Phương pháp tính ngược từ cuối

y về A với vận tốc 40km/giờ. Thời gian đi từ B về A ít hơn thời gian đi từ A đến B là 40 phút. Tính độ dài quãng đường AB. 
Phân tích: Vì quãng đường AB (s = v x t) không đổi, nên ta có thể xem vận tốc (v) là chiều dài của một hình chữ nhật và thời gian (t) là chiều rộng của hình chữ nhật đó. Vẽ sơ đồ: 
Giải: Ta có 40 phút = 2/3 giờ 
Nếu ô tô đi từ B về A với vận tốc 30 km/giờ thì sau khoảng thời gian dự định đi từ B về A, ô tô còn cách A một quãng đường là: 
30 x 2/3 = 20 (km) 
Sở dĩ có khoảng cách này là vì vận tốc xe giảm đi: 
40 - 30 = 10 (km/h) 
Thời gian ôtô dự định đi từ B về A là: 
20 : 10 = 2 (giờ) 
Quãng đường AB dài là: 
40 x 2 = 80 (km) 
Đáp số: 80 km 
Chú ý là s1 = s2 
Ví dụ 2: Bạn Toán đưa tiền dự định mua một số quyển vở loại 2500 đồng/ quyển. Nhưng đến cửa hàng chỉ còn vở loại 3000 đồng/quyển. Toán cứ băn khoăn có nên mua loại vở này không? Vì nếu mua thì số vở dự định bị hụt mất hai quyển. Tính số tiền bạn Toán mang đi? 
Phân tích: Vì số tiền bạn Toán mang đi không đổi, nên ta có thể xem giá tiền của mỗi loại vở là chiều dài của một hình chữ nhật và số quyển vở là chiều rộng của hình chữ nhật đó. Vẽ sơ đồ: 
Giải: Nếu bạn Toán mua số vở loại 2500 đồng/quyển bằng số vở định mua loại 3000 đồng/quyển thì số tiền còn thừa là: 
2 x 2500 = 5000 (đồng) 
Sở dĩ có số tiền thừa này là vì giá vở đã giảm: 
3000 - 2500 = 500 (đồng/quyển) 
Vậy số vở bạn Toán định mua loại 3000 đồng/quyển là: 
5000 : 500 = 10 (quyển vở) 
Số tiền bạn Toán mang đi là: 
3000 x 10 = 30000(đồng) 
Đáp số: 30000 đồng 
Các bạn thử dùng sơ đồ diện tích giải các bài toán sau: 
Bài 1: Một ôtô đi từ Vinh đến Hà Nội dự định đi với vận tốc 30 km/h. Nhưng do trời mưa nên chỉ đi được 25 km/h, nên đến Hà Nội muộn mất 2 giờ so với thời gian dự định. Tính quãng đường Vinh - Hà Nội? 
Bài 2: Bố bạn An năm nay 30 tuổi. Nếu lấy số tuổi bố bạn An cách đây 5 năm và số tuổi của An bây giờ cộng với 2 rồi nhân hai số đó với nhau thì cũng bằng số tuổi bố bạn An bây giờ nhân với số tuổi bạn An bây giờ. Tính tuổi bạn An bây giờ? 
Phan Duy Nghĩa
(Trường Đại Học Vinh)
PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO
QUA CÁC BÀI TOÁN CẮT - GHÉP HÌNH
Rèn luyện tư duy sáng tạo toán học cho học sinh tiểu học là việc rất cần thiết trong quá trình dạy học. ở lứa tuổi này, tư duy của học sinh là "trực quan" và "cụ thể", cho nên khi dạy các em, giáo viên cần nghiên cứu và có thể phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh dựa trên những mức độ yêu cầu thích hợp của tính sáng tạo. Để đạt được mục đích này chúng ta có thể đi từ các bài toán đơn giản đến bài toán phức tạp. 
Trong bài viết này tôi xin nêu cách để từ một số bài toán cắt - ghép hình có trong sách giáo khoa, chúng ta hướng dẫn cho học sinh giải được những bài toán khó hơn. Dưới đây xin trình bày các dạng toán đó. 
Bài toán 1 
Hãy cắt một hình vuông thành bốn hình tam giác rồi xếp bốn hình tam giác đó thành hai hình vuông (Toán 2 trang 34) 
Giải. 
