Sáng kiến: Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 giải nhanh một số dạng toán khó bằng biệt thức Đenta

I/ Lí do chọn sáng kiến:
Dạy học toán, ngoài việc dạy cho học sinh nắm vững kiến thức và biết vận dụng kiến thức vào bài toán, bên cạnh đó giáo viên cần chú trọng việc bồi dưỡng thuật toán cho học sinh, rèn luyện cho các em biết khai thác các bài toán một cách tổng quát, từ đó hình thành và phát triển các năng lực đặc biệt của học sinh đại trà nói chung và đối với học sinh khá giỏi nói riêng.
Trong tình hình hiện nay, ở trường THCS rất coi trọng công tác nâng kém cũng như là bồi dưỡng học sinh giỏi bởi vì đó là các mục tiêu mà cả nhà trường và giáo viên bộ môn phải luôn quan tâm và có kế hoạch đào tạo lâu dài mới có thể đạt được hiệu quả thiết thực.
Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9, tôi thấy có nhiều dạng toán liên quan đến tam thức bậc hai:
+ Giải phương trình và hệ phương trình có nhiều ẩn số.
+ Giải phương trình nghiệm nguyên
+ Chứng minh bất đẳng thức
+ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất,…
Đây là các nội dung khó đối với học sinh lớp 9, khi giải các bài tập này các em gặp nhiều vướn mắt dẫn đến không còn hứng thú để giải bài tập, bởi vì các em chưa tìm được phương pháp thích hợp và công cụ để giải các dạng toán trên củng còn nhiều hạn chế. Không vì thế, khi bồi dưỡng đối tượng học sinh giỏi toán 9 mà tôi lại ngần ngại hay tránh né các dạng toán này, vì thế sau vài năm đảm nhiệm công tác bồi giỏi tôi đã tìm ra ứng dụng của biệt thức Đenta để gải các dạng toán trên. Chính vì vậy tôi viết sáng kiến kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 giải nhanh một số dạng toán khó bằng biệt thức Đenta”
II/ Nội dung sáng kiến:
1/ Phương trình bậc hai và biệt thức Đenta
Phương trình bậc hai có dạng 
Công thức nghiệm
Công thức nghiệm thu gọn
Biệt thức 
+ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi:
+ Phương trình (1) có nghiệm kép khi:
+ Phương trình (1) vô nghiệm khi
Biệt thức với 
+ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi:
+ Phương trình (1) có nghiệm kép khi:
+ Phương trình (1) vô nghiệm khi
2/ Các ứng dụng của biệt thức Đenta vào một số dạng toán khó
Dạng 1: Giải phương trình và hệ phương trình nhiều ẩn số
Để giải bài toán này, thông thường học sinh phân tích vế trái thành nhân tử hoặc đưa vế trái thành tổng các bình phương còn vế phải bằng 0, hay cũng có thể sử dụng phương pháp loại trừ,… các phương pháp này học sinh biến đổi thường gặp nhiều khó khăn và dẫn đến bế tắc. nhưng nếu sử dụng biệt thức Đenta để giải thì bài toán trở nên dễ dàng.
Ví dụ 1: Giải phương trình 
* Cách giải thông thường: 
Từ đây ta sẽ tìm được x, y . tuy nhiên việc biến đổi (1) về dạng tổng hai bình phương là rất khó đối với các em.
