Tài liệu học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Bùi Gia Chinh

TÀI LIỆU HSG TOÁN 8 2019 
GV : Bùi Gia Chinh ĐT0988346928 
TÀI LIỆU ÔN HSG TOÁN 8 
CHUYÊN ĐỀ I: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ 
I. LÝ THUYẾT. 
1. Phân thức đại số tính chất cơ bản của phân thức đại số. 
 Định nghĩa: Phân thức đại số là biểu thức có dạng 
A
B
, trong đó A và B là các đa 
thức và B 0 (A được gọi là tử thức; B đượ gọi là mẫu thức). Mỗi đa thức cũng 
dược coi như một phân thức với mẫu bằng 1. 
 Hai phân thức bằng nhau: hai phân thức 
A C
B D
 nếuA.D B.C 
 Tính chất cơ bản của phân thức: 
A A.M
B B.M
 ( M là một đa thức khác 0) 
A A : N
B B: N
 (N là một nhân tử Trung khác 0) 
 Áp dụng tính chất: 
- Rút gọn phân thức 
- Quy tắc đổi dấu 
A A
B B



 hoặc 
A A A
B B B

  

- Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức: 
 + Phân tích các mẫu thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung, 
 +Tìm nhân tử phụ của mỗi thức, 
 + Nhân cả tử và mẫu thức với một nhân tử phụ của nó. 
2. Phép cộng trừ nhân chia các phần thức đại số. 
3. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành các phần thức đại số. 
 Thực hiện quy tắc tính cộng, trừ, nhân, chia các phân thức thì mọi biểu thức hữu 
tỉ đều đưa đượcvề dạng một phân thức đại số. 
 Khi giải các bài toán liên quan đến giá trị của một biểu thức ta phải đặt điều kiện 
: “Biến chỉ được nhận các giá trị sao cho giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 “ 
II. CÁC DẠNG BÀI TOÁN 
Dạng 1: Rút gọn rồi Tính giá trị của biến khi các giá trị của biểu thức thỏa 
mãn điều kiện cho trước. 
- Rút gọn 
- Cho biểu thức rút gọn thỏa mãn điều kiện được phương trình hoặc bất 
phương trình 
Chú ý: 
a
0
b
 hoặc a.b 0 khi và chỉ khi a, b cùng dấu 
a
0
b
 hoặc a.b 0 khi và chỉ khi a, b khác dấu 
TÀI LIỆU HSG TOÁN 8 2019 
GV : Bùi Gia Chinh ĐT0988346928 
Ví dụ 1: Cho biểu thức:
2
2 2
x 3x 9 x x 3 x 2
A 1 :
x 9 x x 6 2 x x 3
      
           
a. Rút gọn biểu thức A. 
b. Tính giá trị của x để A < 0 
Giải 
a. ĐKXĐ: x 3,x 2,   
3
A
x 2
 
  
 
b. Do A 0 
3
0 x 2 0 x 2
x 2
 
        
 
Vậy A 0 khi 
x 2
A 0khi
x 3
 
 
 
Ví dụ 2: Cho biểu thức: 2
2 2
2 3
2 x 4x 2 x x 3x
A :
2 x 2 x 2x xx 4
   
      
a. Tìm điều kiện xác định? 
b. Rút gọn biểu thức A? 
c. Tìm x để A = - 1. 
Giải 
a. ĐKXĐ: x 2,x 3,x 0.    
b. 2
2 2
2 3
2 x 4x 2 x x 3x
A :
2 x 2 x 2x xx 4
   
      
2 2 2
2
(2 x) 4x (2 x) x (2 x) 4x
.
4 x x(x 3) x 3
     
     
c. 
2
2 24x 1 4x x 3 4x x 3 0
x 3
         

3
(x 1)(4x 3) 0 x 1;x
4
        
Ví dụ 3: Cho biểu thức:
2 2
3
x 6 1 10 x
A : x 2
x 4x 6 3x x 2 x 2
   
             
a. Tìm điều kiện xác định? 
b. Rút gọn biểu thức A? 
c. Tìm giá trị của x để 
1
A
2
 
Giải 
a. ĐKXĐ: x 0,x 2.   
b. 
1
A
2 x


TÀI LIỆU HSG TOÁN 8 2019 
GV : Bùi Gia Chinh ĐT0988346928 
c. Do 
1 1 1 1 1
A 0 0 x 2
2 2 x 2 2 x 2
        
