Rèn luyện kĩ năng giải toán về phép nhân và phép chia đa thức

g minh giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
a.  A = x(2x + 1) − x2(x + 2) + x3 − x + 3
b.  B = 4(6 − x) + x2(2 + 3x) − x(5x − 4) + 3x2(1 − x)
Xem lời giải tại:
4. Tính giá trị của biểu thức
a.  A = x(x − y + 1) − y(y + 1 − x) với x =
−2
3
; y =
−1
3
b.  B = 5x(x − 4y) − 4y(y − 5x) với x =
−1
5
; y =
−1
2
( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( )
a.  (5x − 2y)(x2 − xy + 1) b.  (x − 1)(x + 1)(x + 2)
c. 
1
2
x2y2(2x + y)(2x − y)
Xem lời giải tại:
5. Rút gọn các biểu thức
a.  A = 3xn+1 − 2xn .4x2
b.  B = 2xn 3xn+1 − 1 − 3xn+1 2xn − 1
c.  C = 3x2m−1 −
3
7
y3n−5 + x2my2n − 3y2 .8x3−2my6−3n
Xem lời giải tại:
6. Thực hiện phép tính:
Xem lời giải tại:
7. Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x.
a.  A = 5x2 − (2x + 1)(x − 2) − x(3x + 3) + 7
b.  B = (3x − 1)(2x + 3) − (x − 5)(6x − 1) − 38x
c.  C = (5x − 2)(x + 1) − (x − 3)(5x + 1) − 17(x − 2)
d.  D = − 3(x − 4)(x − 2) + x(3x − 18) − 25
Xem lời giải tại:
8. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng nếu cộng ba tích, mỗi tích là tích của hai
trong ba số đó thì được 26.
Xem lời giải tại:
( )
( ) ( )
( )
a.  (x + 2y)2 b.  (3x − 2y)2
c.  2x −
1
2
2
d. 
4a
9
−
3b
4
2
e. 
1
2
− y
1
2
+ y
a.  8x3 + 12x2 + 6x + 1 b.  1 − 9x + 27x2 − 27x3
c.  1 − 15x + 75x2 − 125x3 d.  (x + 3y) x2 − 3xy + 9y2
e.  (2a − b) 4a2 + 2ab + b2
9. Chứng minh:
a.  (x − 1)(x2 + x + 1) = x3 − 1
b.  (x3 + x2y + xy2 + y3)(x − y) = x4 − y4
Xem lời giải tại:
10. Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
a.  A = (5x − 7)(2x + 3) − (7x + 2)(x − 4) tại x =
1
2
b.  B = (x − 9)(2x + 3) − 2(x + 7)(x − 5) tại x = −
1
2
c.  C = ( − 5x + 4)(3x − 2) + ( − 2x + 3)(x − 2) tại x = − 2
d.  D = (x − 5)( − 3x + 1) − 3(x − 2)(2x − 1) tại x =
1
3
Xem lời giải tại:
11. Tính
Xem lời giải tại:
12. Rút gọn các biểu thức sau
( ) ( )
( )( )
( )
( )
a.  712 b.  992 c.  2010.1990 d.  10012
a.  85.12, 7 + 5.3.12, 7 b.  52.143 − 52.39 − 8.26
c.  97.13 + 130.0, 3 d.  86.153 − 530.8, 6
a.  (x − y)3 − 3(x − y)2 b.  (a + b)2n + (a + b)2n−1
Xem lời giải tại:
13. Điền vào dấu (  ) để được đẳng thức đúng
a.  (2a + 3b)( . . . . − . . . . + . . . . ) = 8a3 + 27b3
b.  (5x − . . . . )( . . . . + 20xy + . . . . ) = 125x3 − 64y3
c.  x3 + 3x2y + . . . . + . . . . = ( . . . . + . . . . )3
d.  1 − . . . . + . . . . − 64x3 = (1 − . . . . )3
Xem lời giải tại:
14. Tính nhẩm
Xem lời giải tại:
15. Rút gọn các biểu thức:
a.  A = (x + y)2 + (x − y)2 với x = 2; y = ‐ 3
b.  B = 2(x − y)(x + y) + (x + y)2 + (x − y)2 với x = 1
c.  C = (2x + 3)2 + (2x + 3)(2x − 6) + (x − 3)2 với x =
3
4
d.  D = x2 + x + 1 x2 − x + 1  với x = ‐ 1
Xem lời giải tại:
16. Tính nhanh:
Xem lời giải tại:
17. Phân tích thành nhân tử:
( )( )
c.  3(x + 1)ny − 6(x + 1)n+1 d.  (a − 2b)3n + (a − 2b)3n+1 
a.  7x2 + 2x = 0 b.  2x(x − 9) + 5(x − 9) = 0
c.  2x3 − 4x2 + 2x = 0
d.  2x(3x − 1) − 3(1 − 3x) = 0
a.  x2 − 25 b. 
