Tài liệu bồi dưỡng môn Hình học Lớp 7 - Chuyên đề: Tam giác

uông
ABC và DEF có:
ABC=DEF (c.g.c)
Cạnh huyền- góc nhọn
ABC và DEF có:
ABC=DEF (ch.gn)
Cạnh huyền-cạnh góc vuông
ABC và DEF có:
ABC=DEF (ch.gn)
2. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:
- Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai đoạn thẳng đó
- Chứng minh hai đoạn thẳng đó là hai cạnh bên của một tam giác cân
 	- Dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường trung trực của đoạn thẳng
 	- Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng
 	 3. Chứng minh hai góc bằng nhau:
 	- Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai góc đó
- Chứng minh hai góc đó là hai góc ở đáy của một tam giác cân, đều
- Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc đó là cặp góc so le trong, đồng vị 
- Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác 
- Chứng minh góc có cùng số đo
4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng:
 	- Dựa vào số đo của góc bẹt (Hai tia đối nhau hay tổng các góc cộng tuyến bằng 1800 thì ba điểm đó thẳng hàng)
- Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 tại một điểm
- Hai đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng thứ 3
- Dựa vào tính chất 3 đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao
 	5. Chứng minh hai đường thẳng song song
- Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song
+ Hai góc so le trong bằng nhau.
+ Hai góc đồng vị bằng nhau
+ Hai góc trong cùng phía bù nhau.
- Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng.
- Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng.
- Tiên đề Ơclit “Qua một điểm ở một ngoài đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song với đường thẳng song song với đường thẳng đó”
 	- Tính chất của tam giác vuông, định lí Py – ta – go đảo
- Qua hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vuông góc 
 	- Tính chất 3 đường trung trực, ba đường cao
6. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
- Góc tạo bởi hai đường thẳng bằng 900 
 	- Tính chất của tam giác vuông, định lí Py – ta – go đảo
- Qua hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vuông góc 
 	- Tính chất 3 đường trung trực, ba đường cao
 	 7. Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy (đi qua một điểm):
 Dựa vào tính chất của các đường trong tam giác gồm:
- Giao điểm của ba đường trung tuyến trong tam giác
+ Đi qua trung điểm của canh đối diện
+ Khoảng cách đỉnh đến trọng tâm bằng 2/3 độ dài trung tuyến.
- Giao điểm của ba đường trung trực của tam giác
+ Vuông góc với cạnh đối diện tại trung điểm
+ Cách đều hai đầu mút.
+ Giao điểm ba đường trung trực cách đều ba đỉnh của tam giác.
- Giao điểm của ba đường phân giác.
+ Giao điểm của ba đường phân giác.
+ Giao điểm của ba đường phân giác cách đều ba cạnh của tam giác.
- Giao điểm của ba đường cao của tam giác (ba đường vuông góc)
 	8. So sánh hai đoạn thẳng, hai góc:
 	 - Gắn hai đoạn thẳng, hai góc vào một tam giác từ đó vận định lí về quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác, BĐT tam giác
- Dựa vào định lí về quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu, đường xiên và đường vuông góc. 
II. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
 	Chứng minh:
a) DC = BE 
b) DCBE
Hướng dẫn phân tích tìm hướng giải 
* Để chứng minh DC = BE cần chứng minh ∆ABE = ∆ ADC (c.g.c) 
 	Có: AB = AD, AC = AE (gt) Chứng minh . Có: 
* Gọi I là giao điểm của AB và CD
Để chứng minh DC BE cần chứng minh 
 	Có (Hai góc đối đỉnh) và 
 	 Cần chứng minh (vì ∆ABE = ∆ ADC)
 Lời giải
a) Ta có , mặt khác AB = AD, AC = AE (gt)
 	∆ABE = ∆ ADC (c.g.c) DC = BE
b) Gọi I là giao điểm của AB và CD, ta có (Hai góc đối đỉnh)
Và (∆ ADI vuông tại A) và (vì ∆ABE = ∆ ADC) 
 DC BC
* Khai thác bài 1: 
 Từ bài 1 ta thấy: DC = BE và DC BE khi ∆ABD và ∆ ACE vuông cân, vậy nếu có ∆ABD và ∆ ACE vuông cân, Từ B kẻ BK CD tại D thì ba điểm E, K, B thẳng hàng
 	Ta có bài toán 1.2
Bài 1.1: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. Từ B kẻ BK CD tại K 
Chứng minh rằng ba điểm E, K, B thẳng hàng
Hướng dẫn: Từ bài 1 chứng minh được DC BE mà BK CD tại K suy ra ba điểm E, K, B thẳng hàng
*Khai thác bài 1.1 Từ bài 1.1 nếu gọi M là trung điểm của DE kẻ tia M A thì MA BC từ đó ta có bài toán 1.2
 	Bài 1.2: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. Gọi M là trung điểm của DE kẻ tia MA. . Trên tia đối AM, lấy điểm N. Chứng minh rằng: 
a) BE = CD b) AE//DN c) MABC 
 Phân tích tìm hướng giải
Gọi H là giao điểm của tia MA và BC 
 Để chứng minh MA BC 
 ∆AHC vuông tại H
 ∆AHC vuông tại H ta cần tạo ra 1 tam giác vuông bằng ∆AHC 
 Trên tia AM lấy điểm N sao cho AM = MN. Kẻ DQ AM tại Q 
 ∆AHC = ∆DQN (g.c.g)
 ND = AC, ,
 	∆ABC = ∆DNA (c.g.c)
 Có AD = AB (gt) 
ND = AE (= AC) và 
 ∆MDN = ∆MEA (c.g.c)
 vì 
 Chứng minh AE // DN (∆MDN = ∆MEA)
Lời giải: Gọi H là giao điểm của tia MA và BC, trên tia AM lấy điểm N sao cho AM = MN, kẻ DQ AM tại Q 
 	Ta có ∆MDN = ∆MEA (c.g.c) vì: 
AM = MN; MD = ME (gt) và (hai góc đối đỉnh)
	 DN = AE (= AC) và AE // DN vì (cặp góc so le trong)
(cặp góc trong cùng phía) mà 
 	Xét ∆ABC và ∆DNA có: AB = AD (gt), AC = DN và (chứng minh trên) 
	∆ABC = ∆DNA (c.g.c) 
 	Xét ∆AHC và ∆DQN có: AC = DN, và 
 	 ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) 
 ∆AHC vuông tại H hay MA BC
* Khai thác bài toán 1.3: Từ bài 1.2 ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MABC, ngược lại nếu AH BC tại H thì tia HA sẽ đi qua trung điểm M của DE, ta có bài toán 1.4
Bài 1.3: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Chứng minh rằng tia HA đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE
Hướng dẫn:
Từ bài 1.2 ta có định hướng giải như sau: 
Kẻ DQ AM tại Q, ERAM tại R. 
 Ta có: + (Cùng phụ )
 AD = AB (gt) 
 ∆AHB = ∆DQA (Cạnh huyền – góc nhọn) 
 DQ = AH (1)
+ (cùng phụ ); AC = AE (gt) 
 ∆AHB = ∆DQA (Cạnh huyền – góc nhọn)
 ER = AH (1). Từ (1) và (2) 
 ER = DQ 
Lại có (hai góc đối đỉnh) 
 ∆QDM = ∆REM (g.c.g) 
MD = ME hay M là trung điểm của DE
Từ bài 1.3, ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MADE , ngược lại nếu H là trung điểm của BC thì tia KA sẽ vuông góc với DE, ta có bài toán 1.4
Bài 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. Gọi H trung điểm của BC. Chứng minh rằng tia HA vuông góc với DE.
