Sáng kiến kinh nghiệm Sự phong phú của tam giác đồng dạng

) Trường hợp thứ nhất (ccc): 
Nếu 3 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 3 cạnh của tam giác kia thì 2 tam giác đó đồng dạng. 
b) Trường hợp thứ 2(cgc): 
Nếu 2 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 2 cạnh của tam giác kia và 2 góc tạo bởi tạo các cặp 
cạnh đó bằng nhau thì hai tam đó giác đồng dạng. 
c) Trường hợp thứ 3(gg): 
Nếu 2 góc của tam giác này lần lượt bằng 2 góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng 
dạng. 
d) Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông. 
+ Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác 
đó đồng dạng. 
+ Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỷ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông 
kia thì hai tam giác đó đồng dạng. 
+ Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỷ lệ với cạnh huyền và 
cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng. 
* ÁP DỤNG:Để dễ sử dụng kiến thức khi tính toán, so sánh, chứng minh .Tôi tạm chia thành các 
dạng toán cơ bản sau: 
&.DẠNG1:Tính độ dài đoạn thẳng, góc, tỷ số, diện tích, chu vi: 
_ Loại1: Tính độ dài đoạn thẳng: 
_Ví dụ:1) Cho ABC vuông ở A, có AB = 24cm; AC = 18cm; đường trung trực của BC cắt BC , 
BA, CA lần lượt ở M, E, D. Tính độ dài các đoạn BC, BE, CD. 
 2) Hình thoi BEDF nội tiếp ABC (E  AB; D  AC; F  AC) 
NM
CB
A
Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2009 - 2010 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 3
a) Tính cạnh hình thoi biết AB = 4cm; BC = 6cm. Tổng quát với AB = a, BC = c. 
b) Chứng minh rằng BD < 
ca
ac

2 với AB = c; BC = a. 
c) Tính độ dài AB, BC biết AD = m; DC = n. Cạnh hình thoi bằng d. 
3)a) Tam giác ABC có B = 2 C ; AB = 4cm; BC = 5cm. 
 Tính độ dài AC? 
 b) Tính độ dài các cạnh của ABC có B = 2 C biết rằng số đo các cạnh là 3 số tự nhiên 
liên tiếp. 
GiảI :3) 
 a) Trên tia đối của tia BA lấy BD = BC 
 ACD và ABC có A chung; C = D =  
  ACD P ABC (g.g) 
 
AB
AC = 
AC
AD  AC2 = AB. AD 
 = 4 . 9 = 36 
 AC = 6(cm) 
b) Gọi số đo của cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c. 
Theo câu (a) ta có. 
AC2 = AB. AD = AB(AB+BC)  b2 = c(c+a) = c2 + ac (1) 
Ta có b > c (đối diện với góc lớn hơn) nên chỉ có 2 khả năng là: 
b = c + 1 hoặc b= c + 2 
* Nếu b = c + 1 thì từ (1)  (c + 1)2 = c2 + ac  2c + 1 = ac 
 c(a-2) = 1 (loại) vì c= 1 ; a = 3; b = 2 không là các cạnh của 1 tam giác 
* Nếu b = c + 2 thì từ (1)  (c + 2)2 = c2 + ac  4c + 4 = ac 
 c(a – 4) = 4 
Xét c = 1, 2, 4 chỉ có c = 4; a = 5; 5 = 6 thỏa mãn bài toán. 
Vậy AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm. 
_Loại2:Tính góc: 
_Ví dụ:1) Cho ABH vuông tại H có AB = 20cm; BH = 12cm. Trên tia đối của HB lấy điểm C 
sao cho AC = 
3
5 AH. Tính BAC . 
 2) Cho hình thoi ABCD cạnh a, có A = 600. Một đường thẳng bất kỳ đi qua C cắt tia 
đối của các tia BA, DA tương ứng ở M, N. Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính BKD? 
 3) ABC có AB: AC : CB = 2: 3: 5 và chu vi bằng 54cm; DEF có DE = 3cm; 
DF = 4,5cm; EF = 6cm 
a) Chứng minh AEF P ABC 
b) Biết A = 1050; D = 450. Tính các góc còn lại của mỗi  
5cm
4cm
D
CB
A
Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2009 - 2010 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 4
Giải:1) 
Ta có 
AH
AC
BH
AB

