Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh lớp 12A làm tốt bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích

nh thoi: a.b ( a,b: hai đường chéo hình thoi )
- Diện tích hình bình hành: a.h (a: cạnh đáy, h: chiều cao )
- Diện tích hình thang :(a+b)h (a,b : hai cạnh đáy, h: chiều cao )
c/Xác định và tính chiều cao của khối đa diện : 
 + Trong nhiều trường hợp chiều cao này được xác định ngay từ đầu 
 + Một số trường hợp khác , việc xác định đường cao của khối đa diện phải dựa vào các định lí về mối quan hệ vuông góc đã được học ở lớp dưới (định lí 3 đường vuông góc, định lí về điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ,..)
 + Việc tính chiều cao thông thường nhờ vào việc sử dụng định lí 3 đường vuông góc hoặc nhờ đến việc sử dụng đến phép tính lượng giác.
Ta thường gặp một số trường hợp sau:
i/Khối chóp: Đường cao của khối chóp là đường thẳng xuất phát từ đỉnh và vuông góc với mặt đáy.
-Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì đường cao khối chóp chính là cạnh bên đó.
-Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao khối chóp là đường cao mặt bên đó (xuất phát từ đỉnh khối chóp).
-Khối chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao của khối chóp là giao tuyến hai mặt bên đó.
-Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các góc giữa các mặt bên và mặt đáy bằng nhau thì đường cao khối chóp là đường thẳng xuất phát từ đỉnh đến tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
ii/ Khối lăng trụ: Đường cao của khối lăng trụ là đường thẳng xuất phát từ một đỉnh và vuông góc với mặt đáy còn lại.
-Khối lăng trụ đứng, khối lăng trụ đều thì đường cao cũng là cạnh bên.
2/Công thức tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích
a/Công thức tỉ số thể tích 
Cho khối chóp tam giác . Trên ba đường thẳng lần lượt lấy ba điểm khác với . 
Ta luôn có: (1)
Từ công thức tỉ số thể tích trên ta còn thường sử dụng công thức sau:
Cho khối chóp tam giác . A’ nằm trên cạnh SA . Khi đó : 
Công thức trên được suy ra từ công thức (1)
Cho khối chóp tứ giác D. A’ nằm trên cạnh SA khi đó 
3/Các ví dụ cụ thể:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, , SA vuông góc với đáy ABC , . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng () qua AG và song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
(Giáo viên yêu cầu học sinh giải với hai cách khác nhau, với mỗi cách giải rút ra nhận xét , rồi sau đó chọn cách giải tối ưu nhất )
Giải:
Cách 1 :Sử dụng công thức V=Sđáy.h
Kẻ AH vuông góc với SB tại H
Ta có :
Khi đó 
Xét tam giác SAB vuông tại A
AH.SB = SA.AB
( đvtt)
Cách 2 : Sử dụng công thức tỉ số thể tích
Ta có: 
 và 
 + Tam giác ABC vuông cân tại B, ,AB=a
Vậy: 
Gọi I là trung điểm BC.
G là trọng tâm,ta có : 
// BC MN// BC 
 Vậy: (đvtt)
Nhận xét: 
	-Việc tìm và chứng minh đường cao: phải nhìn ra được mặt phẳng (SBC) vuông góc (SAB). Từ đó kẻ đường AH vuông góc với SB tại H thì AH cũng vuông góc với (SBC) (hay vuông góc với (SMN) ). Chọn AH là đường cao hình chóp A.SMN.
	-Việc tính diện tích đáy SMN : dựa vào diện tích tam giác SBC
Nếu sử dụng công thức tỉ số thể tích ta thấy: 
	-Việc tính thể tích khối chóp S.ABC tương đối đơn giản: đường cao SA , đáy ABC vuông cân tại B.
