Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 11

 
Bài 1: 
Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác Oxyz. Cho bốn điểm :
A = ( 1; 2; 0 ), B = (1; 1; 2 ), C = ( 3; 3; 1) và D = ( 0; 2; 1)
1. Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng fẳng
2. Tính cosin góc: a) 
 b) Giữa hai đường thẳng AB và CD
 c) Giữa hai mặt fẳng (ABC) và (ABD)
 d) Nhị diện (C;AB;D)
3. Tính sin góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD)
4. Tính thể tích tứ diện ABCD 
5. Tính diện tích tam giác BCD
6. Tính khoảng cách: a) Từ A đến mf(BCD) 
 b) Từ B đến đường thẳng CD
 c) Giữa hai đường thẳng AB và CD
 d) Độ dài đường phân giác trong góc A của 
7. Tìm tọa độ điểm E nếu:
 a) ABCE là hình bình hành
 b) E là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
 c) E là tâm đường tròn ngoại tiếp 
 d) E thuộc mf (Oxy) và cách đều A, B, C
 8. Tìm tập hợp điểm M thỏa: 
 Chú ý: 
Bài toán này không hoàn toàn theo lược đồ chung của phương pháp tọa độ. Dụng ý là cho việc thực hành trực tiếp các công thức, các phép toán cơ bản của tọa độ đã nêu ở phần trên! 
hướng dẫn giải: 
1. Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng fẳng (. 0)
= (5; 6; 4), 
 D = . = 5 + 24 + 4 = 23 0 đpcm.
(A, B, C, D không đồng fẳng D 0 ) 
2. Tính cosin góc: 
a) = góc, và 
 cos = = = 
b) 
cos ((AB), (CD)) = = = 
c) Góc giữa hai mặt phẳng bằng hoặc bù góc giữa hai véc tơ pháp tuyến và của hai mặt fẳng ấy
= = (5; 6; 4), = = (11; 4; 5) 
cos((ABC),(ABD)) = == 
d) Tính cosin góc nhị diện (C,AB,D) 
 Xác định góc nhị diện : = (C,AB,D)
+ Dựng mf(P), (Q) lần lượt qua C, D và (AB)
+ Dựng E = (AB)(P), F = (AB)(Q)
 Tính cosin nhị diện: 
+, C( 3; 3; 1), D( 0; 2; 1) 
(P): 2(x3) +3(y+3) +2(z 1) = 0, (Q): 2(x0) +3(y2) +2(z +1) = 0 
+ E(AB) E = (12t; 2+3t; 2t)(P) t = E = , 
Tương tự: F = , 
 = 
 Cách khác: ...
3. Tính sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
= = (13; 11; 8), 
 sin((AB);(BCD)) = = = 
4. Tính thể tích tứ diện ABCD 
áp dụng kết quả câu 1: . = 23
Thể tích tứ diện ABCD là: = (đvtt) 
5. Tính diện tích tam giác BCD
áp dụng kết quả câu 3: = . 
Diện tích tam giác BCD là: = = = 
6. Tính khoảng cách
a) Từ A đến mf(BCD) 
 Cách 1: Khoảng cách từ A đến mf(BCD) là đường cao của tứ diện ABCD. Theo các kết quả câu 5, câu 6. Ta được: = .
 Cách 2: 
+ mf(BCD): Qua B(1; 1; 2) và có vtpt là = . 
Phương trình (BCD): 
+ Khoảng cách: = = 
b) Từ B đến đường thẳng CD
Ta có: 
Khoảng cách từ B đến đường thẳng CD là đường cao của tam giác BCD.
Theo kết quả câu 6, ta được: = 
 Cách khác: 
Gọi (P) là mặt phẳng qua B, CD, H = Ta có: = BH. 
(P): (1)
(CD): (2). Tọa độ H thỏa (1) và (2) H
Khoảng cách: d(B/(CD)) = BH = = 
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD
Là chiều cao AH của hình hộp 
 và 
, 
.= 
 và . Vậy: =
d) Độ dài đường phân giác trong góc A của tam giác ABC
 Hướng dẫn: Gọi AM là đường phân giác trong góc A của tam giác ABC, 
Tọa độ M Độ dài AM 
 Cách khác: 
. Ta cần tính , không đơn giản! 
