Ôn tập Toán Lớp 9 - Chuyên đề: Hệ phương trình đại số. Hệ phương trình chứa tham số

CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
A/ Kiến thức cơ bản
1. Phương pháp thế 
	· Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là PT (1)), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thế 	vào phương trình thứ hai (PT (2)) để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
	· Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho PT (2) trong hệ (PT (1) cũng thường 	được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia).
2. Phương pháp cộng đại số
	· Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một 	phương trình mới.
	· Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (giữ 	nguyên phương trình kia).
	Chú ý: 
	· Trong phương pháp cộng đại số, trước khi thực hiện bước 1, có thể nhân hai vế của mỗi 	phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai 	phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau.
	· Đôi khi ta có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương 	trình với hai ẩn mới, rồi sau đó sử dụng một trong hai phương pháp giải ở trên.
B/ Các dạng bài tập
Dạng 1: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn đã ở dạng cơ bản 
Phương pháp giải: Áp dụng phương pháp cộng và thế để đưa về pt bậc nhất một ẩn để giải
Bài tập: Giải các phương trình sau:
D¹ng 1 a) 	b) 	
D¹ng 2 a) 	b) 	
D¹ng 3: a) 	b) 
D¹ng 4: a) 	b) 	
Dạng 2: Hệ phương trình có một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai.
a/ Phương pháp giải: Rút một ẩn từ phương trình bậc nhất thế vào phương trình bậc hai ta đưa được về dạng hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai một ẩn => giải phương trình bậc hai một ẩn.
b/ Ví dụ: giải hệ phương trình sau: 
c/ Bài tập áp dụng: Giải các hệ phương trình sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
Dạng 3: Hệ phương trình có một phương trình đưa được về dạng phương trình tích.
a/ Cách giải: rồi giải hai trường hợp.
Chú ý: Thông thường dạng này gồm một phương trình bậc nhất hai ẩn và một phương trình bậc hai nên ta có thể giải theo cách làm ở dạng 1:
b/ Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: 
hoặc 
1/ 	2/ 
c/ Bài tập áp dụng: Giải các hệ phương trình sau: 
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
Dạng 4: Hệ giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
Chú ý: Cần sử dụng các phép biến đổi đồng nhất để đưa các hệ phương trình đã cho về dạng hệ phương trình đặt được ẩn phụ.
a/ Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: ĐKXĐ: x - 1, y 2
Đặt u = , v = Hệ phương trình đã cho trở thành:
Suy ra (Thoả mãn ĐKXĐ)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: (x;y) = (0; )
b/ Bài tập áp dụng: Giải các hệ phương trình sau:
1/ 	2/ 	3/ 	
4/ 	5/ 	6/ 
7/ 	8/ 	9/ 
10/ 	11)	12) 
Dạng 5: Hệ đối xứng loại I ( Là hệ phương trình vai trò của x và y là như nhau)
 trong đó f(x;y) = f(y;x), g(x;y) = g(y;x).
a/ Cách giải: Tính tổng (hoặc tích) hai ẩn (đưa về phương trình ẩn phụ là tổng hoặc tích hai ẩn), tìm nốt tích (hoặc) tổng hai ẩn áp dụng hệ thức vi ét đưa về pt bậc 2 một ẩn.
b/ Ví dụ: Giải hệ phương trình: 
Do đó x; y là hai nghiệm của phương trình: 
Vậy hệ phương trình có nghiệm: 
c/ Bài tập áp dụng: Giải các hệ phương trình sau: 
1/ 2/ 	3/ 	
4/ 	5/ 	6/ 
7/ 	8/ 	
9/ 	10/ 
11/ 	12/ 	13/ 
14/ 	15/ 	16/ 
17/ 	18/ 	19/ 
Dạng 6: Hệ đối xứng loại II ( Là hệ phương trình vai trò của x ở phương trình này là y của phương trình kia và ngược lại)
 trong đó f(x;y) = g(y;x).
a/ Cách giải: Trừ hai vế của phương trình (1) cho hai vế của phương trình (2) để được một phương trình mới dạng: (x - y).k(x; y) = 0.
b/ Ví dụ: Giải hệ phương trình:
1/ 
2/ 
Kết luận: Vậy hệ phương trình có 4 cặp nghiệm: ...................
c/ Bài tập áp dụng: Giải các hệ phương trình sau:
1) 	2) 	3) 
4) 	5) 	6) 
7) 	8) 	9) 
10) 	11) 	12) 
Dạng 7: Hệ phương trình đẳng cấp:
a/ Cách giải: Đặt y = xt ta đưa phương trình đẳng cấp (1) về dạng phương trình tích: 
b/ Ví dụ: Giải hệ pt: 
Đặt y = xt ta có do x = 0 không phải là nghiệm nên hoặc 
+) Nếu t = 1 x = y .
+) Nếu t = -0,5 -0,5x = y . Từ đó tìm ra y.
c/ Bài tập áp dụng: Giải các hệ phương trình sau:
1) 	2) 	3) 
4) 	5) 	6) 
7) 	8) 	9) 
Dạng 8: Hệ phương trình không mẫu mực
*Dùng phương pháp giải pt bậc hai của một ẩn, ẩn còn lại coi là tham số.
Ví dụ: Giải hệ pt 
 (1) là pt bậc 2 ẩn x ta có: a - b + c = 1 + (y - 1) - y = 0 suy ra 
+)Với x = -1 suy ra .
+)Với x = y suy ra .
Vậy nghiệm của hệ là 
* Dùng tính chất tổng các bình phương mà bằng 0.
