2 1) ,
3
S k k Z


 
= + +  
 
C. 2 ,
3
S k k Z


 
= +  
 
 D. ,
3 2
S k k Z
  
= +  
 
Câu 19. Nghiệm của phương trình 2
3
2 tan 3
cos
x
x
+ = − là: 
A. ,x k k=  . B. ( )2 1 ,x k k= +  . 
C. 3 ,x k k=  . D. ,
3
x k k

=  . 
Câu 20: Phương trình 6 6 2
13
sin 2
8
x x x− =cos cos có bao nhiêu điểm biểu diễm trên đường tròn lượng 
giác? 
A. 3 . B. 4 . C. 8 . D. 6 . 
Câu 21: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình ( )2 2 2sin 3 sin 4x m x m+ − + − có hai 
nghiệm thuộc 
3
;2
2


 

 
 ? 
A. 1. B. 2 . C. Vô số. D. Không có m . 
Câu 22: Giá trị của m để phương trình ( )2 2 1 cos 1 0x m x m− + + + =cos có nghiệm trên 
3
;
2 2
  
 
 
 là 
 );m a b thì a b+ là: 
A. 0 . B. 1− . C. 1. D. 2 . 
Câu 23: Phương trình 4 4
3
sin sin 3 0
4 4 2
x x x x
    
+ + − − − =   
   
cos cos có tổng 2 nghiệm âm lớn nhất 
liên tiếp là: 
A. 
3
2

− . B. − . C. 
2

− . D. 
5
2

− . 
Câu 24: Phương trình 6 6sin 3sin cos 2 0x x x x m+ + − + =cos có nghiệm khi  ;m a b thì tích .a b 
bằng: 
A. 
9
4
. B. 
9
2
. C. 
75
16
. D. 
15
4
. 
Câu 25: Phương trình tan 2cot 3 0x x+ − = có các nghiệm dạng 2
4
x k

= + và arc tanx m k= + ; 
k thì: 
A. 1m = . B. 2m = . C. 
1
2
m = . D. 2m= − . 
Câu 26: Cho các phương trình sau:. 
( )1 2sin 5 0x − = . 
( ) 22 sin 2 5 2 7 0x x+ − =cos . 
( ) 8 8
5
3 sin 3 3
4
x x+ =cos . 
Trong các phương trình trên, phương trình nào vô nghiệm 
A. Chỉ phương trình (1) vô nghiêm. B. Chỉ phương trình (2) vô nghiệm. 
C. Chỉ phương trình (3) vô nghiệm. D. Cả 3 phương trình vô nghiệm. 
Phương trình bậc nhất đối với sin x , cos x . 
Câu 27: Phương trình sin cos 10x m x+ = có nghiệm khi: 
A. 
3
3
m
m

  −
. B. 
3
3
m
m

  −
. C. 
3
3
m
m

  −
. D. 3 3m−   . 
Câu 28: Phương trình sin 3cos 1x x+ = có các nghiệm dạng 2x k = + và 2x k = + , k với 
,   −   thì .  là: 
A. 
2
6

− . B. 
2
2

− . C. 
2
12

− . D. 
2
12

. 
Câu 29: Phương trình ( )2 sin 3 cos sin 2x x x x+ = −cos có các nghiệm là: 
A. ( )
2
18 3
3
2
2
x k
k
x k
 



= +

 = − −

. B. ( )4
2
12
x k
k
x k





= − +

 = − +

. 
C. ( )12
4
x k
k
x k





= +

 = +

. D. ( )
2
12
2
4
x k
k
x k





= +

 = − +

. 
Câu 30: Phương trình ( )3sin cos .sin 3 3 2 4 sinx x x x x x+ + = +cos cos có tổng hai nghiệm dương nhỏ 
nhất liên tiếp là: 
A. 
42

. B. 
13
42

. C. 
3

. D. 
2

. 
Câu 31: Phương trình 
2
sin 3 cos 2
2 2
x x
x
 
+ + = 
 
cos có nghiệm dương nhỏ nhất là a và nghiệm âm lớn 
nhất là b thì a b+ là: 
A.  . B. 
2

. C. 
3

. D. 
3

− . 
Phương trình đẳng cấp bậc hai. 
Câu 32: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình 2 23sin 2 1 sinx x x− = +cos trên đường tròn lượng 
giác là: 
A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 . 
Câu 33: Cho phương trình ( )2 22 5sin cos 6sin 1 0 1x x x x m+ + − − =cos số giá trị m để phương 
trình ( )1 có nghiệm là: 
A. 5 . B. 6 . C. 7 . D. 8 . 
Câu 34: Phương trình 3sin cos 4sin 0x x x+ − = tương đương với phương trình: 
A. tan 1x = − . B. sin cos 0x x− = . C. 22 1 0x− =cos . D. 2 sin 1 0x − = . 
Câu 35: Phương trình 
1
3 sin cos
cos
x x
x
+ = có bào nhiêu nghiệm trên ( )0;2 ? 
A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . 
Câu 36: Số giá trị nguyên của m để phương trình 2 22sin sin cos 1x x x m x− − =cos có nghiệm trên 
;
4 4
  
− 
 
 là: 
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . 
Phương trình đối xứng và các phương trình lượng giác không mẫu mực. 
Câu 37: Phương trình sin cos 2 sin 2 0x x x+ + = có số điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là: 
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . 
Câu 38: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sin 2 2 sin 1
4
x x m
 
+ − − − 
 
 có nghiệm? 
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . 
Câu 39: Cho phương trình cot tan sin cosx x x x− = + . Khi đặt sin cost x x= − thì: 
A. 1 2t = − . B. 2 1t = − . C. 0t = . D. 1 2t = − − . 
Câu 40: Phương trình tan cotx x t+ = có nghiệm khi: 
A. 
2
2
t
t

  −
. B. 
2
2
t
t

  −
. C. t  . D.  2;2t − . 
Câu 41: Cho phương trình ( )2 23tan 4 tan 4cot 3cot 2 0 1x x x x+ + + + = . Đặt tan cotx x t+ = với 
(   ); 2 2;t − −  + thì phương trình ( )1 tương đương với phương trình: 
A. 23 4 2 0t t+ + = . B. 23 4 4 0t t− + − = . C. 23 4 4 0t t+ − = . D. 23 4 4 0t t− − = . 
Một số phương trình lượng giác khác. 
Câu 42: Phương trình cos cos3 2cos5 0x x x+ + = có các nghiệm là 
2
x k

= + và 
1
arccos
2
x m k=  + . Giá trị của m là: 
A. 
1 17
8
m

= . B. 
1 17
16
m

= . C. 
1 17
8
m
 +
= . D. 
1 17
16
m
 +
= . 
Câu 43: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình sin3 si