1
64
− 4y2
c.  64a6 − 27b3 d.  x3m + y6n
a.  A = 236 − 136 chia hết cho 360
b.  B = 512 + 56 chia hết cho 650
Xem lời giải tại:
18. Tìm x biết:
Xem lời giải tại:
19. Tính giá trị các biểu thức sau:
a.  x2 + xy + x tại x = 77; y = 22
b.  x(x − y) + y(y − x) tại x = 53; y = 3
Xem lời giải tại:
20. Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = xn(x + 1) − xn − xn−1 (n ∈ N, n > 1).
Xem lời giải tại:
21. Phân tích thành nhân tử
Xem lời giải tại:
22. Chứng tỏ rằng
Xem lời giải tại:
a.  x2 − 4xy + 4y2 b.  25a2b2 − c2
c.  81a2 + 18a + 1 d.  (a − b)2 − 2(a − b)c + c2
a.  1212 − 212 b.  20152 − 20142
c.  1252 + 372 − 252 − 72
a.  x2 − x − y2 − y b.  x2 − 2xy + y2 − z2
c.  4x2 − y2 + 4x + 1 d.  x3 − x + y3 − y
a.  a2 + 2ab + b2 − c2 + 2cd − d2
b.  x2 − 4xy + 4y2 − x + 2y
c.  z2 − (x − 1)2 + 2(x − 1) − 1
d.  xz − yz − x2 + 2xy − y2
23. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a.  A = x2 + x
2
+ 4 x2 + x − 12
b.  B = x2 + 4x + 8
2
+ 3x x2 + 4x + 8 + 2x2
Xem lời giải tại:
24. Phân tích đa thức thành nhân tử
Xem lời giải tại:
25. Tính nhẩm
Xem lời giải tại:
26. Phân tích thành nhân tử:
Xem lời giải tại:
27. Phân tích thành nhân tử:
Xem lời giải tại:
( ) ( )
( ) ( )
a.  5x − 5y + ax − ay
b.  a3 − a2x − ay + xy
c.  xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz
a.  x2 − xy + 4x − 2y + 4 b.  x2y − xy2 + x3 − y3
c.  a2 − b2 − 2a − 2b d.  x4 − 27x
a.  (2x − 1)2 − 25 = 0
b.  8x3 − 50x = 0
c.  (x − 2) x2 + 2x + 7 + 2 x2 − 4 − 5(x − 2) = 0
28. Chứng tỏ đa thức sau vô nghiệm:
a.  f(x) = x2(x2 + 1) + x2(x + 3) + 3x + 3
b.  g(x) = x2(x2 − x + 1) + 5x2 − 5x + 5
Xem lời giải tại:
29. Phân tích thành nhân tử:
Xem lời giải tại:
30. Tính nhanh giá trị mỗi đa thức.
a.  x2 − 2xy − 4z2 + y2 tại x = 6; y = − 4; z = 45
b.  3(x − 3)(x + 7) + (x − 4)2 + 48 tại x = 0, 5 
Xem lời giải tại:
31. Phân tích đa thức thành nhân tử
Xem lời giải tại:
32. Tìm x, biết
Xem lời giải tại:
33. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì A = (2n − 1)3 − (2n − 1) luôn chia
( ) ( )
a.  a x3 − 3a x2 + 3a x − a b.  x2 − a2 + 2ab − b2
c.  3a − 3b + a2 − 2ab + b2 d.  5a2 + 3(a + b)2 − 5b2
a.  29 − 1 ⋮ 73 b.  56 − 104 ⋮ 9
a.  A = n3 − 4n2 + 4n − 1 b.  B = n3 − 2n2 + 2n − 1
hết cho 24.