 
Vậy 
1
A
2
 khi 0 x 2  
Ví dụ 4: Cho biểu thức:
2 2 2 2 2 2
4xy 1 1
A :
y x y x y 2xy x
 
  
    
 Với 
x y,y 0.   
a. Rút gọn A. 
b. Tìm x, y thỏa mãn 2 23x y 2x 2y 1 0     và A 2 
Giải 
a) Với x y,y 0.   ta có: 
2 2 2 2 2 2
4xy 1 1
A :
y x y x y 2xy x
 
  
    
2
4xy 1 1
A :
(y x)(y x) (y x)(y x) (y x)
 
  
     
2
4xy 2y
A :
(y x)(y x) (y x)(y x)

   
24xy (y x)(y x)
A :
(y x)(y x) 2y
 

 
A 2x(x y)  
Vậy x y,y 0.   thì A 2x(x y)  
b) Ta có 2 23x y 2x 2y 1 0     
2 2 22x 2xy x 2xy y 2x 2y 1 0         
2 2 2(2x 2xy) (x 2xy y ) (2x 2y) 1 0         
22x(x y) (x y) 2(x y) 1 0        
2A (x y) 2(x y) 1 2       
2A (x y 1) 2     
22 (x y 1) 2     
x y 1 0    (Với x y,y 0.   ) 
 Thay y x 1 0   vào A 2x(x y)  ta được: 22x(x x 1) 2 2x x 1      
22x x 1 0 (x 1)(2x 1) 0        
+ Với x 1  ta có y 0 (loại) 
+ Với 
1
x
2
 ta có 
3
y
2
 (thỏa mãn) 
TÀI LIỆU HSG TOÁN 8 2019 
GV : Bùi Gia Chinh ĐT0988346928 
Vậy x, y cần tìm là
1
x
2
 và 
3
y
2
 
Dạng 2: Rút gọn và chứng minh biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước. 
Ví dụ 1: Cho biểu thức 
2 2
2 3
x 1 x 3x 1 1 x 1
E :
x x 1 x 1 x 1 1 x
    
        
a. Rút gọn biểu thức. 
b. Chứng minh E 0 với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định. 
Giải 
a. ĐKXĐ: x 1.  
2
1
E
x x 1

 
b. Ta có 2 2
1 1 3
x x 1 x 2. x
2 4 4
     
2
1 3
x 0
2 4
 
    
 
 Với  x 1.  
2
1
0
x x 1
 
 
 Với  x 1.  
Ví dụ 2: Cho biểu thức 2 3
x 3 3x x 4
A
x 1 x 1x x 1
 
  
  
a. Rút gọn biểu thức A. 
b. Chứng minh A 0 với mọi giá trị của x thỏa mãn ĐKXĐ. 
Đáp án 
a. ĐKXĐ: x 1.  Ta có 
2 2
3 2 2 2
2
x 2x 2x 1 (x 1)(x x 1) (x x 1)
A
(x 1)(x x 1) (x 1)(x x 1) (x x 1)
       
  
       
b. Với mọi x 1.  thì 2
2
2
2
1 3
x
(x x 1) 2 4
A
(x x 1) 1 3
x
2 4
 
      
   
  
 
Vì 
2 2
1 3 1 3
x 0; x 0
2 4 2 4
   
        
   
 x 1   A 0  x 1   
Ví dụ 3: Cho biểu thức: 
2
2 2
a 1 a 1 8a a a 11 2
A :
a 1 a 1 a 1 a 1 a 1
     
             
 với (a 0,a 1)   
a. Rút gọn biểu thức A. 
b. Chứng minh 
4
A
5

 với mọi giá trị của a thỏa mãn. a 0,a 1   
Giải 
TÀI LIỆU HSG TOÁN 8 2019 
GV : Bùi Gia Chinh ĐT0988346928 
a. 
2
2 2
a 1 a 1 8a a a 11 2
A :
a 1 a 1 a 1 a 1 a 1
     
             
2 2 2
2 2
a 2a 1 (a 2a 1) 8a a a 11 2(a 1)
A :
a 1 a 1
         

 
2
4a
A
a a 9

 
b. 2 2 2a a 9 5a a 6a 9 (a 3) 0         do đó 2a a 9 5a 0    
Khi đó 
2 2
a 1 4a 4
a a 9 5 a a 9 5
   
