Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán tìm điểm và đường cố định

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ:
1.Lí do chọn đề tài:
Bài toán tìm điểm cố định ,đường cố địnhlà những bài toán khó không được trình bày trong sách giáo khoa nhưng bài toán này thường có trong đề thi học sinh giỏi . Vì vậy, khi gặp những bài toán này học sinh giỏi thường có cảm giác e ngại và hầu như không giải được chúng, các em không biết bắt đầu từ đâu để dự doán điểm cố định ,đường cố định. Khi dạy học sinh dạng toán này tôi nhận ra được khó khăn đó của các em, để giúp học sinh giỏi làm quen và biết cách giải bài toán tìm điểm cố định tôi đã nghiên cứu và viết đề tài này.
2. Đối tượng ,phạm vi nghiên cứu :chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tìm tập hợp điểm và học sinh giỏi môn toán lớp 9
3. Mục tiêu , nhiệm vụ nghiên cứu :mục tiêu và nhiệm vụ của người dạy toán là dạy cho học sinh tiếp cận kiến thức toán từ trực quan sinh động đến tư duy trìu tượng . Vì vậy mục tiêu tôi nghiên cứu đề tài này là giúp học sinh giỏi có thêm kinh nghiệm khi giải bài toán tìm điểm và đường cố định góp phần nâng cao chất lượng học sinh giỏi môn toán và đặc biệt giúp học sinh phát triển khả năng tư duy trìu tượng ,rèn luyện cho học sinh tính tự giác tích cực trong học toán và làm cho học sinh giỏi thực sự hứng thú với bộ môn hình học ở bậc trung học cơ sở 
4. Giả thiết khoa học : Nếu đề tài được ứng dụng rộng rãi thì nó sẽ giúp cho giáo viên và học sinh nhìn nhận một lớp bài toán tìm điểm ,đường cố định dưới cách nhìn mới mẻ hơn và đặc biệt học sinh và giáo viên sẽ tiếp cận với dạng toán này một cách dễ dàng hơn 
5. Phương pháp nghiên cứu :
a . Nghiên cứu lí thuyết : tìm hiểu các bài toán dạng này ở sách Nâng cao và phát triển toán 8,9 , chuyên đề hình học ,báo toán học tuổi trẻ ,toán tuổi thơ 2, đề thi học sinh giỏi huyện tỉnh và đề thi vào các trường chuyên 
b .Điều tra : thăm dò khảo sát trên đối tượng học sinh giỏi toán lớp 9 đúc rút kinh nghiệm trong quá trình nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi ,
c. Đàm thoại: trao đổi với đồng nghiệp trong các buổi chuyên đề cấp trường cấp cụm về cách giải bài toán tìm điểm cố định ,trao đổi với học sinh giỏi lớp 9 để rút ra cách giải tốt hơn cho loại toán này 
6. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu : học sinh thích tìm tòi khám phá vì đây là dạng toán mới đối với các em nó không có trong chương trình sách giáo khoa và trong các tài liệu hiện hành
 PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1.CƠ SỞ KHOA HỌC
1.1Cơ sở lí luận: 
Một số bài toán tìm điểm cố định có nhiều cách dự đoán điểm cố định khác nhau , tuy nhiên đứng trước các bài tập đó học sinh thường lúng túng khi chọn cách dự đoán ,các em hay thiếu kinh nghiệm về việc chọn phương pháp phù hợp để làm xuất hiện điểm cố định một cách dễ chứng minh nhất và hiệu quả nhất, học sinh cứ mặc nhiên vận dụng một cách máy móc cách tìmđiểm cố định mà không biết phân tích giả thiết để biết được yếu tố cố định nào đã cho và yếu tố cố định nào phải tìm . Nhiều giáo viên đã đưa ra được một vài bài tập đơn lẻ mà không có hệ thống nên học sinh không có kinh nghiệm trong khi giải loại toán này
1.2.Cơ sở thực tiễn :
1.2.1 Thực trạng việc dạy của giáo viên
 Ở trường THCS giáo viên thường bỏ qua dạng toán này vì họ nghĩ có dạy thì học sinh cũng không thể tiếp cận được và họ cũng ngại nghiên cứu về dạng toán này vì nó sẽ làm cho họ mất nhiều thời gian. Vì thế nên khi các em học sinh được chọn vào đội sơ tuyển lớp 9 hầu như chưa biết thế nào là điểm cố định ,đường cố định 
1.2.2 Thực trạng việc học của học sinh
