Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toán

PHẦN I. MỞ ĐẦU
lý do chọn đề tài.
 Trong các kỳ thi HSG toán 9, thi tuyển sinh vào lớp 10, vào các trường chuyên, lớp chọn ta thường gặp các dạng toán mà học sinh có thể vận dụng „Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai” để giải quyết một cách nhanh chóng, tránh gặp các sai sót một cách đáng tiếc có thể xẩy ra.
 Vì lẻ đó, là một giáo viên được giao nhiệm vụ bồi dưỡng và giảng dạy môn Toán 9, lớp mà các em sắp bước vào nhiều kì thi quan trọng – tôi đã học hỏi và tích lũy được nhiều điều và phân dạng để xây dựng phương pháp giải cho từng dạng. 
 Với những lý do trên đây, trong sáng kiến này tôi đưa ra "Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toán”. 
	II. Phạm vi nghiên cứu.
	1. Phạm vi của đề tài.
	Môn Đại sổ 9
	2. Đối tượng
Học sinh lớp chọn 9D trường THCS Cẩm Nhượng năm học 2015 – 2016.
	3. Mục đích:
	a) Kiến thức:
 1. Tìm cực trị của một biểu thức.
 2. Giải phương trình nghiệm nguyên.
 3. Chứng minh bất đẳng thức.
	b) Kỹ năng:
 Học sinh có kỹ năng vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai 
 để tìm GTNN, GTLN của một biểu thức, giải phương trình nghiệm nguyên, 
 chứng minh bất đẳng thức.
PHẦN II. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
A. NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận của đề tài:
* Phương trình 
Người ta ký hiệu: .
Nếu thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
Nếu thì phương trình có nghiệm kép:
Nếu thì phương trình vô nghiệm
* Phương trình , đặt b=2b’
Thì: 
Ký hiệu: , ta có: 
- Nếu thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
- Nếu thì phương trình có nghiệm kép: 
- Nếu thì phương trình vô nghiệm
Vậy: Đối với phương trình 
 có nghiệm khi và chỉ khi hoặc 
II. Nội dung và phương pháp nghiên cứu.
Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đưa ra một số bài tập sau:
Dạng 1: Tìm cực trị của một biểu thức
 I. Biểu thức có dạng là phân thức : 
Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a, 	b, 
Giải: 
a) 
Ta có x2+10 với , nên 
A(x2+1)=4x+3
Ax2 + A = 4x+3
Ax2 - 4x +A – 3 = 0 (2)
- Nếu A=0 thì phương trình (2) - 4x – 3 = 0
x=
A=0 x= (*)
- Nếu A0, thì phương trình bậc hai ẩn x: Ax2 - 4x +A – 3 = 0 (2)
Có nghiệm khi và chỉ khi: 
(-2)2-A(A-3)0
4-A2+3A0
(4-A)(A+1) 0
*Max A=4, Thay vào (2) ta có: 4x2 – 4x + 1 = 0 
*Min A=1, Thay vào (2) ta có: –x2 - 4x – 4=0 x= - 2
Đối chiếu với (*) ta có: Max A=4 
	 Min A= -1 x= - 2
b, 
Ta có: x2 +2x+5=(x+1)2+4
Nên B(x2 + 2x + 5) = 2x2 - 2x + 9
	(B-2)x2+2(B+1)x+5B-9 = 0 (3)
Nếu B=2 thì phương trình (3)6x+1=0
	 x
Nếu B2 thì phương trình bậc hai ẩn x: (B-2)x2+2(B+1)x+5B-9 = 0
có nghiệm khi và chỉ khi: 
(B+1)2-(B-2)(5B-9)
B2+2B+1-5B2+9B+10B-18 
-4B2+21B-17
4B2-21B+17
(B-1)(4B-17)
Vậy: Max B=
	Min B=1x=2
Bài toán 2: Tìm a,b để biểu thức ; (4) đạt giá trị nhỏ nhất bằng , đạt giá trị lớn nhất bằng 1.