Hướng dẫn: Từ bài 1.3 ta dễ dạng giải bài toán 1.4 
Trên tia AH lấy điểm A’ sao cho AH = HA’ 
 Dễ chứng minh được ∆AHC = ∆A’HB (g.c.g)
 A’B = AC (= AE) và 
 AC // A’B 
 (cặp góc trong cùng phía)
Mà 
 Xét ∆DAE và ∆ABA’ có: AE = A’B, AD = AB (gt)
 ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c) 
Mà 
Suy ra HA vuông góc với DE
Bài 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
 	c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC
 * Phân tích tìm lời giải
a) DM = EN
∆BDM = ∆CEN (g.c.g)
BD = CE (gt), (MD, NEBC)
 	(∆ABC cân tại A)
b) Để chứng minh đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN 
IM = IN
∆MDI = ∆NEI (g.c.g)
c) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC, O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I Cần chứng minh O là điểm cố định
O là điểm cố định
OC AC
 và 
∆OBM = ∆OCN (c.c.c) và ∆OAB = ∆OAC (c.g.c)
* Khai thác bài 2: Từ bài 2 ta thấy BM = CN, vậy ta có thể phát biểu lại bài toán như sau: 
Bài 2.1. Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia AC lấy điểm N sao cho BM = CN. Đường thẳng BC cắt MN tại I. Chứng minh rằng:
a) I là trung điểm của MN
 	b) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi
Lời giải: Từ lời giải bài 2 để giải bài 2.1 ta cần kẻ MDBC (D BC) NE BC (EBC) 
Bài 3: Cho ∆ABC vuông tại A, 
K là trung điểm của cạnh BC. Qua K kẻ đường thẳng 
vuông góc với AK, đường thẳng này cắt các 
đường thẳng AB và AC lần lượt ở D và E
Gọi I là trung điểm của DE.
a) Chứng minh rằng: AI BC
b) Có thể nói DE nhỏ hơn BC được không? vì sao
*Phân tích tìm lời giải 
a) Gọi H là giao điểm của BC và AI 
AI BC
Có 
 và 
∆AIE cân tại I và ∆AKC cân tại K
	b) Để so sánh DE với BC cần so sánh IE với CK (vì 2.IE = DE, 2CK = BC)
 	So sánh AI với AK (vì AI = IE, AK = CK) Có AI AK 
 Lời giải :
	a) Dễ dàng chứng được ∆AIE cân tại I và ∆AKC cân tại K 
	 cần chứng minh và mà 
	 AI BC
	b) ta có BC = 2 CK = 2AK (CK = AK), DE = 2IE = 2.AI (AI = IE) 
 	Mà AI AK , DE = BC khi K trùng với I khi đó ∆ABC vuông cân tại A
Bài 4: Cho tam giác ABC (AB > AC), M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với tia phân giác của góc A tại H cắt hai tia AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: 
 a) 
 b) .
 c) BE = CF 
	Lời giải
	a) Áp dụng định lý Py –ta-go cho tam giác vuông AFH, ta có: HF2 + AH2 = AF2
	Mà AHE = AHF (g-c-g) nên HF = EF; AF = AE. Suy ra: 
	b) Từ Suy ra 
	Xét có là góc ngoài suy ra 
 	 có là góc ngoài suy ra 
	Vậy hay (). 
	c) Từ Suy ra AE = AF và 
	Từ C vẽ CD // AB (D EF) 
	 => 
	 Lại có: (cặp góc đồng vị) Do đó cân
	CF = CD (2)
	Từ (1) và (2) suy ra BE = CF 
Bài 5: Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn .Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. 
 a) Chứng minh rằng: BE = CD. 
 b) Gọi M là trung điểm của BE, N là trung điểm của CB. Chứng minh M, A, N thẳng hàng.
 c) Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax. Chứng minh BH + CK BC
d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất
*Phân tích tìm lời giải 
a) Để chứng minh BE = CD 
 	Cần chứng minh ABE = ADC (c.g.c)
b) Để chứng minh M, A, N thẳng hàng. 
 	Cần chứng minh 
Có Cần chứng minh 
 	Để chứng minh 
 	Cần chứng minh ABM = ADN (c.g.c)
c) Gọi là giao điểm của BC và Ax 
 	 Để chứng minh BH + CK BC
 Cần chứng minh Vì BI + IC = BC
d) BH + CK có giá trị lớn nhất = BC khi đó K,H trùng với I, do đó Ax vuông góc với BC 
Bài 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH).
 	a) Chứng minh: EM + HC = NH.
b) Chứng minh: EN // FM.