 Học sinh khi đọc dạng toán này trong các tài liệu thấy khó hiểu nên không quan tâm đến nó nữa, gặp dạng toán này trong các đề thi là các em có cảm giác sợ nó và khi không làm được thì các em coi như đó là điều hiển nhiên cho nên cũng không muốn tiếp cận với chúng .Khi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy các em rất lúng túng khi gặp dạng toán này kể cả những bài đơn giản nhất
Chất lượng thực tế qua khảo sát năm 2012-2013 trên đối tượng 15 em học sinh giỏi của 3 lớp 9A, 9B,9C kết quả thu được như sau:
1.2.3. Sự cần thiết của đề tài:
Qua phân tích thực trạng việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh, tôi nhận thấy đề tài cần thiết đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9. Đề tài giới thiệu những kinh nghiệm, phương pháp phù hợp nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy bài toán tìm điểm cố định và đường cố định cho học sinh khối 9 và giúp các em đạt kết quả cao trong các kì thi học sinh giỏi ,tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên và không chuyên
2. GIẢI PHÁP TIẾN HÀNH 
2.1.Cung cấp kiến thức lí thuyết
2.1.1 Một số khái niệm liên quan 
 Giao điểm của hai đường cố định là điểm cố định
Đường thẳng cố định là đường thẳng đi qua hai điểm cố định.
Đường tròn cố định là đường tròn có tâm cố định và bán kính không đổi (hoặc đường tròn đi qua ba điểm cố định không thẳng hàng,hoặc đường tròn có 1đường kính cố định).
Đoạn thẳng cố định: Có hai đầu mút là hai điểm cố định.
 Tia cố định: Gốc là điểm cố định tạo với đường thẳng cố định một góc không đổi.
 2.1.2Một số cách tìm đường cố định, điểm cố định. 
 Một số cáh tìm điểm cố định
Cách 1: Tìm giao điểm của một đường bất kì trong các đường thay đổi với một đường cố định và chứng minh điểm đó cố định.
Cách 2: Xét hai vị trí đặc biệt của đường thay đổi, tìm giao của chúng và chứng minh điểm đó cố định.
Cách 3: Xét vị trí đặc biệt của yếu tố chuyển động để dự đoán điểm cố định
Một số cách tìm đường cố định:
. Tìm 2 điểm cố định của đường đó nếu đường cố định phải tìm là đường thẳng
. Tìm đường trung trực của một đoạn thẳng cố định nếu đường cố định phải tìm là đường thẳng
. Tìm tia cố định 
. Nếu đường cố định cần tìm là đường tròn thì ta phải tìm đươc 3 điểm cố định không thẳng hàng của nó hoạc tìm tâm cố định và chứng minh bán kính không đổi 
Chú ý: Trong quá trình giải loại toán này ta thường chuyển đường tròn ngoại tiếp tam giác thành đường tròn ngoại tiếp tứ giác. 
2.2 Hướng dẫn bằng hệ thống bài tập
Bài tập 1: Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. Gọi I là trung điểm của AO. Vẽ tia IxAB tại I. Tia Ix cắt (O) tại M. Tiếp tuyến tại M cắt Ix tại N. BM cắt Ix tại D.
Chứng minh rằng: tam giác MNC cân.
Khi IC = CH tính CD theo R.
Chứng minh rằng: Khi C chuyển động trên đoạn thẳng IH thì tâm O`của đường tròn ngoại tiếp tam giác CAD luôn chạy trên một đường thẳng cố định.(Trích đề thi KSGV giáo viên tỉnh Hà Tĩnh)
Giải: 
Ta có: (cùng bằng ½ sđ) 
mà (Cùng phụ với ) 
và (hai góc đối đỉnh) 
nên => ∆NCM cân tại N.
Ta có: => tứ giác CIBM nội tiếp.
Xét vị trí điểm A và tứ giác nội tiếp CIBM ta có:
AI.AB = CA.AM =
Tứ giác ADMI có 
Tứ giác ADMI nội tiếp => IC.CD = AC.CM 
 Nhận xét: đường thẳngcố định phải tìm là đường trung trực của một dây cố định của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC, nhưng tam giác ADC mới chỉ có điểm A cố định nên ta cần tìm thêm một điểm cố định nữa bằng cách tìm giao của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC với một đường cố địnhAB. Từ đó ta có lời giải sau:
Giải: Gọi giao của AB và đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC là K. Do tứ giác ACDK nội tiếp, suy ra: .
