Sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp chứng minh Ba điểm thẳng hàng

Sáng kiến kinh nghiệm:
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 
BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
I. Mục đích yêu cầu:
 Chứng minh thẳng hàng là một vấn đề hay trong chứng minh hình học. Giải các câu hỏi chứng minh thẳng hàng sẽ giúp học sinh nâng cao được tư duy suy luận ,rèn luyện khả năng phân tích , tổng hợp ,qua đó làm cho các em yêu thích ,hứng thú trong việc học toán nói chung và học hình học nói riêng.Đó là lí do tôi viết Sáng Kiến Kinh ngiệm để góp thêm một phần nhỏ vào công việc dạy toán ở trường THCS mong các đồng nghiệp tham khảo.
 Một số yêu cầu tôi tự dặt ra trong chuyên đề này là:
Đối tượng học sinh là các em học sinh lớp 7 không thuộc các lớp chuyên toán (theo đúng nghĩa)
Mức độ khó không đi quá sâu, vừa sức với học sinh (nhưng cũng không quá dễ)
II. Nội dung Sáng kiến Kinh Nghiệm:
Sáng Kiến kinh nghiệm tôi viết dưới dạng PHÂN LOẠI theo một số PHƯƠNG PHÁP dưới đây:
PHƯƠNG PHÁP 1:
Sử dụng Tính chất: 
NẾU AM + MB = AB THÌ A , M , B THẲNG HÀNG VÀ ĐIỂM M NẰM GIỮA A VÀ B
Bài toán 1:
Trong ba điểm A , B , C điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại nếu có : AB = 7cm , AC = 4cm , BC = 3cm
Giải
Ta có: AB = AC + CB (Vì 7cm =4cm + 3cm)
A , C ,B thẳng hàng và C nằm giữa A và B
Bài toán 2:
Tìm độ dài x sao cho ba điểm A,B,C thẳng hàng. Biết AB = 5cm , AC=3cm và BC=x (cm)
Giải
Ba điểm A, B, C thẳng hàng nên có một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại do đó ta xét ba trường hợp sau:
Trường hợp 1:
Điểm A nằm giữa hai điểm B và C , khi đó ta có:
BC = BA + AC
x= 5 +3
x =8cm
Trường hợp 2:
Điểm B nằm giữa hai điểm A và C , trường hợp này không xảy ra vì AB > AC ( 5cm >3cm )
Trường hợp 3:
Điểm C nằm giữa hai điểm A và B , khi đó ta có:
BA = BC + CA
5 = x + 3
x = 5 – 3
x= 2 cm
Vậy để ba điểm A,B,C thẳng hàng thì x = 8cm hay x= 2cm
Bài toán 3:
Ba điểm A, B, C có thẳng hàng không nếu có : 
 AB = 10cm , AC = 4cm và BC =5cm
Giải
Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng sẽ có một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại do đó ta xét ba trường hợp sau:
1/ AB > BC (Vì 10cm > 5cm) => A không thể nằm giữa B và C
2/ BC > AC (Vì 5cm > 4cm ) => B không thể nằm giữa A và C
3/ AB > AC + CB ( vì 10cm > 4cm +5cm) => C không thể nằm giữa A và B
Từ ba trường hợp trên ta kết luận A,B,C không thẳng hàng
Bài toán 4: ( Giải tương tự bài 1)
Biết AB=2cm ,BC=3cm ,CA=5cm , CD=4cm ,BD=7cm. Chứng tỏ 4 điểm A,B,C,D thẳng hàng
 Kết quả: Bốn điểm thẳng hàng theo thứ tự A,B,C,D 
PHƯƠNG PHÁP 2:
Sử dụng Tính chất: 
CÓ MỘT VÀ CHỈ MỘT ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT A VÀ B
Bài toán 5:
Em có nhận xét gì về 5 điểm A,B,C,D,E nếu biết các bộ ba điểm (A,B,C) ; (B,C,D) và (C,D,E) đều là ba điểm thẳng hàng
Giải
Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm A và B
A,B,C thẳng hàng => C∈d
B,C,D thẳng hàng => D∈ d
C,D,E thẳng hàng => E∈ d
Vậy 5 điểm A,B,C,D,E thẳng hàng vì cùng thuộc đường thẳng d
PHƯƠNG PHÁP 3:
Sử dụng Tính chất hai góc kề bù:
 => A,O,B thẳng hàng
Bài toán 6:
Cho ∆ABC ,trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE=AB, trên tia đối của tia AC lấy điểm F sao cho AF=AC.Gọi M,N lần lượt là hai điểm trên hai doạn thẳng BC và EF sao cho BM=EN
Chứng minh M,A,N thẳng hàng
N
F
E
Giải:	
A
∆ABC=∆AEF (c.g.c) (học sinh tự chứng minh) => góc E=góc B
C
M
B
∆ANE=∆AMB (c.g.c) (học sinh tự chứng minh)
Góc NAE=góc MAB
Ta có:
 góc MAB+góc MAE =1800 (kề bù)
 Góc NAE+góc MAE=1800
 Góc MAN=1800 là góc bẹt
 M,A,N thẳng hàng
Bài toán 7:
Cho ∆ABC .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB ,AC. Trong nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A, vẽ tia Cx // AB, trên Cx lấy điểm P sao cho CP=BM. Chứng minh ba điểm M,N,P thẳng hàng.