Giải: 
Ta có: , với ;
Nên (4) M(x2+2) = ax+b
Mx2-ax+2M-b=0 (*)
Nếu M=0 thì (*)ax+b=0
Nếu thì phương trình (*) ẩn x có nghiệm 
 (-a)2- 4M(2M-b)
a2-8M2+4bM
Để M đạt giá trị nhỏ nhất bằng , đạt giá trị lớn nhất bằng 1, thì , 1 là nghiệm của phương trình bậc hai: -8M2+4bM+a2=0 (ẩn M)
Vì phương trình: -8M2+4bM+a2=0 (ẩn M) có hệ số a,c trái dấu nên luôn có nghiệm, theo hệ thức viet ta có:
Vậy: Để biểu thức ; (4) đạt giá trị nhỏ nhất bằng , đạt giá trị lớn nhất bằng 1 thì: hoặc 
Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 với ;
Xét y=0A=1(*)
Xét ta có 
Đặt , ta có: , ta có: t2+1
Nên : At2+A=t2+t+1
(A-1)t2-t+A-1=0
Nếu A=1 thì t=0 (**)
Nếu A1, thì phương trình bậc hai: (A-1)t2-t+A-1=0 (ẩn t) có nghiệm:
1-4(A-1)(A-1) 
4A2-8A+3
(2A-1)(2A-3) 
 (***)
Từ (*),(**) và (***) ta có: Max A= x=y
MinA=x=-y
Bài tập tự luyện.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 a) b) c) 
II. Biểu thức là một đa thức hai biến : 
Bài toán 1. ( §Ò thi TS líp 10- TØnh Hµ tÜnh- n¨m häc 2010 - 2011)
T×m x ®Ó y lín nhÊt thâa m·n: x2 + 2y2 + 2xy - 8x - 6y +13 = 0 (1)
Giải
(1) x2 + 2(y – 4).x + 2y2 - 6y +13 = 0
 =( y – 4)2 - 2y2 + 6y -13
 =- y2 -2 y +3
 Phương trình bậc hai ẩn x, có nghiệm 
 -y2 - 2y +3
 y2 + 2y -30
 ( y – 1)(y + 3) 0
Vậy Max(y) = 1x = -3
Bài toán 2.( §Ò thi TS líp 10- §HQG Hµ néi - n¨m häc 04 - 05)
T×m c¨p sè ( x; y) sao cho y nhá nhÊt tháa m·n: x2 + 5y2 +2y - 4xy -3 = 0(2)
Giải
 (2) x2 - 4xy+ 5y2 +2y -3 = 0
Phương trình bậc hai ẩn x, có nghiệm 
 4y2 - 5y2 -2y +3 
 -y2 -2y +3 
 ( y – 1)(y + 3) 0
 -3y 1
 Vậy: ( x; y) = ( 6; -3)
Bài toán 3: (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10- Hà Tĩnh năm học 2010-2011)
Tìm x để y lớn nhất thỏa mãn: x2+2y2+2xy-8x-6y+13=0 (3)
Giải: 
 x2+2y2+2xy-8x-6y+13=0
x2+2(y-4)x+2y2-6y+13=0; (Phương trình bậc hai ẩn x), có nghiệm:
(y-4)2-(2y2-6y+13)
y2-8y+16-2y2+6y-13
-y2-2y+3
 y2+2y-3(y-1)(y+3) 
Nên y có giá trị lớn nhất là 1, thay y=1 vào phương trình (5) ta có:
x2+2+2x-8x-6+13=0 x2-6x+9=0
	(x-3)2=0
	x-3=0
	x=3
Vậy x=3 thì y đạt giá trị lớn nhất bằng 1
Bài toán 4: (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10- ĐHQG Hà Nội- Năm học 2004-2005):
Tìm cặp số (x;y) sao cho y nhỏ nhất thỏa mãn:
x2+5y2+2y-4xy-3=0; (4)
Giải: 
 Ta có: x2+5y2+2y-4xy-3=0
 x2-4yx +5y2+2y-3=0 (Phương trình bậc hai ẩn x) có nghiệm: 
(-2y)2-(5y2+2y-3) 
4y2-5y2-2y+3
-y2-2y+3
 y2+2y-3(y-1)(y+3) 
Nên y có giá trị nhỏ nhất bằng -3, thay y=-3 vào phương trình (4) ta có:
x2+5(-3)2+2(-3)-4x(-3)-3=0
x2+12x+36=0
(x+6)2=0
x=-6
Vậy: (x;y)=(-6;-3)
Bài toán 5: Tìm m để phương trình ẩn x sau
x4+2x2+2mx+m2+2m+1=0 (5) có nghiệm là lớn nhất, nhỏ nhất:
Giả sử x0 là nghiệm của phương trình đã cho, phương trình ẩn m sau có nghiệm:
m2+2(x0+1)m++2+1=0 khi 
	(x0+1)2 - (+2+1)
	 (x0+1)2 - (+1)2 
	( x0+1++1) ( x0+1--1) 
	( +x0+2) ( x0-) 
Vì +x0+2= (x0+)2+>0
Nên ( +x0+2) ( x0-) khi: ( x0-) 
	x0(1- x0) 
Dấu “=” xảy ra khi x0=0; x0=1 thay vào (5) ta có: 
Khi x0=0 thì m2+2m+1=0m= -1
Khi x0=1 thì : m2+4m+4 = 0 m= - 2
Vậy: Để phương trình ẩn x: x4+2x2+2mx+m2+2m+1=0 có nghiệm là lớn nhất x0=1 thì m= - 2, có nghiệm nhỏ nhất x0=0 thì m= -1. 