	-Từ đó sử dụng công thức tỉ số thể tích giữa VS.AMN và VS.ABC ta tính được thể tích khối chóp S.AMN
Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích khối chóp S.AMN
(Giáo viên yêu cầu học sinh giải với hai cách khác nhau, với mỗi cách giải rút ra nhận xét , rồi sau đó chọn cách giải tối ưu nhất )
Giải
Cách 1 :Sử dụng công thức V=Sđáy.h
 Khối chóp S.AMN có : Đáy là tam giác AMN , đường cao là SA
 AMN có Â = 600 , AM=AN = a
 , SA = 
Vậy (đvtt)
Cách 2 : Sử dụng công thức tỉ số thể tích
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh A
Do đó theo công thức tỷ số thể tích , ta có 
Ta có : 	
Vậy (đvtt)
Nhận xét: 
-Thấy được đường cao của khối chóp là SA
- Việc tính diện tích đáy AMN cũng không đơn giản.
Nếu sử dụng công thức tỉ số thể tích ta thấy: 
	-Việc tính thể tích khối chóp S.ABC tương đối đơn giản: đường cao SA, đáy ABC là tam giác đều.
	-Từ đó sử dụng công thức tỉ số thể tích giữa VA.SMN và VA.SBC ta tính được thể tích khối chóp S.AMN
Ví dụ 3: (Đề tuyển sinh Đại học khối D -2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. SA=2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M, N tương ứng là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tìm thể tích khối chóp A.BMNC
(Giáo viên yêu cầu học sinh giải với hai cách khác nhau, với mỗi cách giải rút ra nhận xét , rồi sau đó chọn cách giải tối ưu nhất )
Giải
Cách 1 :Sử dụng công thức V=Sđáy.h
Gọi E là trung điểm của BC.
 Ta có AEBC, SABC 
=> BC(SEA) => (SBC) (SEA)
Kẻ AHSE (H thuộc SE) => AH(SBC)
Vậy AH là chiều cao của hình chóp A.BMNC
Trong tam giác vuông SAE, ta có 
Vì AB=AC => SB=SC
Ta có SA2=SM.SB=SN.SC=>SM=SN
Ta có 
Vậy (đvtt)
Cách 2: Sử dụng công thức tỉ số thể tích
Ta có : VA.BMNC = VS.ABC - VS.AMN (1)
Ta có 
Vì AB=AC => SB=SC
Ta có SA2=SM.SN=SN.SC=>SM=SN
Vậy (2)
Ta có SA2=SM.SB => 
Vậy từ (2) ta có =>VS.AMN=VS.ABC (3)
Từ (1) và (3) ta có : (đvtt)
Nhận xét: 
	-Việc tìm và chứng minh đường cao :phải nhìn ra được hai tam giác ABC và SBC cân có chung cạnh đáy BC.Từ đó gọi E là trung điểm BC thì mặt phẳng (SBC) vuông góc (SAE). Từ đó kẻ đường AH vuông góc với SE tại H thì AH cũng vuông góc với (SBC) (hay vuông góc với (BMNC) ). Chọn AH là đường cao hình chóp A.BMNC.
	-Việc tính diện tích đáy BMNC : 
Nếu sử dụng công thức tỉ số thể tích ta thấy: 
	-Việc tính thể tích khối chóp S.ABC tương đối đơn giản: đường cao SA, đáy ABC là tam giác đều.
	-Từ đó sử dụng công thức tỉ số thể tích giữa VS.AMN và VS.ABC để tính thể tích VS.AMN . Khi đó 
Ví dụ 4:Hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), SA=a, tam giác ABC vuông cân có AB=BC=a. Gọi B’ là trung điểm SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’.
(Giáo viên yêu cầu học sinh giải với hai cách khác nhau, với mỗi cách giải rút ra nhận xét , rồi sau đó chọn cách giải tối ưu nhất )
Gi¶i
Cách 1 :Sử dụng công thức V=Sđáy.h
Ta có = ; SA =a
⇒ VS.ABC = SABC .SA = a3
∆SAB có AB = SA = a ⇒∆SAB vuông cân tại A 
Mà B’ là trung điểm SB ⇒ AB’ ⊥ SB (1)
BC⊥ AB và BC⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB) 
 ⇒ BC ⊥ AB’ (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB’ ⊥ (SBC)
Từ đó ta có AB’⊥ SC mà SC ⊥ AC’ =>SC ⊥ (AB’C’)
=SB’
Vì AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥ B’C’. SC = 
Tam giác SB’C’ vuông tại C’
B’C’2 = SB’2 - SC’2 = ⇒SAB’C’ = 
Vậy VS.AB’C’ = (đvtt)
Cách 2: Sử dụng công thức tỉ số thể tích
Ta có SABC= ; SA =a
⇒ VS.ABC = SABC .SA = a3
Vậy (đvtt)
Nhận xét: 
	-Việc tìm và chứng minh đường cao: phải nhìn ra được AB’ vuông góc với (SBC) . Từ đó ta có SC vuông góc AB’ và vuông góc AC’ nên SC’ vuông góc (AB’C’). Chọn SC’ là đường cao hình chóp S.AB’C’.