Bài toán trong hình phẳng. 
+ Viết phương trình hai đường thẳng AB và AC 
+ --------------------------------- phân giác góc tạo bởi AB và AC: f(x,y) = 0
+ Thử tọa độ B và C vào biểu thức f(x,y) xác định dấu. Suy ra phương trình
 phân giác trong.
7. Tìm tọa độ điểm E nếu
a) ABCE là hình bình hành:
A, B, C không thẳng hàng; ABCE là hình bình hành ,(1)
Gọi E = (x; y; z) , . 
Vậy (1) E = (5; 6; 1) 
b) E là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (1). Giả sử E(x; y; z)
(1)AE = BE = CE = DE AE2 = BE2 = CE2 = DE2
c) E là tâm đường tròn ngoại tiếp 
 Hướng dẫn: . (d) là đường thẳng qua tâm I mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABCD và vuông góc với mf(ABC). Chú ý rằng, điểm D của tứ diện có thể chọn tùy ý và việc tìm I tương tự câu 7b. Ta có thể tìm toạ độ I bằng hệ ba phương trình ba mặt phẳng (ABC) và các mặt phăng trung trực của BA, AC.
d) E thuộc mf (Oxy) và cách đều A, B, C
Etọa độ có dạng E(x; y; 0). 
E cách đều A, B, C AE = BE = CE. Vậy 
8. Tìm tập hợp điểm m thỏa : , (1) 
 Cách 1: Gọi G là trọng tâm tứ diện, (1) MG = 1 M(G;1) là mặt
 cầu tâm G, bán kính 1
 Cách 2: 
Giả sử M(x; y; z).Ta có: . 
(1) . (phương trình mặt cầu) 
Bài 2: 
Chứng minh các tính chất trong tứ diện vuông OABC ( vuông tại O )
1. Hmf(ABC) , OH mf(ABC) H là trực tâm 
2. S = S + S + S 
3. = + + 
4. có 3 góc nhọn 
5. cos2 + cos2 + cos2 = 1; Trong đó , , lần lượt là góc hợp bởi các mặt fẳng (OBC), (OCA), (OAB) với mf(ABC) 
hướng dẫn giải: 
 Không mất tổng quát ta có thể chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho: A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c); a, b, c >0
1. Nếu Hmf(ABC), OH mf(ABC) 
mf(ABC): . 
Tọa độ H thỏa mãn hệ: 
, 
(2) là phương trình đường thẳng (OH) 
Tọa độ H H trực tâm . 
Ngược lại, chứng minh tương tự 
2. 
 S = = = S + S + S . 
3. Phương trình mf(ABC): bcx + cay + abx - abc = 0 
OH = =
 = + + .
4. cosA = cos= > 0 A- nhọn. B, C tương tự.
5. Véc tơ pháp tuyến (vtpt) của mf(ABC) là: = (bc; ca; ab), vtpt của mf(OBC) là cos2 = . 
Tương tự: cos2 = 
 và cos2 = . 
Cộng theo vế của ba đẳng thức trên 
 đpcm
Bài 3: 
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a
1. CMR: A'C (AB'D')
2. A'C cắt mf(AB'D') tại trọng tâm của
 tam giác AB'D'
3. Tính khoảng cách giữa hai mặt fẳng (AB'D') và (C'BD)
4. Tính cosin của góc giữa hai mặt fẳng (DA'C) và (ABB'A')
hướng dẫn giải: 
Chọn hệ tọa độ Axyz sao cho: B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A'(0; 0; a), với a > 0
1. Ta tìm được: C(a; a; 0), B'(a; 0; a), D'(0; a; a) 
 và .đpcm
2. Tọa độ G thỏa mãn hệ tương giao của đường thẳng (A'C) và mf(AB'D'):
 đpcm.
3. Ta có: B(a; 0; 0), phương trình mf(AB'D'): x + y z = 0. Khoảng cách
 giữa hai mặt fẳng (AB'D') và (C'BD) là d = = .
