Tài liệu Đại số Lớp 9 - Chương III: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

ương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng .  Khi đó d song song hoặc trùng với Oy .
2. Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng .  Khi đó d song song hoặc trùng với Ox .
3. Đường thẳng d: ax + by = c đi qua điểm M(x0,y0) khi và chỉ khi ax0 + by0 = c.
Dạng 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp:
Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c, ta làm như sau:
Cách 1:
Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn
Bước 2:  Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x ) theo ẩn kia.
Bước 3:  Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x
Bước 4:  Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của x bằng một số nguyên t, ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn y và t
-  Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên.
Cách 2:
Bước 1. Tìm một nghiệm nguyên(x0,y0) của phương trình.
Bước 2. Đưa phương trình về dạng a(x − x0) + b(y − y0) = 0 từ đó dễ dàng tìm được các nghiệm nguyên của phương trình đã cho.
III. Một số ví dụ về phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ 1. Chứng tỏ cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình 2x - y = 1.
Giải:
Ta có: VT = 2.1 - 1 = 1 = VP.
Vậy cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình 2x - y = 1.
Ví dụ 2. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau: 
a) 3x - y = 2 	b) 4x - 3y = -1
Giải:
a) Ta có: 3x - y = 2 y = 3x - 2.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là 
b) Ta có: 4x - 3y = -1 4x = 3y - 1 
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là 
Ví dụ 3. Tìm điều kiện của m để đường thẳng song song với trục tung.
Giải: Đường thẳng d: có a = ; b = 
Để đường thẳng d song song với trục tung thì 
=> m = 0 
Vậy với m = 0 thì d song song với trục tung.
IV. Bài tập về phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 1. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau và vẽ đường thẳng biễu diễn tập nghiệm đó: 
a) 2x + y = 3 	b) x - 2y = 4	c) 4x + 0y = -2
Bài 2. Phương trình nào sau đây xác định một hàm số dạng y = ax + b?
a) 5x – y = 7 	b) 3x + 5y = 10 	c) 0x + 3y = −1 	d) 6x – 0y = 18
Bài 2. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. Lý thuyết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng: 
Trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số thực cho trước, x và y là ẩn số.
- Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung (x0,y0) thì (x0,y0) được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hai phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm.
- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
2. Hệ phương trình tương đương
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm
3. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng d: ax + by = c và d′: a′x + b′y = c′.
Trường hợp 1: d ∩ d′ = A(x0; y0) ⇔ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x0; y0);
Trường hợp 2: d // d′ ⇔ Hệ phương trình vô nghiệm;
Trường hợp 3: d ≡ d′⇔  Hệ phương trình có vô số nghiệm.
+ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ ;
+ Hệ phương trình vô nghiệm ⇔;
+ Hệ phương trình có vô số nghiệm ⇔.
* Chú ý: (không nên sử dụng trong trường hợp hệ pt có chứa tham số)
II. Các dạng toán thường gặp về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Dạng 1: Dự đoán số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. 
Phương pháp:
Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 
- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ⇔ 
- Hệ phương trình vô nghiệm  ⇔
- Hệ phương trình có vô số nghiệm  ⇔
Dạng 2: Kiểm tra cặp số cho trước có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hay không?
Phương pháp: Cặp số (x0;y0) là nghiệm của hệ phương trình  khi và chỉ khi nó thỏa mãn cả hai phương trình của hệ.
Dạng 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị
Phương pháp: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn  bằng phương pháp đồ thị ta làm như sau:
Bước 1. Vẽ hai đường thẳng d: ax + by = c và d': a'x + b'y = c' trên cùng một hệ trục tọa độ. Hoặc tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.
Bước 2. Xác định nghiệm của hệ phương trình dựa vào đồ thị đã vẽ ở bước 1 (hay nghiệm của hệ phương trình chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng).