Mà nên .
Mà (Cùng phụ với góc CAI) nên 
∆DKB cân tại D => KI = IB => K đối xứng với I qua B và K thuộc AB cố đinh 
K cố đinh => đường trung trực của KA cố định
O’ thuộc đường trung trực của KA cố định.
Bài toán 2:
Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng theo thứ tự đó. Gọi O là tâm đường tròn đi qua hai điểm B và C. Kẻ tiếp tuyến AE, AF đến (O). Gọi I, N là trung điểm của BC và EF.
Chứng minh rằng 5 điểm A, E, F, I, O thuộc cùng một đường tròn.
(O) thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy trên một đường cố đinh. ( Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Hà tĩnh vòng 1)
Giải:
=> tứ giác AEOF nội tiếp đường tròn
đường kính AO. (1).
Do I là trung điểm của dây BC nên OIBC
Tứ giác AEOI nội tiếp đường tròn đường kính AO. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm A, E, F, I, O cùng thuộc 
đường tròn đường kính AO.
Gọi K là giao điểm của EF và AC.
Do nên tứ giác ONKI nội tiếp.
Xét vị trí điểm K với đường tròn đường kính AO ta có: KF.KE = KI.KA (3)
Xét vị trí điểm K với đường tròn (O) ta có: KB.KC = KF.KE (4)
Từ (3) và (4) suy ra: 
KI.KA = KB.KC = (IB - IK)(IK + IC) = (IB - IK)(IK + IB) = IB2 – IK2.
KI.KA = IB2 – IK2 => IK(KA + IK) = IB2 => KI.KA = IB2 => 
Do A, B, C cố định nên I cố định => không đổi => K cố định
Đường trung trực của IK cố định. Vậy tâm đường trong ngoại tiếp ∆NOI luôn nằm trên đường trung trực cuả IK cố định.
Lời bình :vẫn với cách giải như bài toán 1 nhưng điểm cố định tìm thêm ở đây là giao của AC với EF như thế ta đã chuyển từ đường tròn ngoại tiếp tam giác sang đường tròn ngoại tiếp tứ giác (sử dụng góc N và góc I đều bằng 90 độ)
Bài toán 3: Cho (O) có hai dây AB và CD cố định không cắt nhau. Điểm P di động trên cung AB (cung AB không chứa điểm C và D; P ≠A, B). Gọi giao điểm của PC và PD với AB là M và N. Gọi (O1) là đường trong đi qua ba điểm P, M, D.
Chứng minh rằng (O1) đi qua điểm số định khác D.
Chứng minh đại lượng không đổi.
(Trích đề thi HSG Tỉnh Hà Tỉnh, năm 2004)
Nhận xét: điểm cố định vẫn được tìm bằng cách tìm giao của một đường trong họ đường thay đổi với một đường cố định và chứng minh điểm tìm được cách một điểm cố định khác một khoảng không đổi.Từ đó ta có lời giải sau
Giải: 
Gọi K là giao điểm của AB và (O1). Ta có tứ giác MPKD nội tiếp (O1).
(cùng chắn cung MD của (O1).
Mà 
Do C, D cố định nên không đổi.
 Kẻ DIAB => I cố định và IK=ID.tanMKD =const
 nên K cố định.
Xét vị trí điểm N so với (O1) ta có: 
NP.ND = NM.NK (1)
Xét vị trí điểm N so với (O) ta có: 
NP.ND = NA.NB (2)
Từ (1) và (2) suy ra NM.NK = NA.NB
ó MN.NK = (MA + MN).NB = MA.NB + MN.NB 
ó AM.NB = MN.NK – MN.NB = MN(NK – NB) = MN.BK
Do B và K cố định nên BK không đổi. Vậy không đổi.
Bài toán 4: Cho (O, R) và (O’; R’) cắt nhau tại A và B. từ điểm C trên tia đối của tia AB vẽ tiếp tuyến CD và CE với (O), (E nằm trong (O’)). Hai đường thẳng AD, AE cắt (O’) tại M và N; DE cắt MN tại I. Chứng minh rằng:
MI.BE = BI.AE.
Khi C thay đổi thì DE đi qua một điểm cố định.
