Sự tương giao (giao điểm)

ể đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt.
Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. 
Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. 
	2.3 Tìm tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) và thỏa một điều kiện K cho trước.
	2.3.1 Hàm bậc ba. 
Ví dụ 1: Cho hàm số có đồ thị (Cm). Định m để (Cm) cắt đường thẳng d: y=-x+1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho 
Ví dụ 2: Cho hàm số . Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ lớn hơn 15.
Ví dụ 3: Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d có hệ số góc là m cắt đồ thị (C) tại ba điểm A, B, C sao cho và .
Ví dụ 4: Cho hàm số . Gọi d là đường thẳng đi qua A(3;4) và có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A, M, N sao cho tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau.
Ví dụ 5: Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng (d): . Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau. 
Ví dụ 6: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 (m là tham số) (1). Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau.
Ví dụ 7. Cho hàm số có đồ thị là (Cm) (m là tham số).Cho đường thẳng (d): và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 
Ví dụ 8: Cho hàm số . Gọi là đường thẳng đi qua điểm với hệ số góc . Tìm để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1. 
CÁC BÀI TOÁN CÓ BÀI GIẢI THAM KHẢO
Bài 1: Cho hàm số . 
Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ lớn hơn 15. 
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm: 
. 
Để (*) có ba nghiệm có hai nghiệm phân biệt khác 1. 
Giả sử đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ là với là nghiệm phương trình (1). 
Theo giả thiết, ta có: 
Với . 
Vậy với thỏa yêu cầu đề. 
Bài 2: (KD 2010) Cho hàm số . 
Tìm m để đường thẳng d: y=-1 cắt đồ thị tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2. 
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm: 
Vẽ parabol để giải thích nghiệm pt (1).
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác và nhỏ hơn 2. 
Vậy giá trị m cần tìm là .
Bài 3: Cho hàm số . 
Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại ít nhất 2 điểm phân biệt với m<0. 
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm: (1). 
Đặt 
(1) 
Ta có: 
Như vậy: Với mọi m<0 thì nên pt (2) có ít nhất một nghiệm dương nên pt (1) có ít nhất hai nghiệm dương phân biệt nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ít nhất 2 điểm phân biệt. 
Bài 4: Cho hàm số . Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D có hoành độ sao cho tam giác ACK có diện tích bằng 4. Biết K(3;-2).
 Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm: .
Đặt 
(1) 
Để (Cm) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm dương phân biệt .
 (i).
Khi đó hoành độ bốn giao điểm là . 
.
.
Ta lại có: 
So sánh với (i) nhận m=4. 
Vậy m=4 thỏa yêu cầu đề bài. 
Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lớn hơn -2. 
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm: 
Vẽ parabol để giải thích nghiệm pt (*).
Để (Cm) cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lớn hơn -2 khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm khác 1và lớn hơn -2.
Bài 6: Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm A, B, C sao cho và . 
Hướng dẫn	
Ta có 
Phương trình đường thẳng d qua A có hệ số góc k: y=kx-2k+4.
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C): 
Để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2. 
Khi đó hoành độ các giao điểm là và là nghiệm pt (1). 
Ta có 
Ta lại có: 
Theo giả thiết: 
	Vậy phương trình đường thẳng d là y=x+2.
Bài 7 Tham khảo: Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3. 
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm: 
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân có hoành độ nhỏ hơn 3 biệt khi và chỉ khi pt (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và nhỏ hơn 3. 
Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 (m là tham số) 	(1)
	1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
	2) Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau.
	· PT hoành độ giao điểm của (1) và d: 
	d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C Û 
	Khi đó: là các nghiệm của PT: Þ 
	Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là và tại C là 
	Tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau Û Û 
	 Û 
Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng (d): .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.
	· Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): 
	Û Û 
	d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt M(–1; 3), N, P Û 
	Khi đó: là các nghiệm của PT: Þ 
	Hệ số góc của tiếp tuyến tại N là và tại P là 
	Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau Û Û 
	 Û 
Cho hàm số (C)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau.