Ta cắt hình vuông lớn theo hai đường chéo ta được bốn hình tam giác và ghép hai hình tam giác lại ta được một hình vuông nhỏ. 
Bài toán 2. 
Vẽ hai hình như hình bên trên giấy kẻ ô vuông rồi cắt mỗi hình đó thành hai mảnh bằng nhau để khi ghép cả 4 mảnh lại thì được một hình vuông (Toán 3, trang 105). 
Giải. 
Ta cắt hai hình trên theo đường không liền nét và ghép theo hình bên cạnh ta được một hình vuông mới (hình b). 
Bài toán 3. 
Cho 5 hình vuông bằng nhau. Hãy cắt và ghép chúng thành một hình vuông. 
Giải. 
+ Khi dạy giải bài toán này cho học sinh, chúng ta cần làm cho học sinh thấy rõ bài toán 3 là kết quả của hai bài toán (1) và (2). 
+ Từ bài toán (2) ta thấy việc ghép được hình vuông lớn nhờ 10 hình vuông nhỏ. 
+ Giả thiết cho 5 hình vuông để có 10 hình vuông ta dùng kết quả bài toán (1) 
Bước 1. Từ 5 hình vuông, ta ghép thành 10 hình vuông nhỏ (kết quả bài toán 1) 
Bước 2. Ghép 10 hình vuông nhỏ thành hai hình chữ thập 
Bước 3. Cắt ghép hai hình chữ thập như bài toán (2) 
Các bài tập rèn luyện thêm : 
1) Cắt một hình như hình dưới thành 5 mảnh để ghép lại được một hình vuông 
2) Một người có một miếng ván hình chữ nhật, 1,5m, rộng 0,3m. Người đó muốn cắt miếng ván đó thành nhiều mảnh sao cho ghép các mảnh này lại thì được một hình vuông (Bài toán : Giúp bác thợ mộc). 
Trần Văn Hạnh
(Cao đẳng Sư phạm Quảng Ngãi
SỬ DỤNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG ĐỂ TÌM LỜI GIẢI KHÁC NHAU TRONG DẠY GIẢI TOÁN
Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng trong giải toán đã trở thành một phương pháp hữu hiệu trong việc giải một số dạng toán ở tiểu học. Trong bài "Phát triển từ một bài toán cơ bản" của tác giả Đặng Phương Hoa, TTT số 33 là một minh chứng cho vấn đề này. Trong bài này, dựa vào một bài toán cơ bản của lớp 4 tôi nêu lên nguyên lí chung của các lời giải, từ đó áp dụng cho việc tìm lời giải của một bài toán khác.
Bài toán 1 : Tìm 2 số, biết tổng của chúng bằng 2004 và hiệu của chúng bằng 202.
Đây là bài toán điển hình ở lớp 4 và trong SGK thường nêu lên 2 cách giải sau :
Cách 1 :
Số bé = (Tổng - Hiệu) : 2 ; Số lớn = Số bé + Hiệu hoặc Số lớn = Tổng - Số bé.
Cách 2 :
Số lớn = (Tổng + Hiệu) : 2 ; Số bé = Số lớn - Hiệu hoặc Số bé = Tổng - Số lớn.
Ta thấy : Cả 2 cách giải trên đều có chung nguyên lí là : Biến đổi sơ đồ để được 2 đoạn thẳng bằng nhau.
Theo nguyên lí trên ta, biến đổi sơ đồ :
Thành sơ đồ:
Dựa vào sơ đồ trên ta có cách giải 3 :
Số bé là : 2004 : 2 - (202 : 2) = 901
Số lớn là : 2004 : 2 + (202 : 2) = 1103,
hoặc : 2004 - 901 = 1103
Đáp số : Số bé : 901 ; số lớn : 1103.
Bài toán 2 : Khối lớp 4 có bốn lớp với tổng số học sinh là 156 em. Lớp 4A nhiều hơn lớp 4B là 10 em. Lớp 4C ít hơn lớp 4A là 4 em. Lớp 4B và lớp 4D có số học sinh bằng nhau. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu em ?