4. Ta có: và = (0; a; 0) là các vtpt của (DA'C) và (ABB'A'). 
 = = 
 Nhận xét: 
Tất nhiên; Ta có thể giải hai bài toán trên bằng kiến thức thông thường của hình học không gian lớp 11. Phương pháp tọa độ ở đây chưa thực sự thể hiện được tính ưu việt của nó. Bạn đọc tự trình bày lời giải khác và so sánh! 
Bài 4:
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. M AD', NDB: AM=DN=k, ( 0 < k < a)
1. Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất
2. CMR: MN luôn song song với mf(A'D'CB) khi k biến thiên 
3. Khi MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của AD' và BD và MN song song với A'C
hướng dẫn giải:
Chọn hệ tọa độ Axyz: B(a; 0; 0), D(0; a; 0) và A'(0; 0; a); ()
1. , 
. 
Vậy MN ngắn nhất MN2 đạt min .
2. , 
 và =( a2; 0; a2) (1) 
Mặt khác N(BD), (BD) cắt mf(A'D'CB) tại BN Nmf(A'D'CB), (2)
Từ (1) và (2) MN// mf(A'D'CB). đpcm.
3. Khi MN ngắn nhất k =. Khi đó =, =(0; a; a),
= (a; a; 0) .=.= 0, với MAD', NBD đpcm.
C(a; a; 0) (a; a; - a) = 3, Nmf(A'D'CB) MN// AC. đpcm 
Bài 5: (Thi thử ĐH. Khối A, Lam Sơn 2005)
Hình chóp S.ABCD, đáy hình thoi, = , O là giao của AC và BD, 
SOmf(ABCD). M là trung điểm SC, K thuộc đoạn BM sao cho = .
Chứng minh rằng: mf(SOK) mf(SBC) 
bài giải:
Chọn hệ Oxyz sao cho: B(1; 0; 0), C(0; ; 0) và S (0; 0; h). Gọi K(x; y; z).
Ta có: 5.= 2.
= =
.
 Suy ra: , 
 .
=, , 
= = = 0 đpcm. 
 Nhận xét: 
+ Cách giải trên là rất ngắn gọn, dễ hiểu và điều quan trọng là các bước giải đã được định sẵn theo một lược đồ nhất định theo chiều phân tích sau:
(SOK)(SBC) , và tọa độ K?
+ Nếu thay tính chất " trung điểm" của M bởi một vị trí bất kỳ xác định theo một tỉ số k không đổi trên đoạn SC và thay kết luận bằng tìm vị trí của K trên đoạn BM sao cho (SOK)(SBC). Bài toán sẽ rất phức tạp nếu sử dụng phương pháp giải của hình học không gian cổ điển. Điều này bạn đọc tự kiểm nghiệm! 
Bài 6:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB =2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a.
1. Tính thể tích hình chóp S.ABCD
2. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm AB, CD, SC, SD. Chứng minh rằng SNmf(MEF)
3. Tính khoảng cách từ A đến mf(SCD)
hướng dẫn giải:
Gọi H là tâm hình chữ nhật, do các cạnh bên của hình chóp bằng nhau 
SH mf(ABCD). áp dụng Pitago cho các tam giác vuông ta được:
SH2 = SB2 HB2 = SB2 (HM2 + MB2) = 2a2a2 = 
Gọi G là trung điểm BC, chọn hệ trục tọa độ Hxyz sao cho: 
, , 
1. = (đvtt)
2. , . 
, . = . = 0 đpcm. 
3.//
 và //vtpt của mf(SCD) là = 
 Phương trình mf(SCD): x - 1= 0. Tọa độ A = 
Khoảng cách: d= 
Bài 7: ( Kiểm tra học kỳ 2. Lớp 11, Lam Sơn 06)
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD , cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng . M, N thứ tự là trung điểm SB và SD. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AM, BN
hướng dẫn giải:
Gọi O là giao của AC và BD. đều OS = 
Chọn hệ Oxyz sao cho: ,, 
M, N, 
 cosin(,) = 0 AM BN 
Bài 8:
Tìm tập hợp các điểm trong không gian sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ nó đến các mặt của một tứ diện đều cho trước bằng một số không đổi k cho trước. 
 giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, O là trung điểm DG. Tính chất của tứ diện đều cho ta OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một. 