	-Việc tính diện tích đáy AB’C’: tam giác AB’C’ vuông tại B’
Nếu sử dụng công thức tỉ số thể tích ta thấy: 
	-Việc tính thể tích khối chóp S.ABC tương đối đơn giản: đường cao SA, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B.
	-Từ đó sử dụng công thức tỉ số thể tích giữa VS.AB’C’ và VS.ABC để tính thể tích VS.AB’C’.
Ví dụ 5:Hình chóp S.ABC có tam giác có tam giác ABC vuông tại B, SA (ABC). Góc ACB bằng 60o, BC = a, SA = a, M là trung điểm SB. Tính thể tích MABC
(Giáo viên yêu cầu học sinh giải với hai cách khác nhau, với mỗi cách giải rút ra nhận xét , rồi sau đó chọn cách giải tối ưu nhất )
Gi¶i
Cách 1 :Sử dụng công thức V=Sđáy.h
SA (ABC)
Trong mp(SAB), từ M kẻ MH // SA cắt AB tại H
=> MH(ABC), MH=
SABC = 
Vậy VMABC= (đvtt)
Cách 2: Sử dụng công thức tỉ số thể tích
mà VS.ABC = SA.SABC = 
Vậy VMABC = (đvtt)
Nhận xét: 
	-Việc tìm và chứng minh đường cao: phải nhìn ra được SA vuông góc với (ABC). Nên đường thẳng qua M mà vuông góc với (ABC) phải song song SA. Từ đó ta kẻ MH //SA cắt AB tại H. Khi đó MH vuông góc (ABC). Chọn MH là đường cao hình chóp M.ABC.
	-Việc tính diện tích đáy ABC: tam giác ABC vuông tại B
Nếu sử dụng công thức tỉ số thể tích ta thấy: 
	-Việc tính thể tích khối chóp S.ABC tương đối đơn giản: đường cao SA, đáy ABC là tam giác vuông tại B.
	-Từ đó sử dụng công thức tỉ số thể tích giữa VMABC và VSABC để tính thể tích VMABC.
Ví dụ 6 (Đề tuyển sinh Đại học khối A -2007)
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của SB; BC; CD. Tính thể tích của CMNP theo a.
(Giáo viên yêu cầu học sinh giải với hai cách khác nhau, với mỗi cách giải rút ra nhận xét , rồi sau đó chọn cách giải tối ưu nhất )
Gi¶i
Cách 1 :Sử dụng công thức V=Sđáy.h
●Tính diện tích :
 ● Tính chiều cao của khối chóp
Gọi H là trung điểm của AD ta có SHAD 
mà (SAD) (ABCD) nên SH(ABCD)
và 
Trong mp(SHB), kẻ MK//SH và cắt BH tại K
 . Vậy (đvtt)
Cách 2: Sử dụng công thức tỉ số thể tích
Gọi H là trung điểm của AD ta có SHAD mà (SAD) (ABCD) nên SH(ABCD)
Do đó 
Mà 
Vậy (đvtt)
Nhận xét: 
	-Việc tìm và chứng minh đường cao: ta chứng minh được SH vuông góc (ABCD) nên đường thẳng qua M và vuông góc (ABCD) phải song song SH
	-Việc tính diện tích đáy CPN: tam giác CPN vuông tại C
Nếu sử dụng công thức tỉ số thể tích ta thấy: 
	-Việc tính thể tích khối chóp S.BCD tương đối đơn giản: đường cao SA, đáy BCD có diện tích bằng nửa diện hình vuông ABCD.