Xem lời giải tại:
34. Phân tích đa thức thành nhân tử
Xem lời giải tại:
35. Chứng minh rằng:
Xem lời giải tại:
36. Tính nhanh:
a.  37, 5.6, 5 − 7, 5.3, 4 − 6, 6.7, 5 + 3, 5.37, 5
b.  452 + 402 − 152 + 80.45
c.  252 − 152
d.  872 + 732 − 272 − 132
Xem lời giải tại:
37. Tìm n ∈ N để giá trị các biểu thức sau là số nguyên tố:
Xem lời giải tại:
38. Tìm nghiệm của đa thức:
a.  f(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6
b.  g(x) = (x2 + 1). |x − 2| − x2 − 1
( ) ( )
a.  A =
432 − 112
(36, 5)2 − (27, 5)2
b.  B =
973 + 833
180
− 97.83
a.  3x2 − 8x + 4 b.  x3 − x2 − 4
c.  3x3 − 7x2 + 17x − 5 d.  x3 + 5x2 + 8x + 4
a.  x5 + x + 1 b.  x8 + x + 1
c.  x8 + x7 + 1
Xem lời giải tại:
39. Tính nhanh giá trị biểu thức:
a.  M = x2 + 4y2 − 4xy tại x = 18; y = 4
b.  N = 8x3 − 12x2y + 6xy2 − y3 tại x = 6; y = − 8
c.  P = x4 − 12x3 + 12x2 − 12x + 111 tại x = 11
Xem lời giải tại:
40. Tính nhanh:
Xem lời giải tại:
41. Phân tích thành nhân tử
Xem lời giải tại:
42. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Xem lời giải tại:
43. Cho x là số nguyên. Chứng minh rằng B = x4 − 4x3 − 2x2 + 12x + 9 là bình
phương của một số nguyên.
Xem lời giải tại:
a.  x3 − 7x − 6 b.  x2 − 10x + 16
c.  x2 + 6x + 8 d.  x2 − 8x + 15
a.   [ 5(a − b)3 + 2(a − b)2 ]  : (b − a)2
b.  5(x − 2y)3 : (5x − 10y)
c.  (x3 + 8y3) : (x + 2y)
44. Phân tích đa thức thành nhân tử
Xem lời giải tại:
45. Phân tích đa thức thành nhân tử
a.  x2 + 3x + 1 x2 + 3x + 2 − 6
b.  x2 + 2x
2
+ 9x2 + 18x + 20
c.  x2 + 8x + 7 (x + 3)(x + 5) + 15
Xem lời giải tại:
46. Thực hiện phép chia:
Xem lời giải tại:
47. Tìm n ∈ Z để giá trị của biểu thức 3n3 + 10n2 − 5 chia hết cho giá trị của
biểu thức 3n + 1.
Xem lời giải tại:
48. Xác định hằng số a và b sao cho:
a.  x4 + ax + b ⋮ x2 − 4
b.  x4 + ax3 + bx − 1 ⋮ x2 − 1
c.  x3 + ax + b ⋮ x2 + 2x − 2
( )( )
( )
( )
Xem lời giải tại:
49. Làm tính chia:
a.  (6x2 + 13x − 5) : (2x + 5)
b.  (x3 − 3x2 + x − 3) : (x − 3)
c.  (2x4 + x3 − 5x2 − 3x − 3) : (x2 − 3)
Xem lời giải tại:
50. Sắp xếp các đa thức sau theo lũy thừa giảm của biến rồi thực hiện phép chia:
a. (12x2 − 14x + 3 − 6x3 + x4) : (1 − 4x + x2) 
b. (x5 − x2 − 3x4 + 3x + 5x3 − 5) : (5 + x2 − 3x) 
c. (2x2 − 5x3 + 2x + 2x4 − 1) : (x2 − x − 1) 
Xem lời giải tại:
51. Chứng minh rằng 1993 − 199 chia hết cho 200
Xem lời giải tại:
52. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì 
A = (2n + 1) n2 − 3n − 1 − 2n3 + 1 chia hết cho 5.
