Sử dụng hằng đẳng thức quen thuộc để giải phương trình - Hệ phương trình

Bài viết cho chuyên mục Kính gửi: Ban biên tập tòa soạn
 " vượt vũ môn " Họ và tên: Cao Xuân Nam 
--------------@------------ Giáo viên: Trường THPT Chuyên Hà Giang 
 Tỉnh: Hà Giang. 
Sử dụng hằng đẳng thức quen thuộc để giải phương trình-hệ phương trình
------------------ba---------------------
Các bạn hẳn đều biết và dể ràng chứng minh được các các hằng đẳng thức sau:
	(a + b )3 - (a3 + b3) = 3ab(a + b) (1).
 	(a - b )3 - (a3 - b3) = -3ab(a - b) (2).
	(a + b )2 - (a2 + b2) = 2a b (3).
 (a - b )2 - (a2 + b2) = -2a b (4).
Sau đây chúng ta sẽ vận dụng các hằng đẳng thức trên vào việc giải phương trình- hệ phương trình:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
	(2x2 - x - 1)3 = (x2 + 2x - 2)3 + (x2 - 3x + 1)3 . (*)
Lời giải:
	(*) x2 - 3x + 1) + (x2 + 2x - 23 -x2 - 3x + 1)3 + (x2 + 2x - 2)3 = 0
 3(x2 - 3x + 1) (x2 + 2x - 2) (2x2 - x - 1) = 0 ( theo hằng đẳng thức (1) )
Vậy PT (*) có các nghiệm là: và .
Ví dụ 2: Giải phương trình:
	(x2 - 4x - 2)3 = (x2 - x + 3)3 - ( 3x + 5)3 . (**)
Lời giải:
	(**) x2 - x + 3) - (3x + 53 -x2 - x + 3)3 - (3x + 5)3 = 0
 -3(x2 - x + 3) (3x + 5) (x2 - 4x - 2) = 0 ( theo hằng đẳng thức (2) )
Vậy PT (**) có các nghiệm là: và .
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
Lời giải:
Cộng hai PT của hệ vế với vế ta được: 
 (x + 1)3 + (y - 1)3 = (x + y)3
 (x + 1)3 + (y - 1)3 = x + 1) + (y - 13
 x + 1) + (y -13 - x + 1)3 + (y - 1 = 0
 3(x + 1)(y - 1)(x+ y) = 0 ( theo hằng đẳng thức (1) )
 TH 1: x + 1 = 0 x = - 1 thay vào hệ ta được: y3 - 3y2 = 0 y = 0; y =3
 TH 2: y - 1 = 0 y = 1 thay vào hệ ta được: x3 + 3x2 = 0 x = 0; x = - 3
 TH 3: x + y = 0 x = - y thay vào hệ ta được: (x + 1)3 = 2x3
 x+ 1 = x
 x = y = 
Tóm lại: Hệ đã cho có các nghiệm là: 
(x; y) = (-1; 0) ; (-1; 3); (0; 1); (-3; 1); (;).
Ví dụ 4: Giải phương trình:
	Điều kiện cho các căn có nghĩa là: 3x2 + 2x - 1 0 và 2x2 - 3x + 1 0.
Bình phương hai vế của PT ta được:
- 2( theo hằng đẳng thức (4) )
Suy ra: 3x2 + 2x - 1 = 0 x = - 1; x = 
 Hoặc 2x2 - 3x + 1 = 0 x = 1; x = 
Thử lại ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn PT đã cho. Vậy PT đã cho vô nghiệm.
Bài tập áp dụng: 
Bài 1: Giải các phương trình sau:
27x3 = (2x + 5)3 + (x - 5)3
(2x2 + 4x - 7)3 = (x2 - x - 3)3 - (4 - 5x - x2 )3
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
 a) 
 b) 
---------------------------1-------------------------