	-Từ đó sử dụng công thức tỉ số thể tích giữa VM.BCD và VS.BCD để tính thể tích VM.BCD. Sử dụng tỉ số thể tích giữa VC.MNP và VC.MBD để tính thể tích VC.MNP
Ví dụ 7 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=SA=a, AD=a. SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a 
(Giáo viên yêu cầu học sinh giải với hai cách khác nhau, với mỗi cách giải rút ra nhận xét , rồi sau đó chọn cách giải tối ưu nhất )
Gi¶i
Cách 1 :Sử dụng công thức V=Sđáy.h
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Ta có: NO // SA mà SA(ABCD)
=> NO(AMI), NO là đường cao
NO=
Xét tam giác ABM
(I là trọng tâm tam giác ABD)
Xét tam giác ACD :
Vậy (đvtt)
Cách 2: Sử dụng công thức tỉ số thể tích
Ta có 
Gọi O là giao điểm của AC và BD. 
Ta có I là trọng tâm của tam giác ABD, do đó
Ta có: 
Mặt khác: 
Vậy (đvtt)
Nhận xét: 
	-Việc tìm và chứng minh đường cao: ta có SA vuông góc (ABCD) nên đường thẳng qua N và vuông góc (AIM) phải song song SA. Khi đó chọn đường cao là NO
	-Việc tính diện tích đáy AIM : dựa vào công thức Hêrông
Nếu sử dụng công thức tỉ số thể tích ta thấy: 
	-Việc tính thể tích khối chóp S.ACD tương đối đơn giản: đường cao SA, đáy BCD có diện tích bằng nửa diện hình chữ nhật ABCD.
	-Từ đó sử dụng công thức tỉ số thể tích giữa VN.ACD và VS.ACD để tính thể tích VN.ACD. Sử dụng tỉ số thể tích giữa VA.IMN và VA.CDN để tính thể tích VA.IMN
 Ví dụ 8:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=a,SA=2a và SA (ABCD). Một mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, I, K. Hãy tính thể tích khối chóp S.AHIK theo a
(Giáo viên yêu cầu học sinh giải với hai cách khác nhau, với mỗi cách giải rút ra nhận xét , rồi sau đó chọn cách giải tối ưu nhất )
Gi¶i
Cách 1 :Sử dụng công thức V=Sđáy.h
Ta có 
 Nên cân tại A mà AI SC 
nên I là trung điểm SC , AI=SI=
 Mà và AI SC nên SI (AHIK) 
Ta có 
Trong tam giác HAI vuông tại H có 
Tương tự ta có AK=, 
Vậy (đvtt)
Cách 2: Sử dụng công thức tỉ số thể tích
Tương tự :
Do đó :(đvtt)
Nhận xét: 
	-Việc tìm và chứng minh đường cao: phải nhìn ra được AH vuông góc (SBC) nên AH vuông góc SC mà AI vuông góc SC. Từ đó ta có SC vuông góc (AHIK). Khi đó chọn đường cao là SI
	-Việc tính diện tích đáy AHIK : là tổng của hai tam giác AHI vuông tại H và AIK vuông tại K
Nếu sử dụng công thức tỉ số thể tích ta thấy: 
	-Việc tính thể tích khối chóp S.ABCD tương đối đơn giản: đường cao SA, đáy ABCD là hình chữ nhật.
	-Sử dụng công thức tỉ số thể tích giữa VS.AHI và VS.ABC (với VS.ABC = VS.ABCD) tính thể tích VS.AHI theo VS.ABCD . 
-Sử dụng công thức tỉ số thể tích giữa VS.AIK và VS.ACD (với VS.ACD = VS.ABCD) tính thể tích VS.AIK theo VS.ABCD .