Xem lời giải tại:
53. Tìm n  ∈  N sao cho 2n − 1 chia hết cho 7
Xem lời giải tại:
54. Chứng minh rằng
( )
a.  251 − 1 ⋮ 7 b.  270 + 370 ⋮ 13
a.  10x2 − 7x + a ⋮ 2x − 3
b.  2x2 + ax − 4 ⋮ x + 4
c.  x3 + ax2 + 5x + 3 ⋮ x2 + 2x + 3
d.  x2 − ax − 5a2 −
1
4
⋮ x + 2a
a.  x − 1 b.  x2 − 1
Xem lời giải tại:
55. Chứng minh rằng:
a.  A = 1382 + 124.138 + 622 ⋮ 400
b.  B =
8202 − 1802
2252 − 50.225 + 252
⋮ 16
Xem lời giải tại:
56. Xác định số hữu tỉ a sao cho:
Xem lời giải tại:
57. Tìm dư khi chia x + x3 + x9 + x27 cho:
Xem lời giải tại:
58. Chứng minh rằng: (x + y)6 + (x − y)6 ⋮ x2 + y2 
Xem lời giải tại:
59. Xác định các số hữu tỉ a, b sao cho:
a.  2x3 − x2 + ax + b ⋮ x2 − 1
b.  3x3 + ax2 + bx + 9 ⋮ x2 − 9
a.  x + 1 b.  x2 + 1
a.  x2 + 2x + 1 − y2 b.  5 − x2 − 4x
c.  0, 1x(y − 1) − 0, 5y(1 − y)
d. 
27
125
a3b6 + 1
a.  −
2
3
x + 3 3x2 − 6x + 9
b.  (2x − 3)(x + 4) + ( − x + 1)(x − 2)
c.  4x x2 − x + 3 − (x − 6)(x − 5)
d. 
3
2x − 1 − 4x
2 + 2x − 6
a.  (xy + 1)2 − (x − y)2 b.  x4 − x2 − 6
c.  x4 + 64y4 d.  x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1
c.  x4 + ax3 + bx − 1 ⋮ x2 − 1
d.  x4 + x3 + ax2 + (a + b)x + 2b + 1 ⋮ x3 + ax + b
Xem lời giải tại:
60. Tìm dư khi chia x99 + x55 + x11 + x + 7 cho:
Xem lời giải tại:
61. Phân tích đa thức thành nhân tử
Xem lời giải tại:
62. Làm tính nhân
Xem lời giải tại:
63. Phân tích đa thức thành nhân tử
Xem lời giải tại:
64. Tìm x, biết
( )( ) ( )
( )( )
a.  2x2 − 2x = (x − 1)2
b.  x2 − 4 = 2(x + 2)2
c.  x2 + x
2
+ x2 + x − 6 = 0
d.  (x − 2)2 = (5 − 3x)2
Xem lời giải tại:
65. Tìm x ∈ Z , biết
a.  x3 − 5x2 + 8x − 4 = 0
b.  x2 + x x2 + x + 1 = 6
c.  2x3 − x2 + 3x + 6 = 0
d.  {{\left( {{x}^{2}}‐4x \right)}^{2}}‐8\left( {{x}^{2}}‐4x \right)+15=0
Xem lời giải tại:
66. Rút gọn biểu thức
a.  A={{\left( x‐2 \right)}^{2}}+2\left( x‐2 \right)\left( 2x+2 \right)+4{{\left(
x+1 \right)}^{2}}
b.  B=\left( {{x}^{2}}‐2x+4 \right)\left( x+2 \right)‐{{\left( x+1
\right)}^{3}}+3\left( x‐1 \right)\left( x+1 \right)
c.  C={{\left( x+y+z‐t \right)}^{2}}‐{{\left( t‐x‐y‐z \right)}^{2}}
Xem lời giải tại:
67. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
a.  A={{\left( 5x‐2 \right)}^{2}}‐{{\left( 6x+1 \right)}^{2}}+11\left( x+2
\right)\left( x‐2 \right)‐16\left( 3‐2x \right)
b.  B=\left( {{x}^{2}}‐2 \right)\left( {{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+4 \right)‐{{\left(
{{x}^{2}}+2 \right)}^{3}}+6{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+2 \right)‐10