Đây là loại toán không khó đối với học sinh tiểu học, nhưng việc tìm ra những lời giải khác nhau thì lại không đơn giản. Nếu chúng ta áp dụng nguyên lí biến đổi sơ đồ đoạn thẳng thành các đoạn thẳng bằng nhau thì ta sẽ có 4 cách giải khác nhau. Đầu tiên ta tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng :
Cách giải 1 : (Biến thành 4 đoạn thẳng bằng nhau và bằng đoạn thẳng biểu thị số học sinh 4B)
Số học sinh 4C nhiều hơn số học sinh 4B là : 10 - 4 = 6 (em)
Theo bài ra ta có sơ đồ :
Số học sinh 4B và cũng là số học sinh lớp 4D là :
(156 - 10 - 6) : 4 = 35 (em)
Số học sinh 4A là : 35 + 10 = 45 (em)
Số học sinh 4C là : 35 + 6 = 41 (em)
Đáp số : 4A : 45 em, 4B : 35 em, 4C : 41 em, 4D : 35 em.
Cách giải 2 : (Biến thành 4 đoạn bằng nhau và bằng đoạn thẳng biểu thị số học sinh 4A).
Số học sinh 4A là : (156 + 10 + 4 + 10) : 4 = 45 (em)
Số học sinh 4B và cũng là số học sinh 4D là : 45 - 10 = 35 (em)
Số học sinh 4C là : 45 - 4 = 41 (em)
Đáp số : 4A : 45 em, 4B : 35 em, 4C : 41 em, 4D : 35 em.
Cách giải 3 : Vì (10 + 6) : 4 = 4, từ đây ta biến thành 4 đoạn thẳng bằng nhau và bằng đoạn thẳng biểu thị số học sinh lớp 4B thêm 4 học sinh.
Lời giải xin dành cho các bạn.
Cách giải 4 : Biến đổi sơ đồ thành 4 đoạn thẳng bằng nhau và bằng đoạn thẳng biểu thị số học sinh 4C. Các bạn hãy vẽ sơ đồ và giải xem nhé !
Nếu để ý đến điều kiện số học sinh 2 lớp 4B và 4D bằng nhau ta lại có cách giải thứ 5. Sơ đồ:
Như vậy ta lại đưa bài toán 2 về bài toán tìm 2 số biết tổng và hiệu của 2 số đó. Việc giải tiếp bài toán này tôi muốn dành cho bạn đọc. Các bạn hãy áp dụng để giải các bài toán tương tự nhé !
Chúc các bạn giải toán ngày một "siêu" hơn !
Nguyễn Hùng Quang ( Giáo viên trường Cao đẳng Sư phạm Hà Nội)
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI ĐỂ GIẢI TOÁN VUI VÀ TOÁN CỔ Ở TIỂU HỌC
Phương pháp tính ngược từ cuối được dùng để giải nhiều bài toán vui và toán cổ ở tiểu học. Sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối giúp ta trình bày lời giải một cách ngắn gọn, chặt chẽ và tường minh. Dưới đây ta xét một số ví dụ minh họa. 
Ví dụ: Một viên quan mang lễ vật đến dâng vua và được vua ban thưởng cho một quả cam trong vườn thượng uyển, nhưng phải tự vào vườn hái. Đường vào vườn thượng uyển phải qua ba cổng có lính canh. Viên quan đến cổng thứ nhất, người lính canh giao hẹn: “Ta cho ông vào nhưng lúc ra ông phải biếu ta một nửa số cam, thêm nửa quả”. Qua cổng thứ hai rồi thứ ba lính canh cũng đều giao hẹn như vậy. Hỏi để có một quả cam mang về thì viên quan đó phải hái bao nhiêu cam trong vườn? 
Giải: Số cam viên quan còn lại sau khi cho lính gác cổng thứ hai (cổng giữa) là: 
Số cam viên quan còn lại sau khi cho lính gác cổng thứ ba (cổng trong cùng) là: 
Số cam viên quan phải hái trong vườn là: 
Vậy để có được một quả cam mang về thì viên quan phải hái 15 quả trong vườn. 
Đáp số: 15 quả cam 
Ví dụ 2: Có một giống bèo cứ mỗi ngày lại nở tăng gấp đôi. Nếu ngày đầu cho vào mặt hồ một cây bèo thì 10 ngày sau bèo lan phủ kín mặt hồ. Vậy nếu ban đầu cho vào 16 cây bèo thì mấy ngày sau bèo phủ kín mặt hồ? 