-Khi đó 
Ví dụ 9:(Đề tuyển sinh Đại học khối D -2009)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a. Gọi M là trung điểm A’C’. I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC
(Giáo viên yêu cầu học sinh giải với hai cách khác nhau, với mỗi cách giải rút ra nhận xét , rồi sau đó chọn cách giải tối ưu nhất )
Gi¶i
Cách 1 :Sử dụng công thức V=Sđáy.h
Kẻ IH // AA’ vì AA’ (ABC) nên IH(ABC)
Nên IH là đường cao khối tứ diện IABC
●Tính diện tích :
 Tính được 
● Tính chiều cao IH:
 Ta có : (hai tam giác IAC và IMA’ đồng dạng)
Vậy :(đvtt)
Cách 2: Sử dụng công thức tỉ số thể tích
Theo định lý Pitago trong tam giác AA’C ta có AC=a
Theo định lý Pitago trong tam giác ABC ta có BC=2a
Ta có I là trọng tâm tam giác AA’C nên 
 (đvtt)
Nhận xét: 
	-Việc tìm và chứng minh đường cao : A’A vuông góc (ABC) nên đường thẳng qua I và vuông góc với (ABC) phải song song với A’A. Từ đó kẻ IH song song A’A. Chọn IH là đường cao của IABC.
	-Việc tính diện tích đáy ABC : tam giác ABC vuông tại B.
Nếu sử dụng công thức tỉ số thể tích ta thấy: 
	-Việc tính thể tích khối chóp M.ABC tương đối đơn giản:đường cao bằng cạnh bên của hình lăng trụ, đáy ABC là tam giác vuông tại B.
	-Sử dụng công thức tỉ số thể tích giữa VM.ABC và VI.ABC tính thể tích VI.ABC
Từ đây, học sinh không cần phải giải hai cách , mà từ giả thiết và yêu cầu bài toán học sinh sẽ xác định được nên làm theo cách nào
Ví dụ 10: Cho tứ diện ABCD, có tam giác ABC vuông cân ở A và CD=. CD vuông góc (ABC). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của C lên DA, DB. Tính thể tích khối tứ diện CDEF
Giải
Ta có: (*)
 Mà , chia cho 
 Tương tự: . Từ(*) 
Vậy (đvtt)
Ví dụ 11:Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM
Giải
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S
ta có 
 (đvtt)	
Ví dụ 12:Cho tứ diện ABCD có góc ABC bằng góc BAD bằng 900, góc CAD bằng 1200, AB=a, AC= 2a, AD=3a. Tính VABCD .
Giải
Lấy M trên cạnh AC, N trên cạnh AD sao cho AM=AN=a
Tam giác ABC vuông tại B nên 
Tam giác ABD vuông cân tại A nên BN=
Xét tam giác AMN MN2= AM2+AN2-2.AM.AN. cosA =>MN=a
=>Tam giác BMN vuông tại B
Vì AB= AM= AM nên hình chiếu của A lên mp(BMN) là tâm H của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN. H cũng chính là trung điểm của MN
Ta có 
Vậy ( đvtt) 
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có thể tích 9m3 ,trên AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B', C', D' sao cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD'. Tính thể tích tứ diện AB'C'D'. Đs: V = 2 m3
Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B' và C' lần lượt trên AB và AC sao cho . Tính thể tích tứ diện AB'C'D . Đs: 
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có thể tích 12 m3 .Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD , lấy N trên AD sao cho DA = 3NA. Tính thể tích khối tứ diện BMNP. Đs: V = 1 m3
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh ,đường cao SA = a. Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích khối chóp SAHK. Đs: 
Ví dụ13: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, AB= a, SA= . Gọi M là trung điểm của SC, (P) là mặt phẳng qua AM song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E,F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
Giải:
Gọi O là tâm của ABCD, I là giao điểm AM với SO
Suy ra I là trọng tâm tam giác SAC và SBD
Vì (P) // BD nên EF // BD => 
Ta có SO==> 
Mặt khác 
 (đvtt)
Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Giải
 Ta có: 
=> VS.ABC = VS.ADC =
Ta có: 
 vuông cân nên 
Ta có: 
 Từ
Vậy (đvtt)
Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc AC và AH=. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a
Giải
Suy ra 
Vậy tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm SA
Ta có 
(đvtt)
Ví dụ 16: ( Đề tuyển sinh Đại học khối B -2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, góc BAD bằng góc ABC bằng 900, AB=BC=a, AD=2a, SA vuông góc với đáy và SA=2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a.