   
 đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 3 
Ví dụ 4: Cho biểu thức:
2 2
3 x 1 x 3 5
A :
x 1 2x 2 2x 2 4x 4
  
   
    
a. Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A được xác định. 
b. Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc 
vào giá trị của biến x. 
Giải 
a. Giá trị của biểu thức A được xác định với điều kiện: 
2
2
2
x 1 0
x 1
2x 2 0
x 1 x 1
2x 2 0
x 1
4x 4 0
 

  
     
      
b. Với x 1  , ta có : 
3 x 1 x 3
A
(x 1)(x 1) 2(x 1) 2(x 1)
  
       
.
24x 4
5

26 (x 1) (x 3)(x 1) 4(x 1)(x 1)
A .
2(x 1)(x 1) 5
      

 
2 2(6 x 2x 1 x 2x 3).2
A
5
     
 
A 4 
Vậy khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của 
biến x. 
Dạng 3: Tìm x nguyên để giá trị của biểu thức nguyên. 
Cách giải: 
- Lấy phân thức đã rút gọn tách biểu thức thành tổng của một số nguyên ( hoặc 
một đa thức) và một phân thức có tử là một số nguyên. 
- Cho mẫu là ước của tử suy ra x. 
TÀI LIỆU HSG TOÁN 8 2019 
GV : Bùi Gia Chinh ĐT0988346928 
Ví dụ 1: Cho biểu thức 
2
3 2 2 3 2
x 3x 3 5 6x
P :
x 3x 9x 27 x 9 x 3 x 3x 9x 27
   
             
a. Tìm điều kiện xác định và rút gọn P. 
b. Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên. 
Giải 
a. ĐKXĐ: x 3  ; 
x 3
P
x 3



b. Ta có 
x 3 6
P 1
x 3 x 3

  
 
P có giá trị nguyên  x 3 U(6) 1; 2; 3; 6        
x 3;0;1;2;4;5;6;9  
Ví dụ 2: Cho biểu thức 
2
2 2 2
2x 3 2x 8 3 21 2x 8x
P : 1
4x 12x 5 13x 2x 20 2x 1 4x 4x 3
    
    
       
a. Rút gọn P. 
b. Tính giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên. 
Giải. 
a. ĐKXĐ: 
5 3 1
x ;x ;x ;x 4.
2 2 2

    
2x 3
P
2x 5



b. 
2x 3 2
P 1
2x 5 2x 5

  
 
Ta có: 1 Z , Để P Z Thì 
2
Z 2x 5 U(2)
2x 5
   

Ư(2)=  1; 2 
x 2(TM)
x 3(TM)
3
x (KTM)
2
7
x (KTM)
2

 


  




Vậy để P Z thì x {2;3} 
Ví dụ 3: Cho biểu thức:
3 2 2 3
2 1 1 1 x 1
A 1 1 :
(x 1) x x 2x 1 x x
     
             
a. Rút gọn A. 
b. Tìm các giá trị của x để A<1. 
TÀI LIỆU HSG TOÁN 8 2019 
GV : Bùi Gia Chinh ĐT0988346928 
c. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. 
Giải 
a. ĐKXĐ: x 0;x 1   
2
2 2 2 2 3
2x x 1 x 1
A :
(x 1) .x (x 1) .x x
  
  
  
2 3
2
(x 1) .x
A
(x 1)(x 1)x


 
x
A
(x 1)


b. Ta có 
x 1 1
A 1 1 1 1 0 x 1 0 x 1
x 1 x 1 x 1
            
  
. Kết hợp 
với ĐKXĐ ta có A 1 khi x<1 và x 0;x 1   
c. 
1
A 1
x 1
 

 để A nguyên thì  x 1 U(1) 1    
x 1 1 x 2
x 1 1 x 0(loai)
   
    
Vậy với x=2 thì A nguyên 
Ví dụ 4: Cho biểu thức 
2
2
x 1 x 1 x 4x 1 x 2006
P .
x 1 x 1 x 1 x
     
      
a. Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định. 
b. Rút gọn biểu thức A. 
c. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. 
Giải 
a. ĐKXĐ: 
x 1
x 0
 


b. 
2 2 2
2
(x 1) (x 1) x 4x 1 x 2006 x 2006
A .
x 1 x x
       
 

c. Ta có A nguyên x 2006 x 2006 x   
x 1(KTMDK)
x 2
x 2006
x 1003
 
  
 
 
  
