Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng phương pháp vẽ sơ đồ đoạn thẳng trong giải toán có lời văn lớp 4

ảo sát thực tế.
 Sau khi lựa chọn phương pháp phù hợp, tôi tiến hành khảo sát thực tế để phân loại khả năng nhận thức của học sinh.
 Tổng số học sinh của lớp là 21 em, có 12 em nữ. 
 Kết quả bài khảo sát về giải toán có lời văn như sau:
Số HS
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
25
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
5
23.8
6
28.6
8
38.0
2
9.5
Trong số các học sinh đạt điểm trung bình và yếu là do bị mắc trong cách giải bài toán có lời văn. Thực tế, với bài toán đó có thể giải đơn giản bằng cách sử dụng sơ đồ đoạn thẳng nên tôi tập trung hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng phù hợp và dễ hiểu.
 2. Các bước cơ bản để giải một bài toán bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng.
	Bước 1: Tìm hiểu đề bài
	Học sinh đọc đề toán, suy nghĩ về ý nghĩa bài toán, nội dung bài toán đặc biệt chú ý đến những phần đã biết, những phần chưa biết của bài toán. 
	Bước 2: Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng
	Sau khi phân tích đề, học sinh biết thiết lập mối quan hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng trong bài toán. Muốn làm việc này ta thường dùng sơ đồ đoạn thẳng thay cho các số (số đã cho, số phải tìm trong bài toán) để minh hoạ các quan hệ đó. 
	Khi vẽ sơ đồ phải chọn độ dài các đoạn thẳng và sắp xếp các đoạn thẳng một cách thích hợp để có thể dễ dàng thấy được mối quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng, tạo ra một hình ảnh cụ thể giúp ta suy nghĩ tìm tòi cách giải một bài toán. 
	Có thể nói đây là một bước quan trọng vì đề toán được làm sáng tỏ: mối 
quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán được nêu bật các yếu tố không cần thiết được lược bỏ. 
	Để có thể thực hiện những bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng thì nắm được cách biểu thị các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) các mối quan hệ (quan hệ về hiệu, quan hệ về tỷ số) là hết sức quan trọng. Vì nó làm một công cụ biểu đạt mối quan hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng. “Công cụ” này học sinh đã được trang bị từ những lớp đầu cấp nhưng cần được tiếp tục củng cố, mài giũa ở các lớp cuối cấp. 
	Bước 3: Lập kế hoạch giải toán
	Dựa vào sơ đồ suy nghĩ xem từ các dữ kiện đã cho và điều kiện của bài toán có thể biết gì? Có thể làm gì? Phép tính đó có thể giúp ta trả lời câu hỏi của bài toán không? Trên cơ sở đó, suy nghĩ để thiết lập trình tự giải bài toán. 
	Bước 4: Giải bài toán và kiểm tra các bước giải
	+ Thực hiện các phép tính theo trình tự đã thiết lập để tìm ra đáp số.
	+ Mỗi khi thực hiện phép tính cần kiểm tra xem đã đúng chưa? Giải song bài toán phải thử xem đáp số đã tìm được có trả lời đúng câu hỏi của bài toán có phù hợp với các điều kiện của bài toán không?. 
	Tóm lại, để học sinh có thể sử dụng thành thạo “phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng” trong việc giải toán thì việc giúp cho các em hiểu rõ ý nghĩa của từng dạng toán sau đó có thể mô hình hoá nội dung từng dạng bằng sơ đồ đoạn thẳng từ đó tìm ra cách giải bài toán là một việc làm hết sức quan trọng. Làm được việc này giáo viên đã đạt được mục tiêu lớn nhất trong giảng dạy đó là việc không chỉ dừng lại ở việc “dạy toán” mà còn hướng dẫn học sinh “học toán” sao cho đạt hiệu quả cao nhất”. 
	Để khẳng định cụ thể hơn lợi ích của việc sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để dạy 
giải toán ở Tiểu học tôi xin trình bày một số dạng toán cơ bản mà khi giải có thể sử dụng sơ đồ đoạn thẳng như sau. 
DẠNG 1: DẠNG TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN SỐ TRUNG BÌNH CỘNG
Đối với dạng toán này, học sinh nắm được khái niệm số trung bình cộng. Biết cách tìm số trung bình cộng của nhiều số. Khi giải các bài toán dạng này, thông thường các em sử dụng công thức. 