Bài toán 6: Tìm cặp số (x;y) thỏa mãn: ; (6) sao cho x đạt giá trị lớn nhất.
Giải: 
Nếu x=1 thì y=0.
Nếu x>1, Xem phương trình (6) là phương trình bậc 2 ẩn y
Phương trình (6) có nghiệm: 
1- 4(x-1) (vì x>1)
1-4x+4
Suy ra x có giá trị lớn nhất là .
Thay vào (6) ta có:
Vậy: Cặp số (x;y) thỏa mãn:
; Sao cho x đạt giá trị lớn nhất là (x;y)=.
Bài toán 7: Cho các số thực thõa mãn: 9x2+y2=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 M=.
Giải
Đặt: A=x-y, Suy ra: y=x-A
9x2+y2=1
9x2+(x-A)2-1=0
10x2-2Ax+A2-1=0 ( phương trình bậc 2 ẩn x) có nghiệm:
A2-10(A2-1) 
-9A2+10
Hay: M=.
Hay giá trị lớn nhất của M là 
Bài toán 8: (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10- Năm học 2008-2009- Hà Tĩnh)
Cho các số x,y thỏa mãn: x2+2y2+2xy+8(x+y)+7=0 ; (8)
Tìm Min, Max của S=x+y
Giải:
Từ: S=x+y, Suy ra : y=S-x, thay vào (8) ta có:
x2+2(S-x)2+2x(S-x)+8(x+S-x)+7=0 
 x2+2(S2-2Sx+x2)+2xS-2x2+8S+7=0 
 x2+2S2-4Sx+2x2+2xS-2x2+8S+7=0 
 x2-2Sx +2S2+8S+7=0 ( Phương trình bậc hai ẩn x), có nghiệm 
(-S)2-(2S2+8S+7) 
	S2-2S2-8S-7
	S2+8S+70
	(S+1)(S+7)0
Hay: .
Vậy: Max S=-1 
 Min S=-7 
Bµi tËp tù luyÖn:
1) T×m Max P = -x2 – y2 + xy + 2x + 2y + 5
2) T×m min P = 2x2 + 4y2 + 4xy + 2x + 4y + 9 
3) T×m cÆp sè (x;y) sao cho y nhá nhÊt tháa m·n: x2 + 5y2 – 4xy + 2y – 3 = 0
4) Cho c¸c sè thùc (x;y) tháa m·n: x2 + 2y2 + 2xy + 6x + 8y + 4 = 0
T×m min, Max cña S = x + y +2010
5) Cho x + y + z =3. T×m Max D = xy + 2yz + 3xz
6) Cho c¸c sè thùc (x;y; z) tháa m·n: x + y +2z = 3.
T×m min P = 2x2 + 2y2 – z2
7) Cho x, y, z lµ c¸c sè kh«ng ©m tháa m·n: x+y+z = 1.
T×m Max P = ( x+2y+3z)(6x+3y+2z)
Dạng 2: Giải phương trình nghiệm nguyên:
Bài toán 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ®a thøc:
 5x2 + 5y2 + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0 (1)
Giải
(1) 5x2 + 2( 4y – 1)x + 5y2 + 2y + 2 = 0 ( pt bËc 2 Èn x)
 =16y2 – 8y +1- 25y2 -10y -10 
 = - 9y2 -18y - 9 = - 9( y + 1)2 
có nghiệm = 0 y =- 1. Từ đó suy ra x = 1.