3
5
12
20 
 
AH
BH
AC
AB
 
Xét ABH và  CAH có : 
 AHB = CHA = 900 
AH
BH
AC
AB
 (chứng minh trên) 
 ABH P CAH (CH cạnh gv)  CAH = ABH 
Lại có BAH + ABH = 900 nên BAH + CAH = 900 Do đó : BAC = 900 
Giải:2) 
 Do BC // AN (vì N  AD) nên ta có : 
NC
MC
AB
MB
 (1) 
Do CD // AM (vì M  AB) nên ta có : 
DN
AD
NC
MC
 (2) 
Từ (1) và (2)  
DN
AD
AB
MB
 
ABD có AB = AD (đ/n hình thoi) và A = 600 nên là  đều 
 AB = BD = DA 
Từ 
DN
AD
AB
MB
 (cm trên)  
DN
BD
BD
MB
 
Mặt khác : MBD = DBN = 1200 
Xét 2MBD và BDN có : 
DN
BD
BD
MB
 ; MBD = DBN 
 MBD P BDN (c.g.c) 
 1M = 1B 
MBD và KBD có 1M = 1B ; BDM chung  BKD = MBD = 120
0 
Vậy BKD = 1200 
_ Loại3 :Tính tỉ số đoạn thẳng, tỉ số chu vi, tỉ số diện tích: 
_Ví dụ: 1) Cho ABC, D là điểm trên cạnh AC sao cho  BDC ABC . Biết AD = 7cm; 
DC = 9cm. Tính tỷ số 
BA
BD 
 2) Cho hình vuông ABCD, gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CE cắt DF 
ở M. Tính tỷ số 
ABCD
CMB
S
S
? 
 3) Cho ABC, D là trung điểm của BC, M là trung điểm của AD. 
a) BM cắt AC ở P, P’ là điểm đối xứng của P qua M. Chứng minh rằng PA = P’D. Tính tỷ số 
PC
PA và 
AC
AP 
b) Chứng minh AB cắt Q, chứng minh rằng PQ // BC. Tính tỷ số 
BC
PQ và 
MB
PM 
12cm
20cm
H
C B
A
60
K
N
M
D
C
B
A
Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2009 - 2010 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 5
c) Chứng minh rằng diện tích 4 tam giác BAM, BMD, CAM, CMD bằng nhau. Tính tỷ số 
diện tích MAP và ABC. 
Giải:1) CAB và CDB có C chung ; ABC = BDC (gt) 
 CAB P CDB (g.g)  
CB
CA
CD
CB
 do đó ta có : 
 CB2 = CA.CD 
Theo gt CD = 9cm; DA = 7cm nên CA = CD + DA = 9 + 7 = 16 (cm) 
Do đó CB2 = 9.16 = 144  CB = 12(cm) 
Mặt khác lại có : 
4
3

BA
DB 
Giải:2) Xét DCF và CBE có DC = BC (gt); C = B = 900; BE = CF 
 DCF = CBE (c.g.c)  D 1 = C 2 
Mà C 1 + C 2 = 1v  C 1 + D 1 = 1v  CMD vuông ở M 
CMD P FCD (vì D 1 = C 2 ; C = M )  FC
CM
FD
DC
 