	· PT đường thẳng (d): 
	+ PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): 
	Û Û 
	+ (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N Û PT có 2 nghiệm phân biệt, khác 2
	Û 	(*)
	+ Theo định lí Viet ta có: 
	+ Các tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau
	Û Û 	(thoả (*))
Cho hàm số (C)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d): luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.
	· PT hoành độ giao điểm (1) Û 
	(1) luôn có 1 nghiệm () Þ (d) luôn cắt (C) tại điểm M(–1; 2).
	(d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û (2) có 2 nghiệm phân biệt, khác –1 Û 	(*)
	Tiếp tuyến tại N, P vuông góc Û Û (thoả (*))
Cho hàm số ( là tham số) (1).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 
	2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.
	· Để ĐTHS (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương, ta phải có:
	 	(*) 
	Trong đó: + Þ 
	+ 
	+ 
	Suy ra: (*) 
Cho hàm số có đồ thị .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –1.
	2) Tìm m để cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ lớn hơn 15.
	· YCBT Û (*) có 3 nghiệm phân biệt thỏa .
	Ta có: (*) Û 
	Do đó: YCBT Û có 2 nghiệm phân biệt khác 1 và thỏa .
	Câu hỏi tương tự đối với hàm số: 
Cho hàm số , trong đó là tham số thực.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi .
	2) Tìm tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
	· Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng
	Phương trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
	Phương trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
	Đường thẳng đi qua điểm uốn của đồ thị (C)
Cho hàm số có đồ thị (Cm), trong đó là tham số thực.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi .
	2) Tìm để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
	· Hoành độ các giao điểm là nghiệm của phương trình: 	(1)
	Gọi hoành độ các giao điểm lần lượt là ta có: 
	Để lập thành cấp số cộng thì là nghiệm của phương trình (1)
	 Thử lại ta có là giá trị cần tìm.
Cho hàm số có đồ thị (Cm), trong đó là tham số thực.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi .
	2) Tìm để (Cm) cắt đường thẳng d: tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân.
	· Xét phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d: 
	Đk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt lập thành cấp số nhân. Khi đó ta có: 
	Suy ra: 
	Vì nên ta có: 
	Đk đủ: Với , thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn.
	Vậy 
Cho hàm số có đồ thị là (Cm) (m là tham số).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1.
	2) Cho đường thẳng (d): và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng .
	· Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d là:
	(d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
	(*)
	Khi đó: .
	Mặt khác: . Do đó:
	(thỏa (*)). 
	Vậy .
Cho hàm số có đồ thị là (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Gọi là đường thẳng đi qua điểm với hệ số góc . Tìm để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng .
	· Ta có: Û 
	Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d là: 
	 hoặc 
	 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt 
	Khi đó các giao điểm là .
Cho hàm số có đồ thị là (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng .
	· Ta có: E(1; 0). PT đường thẳng D qua E có dạng .
	PT hoành độ giao điểm của (C) và D: 
	D cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û PT có hai nghiệm phân biệt khác 1 
	Û 
	 Þ Û 
	Vậy có 3 đường thẳng thoả YCBT: .
Cho hàm số có đồ thị (Cm)	
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –3.
	2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
	· Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành:
	Xét hàm số: 
	 Ta có bảng biến thiên:
	Đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất .
Cho hàm số có đồ thị (Cm)	
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
	2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
	· 
Cho hàm số có đồ thị là (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Định m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
	· PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): 
	Û Û 
	(d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt Û PT có 2 nghiệm phân biệt khác 2 Û 
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm m để đường thẳng (D): cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân biệt.
	· Phương trình hoành độ giao của (C) và (D): 
	Û 
	(D) cắt (C) tại đúng 2 điểm phân biệt Û (1) phải có nghiệm thỏa mãn: 
	Û Û Û 
	Vậy:  ; .
Cho hàm số có đồ thị (Cm).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
	2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.