c.  C={{\left( 3x+2 \right)}^{3}}‐18x\left( 3x+2 \right)+{{\left( x‐1
\right)}^{3}}‐28{{x}^{3}}+3x\left( x‐1 \right)
( ) ( )
( )( )
Xem lời giải tại:
68. Thực hiện phép tính
a.  \left( \dfrac{1}{2}{{a}^{2}}{{x}^{4}}+\dfrac{4}{3}a\,{{x}^{3}}‐\dfrac{2}{3}
{{x}^{2}} \right):\left( ‐\dfrac{2}{3}a\,{{x}^{2}} \right)
b.  4\left( \dfrac{3}{4}x‐1 \right)+\left( 12{{x}^{2}}‐3x \right):\left( ‐3x
\right)‐\left( 2x+1 \right)
c.  \left( 3{{x}^{4}}‐2{{x}^{3}}‐2{{x}^{2}}+4x‐8 \right):\left( {{x}^{2}}‐2
\right)
d.  \left( 2{{x}^{3}}‐26x‐24 \right):\left( {{x}^{2}}+4x+3 \right)
Xem lời giải tại:
69. Thực hiện phép tính rồi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A=\left( 9x{{y}^{2}}‐6{{x}^{2}}y \right):\left( ‐3xy \right)+\left(
6{{x}^{2}}y+2{{x}^{4}} \right):\left( 2{{x}^{2}} \right)
Xem lời giải tại:
70. Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B:
A=7{{x}^{n‐1}}{{y}^{5}}‐5{{x}^{3}}{{y}^{4}}\,\,\,;\,\,\,\,B=5{{x}^{2}}{{y}^{n}} 
Xem lời giải tại:
71. Xác định a, b sao cho
a.  3{{x}^{2}}‐5x+a chia hết cho x – 2
b.  5{{x}^{2}}+a\,x+1 chia cho x – 3 dư 1
c.  {{x}^{3}}+a\,x+b chia hết cho {{x}^{2}}+5x+6
Xem lời giải tại:
72. Tìm x nguyên để giá trị của f(x) chia hết cho giá trị của g(x), biết
a.  f\left( x \right)=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}‐x+4;\,\,\,\,g\left( x \right)=2x+1
b.  f\left( x \right)=3{{x}^{3}}‐{{x}^{2}}+6x;\,\,\,g\left( x \right)=3x‐1
Xem lời giải tại:
73. Tìm x, biết
a.  \left( 3{{x}^{5}}‐4{{x}^{3}} \right):{{x}^{3}}‐{{\left( 3x+1
\right)}^{2}}:\left( 3x+1 \right)‐3{{x}^{7}}:{{x}^{5}}=0
b.  \left( {{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}x \right):\dfrac{1}{2}x‐{{\left( 2x+1
\right)}^{3}}:{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}+{{\left( x+1 \right)}^{5}}:{{\left(
x+1 \right)}^{2}}=0
c.  \left( 5{{a}^{2}}{{x}^{4}}‐3{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right):{{a}^{2}}{{x}^{2}}=42
Xem lời giải tại:
74. Tính giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất) của các biểu thức sau
a.  A={{x}^{2}}+3x+7
b.  B=11‐10x‐{{x}^{2}}
c.  C=\left( x‐2 \right)\left( x‐5 \right)\left( {{x}^{2}}‐7x‐10 \right)
d.  D=|x‐4|\left( 2‐|x‐4| \right)
Xem lời giải tại:
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO
BÀI TẬP
75. Chứng minh rằng biểu thức n(2n‐3)‐2n\left( n+1 \right) luôn chia hết cho 5
với n\,\,\in \,\,\mathbb{Z} . 