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho: A(3a; 0; 0), B(0; 3a; 0) và C(0; 0; 3a).
Suy ra: G(a; a; a) và Ta có phương trình các mặt của tứ diện là:
(ABC): x + y + z 3a = 0, (DAB): x + y 5z 3a = 0, 
(DBC): 5x + y + z 3a = 0 và (DCA): x 5y + z 3a = 0. 
Giả sử tập các điểm cần tìm có tọa độ và gọi khoảng cách từ M đến các mặt (ABC), (DAB), (DBC) và (DCA) thứ tự là d1, d2, d3 và d4 . Ta có: 
k = = ++ ++
27k = 36 36a + 108a2 
 a + 3a2 = 
++= .
Nếu k 3a2 thì M là mặt cầu tâm I, bán kính r =
* Có thể đặt sao cho 4 đỉnh tứ diện đều trùng với 4 đỉnh của một hình lập phương, ta có hệ trục toạ độ tương ứng.
 Nhận xét:
 Rõ ràng đây là một bài toán không đơn giản nếu giải theo phương pháp hình không gian cổ điển. Tất cả các bài toán trên đây đều có thể giải bằng những cách khác. Việc so sánh các cách giải trong từng bài, bạn đọc có thể tự đánh giá. Chú ý rằng sự so sánh chỉ nên ở mức độ tương đối, vì mỗi phương pháp đều có những ưu điểm và những hạn chế nhất định. 
4. bài tập tham khảo
 (Trong phần này các câu (*) là câu khó) 
4.1. (Đề 103. Bộ 150 đề...)
Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' cạnh a. Trên cạnh AB lấy điểm M. Mặt phẳng (A'MC) cắt C'D' tại N.
a. Chứng minh tứ giác A'MCN là hình bình hành.
b. Xác định vị trí của M trên cạnh AB để tứ giác trên là hình chữ nhật. Có thể
 là hình vuông được không?
c. Xác định vị trí của M trên cạnh AB để tứ giác trên có diện tích nhỏ nhất.
(*) d. Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc H của C lên MN khi M di động
 trên cạnh AB
4.2. (Đề 109. Bộ 150 đề...) 
Cho một tam diện vuông đỉnh O. Trên ba cạnh của tam diện, lấy ba điểm A, B, C sao cho AC = 2 OB, BC = 2 OA. Gọi M và N là chân các đường vuông góc hạ từ O xuống AC và BC.
a. Chứng minh rằng MNOC.
b. Tính .
c. Gọi D là trung điểm AB. Chứng minh: 
4.3. (ĐH.Cần Thơ. năm 1999. Khối A. Câu Vb)
Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (T) đường kính AB = 2R. Điểm C di động trên (T). Trên đường thẳng (d) qua A và vuông góc với (P) lấy điểm S sao cho SA = R. Hạ AH SB, AKSC.
a. Chứng minh: AK (SBC) và SB (ABK).
b. Tìm quỹ tích điểm K khi C thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ 
 diện SAHK 
 Hướng dẫn: 
+ Gọi O là tâm đường tròn (T). 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho:
và , với 
+ Phương trình: (SB), (SC), mặt phẳng qua A và vuông góc với SB hoặc SC.
+ Tìm tọa độ H, K...
4.4. (ĐHQG.TP HCM. 1998)
Cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo nhau và vuông góc với nhau, AB là đường vuông góc chung, AB = a. M trên Ax, N trên By, AM = m, BN = n.
a. Chứng minh các mặt của tứ diện là các tam giác vuông.
b. Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện ABMN theo a, m, n.
Hệ Axy'z: M(m; 0; 0), N(0; n; a) và B(0; 0; a)...
4.5. (ĐHQG.TP HCM. 1997)
Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA = a, SA(ABCD). Một mặt phẳng đi qua CD cắt các cạnh SA, SB lần lượt ở M, N. Đặt AM = m.
a. Tứ giác MNCD là hình gì? Tính diện tích tứ giác MNCD theo a, m.
b. Xác định giá trị của m để tỉ số thể tích hình chóp SMNCD và thể tích hình
 chóp SABCD bằng .