	· Để (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt thì (Cm) phải có 2 điểm cực trị
	Þ có 2 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt Û 
	Khi đó . 
	 (Cm) cắt Ox tại đúng 2 điểm phân biệt yCĐ = 0 hoặc yCT = 0
	Ta có: 	+ (loại)
	+ 
	Vậy: 
Cho hàm số có đồ thị là 
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi .
	2) Định m để đồ thị cắt trục trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
	· 
Cho hàm số có đồ thị là .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi .
	2) Định để đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
	· Xét phương trình hoành độ giao điểm: 	(1)
	Đặt thì (1) trở thành: .
	Để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì phải có 2 nghiệm dương phân biệt 
	 (*)
	Với (*), gọi là 2 nghiệm của , khi đó hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox lần lượt là: 
	 lập thành cấp số cộng 
	Vậy 
	Câu hỏi tương tự đối với hàm số 	ĐS: .
Cho hàm số có đồ thị là (Cm), m là tham số.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
	2) Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
	· Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng : 
	 Û Û 
	Đường thẳng cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ±1 và nhỏ hơn 2
	Û Û 
Cho hàm số có đồ thị là (Cm), m là tham số.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
	2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3.
	· Xét phương trình hoành độ giao điểm: 	(1)
	Đặt thì (1) trở thành: .
	(Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3
	 có 2 nghiệm phân biệt sao cho: 
	Vậy: .
Cho hàm số (1), với m là tham số.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi ..
	2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi .
	· Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (1) và trục Ox:
	(1)
	Đặt , (1) trở thành : 	(2)
	Ta có : và với mọi . Nên (2) có nghiệm dương
	Þ (1) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt Þ đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt.
Cho hàm số có đồ thị là (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Chứng minh rằng đường thẳng d: luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
	· PT hoành độ giao điểm của (C) và d: 
	Û 
	Do (1) có và 
	nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B.
	Ta có: nên 
	Suy ra AB ngắn nhất Û nhỏ nhất Û . Khi đó: .
	Câu hỏi tương tự đối với hàm số: 
	a) 	ĐS: m = 2	b) ĐS: 
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN.
	· Phương trình đường thẳng 
	d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N có 2 nghiệm phân biệt khác .
	Û có 2 nghiệm phân biệt khác 
	Û 
	Mặt khác: I là trung điểm MN với .
	Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là với .
Cho hàm số (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho .
	· Phương trình đường thẳng 
	Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm phân biệt sao cho 	(a)
	 (I). Ta có: 
	(I) có hai nghiệm phân biệt Û PT có hai nghiệm phân biệt. 	Û 
	Ta biến đổi (a) trở thành: (c)
	Theo định lí Viet cho (b) ta có: thế vào (c) ta có phương trình: 	
	.
	Kết luận: Vậy có 3 giá trị của k thoả mãn như trên.
Cho hàm số (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm m để đường thẳng (d): cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho .
	· PT hoành độ giao điểm: Û 	(1)
	d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Û (1) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 
	Û 	(2)
	Khi đó ta có: . Gọi .
	AB2 = 5 Û Û Û 
	 Û 	(thoả (2))
	Vậy: .
Cho hàm số (1).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .
	2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho .
	· PT hoành độ giao điểm: 
	d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt khác 
	(**)
	Khi đó gọi là các nghiệm của (*), ta có 
	Các giao điểm của d và đồ thị hàm số (1) là .
	Suy ra 
	Theo giả thiết ta được 
	Kết hợp với điều kiện (**) ta được là giá trị cần tìm.
Cho hàm số (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm m để đường thẳng d: cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho DOAB vuông tại O.
	· Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: 	(*)
	(*) có và (*) không có nghiệm x = 1.
	Þ (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt là . Theo định lí Viét: 
	Khi đó: 
	 vuông tại O thì 
	Vậy: m = –2.