III. Một số ví dụ về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ 1. Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau và giải thích: 
a) 	b) 
Giải:
a) (Do các phương trình có dạng đường thẳng y = ax + b nên chỉ cần xét các hệ số a, b)
Từ: 
Ta có: a = -2; b = 3 và a’ = 3; b’ = -1 
Vì a a’(-23) nên hai đường thẳng cắt nhau.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Cách 1: Đưa các phương trình về dạng y = ax + b để so sánh các hệ số a, b.
Từ 
Ta có: a = 1; b = -3 và a’ = 1; b’ = 
Vì a = a’ và bb’ nên hai đường thẳng song song với nhau.
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
Cách 2: Dựa vào các hệ số a, b, c của hai phương trình để xét.
Từ ta có: a = 1; b = -1; c = 3 và a’ = 2; b’ = -2; c’ = 3.
Do () nên hệ phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2. Cho hệ phương trình: . Xác định m để hệ phương trình:
a) Có một nghiệm 	b) Vô nghiệm 	c) Có vô số nghiệm 
Giải:
Ta có hệ (I) 
(1) x = 3 - y. Thay x vào phương trình (2), ta được:
(2) => -m(3 - y) - y = 2m -3m +my - y = 2m (m - 1)y = 5m (*)
a) Để hệ (I) có một nghiệm thì phương trình (*) có một nghiệm m - 10 m1
Vậy với m1 thì hệ (I) có một nghiệm.
b) Để hệ (I) vô nghiệm thì phương trình (*) vô nghiệm m = 1
Vậy với m = 1 thì hệ (I) vô nghiệm.
c) Để hệ (I) vô nghiệm thì phương trình (*) có vô số nghiệm (Vô lí)
Vậy không có giá trị nào của m để hệ (I) có vô số nghiệm.
IV. Bài tập về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 1. Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau và giải thích: 
a) 	b) 	c) 
Bài 2. Cho hệ phương trình . Xác định m để hệ phương trình:
a) Có nghiệm duy nhất 	b) Vô nghiệm
Bài 3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ 
VÀ PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
I. Lý thuyết giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số
1. Quy tắc thế
Phương pháp thế là một trong những cách biến đổi tương đương một hệ phương trình, ta sử dụng quy tắc thế, bao gồm hai bước, sau đây:
Bước 1. Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
Bước 2. Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ phương trình và giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho.
2. Quy tắc cộng đại số
Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số, ta sử dụng phương pháp cộng đại số , bao gồm hai bước sau đây :
Bước 1. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình của hệ phương trình đả cho để dược một phương trình mới.
Bước 2. Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho một trong hai phương trình của hệ phương trình và giữ nguyên phương trình kia ta được một hệ mới tương đương với hệ đã cho.
II. Các dạng toán thường gặp về giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.
* Phương pháp thế:
Căn cứ vào quy tắc thế, để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, ta làm như sau:
Bước 1. Rút x hoặc y từ một phương trình của hệ phương trình, thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Để lời giải được đơn giản, ta thường chọn phương trình có các hệ số có giá trị tuyệt đối không quá lớn (thường là 1 hoặc - 1 ) và rút x hoặc y có hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn qua ẩn còn lại.
* Phương pháp cộng đại số:
Từ quy tắc cộng đại số, để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số ta làm như sau:
Bước 1. Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trog hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.
Bước 2. Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để thu được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn ).
Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa thu được từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho
Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp:
Bước 1. Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bước 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn như ở Dạng 1.
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ
Phương pháp:
Bước 1. Đặt ẩn phụ cho các biểu thức chung trong các phương trình của hệ phương trình đã cho để thu được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới.
Bước 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế như ở Dạng 1, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp:
Một số kiến thức thường sử dụng:
+ Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm(x0;y0)⇔
 + Đường thẳng d: ax + by = c đi qua điểm M(x0;y0) ⇔ ax0 + by0 = c.