1. Số trung bình = Tổng : (số các số hạng) 
2.Tổng = (số trung bình cộng) x (số các số hạng) 
 3.(Số các số hạng) = tổng : (số trung bình cộng)
Áp dụng kiến thức cơ bản đó học sinh được làm quen với rất nhiều dạng toán về trung bình cộng mà có những bài toán nếu không tóm tắt bằng sơ đồ, học sinh sẽ rất khó khăn trong việc suy luận tìm ra cách giải. Tổ chức cho học sinh làm bài toán từ dễ đến khó.
Bài toán:	Lớp 4A trồng được 21 cây, lớp 4B trồng được 22 cây, lớp 4C trồng được 29 cây, lớp 4D trồng được số cây bằng trung bình cộng số cây trồng được của 4 lớp. Hỏi lớp 4D trồng được bao nhiêu cây?
Phân tích:
	Ta thấy tổng số cây của 4 lớp được chia thành 4 phần bằng nhau thì số cây của lớp 4D là một phần và tổng số cây của 3 lớp kia sẽ là 3 phần. Như thế trung 
bình cộng số cây của cả 4 lớp chính bằng trung bình cộng số cây của 3 lớp còn lại.
Học sinh tự vẽ sơ đồ (căn cứ vào các dữ liệu biễu diễn các đại lượng trên sơ đồ)
	Theo bài ra ta có sơ đồ:
4D
4A + 4B + 4C 
TBC
TBC
TBC
TBC
 ?
Dựa vào sơ đồ lập kế hoạch giải bài toán 
 Bài giải
	 Nhìn vào sơ đồ ta có:
	Lớp 4D trồng được số cây là:
	(21 + 22 + 29) : 3 = 24 (cây)
	Đáp số: 24 cây
	 Nhận xét: Một trong các số đã cho bằng trung bình cộng của các số còn lại thì số đó chính bằng trung bình cộng của tất cả các số đã cho. 
 Qua hướng dẫn cách giải bài toán trên, tôi thấy học sinh có hứng thú về bài toán (khi mà trước đó các em rất ngại vì đọc bài toán dài) vì được vẽ, được dùng thước chứ không phải chỉ có viết và viết. Ứng dụng bài toán trên, tôi tiếp tục cho học sinh làm các ví dụ tiếp theo
 Ví dụ 1: 	Lớp 4A trồng được 21 cây, lớp 4B trồng được 22 cây, lớp 4C trồng được 29 cây, lớp 4D trồng được số cây hơn trung bình cộng số cây trồng được của 4 lớp là 3 cây. Hỏi lớp 4D trồng được bao nhiêu cây?
	Phân tích: Bài toán này cho số cây lớp 4D không những bằng trung bình cộng số cây của 4 lớp mà còn hơn trung bình cộng số cây của 4 lớp là 3 cây.
	Học sinh tự vẽ sơ đồ đoạn thẳng
4D
4A + 4B + 4C 
3
TBC
TBC
TBC
TBC
Theo bài ra ta có sơ đồ :	
	 3 cây
 ?
Tổng số cây của 3 lớp 4A + 4B + 4C và thêm 3 cây nữa sẽ là 3 lần TBC số cây của cả 4 lớp. Từ đó ta tìm ra được số cây của lớp 4D.
Bài giải
 Nhìn các sơ đồ ta thấy trung bình cộng số cây của 4 lớp là: 
	 	(21 + 22 + 29 + 3) : 3 = 25 (cây)
	 Lớp 4D trồng được số cây là: 
	 25 + 3 = 28 (cây)
	Đáp số: 28 (cây)
 Từ ví dụ trên tôi đã giúp học sinh rút ra một công thức để tính khi gặp dạng toán tìm số lớn hơn trung bình cộng.
Þ Nhận xét: Nếu có 4 số a, b, c, x trong đó x chưa biết mà: là (n) đơn vị thì 
 	Ví dụ 2: An có 20 nhãn vở, Bình có số nhãn vở bằng An. Chi có số nhãn vở ít hơn trung bình cộng số nhãn vở của 3 bạn là 6 nhãn vở. Hỏi Chi có bao nhiêu nhãn vở? 
 Sau khi đọc kỹ đề toán, phân tích mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài, học sinh tóm tắt bài toán bằng sơ đồ: 
+ Trước hết vẽ đoạn thẳng: Biểu thị tổng số nhãn vở của 3 bạn 
+ Dựa vào đó học sinh nêu cách vẽ đoạn thẳng thể hiện mức trung bình cộng số nhãn vở của 3 bạn (1/3 tổng trên) 
+ Từ đó vẽ đoạn thẳng biểu thị số nhãn vở của Chi (ít hơn mức trung bình cộng là 6 chiếc). TBC
Tổng số nhãn vở 	 
 Bình + An ?Chi 
Nhãn vở của An và Bình 3
 Bình + An 
 Sau khi hướng dẫn tìm hiểu đề và tóm tắt bằng sơ đồ, nhiều học sinh đã biết từng bước tìm cách giải. Những em chưa làm được bài, sau khi nghe bạn trình bày cách suy luận của sơ đồ các em đều nắm được và bết tự giải quyết các bài toán dạng tương tự. 
Số nhãn vở của An và Bình là: 
	20 + 20 = 40 (nhãn vở) 
Nhìn vào sơ đồ ta thấy, trung bình cộng số nhãn vở của 3 bạn là 
	(40 – 6) : 2 = 17 (nhãn vở) 
Bạn Chi có số nhãn vở là: 
	17 – 6 = 11 (nhãn vở) 
Đáp số: 11 nhãn vở 
	Ví dụ 3: 
	Dùng sơ đồ có thể giúp học sinh hiểu hoặc các em có thể giải thích cách làm dạng toán tìm 2 số khi biết hiệu và trung bình cộng của 2 số đó một cách ngắn gọn. ?
	Ta thấy: Hiệu 
	Số lớn: 
Số bé: 
TBC: 
Qua sơ đồ ta có thể tìm ra: 
 Số lớn = Trung bình cộng + (hiệu : 2)
 Số bé = Trung bình cộng – (Hiệu : 2) 
Ví dụ một bài toán cụ thể dạng này: 
Trung bình cộng của 2 số tròn chục liên tiếp là 2005. Tìm hai số đó.
Vì hai số tròn chục liên tiếp kém nhau 10 đơn vị nên ta có sơ đồ: 
 	 ?	 10
	Số lớn: 
Số bé: ?	
TBC: 
 2005
 Bài giải: 
	Số lớn là: 
	2005 + (10 : 2) = 2010 
	Số bé là: 
	2005 – (10 : 2) = 2000 
	Hoặc 2010 – 10 = 2000 
	Đáp số: Số lớn 2010 
	 Số bé 2000 
Ví dụ 4: 
	Một tổ công nhân đường sắt sửa đường, ngày thứ nhất sửa được 15m đường, ngày thứ 2 sửa được nhiều hơn ngày thứ nhất 1m, ngày thứ 3 sửa được nhiều hơn ngày thứ nhất 2m. Hỏi trung bình mỗi ngày sửa được bao nhiêu mét đường? 
	Ta có sơ đồ: 
	 	15 m
	Ngày thứ nhất: 
	 1m TBC ?
Ngày thứ hai:	 
 2m 
Ngày thứ ba:
Thông thường ta giải bài toán như sau: 
	Ngày thứ hai sửa được là:
	15 + 1 = 16 (m)
	Ngày thứ 3 sửa được 
	15 + 2 = 17 (m) 
	Trung bình mỗi ngày sửa được 
	(15 + 16 + 17) : 3 = 16 (m) 
	Đáp số: 16 (m) 
Ngoài ra khi quan sát kỹ sơ đồ ta thấy nếu chuyển một mét từ ngày thứ 3 sang ngày thứ nhất thì số mét đường sửa được trong các ngày đều bằng 16m. 
 15m	 1m
 Ngày thứ nhất: 
	 1m
Ngày thứ hai:	 
 1m 1m
 Ngày thứ ba:
Ta thấy ngay trung bình mỗi ngày tổ đó sửa được 16m đường. 
 Như vậy, sơ đồ giúp ta hình dung rõ khái niệm, đôi khi sơ đồ còn giúp ta tính nhẩm nhanh kết quả. 
DẠNG 2: DẠNG TOÁN TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ HIỆU CỦA CHÚNG. 
Bài toán : Tổng hai số là 48, hiệu hai số là 12. Tìm hai số đó? 
	Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ, căn cứ sơ đồ hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải. 
	Sử dụng sơ đồ biểu thị mối quan hệ về hiệu, các em sẽ tóm tắt bài toán bằng sơ đồ dưới đây. 
 ?
	Số lớn: 
	 ?	 12	 48
Số bé: 
Nhìn vào sơ đồ, yêu cầu học sinh nhận xét: 
+ Nếu lấy tổng trừ đi hiệu, kết quả đó có quan hệ như thế nào với số bé? (Giáo viên thao tác che phần hiệu là 12 trên sơ đồ)... từ đó học sinh sẽ dễ dàng nhận thấy phần còn lại là 2 lần số bé. 
Dựa vào suy luận trên, yêu cầu học sinh nêu cách tìm số bé. 
Hơn 80% số em nêu được tìm số bé là: 
	(42 – 12) : 2 = 18 
Tìm được số bé suy ra số lớn là: 
	18 + 12 = 30 
Hay: 48 – 18 = 30 
Từ bài toán ta xây dựng được công thức tính: 
 Số bé = (tổng – hiệu) : 2 
 Số lớn = Số bé + hiệu 
Cách giải vừa nêu trên là dễ nhất với học sinh. Tuy nhiên cũng có thể giới thiệu thêm phương pháp sau đây: 
Cũng biểu thị mối quan hệ hiệu nhưng sử dụng sơ đồ 
 ?
	Số lớn: 
	 ?	 12	 48
Số bé: 
Suy luận: nếu thêm một đoạn thẳng hiệu (12) vào số bé ta được hai đoạn thẳng bằng nhau tức là hai lần số lớn. 
Từ đó suy ra: 
	Số lớn là:
	(48 + 12) : 2 = 30 
	Vậy số bé là: 30 – 12 = 18 
	Hoặc: 48 – 30 = 18 
Sau khi học sinh đã nắm được cách giải ta xây dựng công thức tổng quát:
Số lớn = (tổng + hiệu) :2
Số bé = số lớn – hiệu (Hay = Tổng – số lớn)
 Như vậy qua sơ đồ đoạn thẳng học sinh nắm được phương pháp giải dạng toán này và có thể áp dụng để giải các bài tập về tìm hai số khi biết tổng và hiệu ở nhiều dạng khác nhau. 
Ví dụ 1: 
Ba lớp bốn A, bốn B, bốn C mua tất cả 120 quyển vở. Tính số vở của mỗi lớp biết rằng nếu lớp 4A chuyển cho lớp 4B 10 quyển và cho lớp 4C 5 quyển thì số vở của 3 lớp sẽ bằng nhau: 
Phân tích nội dung bài toán sẽ vẽ được sơ đồ
	 ?	 5
Lớp 4A: 
	?	 10
Lớp 4B: 120 quyển vở
Lớp 4C: ?
Dựa vào sơ đồ ta có: 
Sau khi lớp 4A chuyển cho hai lớp thì mỗi lớp có số vở là: 
120:3 = 40 (quyển)
Lúc đầu lớp 4C có là: 
	40-5 = 35 (quyển)
Lúc đầu lớp 4B có là: 
	40-10 = 30 (quyển)
Lúc đầu lớp 4A có là: 
	40 + 10 + 5 = 55 (quyển)
ĐS: 4A: 55 quyển; 4B: 30 quyển; 4C: 35 quyển
Ví dụ 2: Hiệu 2 số bằng 1/4 số bé, tổng hai số bằng 423 Tìm 2 số đó. 
Bước 1: Tìm hiểu đề toán
 - HS đọc kĩ đề toán
 - GV nêu câu hỏi giúp HS phân tích đề toán
 + Bài toán cho biết gì? (Hiệu hai số bằng 1/4 số bé; Tổng hai số bằng 423)
 + Bài toán yêu cầu gì? (Tìm hai số đó )
Bước 2: Phân tích điều kiện của bài toán biểu diễn các đại lượng trên sơ đồ đoạn thẳng
 	Số lớn trừ số bé bằng 1/4 số bé, vậy nếu ta biểu thị số bé là bốn phần bằng nhau thì hiệu là một phần như thế.
	Số lớn sẽ là: 1 + 4 = 5 (phần)
	Theo bài ra ta có sơ đồ:
 ?
Số bé	 
 ? 423
Số lớn	
Bước 3: Dựa trên sơ đồ lập kế hoạch giải
Bước 4: Giải bài toán
Bài giải
Nhìn vào sơ đồ ta thấy:
423 ứng với số phần là: 
 4 + 5 = 9 (phần)
Số bé là: 
 423 : 9 x 4 = 188
Số lớn là:
 423 - 188 = 235
Đáp số: 188 và 235
Bước 5: Kiểm tra đánh giá lời giải ( thử lại )
 188 : ( 235 - 188 ) = 4 ( lần )
DẠNG 3: TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TỈ CỦA CHÚNG 
Bài toán: Một đội tuyển học sinh giỏi toán có 12 bạn, trong đó số bạn gái 
bằng 1/3 số bạn trai. Hỏi có mấy bạn gái, mấy bạn trai trong đội tuyển đó? 
Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ, cắn cứ vào sơ đồ hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải: 
Sử dụng sơ đồ biểu thị mối quan hệ về tỷ số và các em sẽ tóm tắt bài toán bằng sơ đồ dưới đây: ?
Số bạn trai: 
	12 bạn
Số bạn gái: ?
	Vẽ sơ đồ đoạn thẳng thế này học sinh dễ dàng thấy được hai điều kiện của bài toán: cả trai và gái có 12 bạn (biểu thị mối quan hệ về tổng) và có số bạn trai gấp 3 lần số bạn gái (biểu thị mối quan hệ về tỷ). 
	Sơ đồ trên gợi cho ta cách tìm số bạn gái bằng cách
lấy 12 chia cho 3 + 1 = 4 (vì số bạn gái ứng với 1/4 tổng số bạn). 
	Cũng dựa vào sơ đồ ta dễ dàng tìm được số bạn trai 
Bài giải
Tổng số phần bằng nhau là
1 + 3 = 4 (phần)
Số bạn gái trong đội tuyển là
12 : 4 = 3 (bạn)
Số bạn trai trong đội tuyển là
3 x 3 = 9 (bạn)
Hoặc 12 – 3 = 9 (bạn)
	Đáp số: 	Trai: 9 bạn, Gái: 3 bạn 
Từ bài toán cơ bản trên ta xây dụng quy tắc giải bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của 2 số đó. 
 Bước 1: Vẽ sơ đồ 
Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau 
Bước 3: Tìm giá trị một phần
	 Giá trị một phần = Tổng : Tổng số phần bằng nhau 
Bước 4: Tìm số bé 
	 Số bé = giá trị 1 phần x số phần của số bé 
Bước 5: Tìm số lớn 
	 Số lớn = giá trị 1 phần x số phần của số lớn 
	 Hoặc = tổng – số bé 
 Nắm được quy tắc giải học sinh sẽ biết áp dụng để giải nhiều bài toán cùng dạng, học sinh giỏi sẽ biết áp dụng quy tắc để giải các bài toán khó dạng này (đó là các bài toán cùng dạng như tổng, tỷ được thể hiện dưới dạng ẩn). 
Ví dụ 1: Lúc đầu nhà máy số công nhân nữ bằng số công nhân nam. Sau đó 8 công nhân nam nghỉ việc nhà máy nhận thêm 15 công nhân nữ thì lúc này nhà máy có tổng số công nhân là 167 người. Hỏi lúc đầu nhà máy có bao nhiêu công nhân nam, công nhân nữ?
Phân tích: Muốn tính được số công nhân nam, công nhân nữ thì cần phải tính số công nhân ở nhà máy lúc đầu, từ đó ta có lời giải:
 Bài giải
Tổng số công nhân lúc đầu trong nhà máy là:
	167 + 8 - 15 = 160 (công nhân)
Vẽ sơ đồ biểu thị số công nhân nam, nữ lúc đầu:
 ?
160 Công nhân
Số CN nữ:
Số CN nam:
 ?
 Nhìn vào sơ đồ ta thấy 160 công nhân ứng với số phần là:
	2 + 3 = 5 (phần)
	Số công nhân nữ là: 	
	160 : 5 x 2 = 64 (công nhân)
	Số công nhân nam là: 	
	160 - 64 = 96 (công nhân)
 Đáp số: 64 công nhân nữ
	 96 công nhân nam
 Ví dụ 2: 
	Hai đội xanh và đỏ có tất cả 45 quả bóng. Tính xem mỗi đội có bao nhiêu quả bóng. Biết 3 lần số bóng đội xanh bằng 2 lần số bóng đội đỏ. 
	Bước 1: Ta vẽ sơ đồ biểu thị 3 lần số bóng đội xanh = 2 lần số bóng đội đỏ. 
	2 lần đội đỏ: 
	 45 quả bóng
 3 lần đội xanh: 
 Nhìn vào sơ đồ ta thấy nếu chia số bóng của đội xanh thành 2 phần và chia số bóng của đội đỏ thành 3 phần thì các phần sẽ bằng nhau. Với tỷ số bóng 2 đội là 2/3. Ta có sơ đồ biểu thị số bóng của 2 đội. 
 ?
Đội xanh: 
	?	45 quả bóng
Đội đỏ: 
Bài giải
Tổng số phần bằng nhau là
2 + 3 = 5 (phần)
Số bóng ứng với một phần là
45 : 5 = 9 (quả)
Số bóng đội xanh là
9 x 2 = 18 (quả)
Số bóng đội đỏ là
9 x 3 = 27 (quả)
 Đáp số: 	Đội xanh: 18 quả 
	Đội đỏ: 27 quả 
Ví dụ 3: Tổng số tuổi của 2 anh em hiện nay là 25 tuổi. Trước đây khi anh bằng tuổi em hiện nay thì tuổi anh gấp hai lần tuổi em. Tính tuổi của mỗi người hiện nay? 
Đây thực sự là bài toán về tìm 2 số khi biêt tổng và tỷ số nhưng không ở dạng cơ bản mà đã được nâng cao lên bằng cách diễn đạt tỷ số dưới dạng ẩn. Vì vậy khi nhận được đề bài này học sinh rất lúng túng khi xác định được cách giải đúng. Sau khi gợi ý, phân tích và hướng dẫn từng bước sơ đồ hoá nội dung bài toán các em nhận ra ngay dạng toán quen thuộc tìm hai số khi biết tổng bà tỷ số. 
 + Trước hết yêu cầu học sinh vẽ sơ đồ biểu thị số tuổi của 2 anh em trước đây. 
Tuổi em trước đây: 
Tuổi anh trước đây: 
Nhận xét: Hiệu số tuổi của hai anh em là 1 “phần”. Hiệu số phần bằng nhau giữa tuổi anh và tuổi em không thay đổi theo thời gian (vì sau cùng một số năm thì 2 anh em cùng tăng một số tuổi như nhau). Như vậy tuổi anh hiện nay bằng 3 lần tuổi em trước đây. 
Ta có sơ đồ: ?
25 tuổi
Tuổi em hiện nay: 
 ?
Tuổi anh hiện nay: 
Dùng phương pháp giải bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của 2 số đó học sinh đễ dàng tìm ra đáp số bài toán. 
	Kết luận: Qua các ví dụ trên ta có thể thấy sơ đồ đoạn thẳng không chỉ đơn thuần dùng để tóm tắt bài toán mà còn là một công cụ giúp cho việc suy luận tìm ra cách giải toán. Sử dụng sơ đồ ta có thể làm cho các bài toán khó, phức tạp trở thành các bài toán đơn giản theo dạng cơ bản nên có thể dễ dàng giải được. 
DẠNG 4: TÌM HAI SỐ KHI BIẾT HIỆU VÀ TỶ CỦA CHÚNG 
Bài toán: Tìm hai số tự nhiên biết hiệu của chúng là 27 và số này bằng 2/5 số kia. 
	Học sinh phân tích để vẽ sơ đồ vừa biểu thị mối quan hệ về hiệu, vừa biểu thị mối quan hệ về tỷ số: 
 ?
Số lớn: 
 ?
Số bé: 	27
Dựa vào sơ đồ tiến hành tương tự như khi dạy dạng toán “Tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số đó”. Học sinh tìm ra cách giải bài toán. 
 Tổng kết thành quy tắc giải dạng toán tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số của hai số đó. 
Bước 1: Vẽ sơ đồ tóm tắt bài toán
Bước 2: Tìm hiệu số phần bằng nhau 
Bước 3: Tìm giá trị một phần
	 Giá trị một phần = Hiệu : Hiệu số phần bằng nhau 
Bước 4: Tìm số bé 
	 Số bé = giá trị 1 phần x số phần của số bé 
Bước 5: Tìm số lớn 
	 Số lớn = giá trị 1 phần x số phần của số lớn 
	 Hoặc = Số bé + hiệu 
 Nắm vững quy tắc giải học sinh cũng sẽ biết áp dụng để giải các bài toán nâng cao. 
 Việc dùng sơ đồ đoạn thẳng một lần nữa lại thể hiện vai trò vô cùng quan trọng vì sơ đồ chính là chỗ dựa giúp học sinh dễ dàng trong việc suy luận tìm ra cách giải. 
Ta có thể lấy một số bài toán sau đây làm ví dụ. 
Ví dụ 1: Hiệu hai số là 7, nếu gấp số thứ nhất lên 5 lần và giữ nguyên số thứ 2 thì hiệu mới là 29. Tìm hai số đó? 
Hướng dẫn học sinh sơ đồ hoá nội dung bài toán như sau: 
Trước hết vẽ hai đoạn thẳng biểu thị hai số mà hiệu của chúng là 7 
Tiếp theo kéo dài đoạn thẳng biểu thị số thứ nhất để hiển thị số đó được gấp lên 5 lần. 
Yêu cầu học sinh xác định trên sơ đồ đoạn thẳng chỉ hiệu mới 
Sơ đồ bài toán 
Số thứ nhất: 
	 ?	7 
5 lần số thứ nhất: 
	 39
Số thứ hai: 
 ?
Với sơ đồ trên học sinh có thể thấy ngay 
Bốn lần số thứ nhất là: 
39 – 7 = 32 
Số thứ nhất là: 
32 : 4 = 8 
Số thứ hai là: 
8 – 7 = 1 
Vậy hai số đó là 8 và 1 
Ví dụ 2: Hiện nay cha gấp 4 lần tuổi con. Trước đây 6 năm tuổi cha gấp 13 lần tuổi con. Tính tuổi cha và tuổi con hiện nay? 
Đây là một bài toán khó, học sinh sẽ lúng túng vì cả hiệu và tỷ số đều dưới dạng ẩn. Nhưng sử dụng sơ đồ đoạn thẳng các em sẽ có số dựa vào suy luận và đưa ra bài toán về dạng điển hình. 
Sơ đồ bài toán: 
Trước đây 6 năm: 
Tuổi con: 
 	Tuổi cha: 
 12 lần tuổi con trước đây 6 năm
Hiện nay: 
	Tuổi con: 
 Tuổi cha: 
 12 lần tuổi con trước đây 6 năm 
Theo sơ đồ, hiệu số tuổi của cha và con bằng 12 lần tuổi con lúc đó. 
Còn hiệu số tuổi của cha và con hiện nay bằng 3 lần tuổi con hiện nay.
Vì hiện nay không thay đổi nên 3 lần tuổi con hiện nay bằng 12 lần tuổi con trước đây. 
Ta vẽ sơ đồ biểu thị tuổi con trước đây và tuổi con hiện nay: 
Tuổi con trước đây: 
	6 năm 
Tuổi hiện nay: 
 ?
Bài toán được đưa ra dạng cơ bản học sinh dễ dàng giải được: 
Giải
Từ sơ đồ suy ra tuổi con trước đây là:
6 : (4 – 1) = 2(tuổi)
Tuổi con hiện nay là:
2 + 6 = 8 (tuổi)
Tuổi cha hiện nay là:
4 x 8 = 32 (tuổi)
	Đáp số: 	Cha: 32 tuổi 
	Con: 8 tuổi 
DẠNG V: DẠNG CẤU TẠO THẬP PHÂN CỦA SỐ
 Bài toán: Tìm số có 3 chữ số biết rằng nếu viết thêm vào bên trái số đó chứ số 2 thì được số mỗi gấp 6 lần số phải tìm.
	Cách 1: Gọi số phải tìm là 	
	(a ¹ 0); a, b, c < 10)
	Số mới biết là 
	Theo bài ra ta có:
	 x 6 = 
	 x 6 = 2000 + (phân tích số)	
	 x 6 - = 2000 (tìm một số hạng của một tổng)
	 x (6 - 1) = 2000
	 x 5 = 2000 (một số nhân với một hiệu)
	 = 2000 : 5 (Thừa số)
	 = 400
Đáp số: 400
Cách 2: Vì số phải tìm có 3 chữ số nếu khi viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó thì được số mới hơn số đó là 20