* Cách giải bằng biệt thức Đenta:
Bước 1: Đưa về phương trình bậc hai ẩn y:
Bước 2: Tìm điều kiện để phương trình (2) có nghiệm
(2) có nghiệm khi . Từ đó ta tìm được 
Lưu ý: có thể giải phương trình (1) bằng cách đưa về phương trình bậc hai ẩn x.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
* Cách giải thông thường: phân tích phương trình (1) hoặc (2) về dạng tổng các bình phương như ở ví dụ 1
* Cách giải sử dụng biệt thức Đenta
Đưa PT (1) về dạng phương trình bậc hai ẩn x
Tương tự đưa phương trình (2) về dạng PT bậc hai ẩn x
Để x, y là nghiệm của hệ phương trình thì 
Giải ra ta được nghiệm là: (2,8 ; 2,4) (-3,2 ; -0.6) (3,4 ; 1,2) ( -2,6 ; -1,8)
Bài tập đề xuất: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
 a/ 
 b/ 
 c/ 
 d/ 
Khai thác ví dụ 2, ta có bài toán: tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình
Hướng dẫn: Giải tương tự ví dụ 2
Giải hệ ta được nghiệm nguyên là (1 ; 0) hoặc (0 ; 1)
Dạng 2: Phương trình nghiệm nguyên
Ta viết phương trình dưới dạng phương trình bậc hai ẩn x, khi đó y,… là tham số
Thuật toán giải phương trình nghiệm nguyên:
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
Giải: Học sinh giải ví dụ này giống như ví dụ 1
Để phương trình (1) có nghiệm khi 
Vì nên 
Với y = -2 thay vào (1) ta được: x = 0 hoặc x = 1
Với y = 2 thay vào (1) ta được: x = 0 hoặc x = -1
Với y = -1 thay vào (1) ta được: x = -1 ; (loại)
Với y = 1 thay vào (1) ta được: x = 1 (loại)
Với y = 0 thay vào (1) ta được: 
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: 
 (0;-2) (1;-2) (0;2) (-1;2) (-1;-1) (1;1)
Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
Giải: Học sinh giải tương tự ví dụ 3
Để phương trình có nghiệm thì 
Đến đây học sinh thấy bế tắc không đưa ra được kết quả
Để phương trình (1) có nghiệm nguyên thì ngoài điều kiện ta còn có điều kiện phải là số chính phương
 phải là số chính phương
Đặt 
Vì có cùng tính chẵn lẻ
 cùng chẵn
Hoặc 
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên
Nhận xét: Từ các bài toán trên ta thấy vai trò của biệt thức Đenta vô cùng quan trọng, khi giải các em cần phải xem xét mọi tình huống xảy ra, cần vận dụng kiến thức một cách linh hoạt.
Bài tập đề xuất: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau
a/ 
 b/ 
 c/ 
 d/ 
Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức
 Cho tam thức bậc hai 
+ Nếu thì luôn cùng dấu với a.
+ Nếu thì luôn cùng dấu với a. 
(trừ )
+ Nếu thì (giả sử )
 trái dấu với a nếu 
 cùng dấu với a nếu hoặc 
Ví dụ 5: Chứng minh đẳng thức
với mọi x,y
Giải: Đặt 
 với mọi x
> 0 với mọi x,y. (do a = 5 > 0)
Ví dụ 6: Chứng minh rằng với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Dấu = xảy ra khi nào? Khi đó tam giác ABC là tam giác gì?
Giải: Nếu chọn a làm ẩn ta đặt
 (
 (do hệ số a = 2 > 0)
Dấu = xảy ra khi a = b = c . khi đó tam giác ABC là tam giác đều.
Ví dụ 7: Chứng minh đẳng thức 
Giải: Nếu chọn x làm ẩn ta đặt 
 với mọi x,y,z ( điều phải chứng minh)
Bài tập đề xuất:
1/ Chứng minh bất đẳng thức
 a. 
 b. 
2/ Cho a,b,c là các số thuộc đoạn thỏa mãn .
 Chứng minh 
3/ Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác . chứng minh
 a/ 
 b/ 
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, miền giá trị của hàm số
 Phương pháp chung để giải
+ Giả sử hàm số đã cho là 
+ Ta xét phương trình . Phương trình này có nghiệm khi a thuộc miền giá trị của hàm số
Như vậy ta đã chuyển bài toán về dạng tam thức bậc hai và công cụ để giải chính là biệt thức Đenta
Từ ví dụ 7, ta khai thác và đặt ra bài toán mới như sau:
Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giải:
Vậy khi đó 
Ví dụ 9: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của (1)
Giải: 
+ Trường hợp 1: Nếu B = 0 thì 
+ Trường hợp 2: Nếu điều kiện để (2) có nghiệm là 
 khi 
 khi 
Nhận xét: Như vậy càng khám phá ta lại thấy được biệt thức Đenta còn có ứng dụng để giải các bài toán tìm GTLN, GTNN, tìm miềm giá trị của hàm số.
Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của 
Giải: do 
(1) (2)
+ Trường hợp 1: Nếu A = 1 thì (2) có nghiệm x = 0
+ Trường hợp 2: Nếu thì điều kiện để (2) có nghiệm là 
Tức 
 (
Với khi 
Với khi 
Kết luận: Gộp cả hai trường hợp ta có:
 khi 
 khi 
Chú ý: Từ phương pháp giải bài toán này giáo viên củng có thể mở rộng thêm phương pháp tìm miền giá trị của hàm số.