Ví dụ: Giải hệ pt 
(1)(vì x + y + z ) suy ra x = y = z kết hợp với (2) ta có x = y = z = 1.
*Sử dụng điều kiện xảy ra dấu bằng của bất đẳng thức:
Ví dụ: Tìm x, y dương thoả mãn hệ: 
Giải: Ta có: .
Tương tự .
Mặt khác: . Đẳng thức xảy ra khi .
Vậy nghiệm của hệ pt trên là: .
Một số hệ phương trình đã thi ở các năm.
(Năm 1999-2000) 	(Năm 2001-2002) 
 (Năm 2003 - 2004) 	 (Năm 2004-2005) 
 (Năm 2008-2009) 	( Năm 2009-2010)
 (Năm 2010-2011) (Năm 2011 - 2012) 	 (Năm 2012-2013) 	 (Năm 2013-2014) (Năm 2014-2015) 	 (Năm 2015-2016) 
 (Năm 2016-2017)	(Năm 2017-2018) (Năm 2018-2019)	 (Dự bị 2015-2016) (Dự bị 2014-2015)	
C/ Những lỗi và khó khăn học sinh thường gặp phải khi học chuyên đề này.
+ Chưa xác định được dạng bài và phương pháp thực hiện đưa ra cách giải tương ứng.=> hình thành nên các dạng tổng quát cụ thể và hình thành các bước giải tương ứng cho các dạng.
+ Thiếu điều kiện xác định và quên đối chiếu điều kiện xác định dẫn đến kết luận nghiệm sai. => phải đặt điều kiện với các hệ chứa mẫu thức, căn thức, ...dựa vào các bước giải cho từng dạng.
+ Khi đặt ẩn phụ mà ẩn phụ là căn bậc hai hoặc bình phương quên điều kiện lớn hơn hoặc bằng 0.
+ Nhầm dấu khi tách một phân thức mà đứng trước phân thức có dấu trừ => khác phục phải dùng dấu ngoặc.
+ Dùng dấu tương đương khi quy đồng khử mẫu hoặc bình phương hai vế khi hai vế chưa cùng không âm.
+ Khai căn hai vế khi hai vế chưa không âm.CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
Dạng 1. Giải và biện luận hệ phương trình
Phương pháp giải:
Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x	
Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)
Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ
i) Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b
	- Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm
	- Nếu b0 thì hệ vô nghiệm
 ii) Nếu a 0 thì (1) x = , Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình: 
	Từ (1) y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:
4x – m(mx – 2m) = m + 6 (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)
	i) Nếu m2 – 4 0 hay m2 thì x = 
	Khi đó y = - . Hệ có nghiệm duy nhất: (;-)
	ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4
	Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R
	iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm
Vậy: - Nếu m2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = (;-)
- Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R
	- Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm
Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau: 
1) 	2) 	3) 
4) 	5) 	6) 
Dạng 2: Xác định giá trị của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước. 
Phương pháp giải:
Giải hệ phương trình theo tham số
Viết x, y của hệ về dạng: n + với n, k nguyên
Tìm m nguyên để f(m) là ước của k
Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
HD Giải:
để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 0 hay m 
Vậy với m hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Để x, y là những số nguyên thì m + 2 Ư(3) = 
Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5
Bài Tập: 
Bài 1:
Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
Bài 2:
Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)
HD: 
Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n
Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là 
x = 1 và x = -2
HD: 
thay x = 1 và x = -2 vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b
Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3 
chia hết cho 4x – 1 và x + 3
HD: f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 nên. Biết nếu f(x) chia hết cho ax + b thì f(-) = 0
	 Giải hệ phương trình ta được a = 2; b = 11
Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4. Xác định các hệ số a và b biết rằng 
f(2) = 6 , f(-1) = 0
HD: 
Bài 3:
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)	
HD:
Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương trình 	
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm
a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2)	 b) P(1; 2) ; Q(2; 0)
Bài 4:
Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy
HD giải:
- Tọa độ giao điểm M (x ; y) của hai đường thẳng 3x + 2y = 4 và x + 2y = 3 là nghiệm của hệ phương trình: . Vậy M(0,2 ; 1,25)
Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m m = -0,85
Vậy khi m = -0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy
Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy
a) 2x – y = m ; 	x - y = 2m ;	mx – (m – 1)y = 2m – 1
b) mx + y = m2 + 1	; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ;
(2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2
Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước
Cho hệ phương trình: 
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
 2x + y + = 3
HD Giải:
- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m 2
- Giải hệ phương trình theo m
- Thay x = ; y = vào hệ thức đã cho ta được:
	 2. + + = 3
	=> 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12 
	 3m2 – 26m + 23 = 0 
	m1 = 1 ; m2 = (cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện)
Vậy m = 1 ; m = 
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1:
Cho hệ phương trình (m là tham số)
Giải hệ phương trình khi m = 
Giải và biện luận hệ phương trình theo m
Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0
Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương
Bài 2:
Cho hệ phương trình : 
Giải và biện luận hệ phương trình theo m
Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy
Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3: 
Cho hệ phương trình 
Giải hệ phương trình khi m = 5
Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1
Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng 
3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy
Bài 4:
Cho hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình khi m = 1
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm
Bài 5:
 Cho hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình khi m = 3
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
 x - 3y = - 3
Bài 6: 
Cho hệ phương trình:
 	a) Giải hệ phương trình khi .
 	b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức .
Bài 7: 
Cho hệ phương trình 
Giải hệ phương trình khi m = 5
Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6)
Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy
Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7