Xem lời giải tại:
76. Tìm:
a.  Tìm các hệ số a, b, c biết rằng
3{{x}^{2}}\left( a\,{{x}^{2}}‐2bx‐3c
\right)=3{{x}^{4}}‐12{{x}^{3}}+27{{x}^{2}} với mọi x.
b.  Tìm các hệ số m, n, p biết rằng
‐3{{x}^{k}}\left( m{{x}^{2}}+nx+p
\right)=3{{x}^{k+2}}‐12{{x}^{k+1}}+3{{x}^{k}} với mọi x.
Xem lời giải tại:
77. Cho biểu thức: B=({{x}^{2}}+1)({{y}^{2}}+1)‐(x+4)(x‐4)‐(y‐5)(y+5) 
Chứng minh B\ge 42\,\,\forall x,\,\,y. Với giá trị nào của x; y thì B = 42.
Xem lời giải tại:
78. Tìm GTLN, GTNN.
a.  Tìm GTNN của f(x)=(x‐1)(x+2)(x+3)(x+6)
b.  Tìm GTLN của A=(1‐{{x}^{n}})(1+{{x}^{n}})+(2‐{{y}^{n}})(2+
{{y}^{n}})\,\,\,\,\,(n\in {{N}^{*}})
Xem lời giải tại:
79. Chứng minh rằng:
a.  Nếu x;\,y\in N thì: A=(2{{x}^{2}}+x)(2{{y}^{2}}‐y)‐xy(4xy‐1)\,\,\vdots \,\,2
a.  {{n}^{2}} chia cho 7 dư bao nhiêu?b.  {{n}^{3}} chia cho 7 dư bao nhiêu?
a.  A=4x‐{{x}^{2}}+3 b.  B=‐9{{x}^{2}}+12x‐15
c.  C=‐5‐\left( x‐1 \right)\left( x+2
\right)
b.  Nếu x;\,y\in N và x+y\,\,\vdots \,\,13 thì: B={{x}^{n}}(x+1)+{{x}^{n}}(y‐
1)\,\,\vdots \,\,13
Xem lời giải tại:
80. So sánh:
a.  2005.2007 và {{2006}^{2}}
b.  A=\left( 2+1 \right)\left( {{2}^{2}}+1 \right)\left( {{2}^{4}}+1 \right)\left(
{{2}^{8}}+1 \right)\left( {{2}^{16}}+1 \right) và B={{2}^{32}}‐1 
Xem lời giải tại:
81. Cho số tự nhiên n chia cho 7 dư 4. Hỏi:
Xem lời giải tại:
82. Rút gọn biểu thức
a.  A=\left( {{x}^{2}}‐2x+2 \right)\left( {{x}^{2}}‐2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+2
\right)\left( {{x}^{2}}+2 \right)
b.  B={{\left( x+1 \right)}^{3}}+{{\left( x‐1 \right)}^{3}}+{{x}^{3}}‐3x\left( x+1
\right)\left( x‐1 \right)
c.  C=3\left( {{2}^{2}}+1 \right)\left( {{2}^{4}}+1 \right)...\left( {{2}^{64}}+1
\right)+1
Xem lời giải tại:
83. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức
Xem lời giải tại:
84. Xét biểu thức f\left( x \right)={{\left( 2x‐5 \right)}^{2}}‐4\left( 2x‐5
\right)+5 
a.  Chứng minh f\left( x \right)\ge 1 với mọi giá trị của x.
b.  Với giá trị nào của x thì f(x) đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Xem lời giải tại:
85. Cho {{x}^{2}}‐{{y}^{2}}‐{{z}^{2}}=0 . Chứng minh rằng \left( 5x‐3y+4z
\right)\left( 5x‐3y‐4z \right)={{\left( 3x‐5y \right)}^{2}} 
Xem lời giải tại:
86. Chứng minh rằng: a=b=c biết {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=ab+bc+ca 
Xem lời giải tại:
87. Chứng minh rằng:
a. {{7}^{19}}+{{7}^{20}}+{{7}^{21}}\,\,\vdots \,\,57 
b. {{2}^{{{10}^{2}}}}{{.8}^{50}}‐{{32}^{{{7}^{7}}}}\,\,\vdots \,\,31 
Xem lời giải tại:
88. Cho A={{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}‐3xyz 
a.  Chứng minh rằng nếu x+y+z=0 thì A=0
b.  Điều ngược lại có đúng không?