Giải
Ta có 
Suy ra VS.BCNM= VS.BCM+VS.CMN
(đvtt)
Ví dụ 17: ( Đề tuyển sinh Đại học khối A -2004) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng cm, đường chéo AC=4cm. Đoạn thẳng SO=cm và vuông góc với đáy, ở đây O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tìm thể tích hình chóp.
Giải
Ta có AB // DC => AB // (SDC)
 => (SAB)(SDC) = MN // AB (NSD)
Vì M là trung điểm của SC nên N là trung điểm của SD. 
Ta có VS.ABMN= VS.ABN +VS.BMN (1)
Ta có 
Từ (1) suy ra VS.ABMN= VS.ABN + VS.BMN=VS.ABCD (2)
 (3)
Từ (2) và (3) suy ra: VS.ABCD=(đvtt)
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27m3 .Lấy A'trên SA sao cho 
SA = 3SA'. Mặt phẳng qua A' và song song với đáy hình chóp cắt SB, SC, SD lần lượt tại B', C', D' .Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D'. Đs: V = 1 m3 
Bài 2: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 9m3, ABCD là hình bình hành , lấy M trên SA sao cho 2SA = 3SM. Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N.Tính thể tích khối đa diện ABCDMN .Đs: V = 4m3
Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao SA = h. Gọi N là trung điểm SC. Mặt phẳng chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB,SD tại M và P. Tính thể tích khối chóp S.AMNP. Đs: 
Ví dụ 18: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳng (P) qua A, B và trung điểm M của SC. Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
Giải
Kẻ MN//CD (N trên cạnh SD) thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM)
Ta có 
Mà VS.ABMN = VS.ANB+VS.BMN=
Suy ra VABMN.ABCD= VS.ABCD-VS.ABMN=
Vậy 
Ví dụ 19:Khối chãp SABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. M lµ trung ®iÓm SC. mÆt ph¼ng (P) chøa AM vµ //BD chia khối chãp thµnh hai ph©n. TÝnh tØ sè thÓ tÝch cña hai phÇn ®ã.
Gi¶i
-Gäi O = AC ∩ BD, I = SO ∩ AM
⇒ I ∈ (P)
 BD ⊂ (SBD) ⇒ (P) ∩ (SBD) = B’D’ // BD
 BD // (P) 
 (v× I lµ träng t©m ∆SAC)
mµ VSABD = VSCBD = VSABCD
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diện ABCD. Đs: 
Bài 2 : Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia khối chóp thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích 2 phần này. Đs: 
Bài 3: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA sao cho Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau. Đs: 
ĐỀ KIỂM TRA TRƯỚC TÁC ĐỘNG
Thời gian: 45 phút
Bài 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = 3a, AC=5a.
a/ Chứng minh BC vuông góc (SAB), (SBC) vuông góc (SAB) (1,5 điểm)
b/Tính diện tích tam giác ABC theo a theo a . (1 điểm)
c/Gọi M, N lần lượt nằm trên cạnh SB, SC sao cho SB=3SM, NC= 2NS. H là trung điểm SB. Chứng minh AH vuông góc (SBC) và tính diện tích tam giác SMN(3 điểm)
Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = 2a . Tính diện tích mặt đáy và độ dài đường cao của khối chóp S.ABCD, biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 450. (2,5 điểm)
Bài 3.Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy 2a, góc giữa A’B và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính diện tích mặt đáy ABC và độ dài cạnh bên của khối lăng trụ. (2 điểm)
Hướng dẫn chấm
Bài 1:
a/ BCAB, BCSA(0,5 điểm) 
 => BC(SAB) (0,5 điểm)
=> (SBC) (SAB) (0,5 điểm)
b/BC=4a (0,5 điểm)
S= 6a2 (0,5 điểm)	
c/ Ta có :
 (1 điểm)
 (1 điểm)
 (1 điểm)
Bài 2:
S=4a2(0,5điểm)
Gọi O là tâm mặt đáy ABCD
Hình chiếu của SB lên (ABCD) là OB
=>Góc giữa SB và (ABCD) là góc SBO(1điểm) 
=> Tam giác SOB vuô