Vậy A nguyên khi 
x 2
x 2006
x 1003
 

 
  
TÀI LIỆU HSG TOÁN 8 2019 
GV : Bùi Gia Chinh ĐT0988346928 
Dạng 3: Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức. 
Cách giải: 
- Rút gọn. 
- Biến đổi biểu thức về dạng A2+m hoặc –A2+m. hoặc sử dụng bất đẳng thức 
đã biết: BĐT Cauchy. 
Ví dụ 1: Cho biểu thức 
3 2
1 6x 3 2
Q : (x 2)
x 1 x 1 x x 1
 
    
    
a. Tìm ĐKXĐ của Q, Rút gọn biểu thức Q. 
b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q. 
Giải 
a. ĐKXĐ: x 1;x 2    ; 
2
3
x x 1 6x 3 2x 2 1
Q .
x 1 x 2
     

 
2
(x 2)(x 1)
Q
(x 1)(x 2)(x x 1)
 

   
2
1
Q
x x 1

 
b. 
2
1
Q
x x 1

 
 Ta có: 
2
2 1 3 3x x 1 x 0
2 4 4
 
       
 
2
1 4
x x 1 3
 
 
4
Q
3
 Dấu “=” xảy ra khi 
1
x
2
 (TMĐK); Vậy Max
4
Q
3
 khi 
1
x
2
 . 
Ví dụ 2: Cho biểu thức:
2 2
3 2
3x 3 x 1 1 2x 5x 5
A :
x 1 x x 1 x 1 x 1
    
        
a. Rút gọn A. 
b. Tìm giá trị lớn nhất của A. 
Giải 
a. ĐKXĐ: x 1 ; 
2
1
A
2x 5x 5

 
b. Ta có 
22
2
1 1 1
A
5 25 152x 5x 5 5 152 x 2 x 2 x
4 16 8 4 8
  
               
Vì
2
5 15 15
2 x
4 8 8
 
   
 
 x 1  (1) 
Dấu “=” xảy ra khi 
5
x 1
4
  (2) 
TÀI LIỆU HSG TOÁN 8 2019 
GV : Bùi Gia Chinh ĐT0988346928 
Từ (1) và (2) 
8
MaxA=
15
 khi 
5
x
4
 
Ví dụ 3: Cho biểu thức:
2 2
2 2
x x x 1 1 2 x
P :
x 2x 1 x x 1 x x
   
       
a. Rút gọn P. 
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1 
Giải 
a. ĐKXĐ: 
x 0
x 1
x 1



  
; 
2x
P
x 1


b. 
2x 1 1
P x 1 x 1 2
x 1 x 1 x 1
       
  
Vì x 1 nên x 1 0  và 
1
0
x 1


. Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số 
dương x 1 và 
1
x 1
 ta có  
1 1
x 1 2 x 1 . 2
x 1 x 1
    
 
 Dấu “=” xảy ra 
khi 
1
x 1
x 1
 

2(x 1) 1 (x 1) 1      ( vì x 1 0  ) x 2(TM)  
Vậy Min P 4 khi x 2 
Ví dụ 4: Cho biểu thức:
 
 
2
2 3
2 3 2
a 1 1 2a 4a 1 a 4a
M :
a 1 a 1 4a3a a 1
    
   
    
a. Rút gọn M. 
b. Tìm giá trị của a để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất. 
Giải 
a. ĐKXĐ: 
a 0
a 1



Ta có 
 
 
2
2 3
2 3 2
a 1 1 2a 4a 1 a 4a
M :
a 1 a 1 4a3a a 1
    
   
    
 
2
2 2
2 2 3
a 1 1 2a 4a 1 4a
M .
a a 1 (a 1)(a a 1) a 1 a 4a
   
   
        
2
4a
M
a 4


TÀI LIỆU HSG TOÁN 8 2019 
GV : Bùi Gia Chinh ĐT0988346928 
b. Ta có 
2 2 2
2 2 2
4a (a 4) (a 4a 4) (a 2)
M 1
a 4 a 4 a 4
    
   
  
 Vì 
2
2
(a 2)
0
a 4



 với a 
nên 
2
2
(a 2)
1 1
a 4

 

 với a Dấu “=” xẩy ra khi với 
2
2
(a 2)
0 a 2(TM)
a 4

  

Vậy Max M 1 khi a 2 . 
III.BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bài 1: Cho biểu thức 
2 2
1 2 5 1 2x
A :
1 x x 1 1 x x 1
 