*Phân tích tìm lời giải
a) Để chứng minh EM + HC = NH
 	 Cần chứng minh EM = AH và HC = AN
 	+ Để chứng minh EM = AH 
 cần chứng minh ∆AEM =∆BAH (cạnh huyền – góc nhon) 
 	+ Để chứng minh HC = AN 
 cần chứng minh ∆AFN =∆CAH (cạnh huyền – góc nhon) 
b) Để chứng minh EN // FM
 (cặp góc so le trong)
 	Gọi I là giao điểm của AN và EF
 để chứng minh 
 Cần chứng minh ∆MEI = ∆NFI (g.c.g) 
Bài 7: Cho tam ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. 
 Chứng minh: a) ∆AFI = ∆ ACI b) AE = BC 
* Phân tích tìm lời giải : Gọi F là giao điểm của BA và IE 
 	 để Chứng minh AE = BC cần chứng minh: ∆AFE = ∆ CAB
Để chứng minh: ∆AFE = ∆ CAB
Cần chứng minh AF = AC (2); (1); (3)
 	+ Để chứng minh (1): 
 Chứng minh CI // AE vì có FI // AC và 
 	 Để chứng minh CI // AE 
 Chứng minh ∆AMB = ∆ DMC (c.g.c)
 	+ Để chứng minh (2): AF = AC 
 	C/m ∆AFI = ∆ ACI (Cạnh huyền – góc nhọn)
 	+ Chứng minh (3): (vì cùng phụ ) 
 	*Khai thác bài toán: 
 	Từ bài 7 ta thấy AH AM HE AM + BC = 3AM (vì AM = MB = MC)
 	Vậy HE lớn nhất = 3AM = BC khi H trùng M khi đó tam giác ABC vuông cân
 	Bài 8: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng:
 	a) AE = AF
b) BE = CF
c) 
* Phân tích tìm lời giải
a) Để chứng minh AE = AF 
 	∆ANE = ∆ ANF (c. g. c)
Hoặc ∆AEF cân tại A 
(Có AH vừa là tia phân giác, vừa là đương cao)
b) Để chứng minh BE = CF 
 cần tạo tam giác chứa BE(hoặc có 1 cạnh = BE) mà bằng tam giác MCF 
 	+ Kẻ BI // AC ∆MBI = ∆MCF (c. g. c)
 	 Để chứng minh BE = CF ∆ BEI cân tại B Có (cặp góc đồng vị) mà vì ∆AEF cân tại A 
c) AB + AC = AB + AF + CF =(AB + FC) + AF mà CF = BC và AE = AF 
 	 2AE = AB + AC hay 
Bài 9: Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đường cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với AB và AC.
a) Chứng minh: Tam giác ADE cân tại A
b) Tính số đo các góc AIC và AKB ?
 *Phân tich tìm hướng giải 
 	 - Xét TH góc A < 900 
a) Để chứng minh ∆ ADE cân tại A 
 	 cần chứng minh: AD = AH = AE
(Áp dụng tính chất đường trung trực)
b) Dự đoán CI IB, BK KC
 	Do IB, KC tia phân giác góc ngoài của ∆ HIK nên HA là tia phân giác trong. Do nên HClà tia phân giác ngoài đỉnh H. Các tia phân giác góc ngoài đỉnh H và K của ∆ HIK cắt nhau ở C nên IC là tia phân giác của góc HIK, do đó IB IC, Chứng minh tượng tự Zta có BK KC
 	 - Xét TH góc A > 900
* Khai thác bài toán: 
Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC, qua M lấy điểm D’, E’ sao cho AB là trung trực của D’M, AC là trung trực của ME’. Khi đó ta có ∆ AD’E’ cân tại A và góc DAC có. Từ đó ta có bài toán sau:
 	Bài 10. Cho tam giác ABC nhọn. Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các điểm D, E trong đó AB là đường trung trực của MD, AC là đường trung trực của ME thì DE có độ dài nhỏ nhất.
 HD. Tự nhận xét bài 9 dễ dàng tìm được 
 vị trí điểm M trên cạnh BC.