Giải:
AM=CP (cùng = BM)
x
A
∆AMN=∆CPN (c-g-c) (tự chứng minh)
N
M
P
⇒Góc ANM=góc CNP
C
B
Mà Góc ANM+ góc MNC=1800(kề bù)
⇒Góc CNP+góc MNC =1800
⇒góc MNP= 1800là góc bẹt
⇒ M,N,P thẳng hàng
Bài toán 8:
Cho ∆ABC cân tại A.Trên cạnh AB lấy D;Trên tia đối của tia CA lấy E sao cho BD=CE.Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm B,I,C thẳng hàng.
K
E
D
C
B
A
Giải:
Kẻ DK // AC (K∈ BC)
⇒ góc BKD=góc C (ĐồngVị)
Mà góc B=góc C (∆ABC cân)
⇒góc BKD=B
⇒∆BKD cân tại D
⇒BD=DK
I
Lại có BD=CE (gt)
⇒DK=CE
Xét ∆DKI và ∆ECI ta có:
DK=CE (cm trên)
Góc KDI=góc CEI (so le trong)
DI=EI (I là trung điểm của DE)
⇒∆DKI = ∆ECI (c.g.c.)
⇒góc DIK=góc EIC
Mà góc EIC +góc DIC=1800 (Kề bù)
⇒góc DIK +góc DIC=1800
⇒góc KIC= 1800 là góc bẹt
⇒ Ba điểm K,I,C thẳng hàng
⇒Ba điểm B,I,C thẳng hàng (vì K∈BC)
Bài toán 9:
Cho tam giác ABC vuông tại A,Kẻ AH⊥BC tại H.Kẻ HD⊥AB tại D . Kẻ HE⊥AC tại E. Trên tia đối của tia DH lấy K sao cho DK=DH. Trên tia đối của tia EH lấy I sao cho EI=EH. 
Chứng minh ba điểm K,A,I thẳng hàng
I
E
K
D
H
C
B
A
Giải:
△ADH=△ADK (c.g.c) (Tự chứng minh)
⇒góc HAD=góc DAK (1)
Chứng minh tương tự,ta có:
Góc HAE= góc EAI (2)
góc HAD +góc HAE=góc A=900 (3)
từ 1,2,3 suy ra:
góc IAK = góc HAD+ góc HAE+ góc EAI +góc DAK =900 +900 =1800
⇒ góc IAK là góc bẹt
⇒I,A,K thẳng hàng
Bài toán 10:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Trên tia đối của tia AB lấy D sao cho AD=AC, trên tia đối của tia AC lấy E sao cho AE=AB.Gọi I là trung điểm của ED.Chứng minh ba điểm H,A,I thẳng hàng
Giải:
Trên tia AI lấy K sao cho I là trung điểm của AK
∆EIK=∆DIA (c.g.c.), từ đó
K
⇒EK=AD và EK // AD (tự chứng minh)
Ta có : EK // AD
I
D
 EA⊥AD 
⇒EK⊥EA => ∆EAK vuông tại E
E
 △ABC=△EAK (c.g.c) (tự chứng minh)
A
 ⇒Góc ABC= góc EAK
 góc ABC= góc HAC(Cùng phụ góc C)
⇒góc EAK=góc HAC
C
H
B
 Mà HAC +EAH=1800 (kề bù)
 ⇒ EAK+ EAH=1800 
 ⇒Góc HAK=1800 là góc bẹt
⇒Ba điểm H,A,K thẳng hàng
⇒Ba điểm H,A,Ithẳng hàng (vì I∈AK)
PHƯƠNG PHÁP 4:Sử Dụng tiên đề Ơ-Clít 
Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó
Bài toán 11:
Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. TrênCác đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC. 
Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng. 
	D
BÀI GIẢI.
A
E
BMC và DMA có: 
M
N
MC = MA (do M là trung điểm AC)
C
B
 (hai góc đối đỉnh)
MB = MD (do M là trung điểm BD)
Vậy: BMC = DMA (c.g.c)
Suy ra: , hai góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD (1)
Chứng minh tương tự : BC // AE (2)
 Qua điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên 
theo Tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng. 