4.6. (Đề 59. Bộ 150 đề...)
Cho lăng trụ đứng OABO'A'B': OAB và O'A'B' là các tam giác vuông tại O và O' tương ứng nằm trên hai mặt phẳng song song và vuông góc với các cạnh bên. Biết OO' = h, OA = a, OB = b. Gọi (P) là mặt phẳng qua O và vuông góc với AB'.
a. Thiết diện do (P) cắt lăng trụ là hình gì?
b. Tìm một hệ thức liên hệ giữa a, b, h để thiết diện là một tam giác. Khi đó
 tính diện tích thiết diện.
4.7. (Đề 128. Bộ 150 đề...)
Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a, O là giao điểm hai đường chéo. Trên đường thẳng Oz(P) lấy một điểm S. Gọi là góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp SABCD.
a. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và CD.
b. Mặt phẳng đi qua AC và vuông góc mặt bên (SAD) chia hình chóp thành
 hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
4.8. (ĐH. Đà Lạt. 1995)
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên đường thẳng Az mf(ABC) lấy điểm S, SA = h.
a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
b. Gọi H là trực tâm tam giác SBC. Đường thẳng Ht(SBC). Chứng minh 
 rằng khi S di động trên Az đường thẳng Ht luôn đi qua một điểm cố định. 
4.9. (ĐH. Luật. TP HCM. 1995)
Cho hình chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a, đườg cao SH = h.
a. Tính theo a, h các bán kính r và R của các hình cầu nội và ngoại tiếp của
 hình chóp .
b. Giả sử a cố định, h thay đổi. Xác định h để tỉ số lớn nhất. 
4.10. (ĐH. Kiến trúc. TP HCM. 1995) 
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác OAB cân đỉnh O, cạnh AB = 2a, đường 
cao OH = h. Trên đường thẳng (d) (P) tại O lấy điểm M với OM = m. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên MB và OB. Điểm N là giao của đường thẳng EF và (d)
a. Chứng minh rằng MB NA và MA NB.
b. Tính BE, BF, EF, AF và thể tích tứ diện ABEF theo a, h và m.
c. Tìm vị trí của M trên (d) sao cho tứ diện MNAB có thể tích nhỏ nhất và
 tính giá trị nhỏ nhất này.
4.11. (Đề thi HS giỏi tỉnh. Thanh Hóa. 2006)
Cho góc tam diện vuông Oxyz, trên Oz lấy điểm A cố định khác O, OA = a. Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi chứa điểm A và cắt Ox, Oy lần lượt tại B, C
sao cho: . Chứng minh rằng mf(P) luôn chứa một đường thẳng cố định và tính thể tích nhỏ nhất của tứ diện OABC có thể có được
4.12. (Đề thi thử ĐH. Khối D. Lam Sơn 2006)
Cho hình chóp S.ABC có đường cao là SA , tam giác ABC vuông ở A . Biết rằng AB = a, AC = a, góc giữa mặt bên SBC và đáy là 600. Tính diện tích xung quanh của hình chóp và số đo góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). 
4.13. (Đề thi thử ĐH. Khối A. Lam Sơn 2006) 
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB = a, đường cao SO = h; M, N tương ứng là trung điểm SB, SD. Tính h theo a để AMBN
4.14. (ĐH. Kinh tế TP HCM. 1994)
Cho hình vuông cạnh a trong mặt phẳng (P). M và N di động trên hai cạnh CB và CD. Đặt CM = m, CN = n. Trên đường thẳng Az vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S. Tìm hệ thức giữa m và n để:
a. Các mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo thành góc 
b. Các mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.