Bài 11. Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
 a) Tia AD là phân giác của góc BAC
 b) AM = BC
	Hướng dẫn:
	a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 	
	suy ra Do đó 	
	b) ABC cân tại A, mà (gt) nên 
	ABC đều nên Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC 
	suy ra . Tia BM là phân giác của góc ABD nên 
	Xét tam giác ABM và BAD có:AB cạnh chung ; 
	Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuông góc với BC. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở K. Chứng minh rằng :
 a) BA = BH 
 b) 
 	c) Cho AB = 4 chứng minh, tính chu vi tam giác DEK
	Hướng dẫn: a) Chứng minh ∆ABD = ∆HBD (cạnh huyền – góc nhọn)
b) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với EK, cắt EK tại I 
 	Ta có:, chứng minh ∆HBK = ∆IBK (cạnh huyền – cạnh góc vuông) 
 	 mà 	
c) Chu vi tam giác DEK = DE + EK + KD = .. = 2.4 = 8 chứng minh
* Từ bài ta thấy khi thì chu vi ∆DEK = 2. AB vậy nếu có chu vi ∆DEK = 2 thì ta cũng chứng minh được. Ta có bài toán sau:
	Bài 12.1. Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi DAPQ bằng 2. Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450.
	Hướng dẫn 
Bài 13: Cho tam giác ABC cân tại A, BH vuông góc AC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì (khác B và C). Gọi D, E, F là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB, AC, BH.
	a) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB.
	b) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi.
	c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH. Chứng minh BC đi qua trung điểm của DK.
 Chứng minh được ∆DBM = ∆FMB (ch-gn)
Theo câu a ta có: ∆DBM = ∆FMB (ch-gn) Þ MD = BF (2 cạnh tương ứng) (1)
+) Chứng minh: ∆MFH = ∆HEM Þ ME = FH (2 cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MD + ME = BF + FH = BH 
BH không đổi Þ MD + ME không đổi (đpchứng minh)
Vẽ DP^BC tại P, KQ^BC tại Q, gọi I là giao điểm của DK và BC
+) Chứng minh: BD = FM = EH = CK
+) Chứng minh: ∆BDP = ∆CKQ (ch-gn) Þ DP = KQ(cạnh tương ứng)
+) Chứng minh: Þ∆DPI = ∆KQI (g-c-g) ÞID = IK(điều phải chứng minh)
	Bài 14: Cho tam giáccó , . Phân giác của góc cắt cạnh BC tại D. Đường thẳng qua và vuông góc với AD cắt tia BC tại E. Gọi là trung điểm của DE. Chứng minh rằng:
a) Tam giác là tam giác cân
b)
c) Chu vi tam giácbằng độ dài đoạn thẳng.
Lời giải:
Ta có: 
(Góc ngoài của tam giác);
Tam giác vuông có là trung tuyến nên cân tại , do đó 
(1)
Trong tam giác, ta lại có 
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác cân
b) Theo ý a, ta có: (3)
Mặt khác:(Trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông) Mà (4) 
Từ (3) và (4) (đpchứng minh)
c) Ta có: cân), cân)
Và cân): 
Bài 15. Do đó Cho nhọn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đoạn thẳng AD vuông góc với AB và AD = AB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng đoạn thẳng AE vuông góc với AC và AE = AC. 
 1) Chứng minh rằng BE = CD . 
 2) Gọi M là trung điểm của DE, tia MA cắt BC tại H. Chứng minh 
 3) Nếu AB = c, AC = b, BC = a. Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c ?