   
    
a. Rút gọn biểu thức A. 
b. Tìm x để A > 0. 
Bài 2: Cho biểu thức 
2
2 2
1 3 x 1
A :
3 x 3x 27 3x x 3
  
          
a. Nêu điều kiện xác định rồi rút gọn A. 
b. Tìm giá trị của x để giá trị của A < -1. 
Bài 3: Cho biểu thức 
        
2 2 2 2x y x y
P
x y 1 y x y 1 x x 1 1 y
  
     
a. Rút gọn P. 
b. Tìm các cặp số (x;y) Z sao cho giá trị của P 3 . 
Bài 4: Cho biểu thức 
2 4
4
4 2 2 2
x 1 1 1 x
M x
x x 1 x 1 1 x
   
         
a. Rút gọn. 
b. Tìm giá trị bé nhất của M. 
Bài 5: Cho biểu thức 
2
2
1 x x 2 2x 4
A
x 2 x 7x 10 x 5
  
  
   
a. Rút gọn A. 
b. Tìm x nguyên để A nguyên. 
Bài 6: Cho biểu thức 
2 3
x 3 3x x 4
A
x 1 x x 1 x 1
 
  
   
a. Rút gọn biểu thức A. 
b. Chứng minh rằng giá chị của A luôn dương với mọi x 1 
Bài 7: Cho biểu thức 
2 2
2 2
x 5x 25 x x 3 x 5
A 1 :
x 25 x 2x 15 x 5 x 3
      
             
a. Rút gọn biểu thức A. 
b. Tìm số nguyên x để A nguyên. 
c. Với x 0; x 25; x 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2A(x 16)
B
5

 . 
TÀI LIỆU HSG TOÁN 8 2019 
GV : Bùi Gia Chinh ĐT0988346928 
Bài 8: Cho biểu thức 
3 6 2
6 5 2 9 6 3
6 2x 4 6x 24 3x 3
M 1 . : :
x 9 x 3x x 6x 9x 2 x
     
             
a. Rút gọn M. 
b. Tìm giá trị nguyên của x để M đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 
Bài 9: Cho biểu thức 
2 2
1 2 5 x 1 2x
A :
1 x x 1 1 x x 1
  
   
    
a. Rút gọn biểu thức A. 
b. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. 
c. Tìm x để A A 
Bài 10: Cho biểu thức 
2 2 2 2
1 1 1 1
M
a 5a 6 a 7x 12 a 9a 20 a 11a 30
   
       
a. Rút gọn biểu thức. 
b. Tìm giá trị lớn nhất của M. 
Bài 11: Cho 
2x 2 2 2 4x 3x x 1
M 3 :
3x x 1 x 1 3x
    
    
  
a. Rút gọn biểu thức M. 
b. Với giá trị nào của x thì M < 0? 
c. Với giá trị nào của x thì M nhận giá trị nguyên? 
Bài 12: Cho biểu thức 
2 2
2 2 3 2
x 2x 2x 1 2
A 1
2x 8 8 4x 2x x x x
  
           
a. Rút gọn A. 
b. Tìm x để A x . 
c. Tìm x để 
1
A
2
 . 
Bài 13: Cho biểu thức
2 2 4 2 2
2 2 2
x y x y y 2 4x 4x y y 4
A :
2y x 2y xy x x y xy x
       
  
      
Với 2x 0;y 0;x 2y;y 2 2x     
a. Rút gọn biểu thức A. 
b. Cho y =1 hãy tìm x để 
2
A
5
 . 
Bài 14: Cho biểu thức 
2
3 2
1 x x x 1 2x 1
P . :
x 1 x 1 x 1 x 2x 1
   
       
a. Rút gọn P. 
b. Tìm x nguyên để P nguyên. 
TÀI LIỆU HSG TOÁN 8 2019 
GV : Bùi Gia Chinh ĐT0988346928 
Bài 15: Cho biểu thức 
2 2
2 3
x 1 x 3x 1 1 x 1
A :
x x 1 x 1 x 1 1 x
    
        
a. Rút gọn biểu thức A. 
b. Tìm giá trị nguyên của x để 
1
A
 là số chính phương. 
Bài 16: Cho biểu thức 
2 3
3 2
2x 1 x x 1
M . x
x 1 x x 1 1 x
    
           
a. Rút gọn M. 
b. Tìm x để M 3 . 
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2N x M  .