Xem lời giải tại:
89. Tính giá trị của biểu thức:
A=\dfrac{{{16}^{8}}‐1}{\left( 2+1 \right)\left( {{2}^{2}}+1 \right)\left(
{{2}^{4}}+1 \right)\left( {{2}^{8}}+1 \right)\left( {{2}^{16}}+1 \right)}
Xem lời giải tại:
90. Tính:
a.  Cho x + y = 3 và {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=5 . Tính {{x}^{3}}+{{y}^{3}}
b.  Cho x – y = 5 và {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=15. Tính {{x}^{3}}‐{{y}^{3}}
Xem lời giải tại:
91. Cho {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1;\,\,{{c}^{2}}+{{d}^{2}}=1;\,\,ac+bd=0 . Chứng
minh rằng ab+cd=0.
Xem lời giải tại:
92. Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên lẻ thì: A={{n}^{3}}+3{{n}^{2}}‐n‐
3\,\,\vdots \,\,8 
Xem lời giải tại:
93. Cho {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=10. Tính giá trị biểu thức:
P={{(xy+yz+xz)}^{2}}+{{({{x}^{2}}‐yz)}^{2}}+{{({{y}^{2}}‐xz)}^{2}}+
{{({{z}^{2}}‐xy)}^{2}} 
Xem lời giải tại:
94. Chứng minh rằng:
a.  {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}‐3abc=(a+b+c)({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}‐
ab‐bc‐ca)
b.  {{(a+b+c)}^{3}}‐{{a}^{3}}‐{{b}^{3}}‐{{c}^{3}}=3(a+b)(b+c)(c+a)
Xem lời giải tại:
95. Chứng minh rằng giá trị mỗi biểu thức sau luôn luôn không âm với mọi giá
trị của biến.
a.  A={{\left( x‐y \right)}^{2}}\left( {{z}^{2}}‐2z+1 \right)‐2\left( z‐1 \right)
{{\left( x‐y \right)}^{2}}+{{\left( x‐y \right)}^{2}}
b.  B=\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( {{z}^{2}}‐4z+4 \right)‐2\left( z‐2
\right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}
Xem lời giải tại:
96. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m thì
a.  \left( {{m}^{3}}‐m \right)\,\,\,\,\vdots \,\,\,\,6
b.  {{m}^{3}}+5m và {{m}^{3}}‐19m cũng luôn chia hết cho 6.
Xem lời giải tại:
97. Cho {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=10 . Tính giá trị của biểu thức
P={{\left( xy+yz+xz \right)}^{2}}+{{\left( {{x}^{2}}‐yz \right)}^{2}}+{{\left(
{{y}^{2}}‐xz \right)}^{2}}+{{\left( {{z}^{2}}‐xy \right)}^{2}} 
Xem lời giải tại:
98. Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp biết tích của chúng là 120.
Xem lời giải tại:
99. Chứng minh rằng các biểu thức sau là bình phương của một số nguyên với
n\in Z.
a.  A=(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1
b.  B={{n}^{4}}‐4{{n}^{3}}‐2{{n}^{2}}+12n+9
Xem lời giải tại:
100. Tìm n\in N để P={{n}^{3}}‐{{n}^{2}}‐n‐2 là số nguyên tố.
Xem lời giải tại:
101. Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng biểu thức M=\left( a+1 \right)\left(
a+2 \right)\left( a+3 \right)\left( a+4 \right)+1 là bình phương của một số
nguyên.
Xem lời giải tại:
102. Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh rằng B=4x\left( x+y \right)\left(
x+y+z \right)\left( x+z \right)+{{y}^{2}}{{z}^{2}} là một số chính phương.
Xem lời giải tại:
103. Chứng tỏ rằng đa thức A={{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{4}}+9{{\left(
{{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}+21{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}‐{{x}^{2}}‐31
luôn luôn không âm với mọi giá trị của biến x.