III. Một số ví dụ về giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và công đại số.
Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau: 
a) 	b) 	
Giải:
* Cách 1: (bằng phương pháp thế)
a) 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x; y) = (2; 2)
b) 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x; y) = (2; 1)
* Cách 2: (bằng phương pháp cộng đại số)
a) Ta có: 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x; y) = (2; 2)
Lưu ý: ở bước 1, 2 pt có hệ số của ẩn y là hai số đối nhau. Khi đó, ta cộng từng vế của 2 pt: (3x - y) + (x + y) = (4 + 4) để được pt mới: 4x = 8. Đồng thời giữ lại một trong hai pt ban đầu để có hpt mới .
b) 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 1).
Lưu ý: ở bước 1, nhân cả 2 vế của pt (2) với 2 để hệ số của ẩn y ở 2 pt là hai số đối nhau. Khi đó, ta cộng từng vế của 2 pt để được pt mới: 7x = 14. Đồng thời giữ lại một trong hai pt ban đầu để có hpt mới .
- Trong quá trình làm bài có thể bỏ qua bước giải: 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau: 
Giải: Ta có: (I). Đặt u = và v = . 
(I) 
Khi đó: => x = 24 ; 	 => y = 48
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x; y) = (24; 48)
Ví dụ 3. Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): y = (2m - 5)x - 5m đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1): 2x + 3y =7 và (d2): 3x + 2y = 13.
Giải: 
Tọa độ giao điểm M của hai đường thẳng (d1và (d2) là nghiệm của hệ pt: (I)
Ta có: (I) 
=> Giao điểm của hai đường thẳng (d1và (d2) là M(5; -1).
 Vì đường thẳng (d): y = (2m - 5)x - 5m đi qua giao điểm M(5; -1) nên x = 5; y = -1.
Thay x = 5; y = -1 vào y = (2m - 5)x - 5m, ta được: 
(2m - 5) . 5 - 5m = -1 10m - 25 - 5m = -1 5m = 24 m = 
Vậy m = 
Ví dụ 4. Cho hệ phương trình: . Xác định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn điều kiện: x - y = 1 
Giải:
Ta có hệ (I) 
(1) x = 3 - y. Thay x vào phương trình (2), ta được:
(2) => -m(3 - y) - y = 2m -3m +my - y = 2m (m - 1)y = 5m (*)
Để hệ (I) có một nghiệm thì phương trình (*) có một nghiệm m - 10 m1
Với m1 thì từ (*) => y = .
Thay y vào phương trình x = 3 - y, ta được: x = 3 - = 
=> Hệ pt (I) có nghiệm duy nhất (x; y) = (; ) (với m1).
Theo đề bài, ta có: x - y = 1 => 
	 -2m - 5m -m = -1 + 3
	 -8m = 2
	 m = 
Vậy với m = thì Hệ pt (I) có nghiệm duy nhất.
IV. Bài tập về giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số.
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: 
a) 	b) 	c) d) 
e) 	f) 	g) 	h) 
Bài 2. Xác định các hệ số a, b, biết rằng hệ pt: có nghiệm là (x; y) = (1; -2).
Bài 3. Cho hệ phương trình
a) Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất? Vô số nghiệm?
b) Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm x 0
Bài 4. Tìm các giá trị của m để ba đường thẳng sau: 3x + 2y = 5; 2x - y = 4 và mx + 7y = 11 đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng tọa độ.
Bài 5. Xác định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: .
Bài 6. Cho hệ phương trình .
a) Giải hệ phương trình khi m = 5
b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
c) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
d) Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7
Bài 4. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. Lý thuyết giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Bước 1. Lập hệ phương trình:
- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2. Giải hệ phương trình vừa thu được bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.
Bước 3. Kết luận
- Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn.
- Kết luận bài toán.
II. Các dạng toán thường gặp về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Dạng 1: Toán liên quan đến mối quan hệ giữa các số
Phương pháp:
Ta thường sử dụng các kiến thức sau:
+) Biểu diễn số có hai chữ số : ,  trong đó a là chữ số hàng chục và 0< a ≤ 9, a∈N, b là chữ số hàng đơn vị và 0≤ b ≤9, b∈N.