 Thö l¹i ta cã (x;y) = ( 1;-1).
Bài toán 2 ( §Ò TS 10 Chuyªn tØnh Hµ tÜnh 07- 08)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2-xy+y2=2x-3y-2 
Giải: 
x2-xy+y2=2x-3y-2 
x2-(y+2)x+y2+3y+2=0 (Phương trình bậc hai ẩn x, y là tham số) có nghiệm: 
y2+4y+4-4y2-12y-8
-3y2-8y-4
3y2+8y+4
(y+2)(3y+2) 
Vì nên: :
- Với y=-2, thay y=-2 vào phương trình x2-xy+y2=2x-3y-2 ta được:
	x2+2x+4=2x+6-2
	 x2=0 x=0. ta có: (x;y)=(0;-2)
- Với y=-1, thay y=-1 vào phương trình x2-xy+y2=2x-3y-2 ta được:
	x2+x+1=2x+3-2
	x2-x=0
	x(x-1)=0
	x=0 hoặc x=1. ta có: (x;y)=(0 ;-1)
	(x;y)=(1;-1)
Vậy: Phương trình có 3 nghiệm nguyên là: (x;y)=(0;-2)
 (x;y)=(0 ;-1)
	 (x;y)=(1;-1)
Bài toán 3: T×m cÆp sè (x, y ) nguyªn tháa m·n: 3x2 + 4y2 + 6x +4 y - 5 = 0 (3)
Giải
(3) 3x2 + 6x + 4y2 +4 y - 5 = 0 
Phương trình bậc hai ẩn x, có nghiệm 
9 – 3(4y2 + 4y – 5) 
 -y2 - y + 2 
 ( y – 1)(y + 2) 0
 -2 y 1
Vì yZ, nên y = ( -2; -1; 0; 1)
Suy ra: (x; y) = (-1; 2), (-1; 1)
Bài tập :Tìm cÆp sè (x, y ) nguyªn tháa m·n:
1) x2 + y2 + xy - 2x - y = 0 
2) x2 + 2y2 - 2xy + 3x - 3y + 2 = 0 
3) x2 + 2y2 + 2xy - 3y - 4 = 0 
4) 2x2 + y2 - 2xy + y = 0 
Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức:
Bài toán 1: Cho x,y thỏa mãn điều kiện: x2+y2=xy+x-2y; (1) Chứng minh: 
.
Giải: x2+y2=xy+x-2yy2+(2-x)y+x2-x=0 (*)
Xét phương trình (*) là phương trình bậc hai ẩn y, ta có:
Phương trình (*) có nghiệm 
	 (2-x)2-4(x2-x) 
	 4-4x+x2-4x2+4x
 -3x2+4
	(ĐPCM)
Bài toán 2: Cho x,y,z thỏa mãn: x2+4y2+z2=4xy+5x-10y+2z-5; (2).
Chứng minh rằng: 
Giải:
 Ta có: x2+4y2+z2=4xy+5x-10y+2z-5 
 z2 -2z +x2-4xy+ 4y2-5x+10y+5=0 (*)
Xem phương trình (*) là phương trình bậc hai ẩn z, có nghiệm: 
	1-(x-2y)2+5x-10y-5 
	(x-2y)2-5(x-2y)+4 
	(x-2y-1)(x-2y-4) 
	Vậy: 
Bài toán 3. Cho đẳng thức: x2 - x + y2 - y = xy. ( 3)
Chứng minh rằng: (y - 1)2 , (x - 1)2 
Giải
 ( 3) x2 – ( y – 1)x + (y2 - y) = 0 (4)
 = (y + 1)2 - 4(y2 - y) = - 3y2 + 6y + 1
 Để phương trình (4) ẩn x có nghiệm, ta phải có , tức là
3y2 - 6y - 13y2 - 6y + 33(y - 1)2 (y - 1)2 
Vai trò x và y trong (3) bình đẳng. Do đó ta cũng có (x - 1)2 
Bài toán 4: Cho a,b là hai số thực thỏa mãn: a2+4b2=1; (4)
	Chứng minh rằng: .