Xem lời giải tại:
104. Tìm đa thức dư trong phép chia: ({{x}^{2005}}+{{x}^{2004}}):
({{x}^{2}}‐1) 
Xem lời giải tại:
105. Chứng minh đa thức f(x)=(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 chia hết cho đa thức
g(x)={{x}^{2}}+8x+10
Xem lời giải tại:
106. Tìm m để đa thức {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}+mxyz chia hết cho
x+y+z\,\,(x;\,\,y;\,\,z\ne 0,\,\,x+y+z\ne 0).
Xem lời giải tại:
107. Chứng minh rằng với n lẻ thì
a.  {{n}^{2}}+4n+3 chia hết cho 8.
b.  {{n}^{3}}+3{{n}^{2}}‐n‐3 chia hết cho 48.
Xem lời giải tại:
108. Chứng minh rằng \underbrace{111......111}_{81\,\,\,số
\,\,\,1}\,\,\,\,\vdots \,\,\,\,\,81 
Xem lời giải tại:
109. Chứng minh A={{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+\cdots +{{99}^{3}}+
{{100}^{3}} chia hết cho B=1+2+3+\cdots +99+100 . 
Xem lời giải tại:
110. Chứng minh rằng \forall m;\,n\in N thì:
{{x}^{6m+4}}+{{x}^{6n+2}}+1\,\,\vdots \,\,{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1 
Xem lời giải tại:
111. Tìm n\in N sao cho: {{x}^{2n}}+{{x}^{n}}+1\,\,\vdots \,\,{{x}^{2}}+x+1 
Xem lời giải tại:
112. Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng f(0);\,\,f(1) là các số lẻ.
Chứng minh đa thức f(x) không có nghiệm nguyên.
Xem lời giải tại:
113. Cho x+y+z=0. Chứng minh rằng: 2({{x}^{5}}+{{y}^{5}}+
{{z}^{5}})=5xyz({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}) 
Xem lời giải tại:
114. Tính giá trị biểu thức:
a.  Cho x+y+z=0;\,\,xy+yz+zx=0. 
Tính giá trị của biểu thức: A={{(x‐1)}^{2014}}+{{y}^{2015}}+
{{(z+1)}^{2016}} 
b.  Cho {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=1 
Tính giá trị biểu thức: A={{a}^{2}}+{{b}^{9}}+{{c}^{1945}} 
Xem lời giải tại:
115. Cho {{a}^{2}}‐{{b}^{2}}=4{{c}^{2}}. Chứng minh rằng: (5a‐3b+8c)(5a‐3b‐
8c)={{(3a‐5b)}^{2}} 
Xem lời giải tại:
116. Cho \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}. Chứng
minh rằng: \dfrac{1}{{{a}^{n}}}+\dfrac{1}{{{b}^{n}}}+\dfrac{1}
{{{c}^{n}}}=\dfrac{1}{{{a}^{n}}+{{b}^{n}}+{{c}^{n}}}(với n là số tự nhiên lẻ)
Xem lời giải tại:
117. Chứng minh rằng: Nếu x^{4}+y^{4}+z^{4}+ t^{4}= 4xyzt và x , y, z, t là các
số dương thì x = y = z = t.
Xem lời giải tại:
118. Cho a + b = 1 tính M=a^{3}+b^{3}+3ab(a^{2}+b^{2})+6a^{2}b^{2}(a+b)
Xem lời giải tại:
119. Phân tích đa thức F=a{{(b+c)}^{2}}(b‐c)+b{{(c+a)}^{2}}(c‐
a)+c{{(a+b)}^{2}}(a‐b) thành nhân tử.
Xem lời giải tại:
120. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a.  A=~ab\left( a+b \right)+bc\left( b+c \right)+ca\left( c+a \right)+2abc
b.  B=2{{a}^{2}}{{b}^{2}}+2{{b}^{2}}{{c}^{2}}+2{{a}^{2}}{{c}^{2}}‐{{a}^{4}}‐
{{b}^{4}}‐{{c}^{4}}
Xem lời giải tại:
121. P