Bài 29(Đề dự bị năm 2002): Cho hàm số . Gọi d là đường thẳng đi qua A(3;4) và có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A, M, N sao cho tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải
Phương trình đường thẳng d qua A(3;4) có dạng: y=m(x-3)+4.
Phương trình hoành độ giao điểm: 
Để d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A(3;4), M, N 
 phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 3.
Vì xA=3, nên xN, xM là nghiệm của phương trình .
Vì tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau 
Giả sử .
Tính: . Tính: 
Từ (**) 
Nhận xét: thỏa điều kiện: 
Bài 30: Cho hàm số . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải
Để hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và cực tiểu phải trái dấu.
Trước tiên ta tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu:
Để hàm số có cực đại và cực tiểu pt y’=0 phải có hai nghiệm phân biệt (*).
Tiếp theo ta tìm m để giá trị điểm cực đại và cực tiểu trái dấu:
Giả sử pt y’=0 có 2 nghiệm: .
Nên giá trị CĐ và CT trái dấu: 
 Do điều kiện 
 Nên (**) 
Bài 31: Cho hàm số . Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng d: y=-x+1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau. ĐHQG 96.
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d: 
Trước tiên ta tìm m để (Cm) cắt đường thẳng d: y=-x+1 tại ba điểm phân biệt.
Để (Cm) cắt đường thẳng d: y=-x+1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C.
 Vậy với thì (Cm) cắt đường thẳng d: y=-x+1 tại ba điểm phân biệt.
Tiếp theo ta tìm m để tiếp tuyến tại B và tại C vuông góc với nhau.
Theo giả thiết A(0;1) nên xA=0, do đó là nghiệm của pt: (*).
Theo định lý viet: .
Hệ số góc của tiếp tại B và C là: .
Do tiếp tuyến tại B vuông góc với tiếp tuyến tại C nên:
	Mà 
Nhận xét: với thỏa điều kiện nên nhận .
Bài 32: Cho hàm số . Tìm tất cả các đường thẳng đi qua A(4;4) và cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
	Hướng dẫn giải
Gọi d là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k.
Phương trình của d: y=k(x-4)+4.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d.
Vì A(4;4) thuộc (C) và d nên x=4 là nghiệm của pt (*).
Để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt
 pt (**) có hai nghiệm phân biệt khác 4.
Vậy với thì d qua A và cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
Bài 33: Cho hàm số . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục 
hoành tại ba điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải
Trục hoành có pt: y=0
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành:
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
 	pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2.
Bài 34: Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi d là đường thẳng qua A(2;1) và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biêt.
Hướng dẫn giải
Phương trình đường thẳng d: y=m(x-2)+1
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
	Do x=2 là nghiệm của pt (*), nên: 
	Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
	pt (**) có 2 nghiệm phân biệt khác 2.
Bài 35: Cho hàm số . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với hoành độ lặp thành cấp số cộng
Hướng dẫn giải
Phưong trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành: 
.
Điều kiện cần:
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng là: .
 Mặt khác pt (*) có: 
	 Ta có: 
 Mà là nghiệm của pt (*) nên: 
Điều kiện đủ: (ta thế m=11 vào pt (*) thử lại).
 Khi m=11: (*)
Kết luận: khi m=11 thì đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Bài 36: Cho hàm số . Xác định a để đường thẳng y=x cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A, B, C với AB=BC.
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm: 
.
Điều kiện cần: 
	Để đường thẳng y=x cắt đồ thị hàm số tại ba điểm pb A, B , C.
	 pt (*) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng.
Vì là nghiệm của phương trình (*): 
Điều kiện đủ:
Khi a=0: (*)Ba số -1;0;1 lập thành cấp số cộng.
Khi . (*)..Giải tương tự
Khi . (*)..Giải tương tự.
Bài 37: Cho hàm số . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt và có hoành độ lặp thành cấp số cộng.
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục Ox: 
	Đặt 
Trước tiên ta tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
 pt (*) có bốn nghiệm phân biệt.
 pt (**) có hai nghiệm dương phâ