Bài toán 12
Cho góc nhọn xAy.Trên tia phân giác của góc xAy lấy điểm D tùy ý.Kẻ DC⊥Ay tại C, kẻ DB⊥Ax tại B .BC cắt AD tại H.Gọi M là trung điểm của BH ,từ M kẻ đường thẳng vuông góc với BH cắt BD tại I.Kẻ HK⊥AC tại K. Chứng minh ba điểm I,H,K thẳng hàng
x
B
 Giải: 
I
M
∆ABD=∆ACD (cạnh huyền,góc nhọn)
H
D
⇒BD=CD
A
⇒∆BDC cân tại D
K
C
⇒Góc DBC=góc DCB (1)
y
∆IBM=∆IHM (c.g.c)
 ⇒góc DBC=góc IHB (2)
Từ 1 và 2 suy ra góc IHB= góc DCB
Mà hai góc IHB và DCB ở vị trí đồng vị
⇒IH //CD 
Lại có HK // CD (cùng vuông góc AC)
⇒I,H,K thẳng hàng theo tiên đề Ơ-C lit
Bài toán 13:
Cho tam giác ABC cân tại A.Trên tia đối của tia BC,lấy E, Trên tia đối của tia CB,lấy F sao cho BE=CF.
a) Chứng minh tam giác AEF cân
A
b) Kẻ BH⊥AE tại E , CK⊥AF tại K .Tia HB cắt tia phân giác của góc EAF tại D. Chứng minh D,C,K thẳng hàng
Giải:
a) Tự chứng minh
I
H
K
b) △AEF cân tại A nên phân giác AD cũng là đường trung trực của EF,suy ra:
E
B
M
C
F
AD⊥EF tại trung điểm M của EF
Ta có: EM=FM (M là trung điểm)
D
 EB= FC (gt)
⇒BM=CM
∆BMD= ∆CMD (c.g.c)
⟹ Góc ADH= góc CDM
Kẻ MI⊥AF tại I,ta có:
Góc AMI +góc MAF=900 (△AIM vuông) (1)
Góc ADH +góc MAE=900 (△AHD vuông) (2)
Góc MAF= góc MAE (AD là phân giác) (3)
Từ 1,2,3 suy ra AMI=ADH
Mà ADH= CDM (cm trên)
Suy ra AMI= CDM
 mặt khác hai góc này ở vị trí đồng vị 
Suy ra CD //MI
Lại có CK // MI (cùng vuông góc AF)
Suy ra D,C,K thẳng hàng theo tiên đề Ơ-C lit
Bài toán 14:
Cho tam giác ABC .Từ A kẻ đường song song BC cắt đường song song với AB kẻ từ C tại D.
a) Chứng minh ∆ABC=∆CDA
b) Trên tia đối của tia AB lấy E sao cho BA=AE, Trên tia đối của tia CB lấy F sao cho BC=CF
Giải
a) Tự chứng minh
b) AE=CD (cùng =AB)
 ∆CDE=∆EAD (c.g.c)
 => góc EAD=góc CAD
 Hai góc EAD và CAD sole trong 
ED// AC 
 Chứng minh tương tự FD//AC
E,D,F thẳng hàng theo tiên đề Ơ-C lit
PHƯƠNG PHÁP 5:
Chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường đặc biệt 
ví dụ: đường trung trực của một đoạn thẳng , đường trung tuyến của một tam giác 
Bài toán 15:
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD và BE cắt nhau tại G .Từ D kẻ đường song song với AC, cắt AB tại F. 
Chứng minh ba điểm C,G,F thẳng hàng
I
A
Giải:
F
G
E
Kẻ tia Ax// BC ,cắt DF tại I
D
C
B
△ADC=△DAI (g.c.g.) 
=>AI=DC 
mà DC= BD (D là trung điểm)
 =>AI=BD
△AFI=△BFD (g.c.g.) 
=> AF=FB
=> F là trung điểm của AB
=> CF là đường trung tuyến của △ABC
G là trong tâm của tam giác ABC (vì G là giao điểm của hai trung tuyến AD và BE)
G∈CE hay C,G,E thẳng hàng
Bài toán 16:
Cho tam giác ABC cân tại A.Trên tia đối của tia BC,lấy E, Trên tia đối của tia CB,lấy F sao cho BE=CF.
a) Chứng minh tam giác AEF cân
b) Kẻ BH⊥AE tại E , CK⊥AF tại K .Tia HB cắt tia KC tại N.Gọi M là trung diệm của BC. Chứng minh ba điểm A,M,N thẳng hàng
A
Giải:
a) Tự chứng minh
H
K
b) △EHB=△FCK ( cạnh huyền,góc nhọn)
 => Góc HBE= góc KCF
BB
E
M
F
C
Mà: HBE = NBC (đối đỉnh)
 KCF= NCB (đối đỉnh)
N
Suy ra: NBC=NCB
△NBC cân tại N
Ta có: AB= AC (△ABC cân) (1)
 NB=NC (△NBC cân) (2)
 MB=MC (3)
Từ 1,2,3 suy ra Ba điểm A,N,M cùng thuộc đường trung trực của cạnh BC. Vậy ba điểm A,N,M thẳng hàng
Lời kết: Bài tập “ CHỨNG MINH THẲNG HÀNG” rất đa dạng và phong phú cả về số lượng và phương pháp giải. Trên đây tôi xin nêu năm cách giải kèm theo một số bài toán minh họa. Rất mong các bạn đồng nghiệp tham khảo và bổ xung thêm.Xin chân thành cảm ơn.