+) Biểu diễn số có ba chữ số: , trong đó: 
a là chữ số hàng trăm và 0 < a ≤ 9, a∈N,
b là chữ số hàng chục và 0 ≤ b ≤ 9, b∈N,
c là chữ số hàng đơn vị và 0 ≤ c ≤ 9, c∈N.
Dạng 2: Toán chuyển động
Phương pháp:
Ta thường sử dụng các công thức s = v.t, v = s.t, t = s.v (s: quãng đường, v: vận tốc, t: thời gian)
Dạng 3: Toán làm chung công việc
Phương pháp:
Một số lưu ý khi giải bài toán làm chung công việc:
- Có ba đại lượng tham gia là: Toàn bộ công việc, phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian (năng suất) và thời gian.
- Nếu một đội làm xong công việc trong x ngày thì một ngày đội đó làm được  công việc.
- Xem toàn bộ công việc là 1 (công việc).
Dạng 4: Toán phần trăm
Phương pháp:
- Nếu gọi tổng số sản phẩm là x thì số sản phẩm khi vượt mức a%  là (100 + a)%.x (sản phẩm)
- Nếu gọi tổng số sản phẩm là x thì số sản phẩm khi giảm a%  là (100 − a)%.x (sản phẩm).
Dạng 5: Toán có nội dung hình học
Phương pháp:
Một số công thức cần nhớ
+ Với tam giác:
- Diện tích = (Đường cao x Cạnh đáy) :2 	- Chu vi = Tổng độ dài ba cạnh
+ Với tam giác vuông: Diện tích = Nữa tích hai cạnh góc vuông. 
+ Với hình chữ nhật: 
- Diện tích = (Chiều dài). (Chiều rộng)	- Chu vi = (Chiều dài + chiều rộng).2
+ Với hình vuông cạnh a
- Diện tích = a2 	- Chu vi = 4.a
Dạng 6: Một số dạng toán khác
III. Một số ví dụ về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Ví dụ 1. (Toán tìm số) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị.
Giải:
Gọi chữ số hàng chục là x (0 < x ≤ 9, x ∈ N) và chữ số hàng đơn vị là y (0 < y ≤ 9, x ∈ N).
Theo điều kiện đầu, ta có: 2y - x = 1 -x + 2y = 1
Theo điều kiện sau, ta có: (10x + y) - (10y + x) = 27 9x - 9y = 27 x - y = 3
Ta có hệ phương trình: 
Vậy số tự nhiên có hai chữ số là 74.
Ví dụ 2. (Toán chuyển động) Một chiếc xe tải đi từ Tp. HCM đến Tp. Cần Thơ có quãng đường dài là 189 km. Sau khi xe tải xuất phát 1 giờ, một chiếc xe khách bắt đầu đi từ Tp. Cần Thơ về Tp. HCM và gặp xe tải sau khi đã đi được 1 giờ 48 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km.
Phân tích bài toán:
Từ lúc xuất phát đến khi hai xe gặp nhau thì:
- Thời gian xe khách đã đi là 1 giờ 48 phút = giờ.
- Thời gian xe tải đã đi là 1 giờ + giờ = giờ. (vì xe tải khởi hành trước xe khách 1 giờ)
Nếu gọi vận tốc của xe tải là x (km/h) và vận tốc của xe khách là y (km/h) (x > 0, y > 0) thì: 
- Quãng đường xe tải đã đi được là x (km)
- Quãng đường xe khách đã đi được là y (km)
Theo đề bài, ta có hệ phương trình: 
Có thể dùng bảng như sau:
Thời gian (h)
Vận tốc (km/h)
Quãng đường (km)
Xe tải
x
x
Xe khách
y
y
Giải:
Gọi vận tốc của xe tải là x (km/h) và vận tốc của xe khách là y (km/h) (0< x < y).
Thời gian xe khách đã đi là 1 giờ 48 phút = giờ.
Thời gian xe tải đã đi là 1 giờ + giờ = giờ.