4.15. (ĐH. KTQD Hà Nội. 2001)
Cho hình chóp SABCD, đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên bằng nhau và bằng .
a. Tính thể tích hình chóp SABCD theo a.
b. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của AB, CD. Điểm K thuộc cạnh AD 
 sao cho AK = . Tính khoảng cách giữa hai đương thẳng MN và SK.
 phụ trương
Phương trình đường thẳng và phương trình mặt phẳng là một phần chính trong chương trình hình học giải tích không gian. Đối với phương pháp tọa độ đây cũng là một công cụ cần thiết cho việc trình bày lời giải một số bài toán. Bạn đọc có thể tham khảo bài viết phụ trương dưới đây nhằm bổ sung đủ cho phần kiến thức này. Bài viết tóm tắt hai phần: P1. Lý thuyết cơ bản và P2. Tổng hợp các dạng toán thường gặp về phương trình đường thẳng và mặt phẳng.
p.1. phương trình mặt phẳng
& đường thẳng 
I. Mặt phẳng:
1. Định nghĩa: 
Véc tơ pháp tuyến (vtpt) của mf(P) là véc tơ , ( ) nếu nằm trên đường thẳng vuông góc với mf(P). Ký hiệu là: (P)
2. Xác định mặt fẳng: 
Mặt fẳng (P) xác định và duy nhất nếu biết:
 + 1 điểm M(P)
 + 1 vtpt , ( , (P))
3. Phơng trình tổng quát của mặt fẳng: 
 mf(P): + Qua điểm M(x0; y0; z0)
 + Có vtpt (A; B; C)
A(xx0) + B(yy0) + C(z z0) = 0 
Phương trình (P): 
 Phương trình tổng quát dạng :
 Ax + By + Cz + D = 0
 (P): , với : A2 + B2 + C2 0 
II. Đường thẳng: 
1. Định nghĩa: 
Véc tơ chỉ phương (vtcp) của đường thẳng (d) là véc tơ , ( ) nếu nằm trên đường thẳng (d)
2. Xác định đường thẳng : 
Đường thẳng (d) xác định duy nhất bởi: 
3. Phương trình : 
* Đường thẳng qua M (x0; y0; z0 ) và có vtcp (a; b; c)
 a) Phương trình tham số: 
 (d): , t - là tham số, tR, a2+b2+c2 0 
b) Phương trình chính tắc:
 (d): = = ; ( a2+ b2+ c2 0 )
* Đường thẳng là giao tuyến của hai mặt fẳng: 
c) Phương trình tổng quát : 
 (d): 
+ Để chỉ ra ( tọa độ) một điểm thuộc (d) ; Chọn bất kỳ chẳng hạn x = x0 , thế vào hệ (1) , (2) giải tìm y = y0 và z = z0 
+ vtcp = 
p.2. các dạng cơ bản phương trình
mặt phẳng & đường thẳng 
I. Mặt phẳng: ( P )
Dạng 1:
Mặt phẳng: Qua một điểm M = (x0; y0; z0) và có vtpt = (A; B; C)
A(x - x0) + B(y- y0) + C(z - z0) = 0
(P): 
Dạng 2:
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN 
+ Qua trung điểm của MN là I = 
+ Có vtpt = = ( xN xM; yN yM; zN zM) . ( Xem dạng 1) 
 Ví dụ : Cho M( 3; 2; 0), N(1; 0; 1). 
 Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng 
 (P): 2(x2) + 2(y + 1) 1(z + ) = 0 
Dạng 3:
Mặt phẳng (P) qua một điểm M = (x0 ; y0 ; z0 ) 
và vuông góc đường thẳng (d) cho trước
 vtpt của (P) chính là vtcp của (d) 
 (P) xác định : qua M và có vtpt = (dạng 1) 
Ví dụ: Viết phương trình mfẳng (P) qua A(1; 2; 3) và vuông góc với đường 
 thẳng (d) có phương trình :
 a) (d) : b) (d) : 
Giải:
a) Phương trình (P): 2(x 1) + 1(y 2) + 0(z 3) = 0
b) -------------------- (x 1) + (y 2) + (z 3) = 0
 (P): 2(x 1) 1(y 2) + 2(z 3) = 0 
Dạng 4:
Mặt phẳng (P): Qua một điểm M = (x0; y0; z0) và song song với mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz + D = 0 cho trước.