(Trích đề thi HSG Tỉnh Hà Tỉnh, năm 2008)
Nhận xét : trong bài toán này các đường cố định đã cho là (O), (O`) suy ra đường thẳng OO` cố định nênđiểm cố định mà DE đi qua chỉ có thể nằm trên OO` từ định hướng đó ta có lời giải sau
Giải:
Tứ giác ABNM nội tiếp (O’) nên:
Tứ giác DAEB nội tiếp (O) nên 
(cùng chắn cung DB của (O)).
Do đó: 
Tứ giác BEIN nội tiếp 
Xét ∆AEB và ∆MIB có: (chứng minh trên)
 (cùng chắn cung BN của (O’))
S
Do đó: ∆AEB ∆MIB (g.g) 
Gọi giao điểm của OC và DE là Q; giao điểm của DI và OO’ là K; giao điểm của AB và OO’ là H, ta có:
OCDE; (1)
Xét ∆OQK và ∆OHC có: ; chung 
S
Do đó ∆OQK ∆OHC (g.g) (2)
Từ (1) và (2) ta có: .
Do R không đổi, O và H cố định nên không đổi
OK không đổi => K cố định vì O cố định.
Vậy DE luôn đi qua K cố định.
Bài toán 5: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không có điểm chung với (O). Từ điểm M bất kì trên d vẽ các tiếp tuyến MA, MB tới (O). Chứng minh rằng: đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
Nhận xét :trong bài toàn này để dự đoán điểm cố định ta vẽ hình với 2 vị trí khác nhau của M tìm giao điểm hai đường thẳng trong họ đường AB thay đổi và điểm cố định chính là giao điểm này.Còn để chứng minh điểm đó cố định cần tìm mối quan hệ của nó với các yếu tố cố định đã cho trong đề bài, từ đó ta có lời giải sau
Giải: 
 Kẻ OHd. Gọi giao điểm của AB và OH là K; giao điểm của AB và OM là N. Do O và D cố định nên OH không đổi. (*)
Xét ∆ONK và S ∆ OHM có: 
 chung 
Do đó ∆ONK ∆OHM (g.g) 
 (1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
ON.OM = OA2 = R2 không đổi (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (**)
Từ (*) và (**) suy ra: OK không đổi
K cố định (vì O cố định). Vậy AB luôn đi qua điểm K cố định. 
Bài toán 6 : cho góc xOy cố định A,B chuyển động trên Ox,Oy sao choOA+OB=k không đổi.CMR 
a .Đường trung trực của AB luôn đi qua một điểm cố định 
b.Đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB luôn đi qua một điểm cố định
Nhận xét : ở bài toán này để tìm điểm cố định ta xét các vị trí đặc biệt của điểm chuyển động để từ đó dự đoán điểm cố định : khi điểm B trùng với O thì điểm A trùng với điểm K trên Ox sao cho OK=k (không đổi ) nên K cố định ,tương tự khi A trùng O thì B trùng với H trên Oy sao cho OH= k nên H cố định điểm cố định phải tìm là giao của hai đường trung trực của OK và của OH .Từ đó ta có lời giải sau :
Giải :
 Trên tia Ox lấy K sao cho OK= k nên K cố định .Trên tia Oy lấy H sao cho OH= k nên H cố định. Gọi M là giao điểm 2 đường trung trực của OH và OK thì M cố định kẻ MI vuông góc xét tam giác MON Và 
Bài toán 7 :Cho đoạn thẳng AB cố định M thay đổi và M không thuộc đường thẳng AB thỏa mãn MA/MB =2/3 .Chứng minh rằng M luôn thuộc một đường tròn cố định
2.3 .Một số bài tập vận dụng :
Bài 1 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) I là điểm chính giữa của cung BC không chứa A Vẽ đường tròn tâm O1 đi qua I và tiếp xúc với AB tại B. Vẽ đường tròn tâm O2 đi qua I và tiếp xúc với AC tại C lấy D bất kì thuộc AB, lấy E bất kì thuộc tia đối của tia CA sao cho BD= CE. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn đi qua điểm cố định 
Bài 2 : Cho (O) và(O`) cắt nhau tại A và B .Trên tia đối của tia AB lấy M khác A Vẽ tiếp tuyến MD,MC với (O`) ( C nằm ngoài (O) ) đường thẳng AC cắt (O) tại P AD cắt (O) tại Q ,CD cắt BQ tại K .CMR đường tròn ngoại tiếp tam giác PKC luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi 
Bài 3 :Cho 2 điểm A,B lần lượt thay đổi trên hai cạnh Ox, Oy của góc xOy sao cho 
OA- OB = a không đổi gọi d là đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với AB .CMR đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định
 2.4. Kế quả khảo sát sau khi đã thực hiện đề tài ở học sinh khá giỏi của 3 lớp như sau :
Lớp
Số lượng
Có giải được
Không giải được
Số lượng
%
Số lượng
%
9A
15
12
80
3
20
9B
15
11
72,6
4
27,4
9C
15
11
72,6
4
27,4
Kết quả đội tuyển toán lớp 9 của huyện chúng tôi do tôi trực tiếp giảng dạy luôn xếp từ thứ 1 đến thứ 3 trong toàn tỉnh 
PHẦN III: KẾT LUẬN.