Giải:
 Đặt a-b=x;a=b+x, thay vào (4) ta có:
(b+x)2+4b2=15b2+2xb+x2-1=0 (*) (Phương trình bậc hai ẩn b) có nghiệm
x2-5(x2-1) 
-4x2+5
x2
Hay: 
Bài toán 5: Cho a,b,c thỏa mãn: 
Chứng minh rằng: 
Giải: Ta có 
Khi đó b,c là hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn x sau:
x2-(4-a)x+5-4a+a2=0, có nghiệm
	(a-4)2-4(5-4a+a2) 
	a2-8a+16-20+16a-4a2
	-3a2+8a-4
	3a2-8a+4
	(a-2)(3a-2) 
Tương tự ta có: ; 
Vậy: 
Bài toán 6: ( Đề Thi HSG Toán 9 huyện Cẩm Xuyên năm học 2013- 2014)
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2x + (5)
Giải
ĐK: 
(5) P - 2x = 
 P2 – 4Px + 4x2 = -x2 -4x+ 1
 4Px + 5x2 – 4(P – 1)x + P2 – 1= 0
Phương trình bậc hai ẩn x, có nghiệm 
 -P2 – 8P + 9 
 25 –(P + 4)2 
 -9 P 1
 Vậy Max(P) = 1 x = 0
B. ỨNG DỤNG VÀO CÔNG TÁC GIẢNG DẠY
I. Quá trình áp dụng của bản thân:
 Bản thân tôi khi nghiên cứu xong sáng kiến này, tôi đã giảng dạy sáng kiến này cho hai đối tượng học sinh Khá, Giỏi, tùy từng đối tượng mà tôi chọn bài tập cho phù hợp thì thấy đa số các em tiếp thu nội dung trong sáng kiến một cách khá dễ dàng, các em rất hứng thú khi tự mình có thể lập ra các bài toán mới tương tự. 
II. Hiệu quả khi áp dụng đề tài
	Khi giảng dạy đề tài này cho học sinh lớp chọn 9D năm học 2015 – 2016 tôi đã cho các em làm bài kiểm tra và kết quả thu được như sau:
LỚP
SĨ SỐ
GIỎI
KHÁ
TB
SL
%
SL
%
SL
%
9D
32
12
%
13
%
7
%

III. Những bài học kinh nghiệm rút ra:
 Qua đề sáng kiến này tôi nhận thấy rằng muốn dạy cho học sinh hiểu và vận dụng một vấn đề nào đó trước hết người thầy phải hiểu vấn đề một cách sâu sắc, vì vậy người thầy phải luôn học hỏi, tìm tòi, đào sâu suy nghĩ từng bài toán, không ngừng nâng cao trình độ cho bản thân.
	IV. Những kiến nghị đề xuất
	Khi giảng dạy sáng kiến này cho học sinh, thầy cô cần nghiên cứu kỹ để vận dụng phù hợp với đối tượng học sinh của mình.
PHẦN III. KẾT LUẬN
Đề tài “ Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài toán” tuy là một vấn đề khó nhưng trong quá trình tìm hiểu tôi thấy đây là một đề tài rất hữu ích không những cho bồi dưỡng học sinh giỏi mà còn bồi dưỡng kiến thức cho giáo viên, đặc biệt là những em học sinh muốn thi tuyển vào các lớp chọn, lớp chuyên của trung học phổ thông, hy vọng qua đề tài này góp một phần nhỏ vào kho tàng kiến thức của quý thầy cô giáo và các em học sinh.
 	Trên đây là một số bài toán và suy nghĩ của tôi trong việc nâng cao chất lượng dạy học bộ môn Toán 9. Rất mong các bạn đồng nghiệp góp ý xây dựng để trong thực tế giảng dạy của mình đối với môn toán nói chung và môn đại số nói riêng ngày càng có chất lượng hơn.
	Mặc dù đã rất cố gắng nhưng với kiến thức còn hạn chế chắc chắn tôi chưa thể đưa ra vấn đề một cách trọn vẹn được, mong các thầy cô giáo đóng góp ý kiến xây dựng để sáng kiến này được hoàn thiện hơn.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
 Tháng 09 năm 2016
 	 Người thực hiện