Quãng đường xe tải đã đi được là x (km)
Quãng đường xe khách đã đi được là y (km)
Theo đề bài, ta có hệ phương trình: 
Vậy vận tốc của xe tải và xe khách lần lượt là 36 km/h và 49 km/h.
Ví dụ 3. (Toán năng suất) Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?
Cách 1:
Phân tích bài toán: 25% = 
- Nếu gọi thời gian hoàn thành công việc của người thứ nhất là x (giờ) và thời gian hoàn thành công việc của người thứ hai là y (giờ) (x > 0, y > 0).
- Trong mỗi giờ, người thứ nhất làm được (công việc) và người thứ hai làm được (công việc). 
- Nếu hai người cùng làm thì được (công việc). Ta có pt: + = 
- Người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì hoàn thành được 25% công việc. Từ đó, ta có pt: 3. + 6. = 
Ta có thể tóm tắt bằng bảng như sau:
Thời gian hoàn thành công việc (giờ)
Năng suất/1 giờ
Người thứ 1
x
Người thứ 2
y
Hai người
16
Ta có hệ pt: 
Giải:
Gọi thời gian hoàn thành công việc của người thứ nhất là x (giờ) và thời gian hoàn thành công việc của người thứ hai là y (giờ) (x > 0, y > 0).
Trong mỗi giờ, người thứ nhất làm được (công việc) và người thứ hai làm được (công việc). 
Theo đề bài, ta có hệ phương trình: (I). Đặt u = và v = . 
(I) 
Khi đó: => x = 24 	;	 => y = 48
Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 24 giờ và người thứ hai làm một mình xong công việc trong 48 giờ. 
Cách 2: 
Phân tích bài toán: 25% = 
- Nếu gọi số phần công việc của người thứ nhất làm trong một giờ là x (công việc) và số phần công việc của người thứ nhất làm trong một giờ là y (công việc) (x > 0, y > 0).
- Thời gian hoàn thành công việc của người thứ nhất làm được (giờ) và thời gian hoàn thành công việc của người thứ hai làm được (giờ). 
- Nếu hai người cùng làm thì được (công việc). Ta có pt: x + y = 
- Người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì hoàn thành được 25% công việc. Từ đó, ta có pt: 3.x + 6.y = 
Ta có thể tóm tắt bằng bảng như sau:
Thời gian hoàn thành công việc (giờ)
Năng suất/1 giờ
Người thứ 1
x
Người thứ 2
y
Hai người
16
Ta có hệ pt: 
Giải:
Gọi số phần công việc của người thứ nhất làm trong một giờ là x (công việc) và số phần công việc của người thứ nhất làm trong một giờ là y (công việc) (x > 0, y > 0).
Thời gian hoàn thành công việc của người thứ nhất làm được (giờ) và thời gian hoàn thành công việc của người thứ hai làm được (giờ). 
Theo đề bài, ta có hệ phương trình: (I)
(I) 
Khi đó: => = 24 ; 	 => = 48
Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 24 giờ và người thứ hai làm một mình xong công việc trong 48 giờ. 
Ví dụ 4. (Toán có nội dung hình học) Một sân trường hình chữ nhật có chu vi bằng 340m. Ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng là 20m. Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường.
Giải:
Gọi chiều dài của sân trường hình chữ nhật là x (m)
Chiều rộng của sân trường hình chữ nhật là y (m) (x > y > 0) 
Vì chu vi của sân trường là 340m nên 2(x + y) = 340 hay x + y = 170.
Do ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng là 20m nên ta có pt: 3x - 4y = 20.
Ta có hệ pt: 
Vậy chiều dài là 100m và chiều rộng là 70m.
IV. Bài tập về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
* Dạng toán tìm số
Bài 1. Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 28 và nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là 3 và số dư là 4. (dùng công thức: a = b.q + r)
Bài 2. Tìm hai số tự nhiên biết rằng: Tổng của chúng bằng 1012. Hai lần số lớn cộng số nhỏ bằng 2014. 
Bài 3.Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 3. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được số mới có hai chữ số lớn hơn số ban