Tài liệu bồi dưỡng môn Hình học Lớp 7 - Chuyên đề 2: Tam giác

CHUYÊN ĐỀ 2 - TAM GIÁC
Lý thuyết
Tổng ba góc của một tam giác
Tổng ba góc của một tam giác
Tổng ba góc của một tam giác bằng .
Áp dụng vào tam giác vuông
Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông. 
Tính chất: Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.
Ví dụ: 
Góc ngoài của tam giác 
Định nghĩa: Góc ngoài của tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác. 
Tính chất: 
Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó. 
Góc ngoài của tma giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó. 
Ví dụ: , 
Hai tam giác bằng nhau
Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau. 
Ví dụ: 
Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác
Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. 
Ví dụ: 
Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác
Trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh 
Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tma giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. 
Ví dụ: 
Hệ quả:
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. 
Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác
Trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc: 
Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau. 
Ví dụ: 
Trường hợp bằng nhau cạnh huyền – góc nhọn của tam giác vuông: 
Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. 
Ví dụ: 
Tam giác cân
Định nghĩa
Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
Ví dụ: cân tại A 
Tính chất
Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. 
Ví dụ: cân tại A 
Dấu hiệu nhận biết
Nếu một tam giác có hai cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. 
Nếu một tam giác có góc cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. 
Tam giác vuông cân
Định nghĩa
Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau. 
Ví dụ: vuông cân tại A 
Tính chất
Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân bằng 
Ví dụ: vuông cân tại A 
Tam giác đều
Định nghĩa
Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. 
Ví dụ: đều 
Tính chất
Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 
Ví dụ: đều 
Dấu hiệu nhận biết 
Nếu tam giác có ba cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều
Nếu tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều. 
Nếu một tam giác cân có một góc bằng thì tam giác đó là tam giác đều. 
Định lí Py-ta-go
Định lí Py-ta-go
Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông. 
Ví dụ: vuông tại A 
Định lí Py-ta-go đảo 
Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phường của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông. 
Ví dụ: : 
Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông 
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau. 
Ví dụ: 
Bài tập 
Bài toán 1: Đánh dấu x vào ô trống thích hợp
STT
Nội dung
Đúng
Sai
1
Góc ngoài của một tam giác lớn hơn góc trong của tam giác đó
2
Trong một tam giác vuông cạnh huyền lớn hơn mỗi canh góc vuông
3
Nếu hai tam giác có 3 góc bằng nhau từng đôi một thì tam giác đó bằng nhau
4
Nếu một tam giác vuông có một góc bằng 450 thì tam giác đó là tam giác vuông cân
5
Nếu tam giác ABC và tam giác DEF có AB = DE, BC = EF, C=F thì ∆ABC=∆DEF
6
Trong một tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại
7
Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác đều
8
Tam giác cân có một góc bằng 600 là tam giác đều
9
Trong một tam giác góc lớn nhất là góc tù
10
Tam giác EFI vuông tại I thì ta có EF2=EI2+IF2
Bài toán 2: Chọn đáp án đúng
Cho ∆ABC vuông tại A, có C=500 thì số đo B là:
400
450
300
Kết quả khác
Cho ∆ABC có A=700, B=800. Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. Tính số đo góc ADB
300
1500
650
Kết quả khác
Cho tam giác ABC cân tại B, B=600 thì số đo A là:
500
550
700
Ba câu trên đều sai
Tam giác ABC vuông tại A. Biết AB = 1cm, AC = 3cm. Tính BC
10cm
10 cm
102
Kết quả khác
Bài toán 3: Điền vào chỗ trống những từ còn thiếu sao cho được một mệnh đề đúng
Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có .. tương ứng bằng nhau
Mỗi góc ngoài tam giác bằng tổng ..không kề với nó
Trong một tam giác tổng ba góc bằng .
Nếu ba cạnh của tam giác này bằng .. thì hai tam giác đó bằng nhau
Nếu hai cạnh và cuả tam giác này bằng hai cạnh và .của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau
Nếu một cạnh và  của tam giác này bằng một cạnh và .của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau
Tam giác cân có .bằng nhau
Tam giác đều là tam giác có .bằng nhau
Trong tam giác đều ba góc bằng nhau và bằng 
Nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng ................. hai cạnh kia thì đó là tam giác vuông
Trong bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông
∆MNP vuông tại P ↔MN2=.
Bài toán 4: Tính và của tam giác ABC biết:
 	c) 
Bài toán 5: Tính các góc của tam giác ABC biết 
Bài toán 6: Cho hình vẽ sau, trong đó AB // DE. Tính bằng cách vẽ giao điểm K của BC và DE rồi tính 
Bài toán 7: Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Tính biết rằng:
 	b) 
Bài toán 8: Cho tam giác ABC có Tia phân giác của góc C cắt cạnh AB tại M. Tính và 
Bài toán 9: Cho tam giác ABC có Tính và 
Bài toán 10: Cho tam giác ABC có Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. Kẻ AH vuông góc với BC 
Tính 
Tính ;
Tính .
So sánh và . 
Bài toán 11: Cho tam giác ABC có và . Tia phân giác của góc C cắt AB tại D. Tính và . 
Bài toán 12: Chứng minh rằng nếu hai đường thẳng song song thì hai tia phân giác của cặp góc trong cùng phía vuông góc với nhau. 
Bài toán 13: Cho tam giác ABC vuông ở A. Tia phân giác của góc B cắt AC ở E. 
Chứng minh rằng BEC là góc tù.
Cho biết Tính và .
Bài toán 14: 
Cho Biết . Tính các góc còn lại của mỗi tam giác.
Cho Biết và chu vi của tam giác ABC bằng 22cm. Tính các cạnh còn lại của mỗi tam giác. 
Bài toán 15: Cho Tính chu vi vủa mỗi tam giác biết rằng và 
Bài toán 16: Cho Biết Tính các góc của mỗi tam giác. 
Bài toán 17: Cho BiẾT Tính các cạnh của mỗi tam giác. 
Bài toán 18: Cho tam giác ABC (không có hai góc nào bằng nhau, không có hai cạnh nào bằng nhau) bằng một tam giác có ba đỉnh là O, H, K. Viết kí hiệu về sự bằng nhau của hai tam giác, biết rằng: 
AB = OH, BC = KO.
Bài toán 19: Tìm các tam giác bằng nhau trên hình dưới đây:
Bài toán 20: Cho hình dưới đây. Chứng minh rằng: AB // CD
Bài toán 21: Cho đoạn thẳng Trên một nửa mặt hẳng bờ AB vẽ tam giác ABD sao cho trên nửa mặt phẳng còn lại vẽ tam giác ABE sao cho Chứng minh:
Bài toán 22: Cho tam giác ABC có Vẽ cung tròn tầm B bán kính bằng AC, vẽ cung tròn tâm C bán kính bằng BA, hai cung tròn này cắt nhau tại D nằm khác phía của A đối với BC.
Tính 
Chứng minh CD // AB. 
Bài toán 23: Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy hai điểm A, C. Trên tia Oy lấy hai điểm B, D sao cho OA = OB, OC = OD (A nằm giữa O và C, B nằm giiuwax O và D).
Chứng minh 
So sánh hai góc và 
Bài toán 24: Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho 
Chứng minh 
Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Chứng minh 
Bài toán 25: Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Trên tia Oz lấy điểm I. Chứng minh:
Bài toán 26: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. 
Chứng minh rằng AC // BE;
Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng. 
Bài toán 27: Cho tam giác ABC, kẻ Trên tia đối của tia HA, lấy điểm K sao cho HK = HA. Nối KB, KC. Tìm các cặp tam giác bằng nhau trong hình vẽ. 
Bài toán 28: Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia IB lấy điểm E sao cho IE = IB. Chứng minh rằng:
AE = BC;
AE // BC.
Bài toán 29: Cho tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. 
Chứng minh rằng DE = DB.
Tam giác ABC có điều kiện gì thì 
Tam giác ABC có điều kiện gì thì 
Bài toán 30: Vẽ tam giác ABC có BC = 4cm, Đo độ dài cạnh AB. 
Bài toán 31: Cho tam giác ABC có Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Tia phân giác của góc C cắt AB ở E. So sánh độ dài các đoạn thẳng BD và CE. 
Bài toán 32: Cho tam giác ABC có điểm D thuộc cạnh AB. Đường thẳng qua B và vuông góc với CD cắt đường thẳng CA ở K. Chứng minh rằng AK = AD. 
Bài toán 33: Cho tam giác ABC có AB = AC. Kẻ Gọi O là giao điểm của BD và CE. Chứng minh:
BD = CE;
AO là tia phân giác của góc BAC. 
Bài toán 34: Cho tam giác ABC có AB = AC và Qua đỉnh A kẻ đường thẳng xy sao cho xy không cắt đoạn thẳng BC. Kẻ BD và CE vuông góc với xy. Chứng minh rằng: 
DE = BD + CE. 
Bài toán 35: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB. Đường thẳng kẻ qua D và song song với BC cắt AC ở E, đường thẳng kẻ qua E và song song với AB cắt BC ở F. Chứng minh:
AD = EF;
AE = EC và BF = FC. 
Bài toán 36: Cho tam giác ABC có Từ đỉnh A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia phân giác của góc B ở E. 
Chứng minh tam giác AEB là tam giác cân;
Tính 
Bài toán 37: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Gọi Am là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A của tam giác đó. Chứng minh Am // BC. 
Bài toán 38: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm D và E sao cho AD = AE. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng: 
DE // BC;
Bài toán 39: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D, cắt AC ở E. Chứng minh rằng DE = BD + CE. 
Bài toán 40: Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Trên đáy BC lấy hai điểm M, N sao cho BM = CN = AB.
Chứng minh tam giác AMN là tam giác đều;
Tính 
Bài toán 41: Cho tam giác ABC. Kẻ BE vuông góc với C, CF vuông góc với AB Gọi O là giao điểm của BE và CF. Biết OC = AB. Tính 
Bài toán 42: Cho tam giác ABC cân ở A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D, trên tia đối của tia C lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh: 
DE // BC;
BE = CD;
Bài toán 43: Cho tam giác ABC CÓ Vẽ ra phía ngoài của tam giác hai tam giác đều AMB và ANC.
Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng;
Chứng minh BN = CM. 
Bài toán 44: Tìm các tam giác cân trên hình vẽ sau: 
Bài toán 45: Cho tam giác ABC cân tại A và tam giác đều BCD (D và A nằm khác phía đối với BC). Tính 
Bài toán 46: Cho tam giác ABC vuông cân ở A. 
Tính độ dài cạnh BC biết AB = AC = 2dm.
Tính độ dài cạnh AB biết BC = 2m
Tính độ dài cạnh AC biết 
Bài toán 47: Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 52cm độ dài các cạnh góc vuông tỉ lệ với 5 và 12. Tính độ dài các cạnh góc vuông
Bài toán 48: Cho tam giác ABC vuông ở A có AC = 20cm. Kẻ AH vuông góc với BC. Biết BH = 9cm, HC = 16cm. Tính AB, AH. 
Bài toán 49: Cho tam giác ABC. Kẻ AH vuông góc với BC. Tính chu vi biết AB = 5cm, AH = 4cm, HC = 12cm. 
Bài toán 50: Cho tam giác ABC vuông ở A có BC = 20cm và 4AB = 3AC. Tính độ dài các cạnh AB, AC. 
Bài toán 51: Cho tam giác ABC cân ở A. Kẻ BH vuông góc với C. Biết AH = 3cm, HC = 2cm. Tính BC. 
Bài toán 52: Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh như sau: 
15cm; 8cm; 18cm;
21dm; 20dm; 29dm;
5m; 6m; 8m. 
Bài toán 53: Cho tam giác ABC cân tại B, AB = 17cm, AC = 16cm. Gọi M là trung điểm của AC. Tính BM
Bài toán 54: Cho tam giác ABC. Từ A kẻ AH vuông góc với BC. Tính HC biết AB = 15, AC = 41, BH = 12.
Bài toán 55: Tính các cạnh của một tam giác vuông biết tỉ số các cạnh góc vuông là 3:4, chu vi tam giác bằng 36cm. 
Bài toán 56: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Kẻ Chứng minh rằng:
;
AD là tia phân giác của góc BAC. 
Bài toán 57: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC Chứng minh rằng:
HB = HC;
AH là tia phân giác của góc BAC. 
Bài toán 58: Cho tam giác ABC cân tại A. Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, hai đường thẳng này cắt nhau tại D. Chứng minh rằng:
BD = CD;
Đường thẳng AD là đường trung trực của BC. 
Bài toán 59: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
BE = CD;
AM là tia phân giác của góc BAC.