	1) (1,5 điểm). Chứng minh : BE = CD
	+ Ta có (Vì tia AB nằm giữa 2 tia AD và AC)
 	Mà (Vì tại A)
 	Nên (1)
	+ Ta có (Vì tia AC nằm giữa 2 tia AB và AE)
 	Mà (Vì tại A)
 	Nên (2)
	Từ (1) và (2) suy ra 
 	Xét ∆ ABE và ∆ ADC có :
 AB = AD (GT); (chứng minh trên) AE = AC (GT)
 Do đó ∆ABE = ∆ ADC (c – g - c) 
 BE = CD (vì là hai cạnh tương ứng)
2) Chứng minh: 
 	+Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho M là trung điểm của AN
 	Từ D kẻ DF vuông góc với MA tại F
 	 Xét ∆ MAE và ∆ MDN có :
 MN = MA (Vì M là trung điểm của AN); (chứng minh trên)
 ME = MD (Vì M là trung điểm của DE)
 	Do đó ∆ MAE = ∆ MND (c – g - c) 
 Suy ra AE = DN (vì là hai cạnh tương ứng) 
 	và (vì là hai góc tương ứng) 
 	Mà và ở vị trí so le trong của hai đường thẳng AE và DN 
 	Nên AE // DN (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song) 
Suy ra (Vì là hai góc trong cùng phía) (3) 
 	+ Ta lại có : 
 Hay (Vì ) (4)
 	Từ (3) và (4) = 
 	+ Ta có AE = DN (chứng minh trên) và AE = AC (GT)
 	 Nên AC = DN 
 Xét ∆ ABC và ∆ DAN có : AB = AD (GT); = (chứng minh trên)
 AC = DN (chứng minh trên)
 	Do đó ∆ ABC = ∆ DAN (c – g - c) 
Suy ra (vì là hai góc tương ứng) hay 
Ta có (Vì ba điểm F, A, H thẳng hàng)
 	Hay (Vì ) (5)
Trong ∆ ADF vuông tại F có :
 (Vì là hai góc phụ nhau) (6)
 	Từ (5) và (6) =
+ Ta có (Vì tia DF nằm giữa 2 tia DA và DN)
 (Vì tia AH nằm giữa 2 tia AB và AC)
Mà và = (chứng minh trên)
Nên 
 Xét ∆ AHC và ∆ DFN có : (chứng minh trên)
 AC = DN (chứng minh trên) và (chứng minh trên)
 	Do đó∆ AHC =∆ DFN (g - c - g) 
Suy ra (vì là hai góc tương ứng) 
Mà (Vì tại F) nên 
 	Suy ra tại H (đpcm)
3). Nếu AB = c, AC = b, BC = a. Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c 
 + tại H (chứng minh trên) nên ∆ AHB vuông tại H; ∆ AHC vuông tại H
 	Đặt HC = x HB = a - x (Vì H nằm giữa B và C)
+ Áp dụng định lý Py-ta-go cho 2 tam giác vuông AHB và AHC ta có:
 AH2 = AB2 - BH2 và AH2 = AC2 - CH2
 	AB2 - BH2 = AC2 - CH2 
c2 - (a - x)2 = b2 - x2
 Từ đó tìm được HC = x = 
III. Bài tập tự giải
Bài 1. Cho r ABC vuông cân tại A, M là trung điểm của BC, lấy điểm I năm giữa M và C. Kẻ BE và CH cùng vuông góc với đường thẳng AI (H, E Î AI). Chứng minh rằng.
a) BE = AH
b) 
c) vuông cân
Bài 2. Cho M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC của tam giác ABC. Các đường phân giác trong và phân giác ngoài của tam giác kẻ từ B cắt đường thẳng MN lần lượt tại D và E các tia AD và AE cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại P và Q. Chứng minh:
	a) BD 
	b) B là trung điểm của PQ
	c) AB = DE
	Bài 3. Trong giờ hình học, bạn Qua ra đề toán như sau: Cho hai cạnh góc vuông của tam giác vuông tỉ lệ với 3 và 4, cạnh huyền có độ dài là 20 chứng minh
	Em hãy cùng các bạn tính hai cạnh góc vuông của tam giác ?
	Bài 4. Cho có > 900. Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Trên tia đối của tia IB lấy điểm D sao cho IB = ID. Nối C với D.
	a) Chứng minh 
	b) Gọi M là trung điểm của BC; N là trung điểm của CD. Chứng minh rằng I là trung điểm của MN
	c) Chứng minh:
	d) Tìm điều kiện của để 
	Bài 5. Cho tam giác cân AB tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D. Trên Tia của tia BC lấy điểm E sao cho BD = BE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB v