Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng kỹ thuật liên hợp để giải một số phương trình vô tỉ

ng pháp để giải hết tất cả các bài toán về phương trình vô tỉ, 
nhưng với trách nhiệm của một người giáo viên trong một chừng mực nào đó tôi 
hy vọng đây là tài liệu giảng dạy bổ ích cho đồng nghiệp cũng như cho học sinh 
trong việc nhận dạng và giải thành thạo một số phương trình vô tỉ. 
5. CHUẨN BỊ VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 
Giáo viên đọc tài liệu sách giáo khoa thật kỹ, sách nghiệp vụ của giáo 
viên và sách tham khảo đọc thêm. Biên soạn đề cương theo hướng đổi mới 
phương pháp giảng dạy và kiểm tra 
Chú trọng phương pháp dạy trên cơ sở phương pháp khoa học 
+ Phương pháp tái hiện (phương pháp trí nhớ ) 
+ Phương pháp tư duy 
+ Phương pháp phân tích tổng hợp 
+ Phương pháp so sánh 
+ Phương pháp trừu tượng và khái quát hoá 
5 
Hướng dẫn học sinh phát huy khả năng quan sát. Quan sát trong toán học 
nhằm hai mục đích: một là thu nhận kiến thức mới, hai là vận dụng kiến thức để 
giải bài tập, hai là kết hợp với kiến thức khác để tạo ra kiến thức mới. 
 Nắm vững phương pháp nhớ khoa học. Trí nhớ là chỉ sự việc đã trải qua 
còn giữ lại được trong đầu và quá trình tâm lí tái hiện. Việc làm lại bài tập đã 
được hướng dẫn và giải các bài tương tự cũng là một quá trình tái hiện, là mục 
đích cuối cùng của trí nhớ. Điều này có ý nghĩa rất lớn với việc học và giải toán. 
6. Ý NGHĨA ĐỀ TÀI 
Cung cấp một kỹ thuật giải phƣơng trình vô tỉ thích hợp cho việc giải 
toán qua đó nhằm rèn luyện kỹ năng tư duy và sử dụng kiến thức linh hoạt, tạo 
hứng thú tìm tòi, khám phá và định hướng được cách giải một bài toán cho học 
sinh. 
Trang bị cho học sinh một kỹ thuật giải phƣơng trình vô tỉ mang lại 
hiệu quả rõ nét. 
Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó nâng 
cao khả năng tư duy, sáng tạo cho học sinh. 
Bản thân cũng như nhiều đồng nghiệp, học sinh có thể dùng đề tài này 
làm tài liệu để ôn luyện cho học sinh khối THPT trong các kỳ thi cuối kỳ, thi 
học sinh giỏi, thi Đại học – Cao đẳng. 
7. CƠ SỞ VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU 
Dựa trên thực tế giảng dạy học sinh trường THPT, trên cơ sở tích luỹ 
trong quá trình soạn giảng và những bức xúc khi học sinh giải các bài toán về 
phương trình vô tỉ, bản thân tôi luôn tìm tòi cách dạy hiệu quả nhất cho đối 
tượng, cộng tác cùng đồng nghiệp, tham khảo ý kiến sửa chữa kịp thời. Thật 
vậy, từ khi biên soạn cho đến nay đã được gần 3 năm, tôi và đồng nghiệp nhận 
thấy đa số học sinh sau khi học cách áp dụng phương pháp này thì khả năng 
nhận dạng phương trình vô tỉ của các em có tiến bộ rõ rệt. 
Trong quá trình biên soạn tôi đã nhận được sự giúp đỡ của các đồng 
nghiệp trong tổ Toán, tập thể giáo viên của trường THPT số 3 An Nhơn, tỉnh 
6 
Bình Định. Tôi xin chân thành cảm ơn và rất mong quý thầy cô và bạn bè đồng 
nghiệp góp ý kiến cho đề tài này để tôi tiếp tục hoàn chỉnh nó trong quá trình 
giảng dạy của mình, cũng như làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh.
 Giáo viên thực hiện 
Nguyễn Công Nhàn 
7 
PHẦN 2. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI 
I. TÓM TẮT CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Các tính chất về phép biến đổi tƣơng đƣơng đổi với phƣơng trình 
Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập 
nghiệm. 
Một số phép biến đổi tương đương: 
 Cộng, trừ hai vế của phương trình với cùng biểu thức mà không làm thay 
đổi tập xác định của phương trình. 
 Nhân, chia hai vế của phương trình với cùng biểu thức khác không mà 
không làm thay đổi điều kiện của phương trình. 
2. Phƣơng trình vô tỉ 
Định nghĩa: Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn ở dưới dấu căn. 
Các bƣớc giải phƣơng trình vô tỉ (dạng chung) 
 Tìm điều kiện của phương trình. 
 Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình đã học. 
 Giải phương trình vừa tìm được. 
 So sánh kết quả với điều kiện và kết luận. 
 3. Các kiến thức cơ bản về căn thức 
 
 
2 2
2 1 2 1
2 2
2 1 2 1
 a 0
0
, 0
,
n n
n n
n n
n n
a khi
a a
a khi a
a a
a b a b a b
a b a b a b
 
 

  
 

   
   
\ 
 Lũy thừa hai vế của phương trình 
 Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của phương trình. 
 Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của phương trình 
cùng không âm. 
2 1 2 1
2
2
 b 0
n n
n
n
a b a b
a b
a b
   
   
8 
2 1 2 1
2 2
0 ( b 0)
n n
n n
a b a b
a hay
a b
a b
   
    
4. Một số phƣơng pháp khác đƣợc dùng để giải bài toán phƣơng trình vô tỉ 
4.1 Phương pháp biến đổi tương đương, kết hợp bình phương hai vế hai vế 
của một phương trình. 
4.2 Biến đổi về phương trình tích. 
4.3 Sử dụng kỷ thuật liên hợp. 
4.4 Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình hoặc hệ phương trình giải được. 
4.5 Phương pháp lượng giác hóa. 
4.6 Phương pháp tọa độ và vectơ. 
4.7 Phương pháp đánh giá hai vế, có kết hợp tính chất hàm số. 
5. Các kết quả sau sử dụng trong phƣơng pháp sử dụng kỷ thuật liên hợp 
Tính chất 1. Nếu x0 là nghiệm của phương trình f(x) = 0 
(1)
 thì phương trình 
(1)  (x – x0).g(x) = 0 
Tính chất 2. 
A B
A B
A B

 

Tính chất 3. 
A B
A B
A B

 

Tính chất 4. 3 3
2 23 33 3
A B
A B
A A B B

 
 
Tính chất 5. 3 3
2 23 33 3
A B
A B
A A B B

 
 
6. Cơ sở của phƣơng pháp: 
Khi gặp một phương trình vô tỉ có cấu trúc phức tạp: 
 Có sự xuất hiện của nhiều căn thức, 
 Có sự xuất hiện của nhiều căn thức khác bậc 
 Có sự xuất hiện của một đa thức bậc 2, bậc 3 
Đối với các phương trình loại đó, ta khó thực hiện các thao tác 
 Biến đổi để đưa về nhân tử chung; 
9 
 Biến đổi bằng cách bình phương hai vế hai vế, vì như thế sẽ tạo nên 
phương trình bậc cao 
 Khó có thể đặt ẩn phụ, vì như thế không có mối quan hệ giữa các biểu 
thức 
 Không thể xét các hàm số ở vế trái và vế phải có tính biến thiên ngược 
nhau, từ đó không thể kết luận nghiệm duy nhất, mặc dù ta vẫn đoán được 
một nghiệm của phương trình 
 Vì vậy, đối với loại phương trình này, chúng ta không thể biến đổi đồng 
thời các biểu thức của phương trình, mà phải biến đổi từng căn thức để 
tạo ra nhân tử chung. Sau đó đưa phương trình về dạng tích 
(x – x0).g(x) = 0 
Trong đó g(x) = 0 là phương trình vô nghiệm. 
 Để chứng minh g(x) = 0 ta thường dùng phương pháp đánh giá hai vế, 
hoặc dùng phương pháp hàm số để chứng minh phương trình này vô 
nghiệm. 
10 
II. PHƢƠNG TRÌNH MỞ ĐẦU 
 2 2 2 23 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x          
Điều kiện: 
2
2
2
2
3 5 1 0
2 0
1 0
3 4 0
x x
x
x x
x x
           
Ta đi tìm cách giải cho phương trình này như sau: 
Cách 1: Biến đổi tương đương, cách này không có cơ sở để biến đổi, không thể 
bình phương hai vế vì khi bình phương hai vế bài toán sẽ dẫn đến phức 
tạp. 
Cách 2: Đưa về phương trình tích bình thường, ta không nhận thấy nhân tử 
chung hoặc biến đổi thế nào. 
Cách 3: Dùng ẩn phụ, nếu đặt ẩn phụ chúng ta phải đặt ít nhất hai ẩn phụ, nhưng 
cũng không nhận dạng được ẩn phụ hợp lí. 
Cách 4: Lượng giác hóa, chúng ta chưa nhận thấy dấu hiệu rõ ràng nào về cách 
đặt lượng giác. 
Cách 5: Phương pháp tọa độ và vectơ, để làm điều này ta phải đưa trong căn về 
tổng bình phương. Nhưng điều này không nhận ra. 
Cách 6: Dùng phương pháp hàm số và đánh giá hai vế, cách này phải biến đổi 
đưa về hàm số, chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến, điều này 
cũng không khả quan. 
Cuối cùng, ta có nhận xét về mối quan hệ của các biểu thức trong dấu căn 
nhƣ sau: 
11 
(3x
2
 – 5x + 1) – 3(x2 – x – 1) = - 2(x – 2) 
(x
2
 – 2) – (x2 – 3x + 4) = 3(x – 2) 
Với nhận xét như trên, giúp ta nghĩ đến nhân tử x – 2 và x = 2 là một nghiệm 
của phương trình đã cho. Chúng ta chuyển vế phương trình (1) đưa về 
 2 2 2 23 5 1 3 1 2 3 4x x x x x x x          
Sau đó dùng biểu thức liên hợp cho hai vế, ta được phương trình 
 
    
2 22 2
2 2 2 2
2( 2) 3( 2)
2 3 43 5 1 3 1
2 0
3 3 5 1 3 1 2 2 3 4 (*)
x x
x x xx x x x
x
x x x x x x x
  

       
  

 
         

Phương trình (*) vô nghiệm, nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 
2x 
Phương trình trên được giải như sau 
 
 
 
    
2 2 2 2
2 2 2 2
2 22 2
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4
3 5 1 3 1 2 3 4
2( 2) 3( 2)
2 3 43 5 1 3 1
2 0
3 3 5 1 3 1 2 2 3 4 (*)
x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x xx x x x
x
x x x x x x x
         
          
  
 
       
  

 
         

Qua ví dụ trên, chúng ta nhận thấy, mỗi phương trình có mỗi đặc điểm khác 
nhau. Khi đi tìm lời giải đòi hỏi chúng ta phải có nhiều giải pháp khác nhau để 
đánh giá và giải phương trình một cách hợp lí. Sau đây tôi xin giới thiệu Một số 
12 
phƣơng trình vô tỉ đƣợc giải bằng cách sử dụng kỹ thuật liên hợp. Mong 
rằng, tài liệu này sẽ là một cẩm nang giúp đỡ các em học sinh nhiều kinh 
nghiệm hơn trong việc giải phương trình vô tỉ, một bài toán được xem là khó và 
cũng hay xuất hiện trong các đề thi đại học, cũng như thi học sinh giỏi các cấp. 
Các dạng phƣơng trình thƣờng gặp trong kỷ thuật liên hợp 
1. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x k x   , trong đó f(x) – g(x) và h(x) – k(x) có 
nghiệm chung x0 
2. ( ) ( ) ( )f x g x h x  , trong đó ta nhẩm được nghiệm của phương trình là 
x0 
3. 3( ) ( ) ( )f x g x h x  , trong đó ta nhẩm được nghiệm của phương trình là 
x0 
4.  ( ) ( ) ( )f x a g x b h x    , trong đó f(x) – a2; g(x) – b2 và h(x) có 
nghiệm chung là x0 
13 
III. SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP KHI ĐOÁN ĐƢỢC 
NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH 
Khi đoán được nghiệm của phương trình, kỷ thuật nhân liên hợp được tiến hành 
như sau: 
Bước 1: Phân tích và nhẩm nghiệm để có được một nghiệm của phương trình x0 
Bước 2: Sau đó ta thế x0 vào trong các biểu thức của phương trình để tìm cách 
thêm bớt vào biểu thức. Ví dụ ( )f x , khi có nghiệm là 2 thì ta xác định 
được (2)f , ta thêm bớt để tạo ra ( ) (2)f x f 
Bước 3: Nhân biểu thức liên hợp của các biểu thức, ví dụ 
 2 ( )( ) (2)
( ) (2)
( ) (2) ( ) (2)
x g xf x f
f x f
f x f f x f

  
 
Ví dụ 1. 
2 33 1 2x x x    
Nhận xét 
 Điều kiện cho phương trình: 
3 2 0x   
 Ta nhận thấy x = 3 là một nghiệm của phương trình 
 Lấy x – 3 làm chuẩn để biến đổi bài toán, 3 2x  cần số 5; 23 1x  cần 
số 2. Do đó phương trình đã cho tương đương 
   
    
2 33
3
2 32 23 3
1 2 3 2 5
3 3 27
3
2 51 2 1 4
x x x
x x x
x
xx x
      
  
   
    
14 
 
2
2 32 23 3
2
(2)
2 32 23 3
3 3 9
3 1 0
2 51 2 1 4
3
3 3 9
1 0
2 51 2 1 4
x x x
x
xx x
x
x x x
xx x
                
 

            
Vì 3 2x nên 
 
2
2 2 32 23 3 23
3 3 3 9
1 1 2
2 51 2 1 4 1 1 3
x x x x
xx x x
   
    
       
Do đó phương trình (2) vô nghiệm. 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3. 
Ví dụ 2. 22 4 2 5 1x x x x      
(Đề thi học sinh giỏi lớp 12, Bình Định, năm 2011 – 2012 ) 
 Điều kiện  2;4x 
 Nhiều học sinh khi gặp bài toán này, nghĩ ngay đến việc đặt ẩn phụ. Với 
cách đặt ẩn phụ, ta có hai cách nghĩ: 
 Đặt một ẩn t, khi đó vế phải không giải quyết được 
 Đặt hai ẩn u, v; khi đó vấn đề vẫn là vế phải không giải quyết được 
 Vậy ta phải sử dụng phương pháp nào đây? 
 Ta nhận thấy x = 3 là một nghiệm của phương trình đã cho, vậy x – 3 có 
tác dụng thế nào? 
Tới đây chúng ta lại nghĩ về hàm số để chứng minh x = 3 là nghiệm duy 
nhất của phương trình, điều đó làm được không? Vế trái có điểm cực trị x 
15 
= 3, hàm số đồng biến trên [3; 4] và nghịch biến trên [2; 3]. Nhưng vế 
phải đồng biến trên [2; 4], điều này không thể kết luận được gì. 
 Ta cố gắng phân tích các biểu thức của phương trình về tích có chứa thừa 
số x – 2; từ đó ta thêm, bớt số 1 vào để tạo các biểu thức như ý muốn, sau 
đó nhân liên hợp, ta được 
  
   
 
(2)
1 1
3 2 1 0
2 1 4 1
3
1 1
2 1 0
2 1 4 1
22 1 4 1 2 5 3
3 3
3 2 1
2 1 4 1
x x
x x
x
x
x x
x x x x
x x
x x
x x
           
 


    
    
       
     
   
Vì 2 4x  nên 
1 1 1 1
5 2 1
12 1 4 1 2 1
x
x x
     
     
Do đó phương trình (2) vô nghiệm. 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3. 
Ví dụ 3.     21 2 6 7 7 12x x x x x x        
Điều kiện: 2x 
Ta nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình đã cho 
Ta cố gắng xử lý các biểu thức chứa căn nên ta sẽ tạo ra 
2 2 2; 7 2 7x x      
Khi đó có phương trình 
16 
     
      
 
21 2 2 6 7 3 2 8
2 2
1 6 2 4 0
2 2 7 3
1 6
2 4 0
2 2 7 3
2
1 6
4 0
2 2 7 3
x x x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
x x
         
 
       
   
             
 

      
    
Với 2x thì 
1 6 1 6
4 4 0
2 32 2 7 3
x x x x
x x
x x
   
       
   
Nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2 
Bài tập tƣơng tự 
Bài 1. 
2 2 21 1 2x x x x x x        
Bài 2. 
2 2 22 3 2 1 3 3x x x x x x       
Bài 3. 
42 60
6
5 7x x
 
 
Bài 4. 
24 2 22 3 8x x x     
17 
IV. SỬ DỤNG KỶ THUẬT LIÊN HỢP KHI KHÓ ĐOÁN ĐƢỢC 
NGHIỆM PHƢƠNG TRÌNH MỘT CÁCH NHANH CHÓNG 
 Trong quá trình giải, chúng ta thấy một phương trình không có dấu hiệu 
đặc biệt, cũng như sử dụng các phương pháp khác để giải phương trình này. Khi 
đó ta tìm cách thêm bớt hai vế của phương trình cho một đâ thức bậc 1 
mx + n 
Vậy làm thế nào để xác định được lượng thêm bớt cần thiết (mx + n) 
Ta làm như sau: 
Bước 1: Đưa phương trình về dạng ( ) ( )f x g x , trong đó f(x) là đa thức 
hoặc là phân thức, g(x) là đa thức 
Bước 2: Thêm, bớt vào hai vế của phương trình đa thức mx + n, ta được 
   ( ) ( )f x mx n g x mx n     
Bước 3: Chúng ta quy đồng mẫu vế trái và nhân liên hợp cho vế phải của 
phương trình 
Bước 4: Cho tử của hai vế bằng nhau để được cặp số (m, n). 
Khi đó ta xác định được biểu thức cần thêm bớt, sử dụng lượng liên hợp để giải 
Ví dụ 1.  2 21 2 2 2x x x x x      
Nhận xét: 
 x + 2 tham gia vào phương trình để làm gì? 
18 
 Vì x = -2 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho 
x + 2 ta được phương trình tương đương với 
2
21 2 2
2
x x
x x
x
 
  
 (*) 
 Làm thế nào để phương trình (*) xuất hiện biểu thức chung cho hai vế? 
Giả sử ta cần thêm vào hai vế của (*) một biểu thức dạng mx + n, khi đó 
     
         
 
2
2
2 2 22
2
1
* 2 2
2
1 2 2 21 1 2 1 2
2 2 2
x x
mx n x x mx n
x
m x mn x nm x m n x n
x x x mx n
 
       

           
 
    
Ta chọn (m; n) sao cho 
2 21 2 2 2
0; 3
1 1 2 1 2
m mn n
m n
m m n n
   
    
     
Khi đó 
2
2
2
2
2 2
2
2
2
1
2 2
2
1
3 2 2 3
2
2 7 2 7
2 2 2 3
2 7 0
2 2 2 3 (3)
x x
x x
x
x x
x x
x
x x x x
x x x
x x
x x x
 
  

 
     

   
 
   
    
    
Phương trình (3) vô nghiệm nên phương trình (1) tương đương phương trình (3) 
và có tập nghiệm  1 7;1 7S    
19 
Ví dụ 2. 
3 23 1 8 3x x x    (1) 
Nhận xét: Trong phương trình trên, ta nhận thấy chỉ có một căn bậc hai, có thể 
bình phương hai vế để làm mất căn. Nhưng khi thực hiện thao tác bình phương 
hai vế, thì ta sẽ tạo ra phương trình bậc 6, dẫn đến khó khăn khi giải phương 
trình này. 
Điều kiện: 
28 3 0x  
Bằng cách làm như trên, ta biến đổi phương trình tương đương với phương trình 
   
 
    
 
 
 
3 2
3 2
2
2
2
2
2
2
3 1 2 8 3 2
2 1 8 3 2
4 1
1 1
8 3 2
1 0
4 1
1 0 (2)
8 3 2
x x x x x
x x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x
x x
       
      
  
    
  
   
   
  
   
Xét hàm số  2
8 8
( ) 8 3 2 ; ;
3 3
f x x x x
 
       
 
Ta chứng minh 
6 4 6
0 ( )
3
f x

  nên 1 8 11 1 0
( ) 3 6 4 6
3
x
f x
     

Do đó phương trình (2) vô nghiệm. 
Phương trình   21 1 0x x    
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 
1 5 1 5
;
2 2
S
        
20 
IV. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 1 
2
2
1 2
1
x x x
x x
 


Bài 2 
22 4 2 5 1x x x x      
Bài 3 
2 2 21 1 2x x x x x x        
Bài 4 
2 2 22 3 2 1 3 3x x x x x x       
Bài 5 
42 60
6
5 7x x
 
 
Bài 6 
2
3 7 27 8
6
x
x x

   
21 
PHẦN 3. KẾT LUẬN 
1. Một số kết luận thực tiễn và kết quả đạt đƣợc 
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ đã được tôi áp dụng ở nhiều 
năm học, ở nhiều lớp và như vậy là trên nhiều học sinh. Trong quá trình giảng 
dạy tôi đã sử dụng hình thức như sau tiến hành hướng dẫn học sinh giải một số 
phương trình vô tỉ và trước hết tôi để các em tự tìm hướng giải, sau đó hướng 
dẫn học sinh kỹ thuật liên hợp để giải phƣơng trình vô tỉ. Tôi nhận được sự 
ủng hộ của các em rất lớn khi ứng dụng “kỹ thuật liên hợp để giải phƣơng 
trình vô tỉ ’’ sau mỗi lần làm xong bài toán tôi đã làm một cuộc điều tra và rút 
kinh nghiệm cho bản thân 
Trong những năm học vừa qua tiến hành khảo sát thực tế về hiệu quả của 
việc nghiên cứu đề tài như sau: 
- Các lớp khảo sát: Lớp10 năm học ( 2009 – 2010, 2012 – 2013) và lớp 12 
(2012 – 2012) 
- Cách tiến hành: 
 - Kiểm tra ban đầu 
 - Tiến hành định hướng cho từng đối tượng học sinh 
 - Kiểm tra tính hiệu quả của đề tài thông qua các bài kiểm tra 
- Kết quả cụ thể : 
Năm 
học 
Số 
học 
sinh 
Khảo sát khi chƣa sử dụng đề tài Kết quả sau khi sử dụng đề tài 
Yếu, 
kém 
TB Khá Giỏi Yếu,kém TB Khá Giỏi 
2009 
– 
2010 
104 
K10 
8 
7.69% 
56 
53.84
% 
40 
38.46% 
0 
0% 
2 
1.92% 
35 
33.65% 
55 
52.88
% 
12 
11.54% 
2012 
– 
2013 
108 
K12 
14 
12.96
% 
72 
66.67
% 
22 
20.37% 
0 
0% 
4 
3.7% 
23 
21.3% 
60 
55.56
% 
21 
19.44% 
2012 
– 
2013 
97 
K10 
18 
18.56
% 
37 
38.14
% 
41 
42.27% 
1 
1.03% 
3 
3.09% 
25 
25.78% 
41 
42.27
% 
28 
28.87% 
Qua thực tế giảng dạy và thông qua việc hướng dẫn học sinh một số 
phương pháp giải phương trình vô tỉ, tôi nhận thấy đa số học sinh đã chủ động 
hơn, tự tin hơn khi tiếp xúc với bài toán giải phương trình vô tỉ. Thật vậy, trong 
các tiết ôn tập cuối năm 12 chuẩn bị cho thi tốt nghiệp và dự tuyển sinh vào các 
trường Đại học và Cao đẳng hàng năm của học sinh lớp 12. Qua khảo sát, nhìn 
chung các em biết vận dụng khá linh hoạt, biết nhận biết vấn đề và xác định 
được phương pháp hay ,ngắn gọn để ứng dụng giải phương trình vô tỉ 
Chúng ta đã biết rằng không có một “chìa khoá ” vạn năng nào có thể mở được 
tất cả các kho tàng tri thức của nhân loại. Cũng vậy một số phương pháp giải 
phương trình vô tỉ có thể chưa giải được tất cả các bài toán phương trình trong 
chương trình phổ thông, có rất nhiều bài toán giải bằng phương pháp đại số 
thông thường hoặc giải bằng phương khác hiệu quả và thuận lợi hơn nhưng nếu 
giáo viên hướng dẫn học sinh biết vận dụng tốt, có hiệu quả từng phương pháp. 
22 
Thiết nghĩ một số phương pháp giải phương trình vô tỉ sẽ giải được một lớp các 
bài toán giải phương trình, một cách trọn vẹn, rõ ràng, chặt chẽ, dễ hiểu mà các 
phương pháp khác chưa chắc đã có được. Từ những suy nghĩ thực tế giảng dạy 
thu được kết quả khả quan tôi đã mạnh dạn viết nên đề tài này . 
2. Lợi ích và khả năngvận dụng 
Đề tài này khả năng áp dụng dễ và áp dụng tốt cho mọi học sinh khối 
THPT từ lớp 10 đến lớp 12 trong quá trình giải một số phương trình vô tỉ . Đồng 
thời trang bị cho học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. Bản thân 
cũng như nhiều đồng nghiệp, học sinh có thể dùng đề tài này làm tài liệu để ôn 
luyện cho học sinh trong các kỳ thi TSĐH, thi học sinh giỏi các cấp. 
3. Hiệu quả 
Học sinh dễ hiểu bài, tạo cho học sinh hứng thú, say mê trong học tập, rèn 
luyên được tính sáng tạo cho học sinh, nâng cao kỷ thuật tính toán, nhận