1. Hiệu quả của đề tài 
 - Qua thực tế giảng dạy đề tài “ Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán tìm điểm và đường cố định” được học sinh tiếp thu khá tốt, các em đã vận dụng ngày càng linh hoạt, sáng tạo để giải quyết một lớp các bài toán về tìm điểm và đường cố định trong các đề thi học sinh giỏi , thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên và không chuyên 
2. Những bài học kinh nghiệm .
Qua thời gian nghiên cứu và vận dụng đề tài vào giảng dạy chúng tôi rút ra được một số ý kiến sau:
a. Giáo viên: 
- Thường xuyên học hỏi trau rồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học phù hợp.
- Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ các em để các em không cảm thấy áp lực trong học tập.
- Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học sinh.
Qua đề tài tôi thấy rằng chúng ta đừng ngại khi dạy cho học sinh kiến thức mới và khó bởi vì giáo viên có chiụ khó tìm tòi thì học sinh mới say mê khám phá kiến thức mới và khó 
b. Học sinh:
 Sau khi học sinh tiếp thu một chuyên đề mới, có hiệu quả thì các em sẽ tự tin hơn trong giải quyết được các bài toán dạng này và các dạng tương tự.
3. Ý nghĩa đề tài 
Sau khi hướng dẫn cho học sinh tìm điểm ,đường cố định tôi thấy học sinh đã biết giải bài toán này và rất hứng thú với bộ môn hình học. Khi gặp dạng toán này trong đề thi học sinh giỏi thì học sinh đã vượt qua được một cách dễ dàng. Vì thế học sinh thi học sinh giỏi và thi vào trung học phổ thông chuyên môn Toán đạt rất cao. Tôi mong rằng chuyên đề này sẽ được các đồng nghiệp tiếp tục nghiên cứu và áp dụng vào công tác giảng dạy. Đối với bản thân sau khi nghiên cứu đề tài này tôi đã tích lũy thêm cho mình những kiến thức về cách tìm điểm cố định để ứng dụng vào giảng dạy ngày một tốt hơn .Đối với đồng nghiệp đây thực sự là một đề tài bổ ích cho họ có thêm tư liệu để đọc và ứng dụng vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi
4.Đề xuất phạm vi ứng dụng và những nội dung cần bổ sung điều chỉnh 
a. Phạm vi ứng dụng 
Áp dụng cho học sinh khối 9 luyện thi học sinh giỏi và ôn thi tuyển sinh lớp 10 chuyên và không chuyên.
b. Những kiến nghị và đề xuất.
- Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy, góp ý hoàn thiện đề tài và mở rộng phạm vi ứng dụng. Thảo luận ở tổ chuyên môn về đề tài để bổ sung thêm những phần còn thiếu của đề tài và tiếp tục triển khai đề tài cho tất cả các giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi. 
Do kinh nghiệm còn thiếu, thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa nhiều nên đề tài của tôi không tránh khỏi hạn chế. Rất mong được sự giúp đỡ của các thầy, các cô để tôi có thể hoàn thiện hơn đề tài của mình. Xin chân thành cảm ơn 
 Hà tĩnh ngày 8.3.2014
	2. Kết luận và khuyến nghị :
Mặc dù đã dày công tìm tòi nghiên cứu nhưng chắc chắn chưa đầy đủ, mong được sự góp ý bổ sung của đồng nghiệp gần xa để đề tài trở thành tài liệu bổ ích thiết thực cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Góp phần công cuộc xây dựng và bảo vệ tổ quốc.