Giải: Ta có bảng sau biểu diễn số cây bèo trên mặt hồ: 
Nhìn vào bảng trên ta thấy: Nếu ngày đầu cho vào mặt hồ 16 cây bèo thì 6 ngày sau bèo sẽ lan phủ kín mặt hồ. 
Các bạn thử giải bài toán sau bằng phương pháp tính ngược từ cuối. 
Một người qua đường hỏi ông lão chăn vịt: “Đàn vịt của ông có bao nhiêu con?”. Ông lão trả lời: 
- Một nửa số vịt của tôi thêm một nửa con nữa đang tắm mát ở dưới sông. 
- Ba phần tư số vịt còn lại thêm một phần tư con nữa đang kiếm ăn ở dưới hồ. 
- Bốn phần năm số vịt còn lại thêm một phần năm con nữa đang nằm nghỉ ở trên bờ. 
- Cuối cùng còn hai đôi vịt què tôi đang nhốt ở trong lồng kia! 
Hỏi đàn vịt của ông lão có bao nhiêu con? 
PHÁT TRIỂN TỪ MỘT BÀI TOÁN CƠ BẢN
Trong chương trình toán lớp 4 các em đã được học về dạng toán trung bình cộng, một dạng toán rất điển hình và cũng rất lí thú nếu chúng ta biết khai thác sâu hơn. Sau đây là một hướng khai thác từ một bài toán cơ bản nhất :
Bài toán 1 : Lớp 4A trồng được 21 cây ; lớp 4B trồng được 22 cây ; lớp 4C trồng được 29 cây. Lớp 4D trồng được số cây bằng trung bình cộng số cây trồng được của ba lớp kia. Hỏi lớp 4D trồng được bao nhiêu cây ? Giải :
Lớp 4D trồng được số cây là : (21 + 22 + 29) : 3 = 24 (cây)
Đáp số : 24 cây
Bài toán 2 : Lớp 4A trồng được 21 cây ; lớp 4B trồng được 22 cây ; lớp 4C trồng được 29 cây ;lớp 4D trồng được số cây bằng trung bình cộng số cây của cả 4 lớp. Hỏi lớp 4D trồng được bao nhiêu cây ? Phân tích : Bài toán này cho số cây của lớp 4D không phải bằng trung bình cộng số cây của ba lớp kia như ở bài toán 1 mà số cây của lớp 4D bằng trung bình cộng số cây của cả bốn lớp.
Ta dễ thấy tổng số cây của cả 4 lớp chia làm 4 phần bằng nhau thì số cây của lớp 4D là một phần và tổng số cây của cả ba lớp kia là 3 phần. Như thế trung bình cộng số cây của cả 4 lớp chính bằng trung bình cộng số cây của 3 lớp còn lại. Bài toán giải giống như bài toán 1.
Giải : Theo bài ra ta có sơ đồ sau :
Nhìn vào sơ đồ ta có :
Lớp 4D trồng được số cây là : (21 + 22 + 29) : 3 = 24 (cây)
Đáp số : 24 cây
Nhận xét : Một trong các số đã cho lại bằng trung bình cộng của các số còn lại thì số đó chính bằng trung bình cộng của tất cả các số đã cho.
Bài toán 3 : Lớp 4A trồng được 21 cây ; lớp 4B trồng được 22 cây ; lớp 4C trồng được 29 cây ; lớp 4D trồng được số cây hơn trung bình cộng số cây của cả 4 lớp là 3 cây. Hỏi lớp 4D trồng được bao nhiêu cây ?
Phân tích : Bài toán này cho số cây của lớp 4D không những bằng trung bình cộng số cây của c 4 lớp mà còn hơn trung bình cộng số cây của bốn lớp là 3 cây.
Dùng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng ta có :
Tổng số cây của 3 lớp 4A ; 4B ; 4C và thêm 3 cây nữa sẽ là 3 lần trung bình cộng số cây của cả 4 lớp. Từ đó ta tìm được số cây của lớp 4D.