FCD
CMD
S
S = 2
2
FD
CD  SCMD = 2
2
FD
CD . SFCD 
Mà SFCD = 2
1 CF.CD = 
2
1 .
2
1 BC.CD = 
4
1 CD2 
Vậy SCMD = 2
2
FD
CD . 
4
1 CD2 = 
4
1 . 2
4
FD
CD (*) 
Áp dụng định lý pitago vào tam giác vuông DFC, ta có: 
DF2 = CD2 + CF2 = CD2 + (
2
1 BC)2 = CD2 + 
4
1 CD2 = 
4
5 CD2 
Thay DF2 = 
4
5 CD2 ta có : SCMD = 5
1 CD2 = 
5
1 SABCD  
ABCD
CMB
S
S
 = 
5
1 
_Loại 4: Tính chu vi các hình: 
_Ví dụ:1) Cho ABC, D là một điểm trên cạnh AB, E là 1 điểm trên cạnh AC sao cho DE // BC. 
Xác định vị trí của điểm D sao cho chu vi ADE = 
5
2 chu vi ABC. 
Tính chu vi của 2 tam giác đó, biết tổng 2 chu vi = 63cm 
 2) A’B’C’ P ABC theo tỷ số đồng dạng K = 
5
2 .Tính chu vi của mỗi tam giác, biết hiệu 
chu vi của 2 tam giác đó là 51dm. 
 3) Tính chu vi ABC vuông ở A biết rằng đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác 
thành 2 tam giác có chu vi bằng 18cm và 24cm. 
Giải:1) Do DE // BC nên ADE PABC theo tỷ số đồng dạng. K = 
AB
AD = 
5
2 . Ta có . 
2
5
Chuvi ADE
Chuvi ABC



 
25
ADEChuviABCChuvi 

 = 63
5 2 7
Chuvi ABC Chuvi ADE  


 = 9 
Do đó: Chu vi ABC = 5.9 = 45 (cm) 
 Chu vi ADE = 2.9 = 18 (cm) 
9cm
7cm
D
CB
A
M
F
E
D C
BA
ED
CB
A
Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2009 - 2010 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 6
_Loại 5:Tính diện tích các hình: 
_Ví dụ :1)Cho hình vuông ABCD có độ dài = 2cm. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, 
DC. Gọi I, H theo thứ tự là giao điểm của AF với BE, BD. Tính diện tích tứ giác EIHD 
 2) Cho tứ giác ABCD có diện tích 36cm2, trong đó diện tích ABC là 11cm2. Qua B kẻ đường 
thẳng // với AC cắt AD ở M, cắt CD ở N. Tính diện tích MND. 
 3) Cho ABC có các B và C nhọn, BC = a, đường cao AH = h. Xét hình chữ nhật MNPQ 
nội tiếp tam giác có M  AB; N  AC; PQ  BC. 
a) Tính diện tích hình chữ nhật nếu nó là hình vuông. 
b) Tính chu vi hình chữ nhật a = h 
c) Hình chữ nhật MNPQ có vị trí nào thì diện tích của nó có giá trị lớn nhất 
 4) Cho ABC và hình bình hành AEDF có E  AB; D  BC, F  AC. 
Tính diện tích hình bình hành biết rằng : SEBD = 3cm2; SFDC = 12cm2; 
Giải:4) Xét EBD và FDC có B = D 1 (đồng vị do DF // AB) (1) 
E1 = D2 ( so le trong do AB // DF) 
D2 = E1 ( so le trong do DE // AC) 
Từ (1) và (2)  EBD P FDC (g.g) 
Mà SEBD : SFDC = 3 : 12 = 1 : 4 = ( 2
1 )2 
Do đó : 
FC
ED
FD
EB
2
1  FD = 2EB và ED = 
2
1 FC 
 AE = DF = 2BE ( vì AE = DF) 
AF = ED = 
2
1 EC ( vì AF = ED) 
Vậy SADE = 2SBED = 2.3 = 6(cm2) 
SADF = 2
1 SFDC = 2
1 . 12 = 6(cm2) 
 SAEDF = SADE + SADF = 6 + 6 = 12(cm2) 
&.DẠNG 2: Chứng minh hệ thức, đẳng thức nhờ tam giác đồng dạng: 
A. Các ví dụ và định hướng giải: 
1. Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD(AB // CD). Gọi O là giao điểm của 2đường chéo AC và BD 
a) Chứng minh rằng: OA. OD = OB. OC. 
b) Đường thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K. 
CMR: OH
OK
 = 
CD
AB 
* Tìm hiểu bài toán : Cho gì? 
 Chứng minh gì? 
* Xác định dạng toán: 
? Để chứng minh hệ thức trên ta cần chứng minh điều gì? 
TL: 
OC
OA = 
OD
OB 
? Để có đoạn thẳng trên ta vận dụng kiến thức nào. 
TL: Chứng minh tam giác đồng dạng 
 a) OA. OD = OB.OC 
  E 1 = F 1 (2) 
F
D
E
CB
A
K
H
O
D C
BA
Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2009 - 2010 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 7
Sơ đồ : 
 + A 1 = C 1 (SLT l AB // CD) 
 + AOB = COD ( Đối đỉnh) 
 
 OAB P OCD (g.g) 
 
OC
OA = 
OD
OB 
 
 OA.OD = OB.OC 
b) 
OK
OH = 
CD
AB 
 Tỷ số 
OK
OH bằng tỷ số nào? 
TL : 
OK
OH = 
OC
OA 
? Vậy để chứng minh 
OK
OH = 
CD
AB ta cần chứng minh điều gì. 
TL: 
CD
AB = 
OC
OA 
Sơ đồ : 
 +H = K = 900 
 + A 1 = C 1.(SLT; AB // CD) Câu a 
  
 OAH P OCK(gg) OAB P OCD 
  
OK
OH = 
OC
OA 
CD
AB = 
OC
OA 
OK
OH = 
CD
AB 
2. Ví dụ 2: Cho hai tam gíac vuông ABC và ABD có đỉnh góc vuông C và D nằm trên cùng một 
nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi P là giao điểm của các cạnh AC và BD. Đường thẳng qua P vuông góc 
với AB tại I.CMR : AB2 = AC. AP + BP.PD 
 Định hướng: 
- Cho HS nhận xét đoạn thẳng AB (AB = AI + IB) 
 AB2 = ? (AB.(AI + IB) = AB . AI + AB. IB) 
- Việc chứng minh bài toán trên đưa về việc chứng minh các hệ thức 
 AB.AI = AC.AP 
 AB.IB = BP. PD 
- HS xác định kiến thức vận dụng để chứng minh hệ thức ( P) 
I
P
D
C
BA
Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2009 - 2010 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 8
 Sơ đồ : + D = I = 900 + C = I = 900 
+ PBI chung + PAI chung 
   
ADB P PIB ACB P AIP (gg) 
   
AB
PB
 = DB
IB
 AB
AP
 = AC
AI
   
AB.AI = PB.DB AB . AI = AC . AP 
AB . IB + AB . AI = BP . PD + AC . AP 
  
AB (IB + IA) = BP . PD + AC . AP 
  
AB2 = BP . PD + AC . AP 
3. Ví dụ 3: Trên cơ sở ví dụ 2 đưa ra bài toán sau: 
Cho  nhọn ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. 
CMR: BC2 = BH . BD + CH.CE 
Định hướng: Trên cơ sở bài tập 2 
Học sinh đưa ra hướng giải quyết bài tập này. 
 Vẽ hình phụ (kẻ KH  BC; K  BC). 
Sử dụng P chứng minh tương tự ví dụ 2 
4. Ví dụ 4: Cho  ABC, I là giao điểm của 3 đường phân giác, đường thẳng vuông góc với CI tại 
I cắt AC và BC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng. 
a) AM . BI = AI. IM 
b) BN . IA = BI . NI 
c) AM
BN
 = 
2AI
BI
 
 
 
* Định hướng: 
a) ? Để chứng minh hệ thức AM. BI = AI.IM ta cần chứng minh điều gì ? 
 AM IM
AI BI
  
 
b) Để chứng minh đẳng thức trên ta cần chứng minh điều gì ? 
 ( AMI P AIB) 
Sơ đồ: 

1A =  2A (gt) 1I = 1B * CM: 1I = 1B 
 v MIC: IMC = 900 - 

2
C 
 AMI P AIB (gg) ABC: A + B + C = 1800(t/c tổng...) 
H
D
E
CB
A
1
1
21
N
M
I
CB
A
Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2009 - 2010 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 9
   

2
A + 

2
B + 

2
C = 900 
 AM
AI
 = IM
BI
 Do đó: IMC = 

2
A + 

2
B (1) 
  Mặt khác: IMC = 1A + 1I (t/c góc ngoài ) 
 AM. BI = AI . IM hay IMC = 

2
A + 1I (2) 
 Từ (1) và (2)  

2
B = 1I hay 1B = 1I 
AMI P AIB (1A = 2A ; 1I = 1B ) 
 AM
AI
 = IM
BI
  AM . BI = AI. IM 
 b) Tương tự ý a. 
Chứng minh BNI P BIA (gg) 
 BN
BI
 = NI
IA
  BN . IA = BI. IN 
c) (Câu a) (Câu b) 
   
- HS nhận xét
2AI
IA
 
 
 
 = 
2
2
AI
BI
 AMI P AIB BNI P BIA 
   
Tính AI2 ; BI2  
2
2
AI
BI
 AM
AI
 = IM
BI
 BI
AB
 = BN
BI
   
(Tính AI2 ; BI2 nhờ P) AI2 = AM . AB BI2 = BN . AB 
2
2
AI
BI
 = AM
BN
  
2AI
BI
 
 
 
 = AM
BN
B.Bài tập đề nghị: 
1) Cho hình thanh ABCD (AB // CD), gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Qua O kẻ đường 
thẳng song song với 2 đáy cắt BC ở I cắt AD ở J.CMR : a) 1
OI
 = 1
AB
 + 1
CD
 b) 2
IJ
 = 1
AB
 + 1
CD
Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2009 - 2010 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 10
2) Cho ABC, phân giác AD (AB < AC). trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho 
ACI = BDA . CMR: a) AD . DI = BD . DC 
 b) AD2 = AB . AC - BD . DC 
&.DẠNG3: Chứng minh quan hệ song song: 
+ Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M là trung điểm của CD, E là giao điểm của 
MA và BD; F là giao điểm của MB và AC. Chứng minh rằng EF / / AB 
 Định hướng giải: 
- Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giác 
- Định nghĩa hai tam giác đồng dạng 
- Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (định lý Ta lét đảo) 
Sơ đồ phân tích: 
AB // CD (gt) AB // CD (gt) 
  
 AB // DM AB // MC 
  
MED P  AEB GT MFC P BFA 
    
ME
EA
 = MD
AB
 ; MD = MC MF
FB
 = MC
AB
  
 ME
EA
 = MF
FB
  
 EF // AB (Định lý Ta lét đảo) 
+ Ví dụ 2: Cho  ABC có các góc nhọn, kẻ BE, CF là hai đường cao. Kẻ EM, FN là hai đường 
cao của AEF. Chứng minh MN // BC 
Sơ đồ phân tích 
AMF P AFC (g.g); AFN P ABE 
  
AM
AF
 = AE
AC
 AF
AB
 = AN
AE
 
AM
AF
 . AF
AB
 = AE
AC
 . AE
AC
  
AM
AB
 = AN
AC
 
 MN // BC (định lý Ta – lét đảo) 
F
E
M
D C
BA
NM
E
F
CB
A
Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2009 - 2010 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 11
+ Ví dụ 3: Cho ABC, các điểm D, E, F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo tỷ 
số 1 : 3, các điểm I, K theo thứ tự chia trong các đoạn thẳng ED, FE theo tỉ số 1 : 3. Chứng minh 
rằng IK // BC. Gọi M là trung điểm của AF 
Giải: Gọi N là giao điểm của DM và EF 
 Xét  ADM và  ABC có : 
AD
AB
 = AM
AC
 = 1
3
 Góc A chung 
ADM P ABC (c.gc) 
 ADM = ABC mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên DM // BC 
 MN // EC mà MF = FC nên EF = FN 
Ta có : EK
EN
 = EK
EF
 . EF
EN
 = 2
3
 . 1
2
 = 1
3
 (1) 
mà EI
ED
 = 1
3
 (gt) (2) 
Từ (1) và (2)  EK
EN
 = EI
ED
 Suy ra IK // DN (định lý Ta – lét đảo) 
Vậy IK // BC. 
*Bài tập đề nghị: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng đi qua A song song với BC cắt BD. 
Đường thẳng đi qua B và song song với AD cắt AC ở G. Chứng minh rằng EG // DC 
&.DẠNG4: Chứng minh tam giác đồng dạng: 
+ Ví dụ 1: Cho ABC; AB = 4,8cn; AC = 6,4cm; BC = 3,6cm .Trên AB lấy điểm D sao cho 
AD = 3,2cm, trên AC ,lấy điểm E sao cho AE = 2,4cm, kéo dài ED cắt CB ở F. 
a) CMR :  ABC P AED 
b) FBD P FEC 
c) Tính ED ; FB? 
Bài toán cho gì? 
Dạng toán gì? 
Để chứng minh 2  đồng dạng có những phương pháp nào? 
Bài này sử dụng trường hợp đồng dạng thứ mấy? 
Sơ đồ chứng minh: 
a) GT 
  
 A chung 
 AB
AE
 = AC
AD
 = 2 
  
ABC P AED (c.g.c) 
ABC P  AED (câu a) 
b)  
 C = 1D ; 1D = 2D 
  
N
M
KI
F
E
D
CB
A
4,8cm
6,4cm
3,6cm
F
E
D
C
B
A
Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2009 - 2010 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 12
 C = 2D 
 F chung 
  
FBD P FEC (g.g) 
c) Từ câu a, b hướng dẫn học sinh thay vào tỷ số đồng dạng để tính ED và FB. 
+ Ví dụ 2: Cho ABC cân tại A; BC = 2a; M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D và E trên 
AB; AC sao cho DME = B . a) CMR : BDM P CME 
 b) MDE P DBM 
 c) BD . CE không đổi 
? Để chứng minh BDM P CME ta cần chứng minh điều gì. 
? Từ gt  nghĩ đến 2 có thể P theo trường hợp nào (g.g) 
? Gt đã cho yếu tố nào về góc. ( B = C ) 
? Cần chứng minh thêm yếu tố nào (1D = 2M ) 
a) Hướng dẫn sơ đồ 
gt góc ngoài DBM 
   
 B = 1M ; DMC = 1M + 2M ; DMC = 1D + 1B 
ABC cân 
   
B = C ; 1D = 2M 
  
BDM P CME (gg) 
Câu a gt 
   
b) DM
ME
 = BD
BM
; CM = BM 
  
DM
ME
 = BD
BM
  

1B = 1M (gt) ; 
DM ME
BD BM
 
  
 DME P DBM (c.g.c) 
c) Từ câu a : BDM P CME (gg) 
 BD BM
CM CE
  BD . CE = Cm . BM 
Mà CM = BM = 
2
BC = a 
 BD . CE = 
2
4
a (không đổi) 
Lưu ý: Gắn tích BD . CB bằng độ dài không đổi 
 Bài đã cho BC = 2a không đổi 
1
1
2
1
E
D
M C
B
A
EF
QP
NM D
CB
A
Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2009 - 2010 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 13
 Nên phải hướng cho học sinh tính tích BD. CE theo a 
+ Ví dụ 3: Cho ABC có các trung điểm của BC, CA, AB 
 theo thứ tự là D, E, F. Trên cạnh BC lấy điểm M và N sao cho 
BM = MN = NC. Gọi P là giao điểm của AM và BE; Q là giao 
 điểm của CF và AN. 
CMR: a) F, P, D thẳng hàng; D, Q, E thẳng hàng. 
 b) ABC P DQP 
* Hướng dẫn 
a) Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh 3 điểm thẳng hàng có nhiều phương pháp. Bài 
này chọn phương pháp nào? 
- Lưu ý cho học sinh bài cho các trung điểm  nghĩ tới đường trung bình . 
 Từ đó nghĩ đến chọn phương pháp: CM cho 2 đường thẳng PD và FP cùng // AC 
PD là đường trung bình BEC  PD // AC 
FP là đường trng bình ABE  FP // AC 
Tương tự cho 3 điểm D, Q, E 
b) PD = 1
2
 . EC = 1
2
.
2
AC = 
4
AC 
AC
PD
 = 4 4
4
AC  
 
AB
QD
 = 4 4QD
QD
 
 
 
   
 AC AB
DP QD
 ;  BAC EDP 
  
ABC P DQP (c.g.c) 
* Bài tập đề nghị: 1) Cho ABC, AD là phân giác A ; AB < AC. Trên tia đối của DA lấy 
điểm I sao cho  ACI BDA . Chứng minh rằng. 
a) ADB P ACI; ADB P CDI 
b) AD2 = AB. AC - BD . DC 
 2) Cho ABC; H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm 3 đường trung trực của . Gọi 
E, D theo thứ tự là trung điểm của AB và AC. 
Chứng minh : 
a)  OED P  HCB 
b)  GOD P  GBH 
c) Ba điểm O, G, H thẳng hàng và GH = 2OG 
 3) Cho ABC có Ab = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm. Gọi M là trung điểm BC. Qua M kẻ đường 
vuông góc với BC cắt AC, AB lần lượt ở D, E. 
a) CMR : ABC P MDC 
b) Tính các cạnh MDC 
c) Tính độ dài BE, EC 
 4) Cho ABC; O là trung điểm cạnh BC. Góc xoy = 600; cạnh ox cắt AB ở M; oy cắt AC ở N. 
a) Chứng minh: OBM P NCO 
F, P, D thẳng hàng 
 BAC DEC (Đơn vị EF // AB) 
 DEC EDP (so le trong PD // AC) 
Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2009 - 2010 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 14
b) Chứng minh : OBM P NOM 
c) Chứng minh : MO và NO là phân giác của BMN và CNM 
d) Chứng minh : BM. CN = OB2 
&.DẠNG5:Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau: 
_Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB// CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường 
thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E và 
F. 
Chứng minh rằng : OE = OF 
Định hướng 
H:Bài cho đường thẳng EF // AB (và CD) 
TL: Các tam giác đồng dạng và các đoạn 
thẳng tỷ lệ 
H: EO và đoạn nào trên hình vẽ sẽ thường 
lập được tỷ số? 
TL: EO
DC
. 
H: Vậy OF trên đoạn nào? (gợi ý) 
TL: OF
DC
Sơ đồ giải 
OE = OF 
 
OE
DC
 = OF
DC
 
OE
DC
 = AO
AC
 ; OF
DC
 = BO
BD
; AO
AC
= BO
BD
   
AEC BOF AOB 
P P P 
ADC BDC COD 
   
 EF // DC AB // CD 
 
gt 
H: Vậy để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau (OE = OF) ta sẽ đưa về chứng minh điều gì? 
TL : EO
DC
 = OF
DC
 (1) 
H: OE; DC là cạnh của những tam giác nào? (AEO; ADC, các tam giác này đã đồng dạng 
chưa? Vì dao? 
H: Đặt câu hỏi tương tự cho OF , DC. 
H: lập tỷ số bằng EO
DC
 = OF
DC
TL: EO
DC
 = AO
AC
; OF
DC
 = BO
BD
H: Vậy để chứng minh (1) ta cần chứng minh điều gì? 
TL: AO
AC
 = BO
BD
H: Đây là tỷ số có được từ cặp tam giác đồng dạng nào? 
TL:  AOB;  COD 
H: Hãy chứng minh điều đó. 
FE
O
D C
BA
Trường THCS Trần Quang Diệu Năm học:2009 - 2010 
GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm 15
Ví dụ 2: Trên một cạnh của góc xoy (xoy  1800), đặt các đoạn thẳng OA = 5cm, OB = 16cm. 
Trên cạnh thứ nhất của góc đó, đặt các đoạn thẳng OC = 8cm, OD = 10cm. 
a) Chứng minh hai tam giác OCB và OAD đồng dạng. 
b) Gäi giao ®iÓm c¸c c¹nh AD vµ BC lµ I, CMR: Hai tam gi¸c IAB vµ ICD cã c¸c gãc b»ng nhau tõng ®«i 
mét. 
Giải:a)Ta có: 8 16 8;
5 10 5
OC OB
OA OD
   
  OC
OA
 = OB
OD
  OBC P  ODA 
Góc O chung 
 b) Xét IAB và ICD ta dễ nhìn thấy không bằng nhau. 
 Do đó để chứng minh chúng có các góc bằng nhau 
 từng đôi một ta đi chứng minh đồng dạ