Ví dụ 11: Tìm miền giá trị của hàm số 
Giải: 
+ Trường hợp 1: Nếu thì 
+ Trường hợp 2: Nếu điều kiện để (2) có nghiệm là 
Vậy miền giá trị của B là: 
Bài tập đề xuất:
1/ Ví dụ 11 còn được đổi thành dạng: chứng minh 
2/ Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của:
 a. 
 b. 
 c. 
III/ Kết quả và khả năng áp dụng sáng kiến. 
 1/ Về học sinh: 
+ Có một cách nhìn tổng quát hơn về ứng dụng của tam thức bậc hai.
+ Sáng kiến giúp cho học sinh không cần phải máy móc giải các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giải phương trình nhiều ẩn,…
+ Khi gặp các dạng toán trong sáng kiến thì tâm lí các em không còn e ngại như trước nửa mà rất tự tin khi giải các bài tập đó.
 2/ Về phía giáo viên: 
+ Sáng kiến củng giúp cho giáo viên chưa có nhiều kinh nghiệm trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi được bổ sung thêm kiến thức về ứng dụng của biệt thức Đenta.
Vì vậy, bản thân khi viết sáng kiến trên, tôi thấy sáng kiến có khả năng áp dụng rộng rãi ở trường THCS nói chung và của trường THCS Trường Thọ nói riêng.
IV/ Kiểm nghiệm đề tài qua thực tế 
Sau khi hoàn thành sáng kiến và tôi đã vận dụng vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 hàng năm, đã đạt được những kết quả đáng bất ngờ:
+ Hàng năm đều có học sinh giỏi các cấp.
+ Ngay cả học sinh đại trà củng có thể giải được các dạng toán trên khi giáo viên gợi ý phương pháp sử dụng biệt thức Đenta.
V/ Bài học kinh nghiệm
Bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhiệm vụ rất khó đối giáo viên vùng khó khăn, tuy nhiên để đạt được nhiệm vụ trên theo kinh nghiệm bản thân, tôi xin rút ra các bài học sau:
+ Ban giám hiệu trường phải có kế hoạch cụ thể nhất là cần kiểm tra chặc chẽ việc bồi dưỡng của giáo viên từ khối 6 đến khối 9, thành lập được hội đồng chuyên môn có đủ năng lực chỉ đạo công tác bồi giỏi, tạo mọi điều kiện để giáo viên phát huy hết khả năng.
+ Giáo viên bộ môn phải chọn học sinh vào đội tuyển và cần lên kế hoạch bồi dưỡng ngay từ đầu năm, trong quá trình bồi dưỡng cần phải kiểm tra mức độ đạt của học sinh qua các chuyên đề hay sáng kiến.
+ Trước khi giáo viên bộ môn truyền đạt sáng kiến hay chuyên đề đến học sinh, thì các sáng kiến đó cần được hội đồng chuyên môn duyệt xem tính khả thi như thế nào.
Kết luận: Như vậy, không phải mất thời gian tìm nhiều phương pháp giải các dạng toán trong sáng kiến trên mà chỉ cần vận dụng biệt thức Đenta kết hợp thêm vài phương pháp khác là sáng kiến gần như hoàn hảo. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. S¸ch gi¸o khoa to¸n 8,9 NXB gi¸o dôc 
To¸n n©ng cao vµ c¸c chuyªn ®Ò §¹i Sè 9. Vò D­¬ng Thuþ. NXB §¹i Häc Quèc Gia Hµ Néi. N¨m 2006
Mét sè vÊn ®Ò ph¸t triÓn §¹i Sè 9. Vò H÷u B×nh. NXB Gi¸o dôc. N¨m 2005
N©ng cao vµ ph¸t triÓn To¸n 9. Vò H÷u B×nh. NXB Gi¸o dôc. N¨m 2006
TuyÓn chän c¸c ®Ò To¸n thi vµo líp 10 .Huúnh Quang L©u. NXB §¹i Häc S­ Ph¹m. N¨m 2008
TuyÓn chän c¸c ®Ò To¸n thi vµo líp 10 . NguyÔn Thuý Mïi. NXB §¹i Häc Quèc Gia Hµ Néi. N¨m 2008