Giải : Theo bài ra ta có sơ đồ:
Nhìn vào sơ đồ ta có trung bình cộng số cây của cả 4 lớp là :
(21 + 22 + 29 + 3) : 3 = 25 (cây)
Số cây của lớp 4D trồng được là : 25 + 3 = 28 (cây)
Nhận xét : Nếu có 3 số a ; b ; c và số chưa biết x mà x lớn hơn trung bình cộng của cả 4 số a ; b ; c ; x là n đơn vị thì trung bình cộng của cả bốn số là: (a + b + c + n) : 3 hay (a + b + c + x) : 4 = (a + b + c + n) : 3
Với cách khai thác ấy các em hãy giải bài toán sau và rút ra nhận xét xem nhé :
Lớp 4A trồng được 21 cây ; lớp 4B trồng được 22 cây ; lớp 4C trồng được 29 cây. Lớp 4D trồng được số cây kém trung bình cộng số cây của cả 4 lớp là 3 cây. Hỏi lớp 4D trồng được bao nhiêu cây ?
Đặng Phương Hoa (Số nhà 48, tổ 27, phường Quang Trung, TX Thái Bình, Thái Bình)
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ
Các em học sinh thân mến ! Trong chương trình toán 4 các em đã làm quen với hai bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch và đã được biết thế nào là đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch. Việc áp dụng các quan hệ đó để giải một số bài toán đã được thông qua các bài học. ở đây chúng tôi muốn đưa thêm một số ví dụ khác có thể áp dụng đại lượng tỉ lệ để giải. Hi vọng các em sẽ tìm thấy những điều mới lạ và hấp dẫn trong cách giải các bài toán đó.
Ví dụ 1 : Hưng đi xe đạp từ nhà lên huyện với vận tốc 12 km/giờ. Sau đó trở về với vận tốc 10 km/giờ. Tính quãng đường từ nhà lên huyện biết rằng thời gian lúc về lâu hơn lúc đi là 10 phút.
Nhận xét : Ta thấy Hưng đi và về trên cùng một đoạn đường từ nhà lên huyện. Do đó thời gian đi và về sẽ tỉ lệ nghịch với vận tốc lúc đi và vận tốc lúc về. ở đây tỉ số về vận tốc giữa lúc đi và lúc về là 12/10 = 6/5. Vậy tỉ số giữa thời gian đi và thời gian về là 5/6. Mà thời gian lúc về lâu hơn lúc đi là 10 phút hay nhiều hơn 10 phút. Từ đó ta có sơ đồ :
Thời gian lúc về hết là :
10 : (6 - 5) x 6 = 60 (phút)
Đổi : 60 phút = 1 giờ
Quãng đường từ nhà lên huyện là :
10 x 1 = 10 (km)
Đáp số : 10 km.
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC có diện tích 75 cm2. Trên BC lấy M sao cho BM = 2/3 BC. Tính diện tích tam giác ABM.
Nhận xét : Ta thấy tam giác ABM và tam giác ABC có cùng chiều cao là AH ; hai đáy tương ứng là BM và BC. Do đó đáy và diện tích là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.
ở đây tỉ số về hai đáy là : BM/BC = 2/3. Vậy tỉ số về diện tích của hai tam giácABM và ABC là 2/3. Vì diện tích tam giác ABC bằng 75 cm2, nên diện tích tam giác ABM là :
75 : 3 x 2 = 50 (cm2).
Đáp số : 50 cm2.
Ví dụ 3 : Cô giáo xếp chỗ ngồi cho học sinh lớp 4A. Nếu xếp mỗi bàn 4 bạn thì thiếu một bàn. Nếu xếp mỗi bàn 5 bạn thì thừa một bàn. Hỏi lớp đó có bao nhiêu bàn, bao nhiêu học sinh ?
Nhận xét : Số học sinh không đổi nên số bàn và số học sinh xếp ở mỗi bàn là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.
Số bàn cần có để xếp 4 bạn 1 bàn nhiều hơn số bàn cần có để xếp 5 bạn 1 bàn là : 1 + 1 = 2 (bàn)
ở đây tỉ số giữa số bạn xếp ở một bàn 4 bạn và một bàn 5 bạn là . Do đó tỉ số giữa số bàn khi xếp một bàn 4 bạn và một bàn 5 bạn là .
Vậy ta có sơ đồ :
Số bàn cần đủ để xếp 4 bạn một bàn là : 2 : (5 - 4) x 5 = 10 (bàn)
Số bàn lớp 4A là : 10 - 1 = 9 (bàn)
Số học sinh lớp 4A là : 4 x 9 + 4 = 40 (học sinh)
Đáp số : 9 bàn ; 40 học sinh.
Các em thấy không ? Đó mới chỉ là 3 ví dụ, ngoài ra còn nhiều ví dụ khác nữa, hi vọng các em sẽ áp dụng đại lượng tỉ lệ để giải một cách tốt hơn. Sau đây là một số bài toán để các em làm thử :
1. Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng. Hỏi nếu tăng chiều dài thêm một đoạn bằng chiều rộng thì chiều rộng sẽ thay đổi như thế nào để diện tích hình đó không thay đổi.
2. Đội tuyển học sinh giỏi có số bạn nam gấp 3 lần số bạn nữ. Thầy giáo nhẩm tính rằng nếu thay 3 bạn nam bằng 3 bạn nữ thì số bạn nam chỉ nhiều hơn số bạn nữ là 6 bạn. Hỏi đội tuyển đó có bao nhiêu bạn nam, bao nhiêu bạn nữ.
3. Ba tổ trồng được tất cả 120 cây. Biết rằng số cây của tổ 1 và tổ 2 trồng được nhiều hơn số cây trồng được của tổ 2 và tổ 3 là 10 cây. Số cây của tổ 2 và tổ 3 trồng được ít hơn số cây của tổ 3 và tổ 1 trồng được là 5 cây. Tính số cây mỗi tổ trồng được.
Nguyễn Ngọc Cường (Phòng GD - ĐT Hưng Hà, Thái Bình)
CÓ NHIỀU CÁCH ĐỂ TÌM RA LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN
Giải các bài toán có lời văn luôn là điều thú vị đối với học sinh tiểu học. Việc tìm ra các cách giải khác nhau cho một bài toán càng làm cho lời giải thêm sinh động và phong phú hơn, học sinh thêm say mê học Toán hơn. Kỳ thi học sinh giỏi tiểu học môn Toán năm học 2003 - 2004 của thành phố Hà Nội có một bài toán khiến nhiều giáo viên còn băn khoăn về các lời giải khác nhau của học sinh. Tôi xin trình bày lại các cách giải khác nhau của bài toán thuộc dạng toán tính ngược có trong đề thi. 
Bài toán : “Bạn Yến có một bó hoa hồng đem tặng các bạn cùng lớp. Lần đầu Yến tặng một nửa số bông hồng và thêm 1 bông. Lần thứ hai Yến tặng một nửa số bông hồng còn lại và thêm 2 bông. Lần thứ ba Yến tặng một nửa số bông hồng còn lại và thêm 3 bông. Cuối cùng Yến còn lại 1 bông hồng dành cho mình. Hỏi Yến đã tặng bao nhiêu bông hồng ?” 
*Cách 1 : Ta có sơ đồ về số các bông hồng : 
Số bông hồng còn lại sau khi Yến tặng lần thứ hai là : 
(1 + 3) x 2 = 8 (bông) 
Số bông hồng còn lại sau khi Yến tặng lần thứ nhất là : ( 
8 + 2) x 2 = 20 (bông) 
Số bông hồng lúc đầu Yến có là : 
(20 + 1) x 2 = 42 (bông) 
Số bông hồng Yến đã tặng các bạn là : 
42 - 1 = 41 (bông) 
Đáp số : 41 bông hồng. 
*Cách 2 : 
Gọi số bông hồng lúc đầu Yến có là a. 