 Phương trình (P): A(xx0) + B(yy0) + C(z z0) = 0
 Ví dụ : Mặt phẳng (P) qua điểm M = (1; 2; 3) 
 và song song với mặt fẳng (Q): 5x3y + 2z +1 = 0
 Phương trình (P): 5( x 1) 3(y2) + 2(z 3) = 0
Dạng 5:
Mặt phẳng (P): Qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C cho trước 
vtpt của (P) là = 
 (P) xác định: + Qua A (hoặc B, hoặc C)
 + Có vtpt = 
 Ví dụ : Cho các điểm A(1; 2; 3), B(0; 1; 1) và C(3; 0; 2)
 Viết phương trình mf (OAB), mf(ABC)
 Giải: 
a) mf(OAB) có cặp vtcp là = (1; 2; 3)
 và = (0; 1; 1) 
 mf(OAB) qua O(0; 0; 0) và có vtpt = = (1; 1; 1) 
 P.trình mf(OAB): 1(x0) + 1(y0) + 1(z0) = 0 x + y + z = 0
b) mf(ABC) có cặp vtcp là = (1; 3; 4)
 và = (4; 2; 1) 
 mf(ABC) qua điểm A(1; 2; 3) và có vtpt == ( 5; 15; 10) 
 P.trình mf(ABC): 5(x 1) +15(y +2) +10(z 3) = 0 x + 3y + 2z 1 = 0
 Trường hợp riêng: 
A(a; 0; 0), B( 0; b; 0), C( 0; 0; c), abc 0
Phương trình mặt phẳng (ABC) 
 . 
(Ta gọi mf(ABC) là mfẳng đoạn chắn )
Dạng 6: 
Mặt phẳng (P): Qua điểm M và đường thẳng (d) 
( Với M (d) )
 (P) xác định: + Qua điểm M ,
 + Và có vtpt = , 
 ( A(d) và là vtcp của (d))
 Ví dụ: Viết phương trình mf(P) qua điểm M(1; 2; 3) và đường thẳng (d) 
 có phương trình là:
 a) = = b) 
 Giải: 
a) Đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; 1; 0) và có vtcp = (1; 2; 3) 
Mặt fẳng (P) chứa M và (d) (P) có cặp vtcp là = (1; 2; 3) 
 và = ( 3; 1; 3)
 vtpt của (P) là = = ( 3; 12; 7) 
và (P) qua M(1; 2; 3) ptrình (P): 3(x1) + 12(y2) 7(z3) = 0 
 3x + 12y 7z 6 = 0
b) Nhận xét: A(1; 0; 0) (d), mf(P) qua điểm M và đường thẳng (d)
 cặp vtcp của (P) là: 
 = = ( 2; 6; 5) 
 và = ( 2; 2; 3). 
 vtpt của (P) là = = (8; 16; 16) 
 Phương trình (P): 8(x+1) 16(y 0) +16(z 0) = 0 x+2y 2z +1= 0
* Chú ý : Nếu pt (d) có dạng tổng quát 
1) mf(P) chứa (d) có phương trình dạng chùm: 
m (x+2y2z+1) + n(2xy+2z) = 0, m2+n2 0 (*) 
(P) qua điểm M(1; 2; 3) 0.m +6n = 0. Kết hợp với (*), chọn được m = 1, n = 0 pt (P): x + 2y 2z + 1 = 0 
2) (d) = mfmf, (d) 
Trong đó : x + 2y 2z + 1 = 0 M(1; 2; 3). Vậy là mặt fẳng chứa M và (d) mf(P) mf: x + 2y 2z + 1 = 0
Dạng 7: 
Mặt phẳng (P): Chứa đường thẳng (d1 ) và song song với đường thẳng (d2 ) 
 ( Hai đường thẳng (d1 ) và (d2 ) chéo nhau)
(P): Xác định bởi M(d1) và vtpt = ,
 (và lần lượt là vtcp của (d1) và (d2))
 * Cách khác: + (P) chứa (d1) pt dạng chùm của (P) 
 + (P)// (d2) P . = 0 
 Ví dụ: Cho hai đường thẳng chéo nhau (d1) và (d2). Viết