Số bông hồng còn lại sau khi Yến cho bạn lần thứ nhất là : 
a : 2 - 1 (bông hồng) 
Số bông hồng còn lại sau Yến cho bạn lần thứ hai là : 
(a : 2 - 1) : 2 - 2 (bông hồng) 
Số bông hồng còn lại sau khi Yến cho bạn lần thứ ba là : 
((a : 2 - 1) : 2 - 2) : 2 - 3 (bông hồng) 
Theo đề bài ta có : 
((a : 2 - 1) : 2 - 2) : 2 - 3 = 1 (bông hồng) 
((a : 2 - 1) : 2 - 2) : 2 = 1 + 3 (bông hồng) 
((a : 2 - 1) : 2 - 2) : 2 = 4 (bông hồng) 
(a : 2 - 1) : 2 - 2 = 4 x 2 (bông hồng) 
(a : 2 - 1) : 2 - 2 = 8 (bông hồng) 
(a : 2 - 1) : 2 = 8 + 2 (bông hồng) 
(a : 2 - 1) : 2 = 10 (bông hồng) 
a : 2 - 1 = 10 x 2 (bông hồng) 
a : 2 - 1 = 20 (bông hồng) 
a : 2 = 20 + 1 (bông hồng) 
a : 2 = 21 (bông hồng) 
a = 21 x 2 (bông hồng) 
a = 42 (bông hồng) 
Số bông hồng mà Yến đã tặng các bạn là : 42 - 1 = 41 (bông hồng) 
Đáp số : 41 bông hồng. 
*Cách 3 : 
Biểu thị : A là số bông hồng lúc đầu Yến có. 
B là số bông hồng còn lại sau khi cho lần thứ nhất. 
C là số bông hồng còn lại sau khi cho lần thứ hai. 
Ta có lưu đồ sau : 
Số bông hồng còn lại sau khi Yến cho lần thứ 2 là : 
(1 + 3) x 2 = 8 (bông hồng) 
Số bông hồng còn lại sau khi Yến cho lần thứ nhất là : 
(8 + 2) x 2 = 20 (bông hồng) 
Số bông hồng lúc đầu Yến có là : 
(20 + 1) x 2 = 42 (bông hồng) 
Số bông hồng Yến tặng các bạn là : 
42 - 1 = 41 (bông hồng) 
Đáp số : 41 bông hồng. 
Nhận xét : Cách giải 1 là cách giải thông thường mà học sinh tiểu học lựa chọn để giải. Mục đích của việc vẽ sơ đồ nhằm giúp học sinh dễ dàng nhìn thấy các mối liên hệ trong bài toán. Tuy nhiên, đối với các em học sinh khá giỏi thì việc vẽ sơ đồ là không cần thiết khi các em đã thành thạo. 
Đối với cách giải 2, nhiều người cho rằng, khi giải bằng cách này là không vừa sức đối với học sinh tiểu học. Điều đó không đúng, vì thực ra học sinh chỉ cần vận dụng các kiến thức cơ bản đã học trong chương trình tiểu học là tìm thành phần chưa biết của phép tính và căn cứ vào dữ kiện đã cho để đưa ra lời giải. Ví dụ ở bước 1, học sinh thực hiện tìm số bị trừ khi biết số trừ và hiệu, bước 2 học sinh thực hiện tìm số bị chia khi biết thương và số chia v.v... 
Ở cách giải 3, chúng ta thấy khi cho đi một nửa số bông hồng Yến có thì còn lại một nửa số bông hồng. Sau đó lại cho thêm 1 bông hồng nữa, nghĩa là số bông hồng còn lại sau khi cho lần thứ nhất là một nửa số bông hồng lúc đầu bớt đi 1 bông. Tương tự như vậy số bông hồng còn lại sau khi cho lần thứ hai chính là một nửa số bông hồng sau khi cho lần thứ nhất rồi bớt đi 2 bông. 1 bông hồng dành cho Yến chính là 1 nửa số bông hồng còn lại sau khi cho lần thứ hai bớt đi 3 bông. Tới đây, muốn tìm C ta lấy (1 + 3) x 2. Tương tự, ta tìm được số bông hồng lúc đầu Yến có (A). 
Thực tế khi giải theo cách 3 này, học sinh đã thực hiện một loạt các phép tính ngược từ cuối lên. Các ô tròn A, B, C lần lượt biểu thị số bông hồng lúc đầu, số bông hồng còn lại sau khi cho lần thứ nhất, số bông hồng còn lại sau khi cho lần thứ hai. Khi đã hiểu rõ điều này, không nhất thiết học sinh phải đặt kí hiệu cho các ô tròn của lưu đồ mà vẫn có thể chỉ ra lời giải của bài toán. 
Trên đây là phương pháp giải của dạng toán tính ngược từ cuối lên; hi vọng, có thể giúp các bạn học sinh t